高等几何第4章(新)
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
•本节主要内容 平面形与平面构形
完全四点形与完全四线形
4 2 3 6
4 3 2 6
p69
调和性质——调和比的作图
p71 p73
德萨格对合定理
P P 72 73
15
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 一、平面形
称为顶点
c
p , q , r 称为对顶线 pqr 称为对角三角形
r
p
q
21
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 1.定义 说明： (1)完全四点形的构形代号为
4 3 2 6 6 2 3 4
完全四线形的构形代号为 （2）这两个图形互为对偶图形.
德萨格三角形定理及对 偶定理示意图
6
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
1.证Desargues三角形对偶定理: [证]以直线 a, b, c, a, b, c 既表示直线 又表示这些直线的线坐标向量，要证三 线 AA, BB, CC 共点，只需证它们 线性相关即可。 由于直线 l 过直线 a 和 a 的交点， 故 l 可表示为 a 与 a 的线性组合：
如图, 经过三个对边点X,Y,Z 各有一个调和线束, 比如X
如图, 在三条对顶线x, y, z上 各有一个调和点列, 比如x
(ss' , tt ' ) 1.
( SS' , TT ' ) 1.
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲 2.应用
（3）利用射影的观点，可以把德氏定理及逆 定理改造成不同形式的初等几何定理（如 例4.2、例4.3，习题4.8、4.9等）。 （4）本节中的三个例题都体现了高观点下的 初等数学：∞做为数的引入，一方面使问题 更加清晰，另一方面使证明更加简单。
_
（1）完全四线形调和性质的证明 设AB、SQ、RT是完全四线形的三 S 条对角线，SQ、RT 交AB于C、D， Q S 则ABCD RTED _ BACD，于是 R E ABCD BACD T 从而（AB，CD）=（BA，CD） Q 1 = ( AB, CD) C B A 而，A、B、C、D互异，所以 图4.7 （AB，CD）=-1
A
C’
B’
B
A‘
C
而三点P 、Q、R 共线(均位于无穷远线上)， 故由Des arg ues 对偶定理知， 、BB、CC AA 共点，即三角形三中线共点.
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
例2 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分 别为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三 点共线. 分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找 出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应 边的交点恰为X, Y, Z即可. 由题设, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个 字母, 试想： BC EF X A D AD CA FD Y 三点共线. B E BE 共点于垂心G AB DE Z C F CF
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 定理' 完全四线形的每一条对 定理 完全四点形通过每一个对 角线上有一组调和点列，即这直 角点有一组调和线束，即通过这 线上的两个顶点和对角三角形的 对角点的两边和对角三角形的两 两个顶点. 条边.
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一、本节主要内容
Desargues三角形定理
Desargues三角形对偶定理 应用
在初等几何中 在射影几何中
4
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4.1 德萨格三角形定理
二、定理 Desargues三角形定理：ABC和ABC中，若
AA, BB, CC 共点，则
P BC BC, Q CA CA, AB AB R
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 二、 平面构形 为了刻画平面形，我们引入“平面构形”，用 如下的符号表示：
点（1） 线（2）
点（1） 线（2）
a11
a21
a`12
a22
a11 a12 或 a a 21 22
a a 其中 a11 表示平面形中点的个数， 22 表线的个数，12 a 表过每个点的线的数目， 21 表每条线上点的数目， a a 且 aii ij a jj ji
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高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）
第四章 德萨格定理、四点形 与四线形
云南师范大学数学学院
1
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提
纲
4.1 德萨格三角形定理 一、本节主要内容 二、德氏定理 三、 重要内容例讲 4.2完全四点（角）形与完全四线（边） 一、平面形 二、平面构形 三、完全四点形与完全四线形 4.3 帕普斯定理 一、帕普斯定理 二、帕普斯定理的应用 第四章 小结
三点共线
Desargues三角形对偶定理： ABC和ABC中，若
P BC BC, Q CA CA, AB AB R
三点共线，则
AA, BB, CC
三线共点。
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4.1 德萨格三角形定理 S
B
b
A
c
a
b
C
P
Q
l
R
A
C
a
c
B
图4.1
• 在射影平面上以点、直线所组成的图形叫 做平面形。
• 平面形分为：
简单平面形 完全平面形
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1.简单平面形 （1）点形：n点（无三点共线）及它们顺次 两两的连线构成的图形。 （2）线形： n线（无三线共点）及它们顺次 两两的交点构成的图形。 2.完全平面形： （1）点形：n点（无三点共线）及每两点连 2 Cn 条） 构成的图形。 线（ （2）线形： n线（无三线共点）及每两线的 2 交点（ Cn 个） 构成的图形。
S
R E
Q
C
T
B
D
图4.8
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4.2完全四点（角）形与Baidu Nhomakorabea全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 注意：图4.8上的共线四点 A,B,C,D具有这样的性质： 有一个完全四点形QRST存 在，它的一双对边通过A， 一双对边通过B,另一双对边 分别通过C和D.我们可以把 这样的四点纯射影地定义为 调和点列.这样可以使调和 点列脱离前面利用距离的度 量定义。
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第四章 德萨格定理、四点形与四线形
本章地位 由一维射影几何学开始往二维 几何学过渡。
本章内容
从本章起介绍二维射影几何即 平面上的射影几何，首先讲德 萨格三角形定理，其次是关于 完全四点形与四线形的调和性 质以及德萨格对合定理，最后 讲帕普斯定理。
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4.1 德萨格三角形定理
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
二、 平面构形 例如三角形的构形为：
3 2 10 3
2 3 3 10
德萨格构形为：
注：如果是在三维空间，由于多一个第三类元 素平面，其构形常用三阶矩阵表示。
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 1.定义 定义4.1 平面内无三点共线的四点及其两两连线 所构成的图形，称为完全四点形（完全四角形）。 （见右图）其中： A A,B,C,D称为完全四点形的顶点, AB,BC,CD,DA,AC,BD称为边, P B D P,Q,R称为对边点(对角点), PQR 称为对角三角形.
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲 2.应用
说明： （1）德氏定理的对偶定理为其逆定理，这两 个定理是平面射影几何中最重要的基础定理 之一，它们表明了两个三点形（三线形）处 于透视状态下的几何特征。 （2）与中点、高线、垂心有关的共点线或共 线点问题，常可利用 Desargues 对偶定理进 行证明，关键是利用平行线交于无穷远点， 而所有的无穷远点都在无穷远线上。对于共 线点的问题常化归为线共点的问题。
C
Q
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R
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 1.定义
定义4.1 平面内无三线共点的四直线及其两两交点 所构成的图形，称为完全四线形（完全四边形）。 （见右图）其中：
a, b, c, d 称为完全四线形的边
a
b
d
a b, b c, c d , d a, a c, b d
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形
c
S
R
Q
(ⅰ)过点Ｃ任作一直线
T
A
C
B
D
c
S
T
R
Q
ｃ,于其上任取两点Ｑ和 Ｓ； (ⅱ)作点Ｒ=AS×BQ， T=AQ×BS; (ⅲ)连ＲＴ交直线AB于 Ｄ，则Ｄ为所求作。
A
D
B
C
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 (3)调和比的作图 作法二(此即习题3.13) （参看下页图） (ⅰ)以AB为直径作圆； (ⅱ)过C作AB的垂线交圆于点T（过C作圆的切线，T 为切点）； (ⅲ)以Ｔ为切点作圆的切线交AB于D（过T作AB的垂 线交AB于D）；则D即为所求作。
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
例3（P.66例4.1）. 已知平面上二直线 a, b, P为不在a, b上的一点. 不定出a, b的 交点a×b, 过P求作直线c, 使c经过a×b. 解. 作法： (1). 在a, b外取异于P的一点O. 过O作三直 线l1, l2, l3. 设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2). 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3. (3). 连A2A3, B2B3交于Q. (4). PQ=c为所求直线. 证明：由作法，三点形A1A2A3, B1B2B3有透视中心O. 故其对 应边的交点P=A1A3×B1B3, Q=A2A3×B2B3以及a×b三点共线，即 c=PQ经过a, b的交点.
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
其中 a b ( a b) 从左边看表示两线 a,b 的交点 c ，从右边看表示两线a’,b’的 交点c’ 。故代表直线CC’，其余类推。 由于: AA BB CC 0 而组合系数1，1，1不为0，所以三线线性相 关，因而共点 。
l a a
①
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
同理:
l b b ② l c c ③
③ - ① 得：
①-② ②-③
CC a b ( a b) AA b c ( b c) BB c a ( c a)
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D
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 （2）完全四点形调和性质的 证明（取对角点A为例） 设SRQT为一完全四点形， 要证A(RT，BE）=-1. 以直线RD截线束，得： A(RT，BE）=A（RT，DE). =(RT,DE) S A 而RTED ABCD ,所以 A(RT，BE)=(RT,DE) =(AB,CD)=-1
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲 2.应用
例1 证明三角形三中线共点。 证：设 ABC三边中点分别为A、B、C （见右图）考察 ABC和 ABC ，它们的 对应边BC / / BC ,因此 BC BC P .同理， CA C A Q，AB AB R
S
R E
Q
T
A
C
B
D
图4.8
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 (3)调和比的作图 ①设已知共线三点A、B、C,求作点D，使(AB,CD)=-1 [解]（作法一）（参看下页图） 首先过点Ｃ任作一直线ｃ,于其上任取两点Ｑ和Ｓ； 其次，作点Ｒ＝AS×BQ，T=AQ×BS; 最后，连ＲＴ交直线AB于Ｄ，则Ｄ为所求作。 事实上，由所作，QTSR为一完全四线形，由完全 四线形的调和性质，即知（AB,CD）=-1
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
•本节主要内容 平面形与平面构形
完全四点形与完全四线形
4 2 3 6
4 3 2 6
p69
调和性质——调和比的作图
p71 p73
德萨格对合定理
P P 72 73
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 一、平面形
称为顶点
c
p , q , r 称为对顶线 pqr 称为对角三角形
r
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 1.定义 说明： (1)完全四点形的构形代号为
4 3 2 6 6 2 3 4
完全四线形的构形代号为 （2）这两个图形互为对偶图形.
德萨格三角形定理及对 偶定理示意图
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
1.证Desargues三角形对偶定理: [证]以直线 a, b, c, a, b, c 既表示直线 又表示这些直线的线坐标向量，要证三 线 AA, BB, CC 共点，只需证它们 线性相关即可。 由于直线 l 过直线 a 和 a 的交点， 故 l 可表示为 a 与 a 的线性组合：
如图, 经过三个对边点X,Y,Z 各有一个调和线束, 比如X
如图, 在三条对顶线x, y, z上 各有一个调和点列, 比如x
(ss' , tt ' ) 1.
( SS' , TT ' ) 1.
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三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲 2.应用
（3）利用射影的观点，可以把德氏定理及逆 定理改造成不同形式的初等几何定理（如 例4.2、例4.3，习题4.8、4.9等）。 （4）本节中的三个例题都体现了高观点下的 初等数学：∞做为数的引入，一方面使问题 更加清晰，另一方面使证明更加简单。
_
（1）完全四线形调和性质的证明 设AB、SQ、RT是完全四线形的三 S 条对角线，SQ、RT 交AB于C、D， Q S 则ABCD RTED _ BACD，于是 R E ABCD BACD T 从而（AB，CD）=（BA，CD） Q 1 = ( AB, CD) C B A 而，A、B、C、D互异，所以 图4.7 （AB，CD）=-1
A
C’
B’
B
A‘
C
而三点P 、Q、R 共线(均位于无穷远线上)， 故由Des arg ues 对偶定理知， 、BB、CC AA 共点，即三角形三中线共点.
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
例2 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分 别为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三 点共线. 分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找 出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应 边的交点恰为X, Y, Z即可. 由题设, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个 字母, 试想： BC EF X A D AD CA FD Y 三点共线. B E BE 共点于垂心G AB DE Z C F CF
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 定理' 完全四线形的每一条对 定理 完全四点形通过每一个对 角线上有一组调和点列，即这直 角点有一组调和线束，即通过这 线上的两个顶点和对角三角形的 对角点的两边和对角三角形的两 两个顶点. 条边.
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一、本节主要内容
Desargues三角形定理
Desargues三角形对偶定理 应用
在初等几何中 在射影几何中
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4.1 德萨格三角形定理
二、定理 Desargues三角形定理：ABC和ABC中，若
AA, BB, CC 共点，则
P BC BC, Q CA CA, AB AB R
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 二、 平面构形 为了刻画平面形，我们引入“平面构形”，用 如下的符号表示：
点（1） 线（2）
点（1） 线（2）
a11
a21
a`12
a22
a11 a12 或 a a 21 22
a a 其中 a11 表示平面形中点的个数， 22 表线的个数，12 a 表过每个点的线的数目， 21 表每条线上点的数目， a a 且 aii ij a jj ji
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第四章 德萨格定理、四点形 与四线形
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4.1 德萨格三角形定理 一、本节主要内容 二、德氏定理 三、 重要内容例讲 4.2完全四点（角）形与完全四线（边） 一、平面形 二、平面构形 三、完全四点形与完全四线形 4.3 帕普斯定理 一、帕普斯定理 二、帕普斯定理的应用 第四章 小结
三点共线
Desargues三角形对偶定理： ABC和ABC中，若
P BC BC, Q CA CA, AB AB R
三点共线，则
AA, BB, CC
三线共点。
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4.1 德萨格三角形定理 S
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图4.1
• 在射影平面上以点、直线所组成的图形叫 做平面形。
• 平面形分为：
简单平面形 完全平面形
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1.简单平面形 （1）点形：n点（无三点共线）及它们顺次 两两的连线构成的图形。 （2）线形： n线（无三线共点）及它们顺次 两两的交点构成的图形。 2.完全平面形： （1）点形：n点（无三点共线）及每两点连 2 Cn 条） 构成的图形。 线（ （2）线形： n线（无三线共点）及每两线的 2 交点（ Cn 个） 构成的图形。
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图4.8
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4.2完全四点（角）形与Baidu Nhomakorabea全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 注意：图4.8上的共线四点 A,B,C,D具有这样的性质： 有一个完全四点形QRST存 在，它的一双对边通过A， 一双对边通过B,另一双对边 分别通过C和D.我们可以把 这样的四点纯射影地定义为 调和点列.这样可以使调和 点列脱离前面利用距离的度 量定义。
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第四章 德萨格定理、四点形与四线形
本章地位 由一维射影几何学开始往二维 几何学过渡。
本章内容
从本章起介绍二维射影几何即 平面上的射影几何，首先讲德 萨格三角形定理，其次是关于 完全四点形与四线形的调和性 质以及德萨格对合定理，最后 讲帕普斯定理。
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4.1 德萨格三角形定理
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
二、 平面构形 例如三角形的构形为：
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德萨格构形为：
注：如果是在三维空间，由于多一个第三类元 素平面，其构形常用三阶矩阵表示。
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 1.定义 定义4.1 平面内无三点共线的四点及其两两连线 所构成的图形，称为完全四点形（完全四角形）。 （见右图）其中： A A,B,C,D称为完全四点形的顶点, AB,BC,CD,DA,AC,BD称为边, P B D P,Q,R称为对边点(对角点), PQR 称为对角三角形.
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲 2.应用
说明： （1）德氏定理的对偶定理为其逆定理，这两 个定理是平面射影几何中最重要的基础定理 之一，它们表明了两个三点形（三线形）处 于透视状态下的几何特征。 （2）与中点、高线、垂心有关的共点线或共 线点问题，常可利用 Desargues 对偶定理进 行证明，关键是利用平行线交于无穷远点， 而所有的无穷远点都在无穷远线上。对于共 线点的问题常化归为线共点的问题。
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三、完全四点形与完全四线形 1.定义
定义4.1 平面内无三线共点的四直线及其两两交点 所构成的图形，称为完全四线形（完全四边形）。 （见右图）其中：
a, b, c, d 称为完全四线形的边
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a b, b c, c d , d a, a c, b d
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三、完全四点形与完全四线形
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(ⅰ)过点Ｃ任作一直线
T
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ｃ,于其上任取两点Ｑ和 Ｓ； (ⅱ)作点Ｒ=AS×BQ， T=AQ×BS; (ⅲ)连ＲＴ交直线AB于 Ｄ，则Ｄ为所求作。
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4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 (3)调和比的作图 作法二(此即习题3.13) （参看下页图） (ⅰ)以AB为直径作圆； (ⅱ)过C作AB的垂线交圆于点T（过C作圆的切线，T 为切点）； (ⅲ)以Ｔ为切点作圆的切线交AB于D（过T作AB的垂 线交AB于D）；则D即为所求作。
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三、 重要内容例讲
例3（P.66例4.1）. 已知平面上二直线 a, b, P为不在a, b上的一点. 不定出a, b的 交点a×b, 过P求作直线c, 使c经过a×b. 解. 作法： (1). 在a, b外取异于P的一点O. 过O作三直 线l1, l2, l3. 设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2). 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3. (3). 连A2A3, B2B3交于Q. (4). PQ=c为所求直线. 证明：由作法，三点形A1A2A3, B1B2B3有透视中心O. 故其对 应边的交点P=A1A3×B1B3, Q=A2A3×B2B3以及a×b三点共线，即 c=PQ经过a, b的交点.
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
其中 a b ( a b) 从左边看表示两线 a,b 的交点 c ，从右边看表示两线a’,b’的 交点c’ 。故代表直线CC’，其余类推。 由于: AA BB CC 0 而组合系数1，1，1不为0，所以三线线性相 关，因而共点 。
l a a
①
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
同理:
l b b ② l c c ③
③ - ① 得：
①-② ②-③
CC a b ( a b) AA b c ( b c) BB c a ( c a)
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三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 （2）完全四点形调和性质的 证明（取对角点A为例） 设SRQT为一完全四点形， 要证A(RT，BE）=-1. 以直线RD截线束，得： A(RT，BE）=A（RT，DE). =(RT,DE) S A 而RTED ABCD ,所以 A(RT，BE)=(RT,DE) =(AB,CD)=-1
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4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲 2.应用
例1 证明三角形三中线共点。 证：设 ABC三边中点分别为A、B、C （见右图）考察 ABC和 ABC ，它们的 对应边BC / / BC ,因此 BC BC P .同理， CA C A Q，AB AB R
S
R E
Q
T
A
C
B
D
图4.8
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云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 (3)调和比的作图 ①设已知共线三点A、B、C,求作点D，使(AB,CD)=-1 [解]（作法一）（参看下页图） 首先过点Ｃ任作一直线ｃ,于其上任取两点Ｑ和Ｓ； 其次，作点Ｒ＝AS×BQ，T=AQ×BS; 最后，连ＲＴ交直线AB于Ｄ，则Ｄ为所求作。 事实上，由所作，QTSR为一完全四线形，由完全 四线形的调和性质，即知（AB,CD）=-1