平行四边形矩形的性质与判定
矩形的性质与判定2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)
18.2.1矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.题型1：理解矩形的性质1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．对角线相等C．两组对边分别平行题型2：利用矩形的性质判定三角形全等2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出结论；【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°∵EF⊥CE∴∠CEF＝90°∴∠CED+∠AEF＝90°∵∠CED+∠DCE＝90°∴∠DCE＝∠AEF∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE＝DC由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2∴2AE＝6∴AE＝3【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．【分析】利用矩形的性质证得△ADE≌△BCE后即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∵E为CD边上的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE．题型3：矩形的性质与求角度3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）A．70°B．60°C．80°D．45°【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，∴∠DGA＝∠BAG＝20°，∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．故选：A．【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．46°B．52°C．56°D．62°【分析】由长方形直尺可得MP∥OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠MOB＝2∠BOP＝56°，由长方形直尺可知：MP∥OB，∴∠AMP＝∠MOB＝56°，故选：C．【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC ＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．【解答】解：连接BD，交AC于O，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E＝70°，∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故选：C．题型4：矩形的性质与求线段4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD ＝12．【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2BO＝12．故答案为12．【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是18．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE＝CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线，∴PE＝CD＝3，∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案为：18．题型5：矩形性质综合5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S阴＝+＝3，故选：A．【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为．【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．故答案为．【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝BE，∴AD∥BE，AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形；（2）过点F作FG⊥BC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴FB＝FC＝FD，∴G是BC的中点，∴FG是△BCD的中位线，∴．在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，∴．题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6B．6.5C．10D．13【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD 的中点．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME＝BC，同理MF＝BC，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）解：∵MF＝MB，∴∠ABC＝∠MFB＝50°，同理∠ACB＝∠MEC＝60°，∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的长；（2）求证：AB＝BC．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADE，根据三角形的内角和定理得到∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE＝5；（2）证明：由（1）知，BE＝DE，∵AE＝BE，∴∠A＝∠ADE，∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.3.有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型7：矩形的判定（三直角）7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH 是矩形．【分析】利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质可得∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO ＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形GHKL是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．∴∠GOK＝90°，同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴∠HGO＝90°，∴四边形KHGO是矩形．题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形；【解答】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形；【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB 交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：如图所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∴AE平行且等于CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．【分析】首先根据已知条件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）9.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【分析】先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出AC＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根据等角对等边得出OC＝OB，那么AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出▱ABCD是矩形．【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BDE＝2OB，∵∠1＝∠2，∴OC＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．【变式9-1】如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AF＝CE，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．【变式9-2】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形．【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵MO＝NO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥BC，证明△DEA≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF；（2）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．题型10：矩形的判定综合10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，进而得到DF＝BE且DF∥BE，根据平行四边形的判定得到四边形DFBE是平行四边形，由DE⊥AB可得结论；（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DFBE是矩形；（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB，∴∠DAE＝30°，又∵AD＝3，∴DE＝AD＝，【变式10-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【变式10-2】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．【变式10-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．【分析】（1）先求出四边形CDBE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）求出AB长，再根据勾股定理求出BC，即可求出DE．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴∠CDB＝90°，CD∥BE，∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，∵∠CDB＝90°，∴四边形CDBE是矩形；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，由勾股定理得：BC＝＝，∵四边形CDBE是矩形，∴DE＝BC＝．word可编辑文档。
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定
第三节 平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定(一)平行四边形的性质和判定 一.教学重难点:重点：平行四边形的性质证明． 难点：分析、综合思考的方法．二.知识点和考点:1.平行四边形的定义2.平行四边形的性质,面积3.平行四边形的判定4.三角形的中位线及其性质三.知识点讲解考点一: 平行四边形的定义考点二:平行四边形的性质(1)平行四边形的对边相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记做例1：如图：在中，如果E F ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，那么图中的平行四边形一共有 （ ） A ．4个 B 、5个 C 、8个 D 、9个例2:如图，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，并且AF ∥CE ，求证：∠AFB=∠DEC 。
∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。
例2.平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为(2).平行四边形的对角相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1.已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。
求证：∠ADF=∠CBE。
例2、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、(3)、平行四边形的对角线互相平分注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例3.如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。
例4.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。
例5.如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？例6.如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.(4)平行四边形的面积如图（1），，也就是边长×高=ah(2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
初中数学矩形的性质及其判定
矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略 【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB =模块二 矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略 【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中， 又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
19.2特殊的平行四边形(矩形的定义及性质)
我们已经学习了平行四边形的定义、 性质和判定定理。大家回忆一下！
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 推论： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理2：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四 定理3： 边形。 QQ：907948768 飞鱼工作室制作
且相等
邻角互补
平分
中心对称 图形
对边平行 四个角是 矩形 且相等 直角
A D O B C A
对角线互相 中心对称图 平分且相等 形，也是轴 对称图形
D O
B
C
作业
习题19.2
1 ，4，9题
预习矩形的判定定理
B C
A
D
探 究
我们根据平行四边形的性质来探究矩形的性质。
A O D
B
C
性质定理1：矩形的四个角都是直角
性质定理2：矩形的对角线相等
探 究
如图，在矩形ABCD中， AC，BD相交于点O.根据 矩形的性质，我们知道， AO = CO = BO = DO = 1 1 2 AC = 2 BD，又AO为 △ABD的中线，因此，我 们得到直角三角形的一个 性质： 推论：
B
C O
OA = AB = 4 cm 矩形的对角线长AC = BD = 2OA = 8 cm
这节课我们学习了矩形的性质，矩形都有哪 些性质？
性质定理1：矩形的四个角都是直角 性质定理2：矩形的对角线相等 推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
对比记忆
边 角 对角线 对称性
平行 对边平行 对角相等， 对角线互相 四边形
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的性质及判定方法
矩形的性质及判定方法
一分耕耘一份收获，付出了就能收获回报，想要了解矩形的性质的小伙伴快来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“矩形的性质及判定方法”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！
矩形的性质
1、从边看，标准矩形对边平行且相等。
2、从角看，标准矩形四个角都是直角。
3、从对角线看，标准矩形对角线互相平分且相等。
标准矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
4、具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法如下：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形的面积公式
四个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形，面积公式为S=a×b，其中S为长方形面积，a为长方形的长，b为长方形的宽。
矩形与平行四边形的区别
矩形：
一、定义
在几何中，长方形（又称矩形）定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。
二、性质
是特殊的平行四边形；两组对边平行且相等；四个角都为90度；对角线互相平分。
平行四边形：
一、定义
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。
二、性质
两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分；内角和为360度；相邻两边的夹角大于0度小于180度。
(完整版)平行四边形性质及判定总结
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳性质判定平行四边形平行四边形的①两组对边分别平行②两组对边分别相等③两组对角分别相等④两条对角线互相平分①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（平行四边形的定义）②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
菱形①具有平行四边形的一切性质。
菱形的②四条边都相等③对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（菱形的定义）②四条边都相等的四边形是菱形。
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
矩形①具有平行四边形的一切性质。
矩形的②四个角都是直角③对角线相等①有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（矩形的定义）②有三个角是直角的四边形是矩形。
③对角线相等的平行四边形是矩形。
正方形（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
（2）对角线与边的夹角为45·①有一组邻边相等的矩形是正方形。
（正方形的定义）②有一个角是直角的菱形是正方形二、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（即勾股定理）（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。
数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定
1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。
⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。
6.2矩形的性质与判定
6.2矩形的性质与判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）四个角都是直角.（3）对角线相等.（4）是轴对称图形，有4条对称轴.定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.基础闯关矩形的定义与性质1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。
A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 .7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。
8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。
设F 、H分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。
矩形的性质与判定的综合运用-课件
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月4日星期 四2021/3/42021/3/42021/3/4
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/42021/3/4Marc h 4, 2021
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/42021/3/42021/3/4M ar-214- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/42021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/42021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
MK2＋NK2＝ （2x）2＋8x2＝2 3x，∴MDNN＝2 x3x＝2 3
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021 9:54:09 PM
13．如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 为矩 形 ABCD 外一点，若 AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
解：连接 OE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA＝OC，OB ＝OD，AC＝BD，∵AE⊥CE，∴OE＝21AC，∴OE＝12BD，∴ OE＝OB＝OD，可证∠BED＝90°，∴BE⊥DE
第1节 矩形的性质与判定(一)1
A
１
解析：根据对角线相等的平行四边
形是矩形；矩形的定义. 答案：① ④
Ｄ
Ｂ
２
Ｃ
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为 AC的中点，则DE＝ ．
解析: ∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD,且
OA OC
A O
D
OA OD.
1 OB OD BD. 2
1 AC. 2
B
C
∵∠AOD=120°.
1800 1200 300. ∴∠ODA=∠OAD= 2
你认为例1还可以怎 么去解？
∵∠DAB=90°. ∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
解析：根据直角三角形斜边的中线
等于斜边的一半可得，DE等于AC的 一半，所以DE=4. 答案：4
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD 和BCD组成的，M、N•分别为BC、AD的中点． 求证：四边形BMDN是矩形．
证明：在正三角形ABD和BCD中，M、N•分
别为BC、AD的中点. ∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，
∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.
∴∠NBM=90°. ∴四边形BMDN是矩形.
5、已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长. 解:∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD,且 OA OC AC. 2 1 OB OD BD. 2 ∴OA=OD. ∵∠AOD=120°.
特殊的平行四边形的性质与判定
特殊的平行四边形的性质与判定
1、平行四边形+直角=矩形
2、平行四边形+一组邻边相等=菱形
3、平行四边形+直角+一组邻边相等=正方形
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.性质：（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）三个角是直角的四边形是矩形
菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.性质：（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四边相等的四边形是菱形
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形
正方形
1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.性质：既具备矩形的性质，又具备菱形的性质
3.判定：
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：有一个角为直角的菱形是正方形。
3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
3矩形的性质和判定
八年级 数学
矩形判定2
对角线相等的平行四边形是矩形
已知: 四边形ABCD是平行四边形,AC=BD 求证: 四边形ABCD是矩形 证明：在 ABCD中， ∴AB CD（平行四边形的
A O B
D
对边平行且相等）
∴∠BAD +∠CDA=180°（两 直线平行，同旁内角互补）
C
又∵AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴△BAD≌△CDA(S.S.S.) ∴∠BAD=∠CDA ∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角
对角线
对角线互相平分的四边形； 两组对角分别相等的四边形；
角
情 景 创 设
我们已经知道平行四边形是特殊的 四边形，因此平行四边形除具有四 边形的性质外，还有它的特殊性质， 同样对于平行四边形来说有特殊情 况即特殊的平行四边形，这堂课我 们就来研究一种恃殊的平行四边 形—— 矩形
两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角是 直角
例：已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且 若变为：E、F、G、H分别是AO、 AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形
BO、CO、DO的中点，你会吗？ 证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) A AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形（对角 线互相平分的四边形是平行四边形） ∵EO+OG=FO+OH B 即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。
D
C
牛刀小试
2
判断下命题是否正确。 • 对角线相等的四边形是矩形。 • 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 • 有一个角是直角的四边形是矩形。 • 四个角都是直角的四边形是矩形。 • 四个角都相等的四边形是矩形。 • 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 • 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
特殊平行四边形矩形的性质和判定解析
证明后的结论,以后可以直接运用.
等腰梯形的性质
第4页/共18页
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,∵∠A=∠D或∠B=∠C,∴AB=DC.
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.
求证:四边形ABCD是矩形.
分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:∴AB=CD,AB∥CD.
∵AC=DB,BC=CB,
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴∠ABC=900.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定
定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.
平行四边形的性质
第2页/共18页
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.
∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
特殊的平行四边形之间呢？
还记得它们与平行四边形的关系吗?
能用一张图来表示它们之间的关系吗?
四边形之间的关系
第7页/共18页
定理:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形,
平行四边形与矩形的性质与判定
平行四边形与矩形的性质与判定平行四边形和矩形是几何学中常见的两种多边形形状。
它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论平行四边形和矩形的性质以及如何判定它们。
一、平行四边形的性质平行四边形是具有特殊性质的四边形。
它们的边是两两平行的，并且对角线相互平分。
以下是平行四边形的性质：1. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线的交点是对角线的中点。
2. 边平行：平行四边形的边是两两平行的，意味着任意两条边之间的夹角相等。
3. 同边内角和为180度：平行四边形的同边内角（相邻内角）之和等于180度。
4. 相对角相等：平行四边形的相对角相等，即对应的两对内角相等。
二、矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它的所有内角都是直角。
以下是矩形的性质：1. 边平行：矩形的边是两两平行的。
2. 内角为直角：矩形的所有内角都是直角（90度角）。
3. 对角线相等：矩形的两条对角线相等。
4. 对边相等：矩形的对边（相对的两条边）相等。
三、判定平行四边形和矩形的方法除了了解它们的性质以外，判定一个四边形是否为平行四边形或矩形也是重要的。
下面是判定的方法：1. 判定平行四边形：可以使用如下方法判定一个四边形是否为平行四边形：a. 判定边平行：如果一个四边形的两对边分别平行，则它是一个平行四边形。
b. 判定对边相等：如果一个四边形的对边相等，则它是一个平行四边形。
c. 判定同边内角和为180度：如果一个四边形的同边内角之和等于180度，则它是一个平行四边形。
2. 判定矩形：可以使用如下方法判定一个四边形是否为矩形：a. 判定边平行：如果一个四边形的两对边分别平行，则它是一个矩形。
b. 判定对角线相等：如果一个四边形的对角线相等，则它是一个矩形。
c. 判定内角为直角：如果一个四边形的所有内角都是直角，则它是一个矩形。
在实际应用中，我们可以根据以上的性质和判定方法来解决问题。
无论是求解出平行四边形和矩形的性质，还是判定一个四边形是否为平行四边形或矩形，都是需要我们对几何学的相关概念和定理进行熟练运用。
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平行四边形矩形的性质与判定
1.平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对边平行
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
2.下列说法正确的是（ ）．
A ．有两组对边分别平行的图形是平行四边形
B ．平行四边形的对角线相等
C ．平行四边形的对角互补，邻角相等
D ．平行四边形的对边平等且相等 3.在四边形ABCD 中，从（1）AB ∥ CD ，（2）BC ∥ AD （3）AB=CD （4）BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）
A 3种
B 4种
C 5种
D 6种 4.在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C=2：3：2，则∠D=（ ）
A. 36°
B. 108°
C. 72°
D. 60° 5.平行四边形的周长为24cm ，相邻两边长的比为3：1，•那么这个平行四边形较短的边长为（ ）．
A. 6cm
B. 3cm
C. 9cm
D. 12cm
6. 一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm 和5cm ，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（ ）． A ．10cm 2 B ．
cm 2 C ．5cm 2 D ．
cm 2 7.如下图1，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点．当四边形ABCD 满足条件______时，△PBA 的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可）．
8.如上图2，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线交BC 于点E ．若AB=16cm ，AD=25cm ，则BE=______，EC=________．
9.平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为________
10.一个四边形的边长依次是a 、b 、c 、d 且
，则这个四边形的形状为 ；其理由是 .
11.如上图3：平行四边形ABCD 的周长为32cm ，一组邻边AB ：BC ＝3:5，∠B ＝600，E 为AB 边上的任意一点，则ΔCED 的面积为 .
bd ac d c b a 222222+=+++
12.如上图4，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为.
13.如图：平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为对角线BD 上的点，且BE ＝DF ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由
.
14.如图,平行四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, 求AE, EF, BF 的长?
15.如图：平行四边形ABCD ，在AB 的延长线上截取BE ＝AB ，BF ＝BD ，连结CE 、DF 交于G 点，试说明：CD ＝CG
矩形
1.如下图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）．
A.98
B.196
C.280
D.284
2.如上图2，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动（）
A.变短
B.变长
C.不变
D.无法确定
3.如上图3，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（） A.15 B.30 C.45
D.60
4.如上图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF等于（）
A.7
5 B.
12
5 C.
13
5 D.
14
5
5.如上图2，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6. 将矩形纸片ABCD按如上图3的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB
＝3，折叠后，点C落在AD边上的C
1处，并且点B落在EC
1
边上的B
1
处．则BC
的长为（）．
A.3
B.2
C.3
D.3
2
7. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．
8. 如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
9.如图，在矩形ABCD中，E为DC上一点，且BE=BA，∠EAC=15度，则矩形两边AD:AB的值为 .
10.如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF是BC的四分之一，则四边形DBFE的面积为平方厘米．
11.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
12.如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°，AD+CD=10，AE=2，求AD的长．
13.如图, 在矩形ABCD中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB平分 CBH.。