4、1二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版)
“杨辉三角”与二项式系数性质 课件
是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值
n
当 n 是偶数时，中间一项_C__2n __取得最大值
n-1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项__C__n2__，__C_n2___相等，同时取得最大值
各二项式 系数的和
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____2_n __. C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_2_n_－_1_.
• (2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问 题时，往往运用组合数公式．
•
如图所示，在杨辉三角中，猜想第n条和第(n
＋1)条斜线上各数之和与第(n＋2)条斜线上各数之和的关
系，并证明你的结论．
[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论， 然后再证明它的一般性．
“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数__相__等____． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的___和___， 即 Cnr＋1＝__C_rn_－_1＋__C__rn___．
2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“___等__距__离___”的两个二项式系数相等(即 Cmn＝Cnn－m)．
∴A＝12(1－316)． 即 C2n＋C4n＋C6n＋…＋Cnn＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)．
[辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶 次方项；二是没有弄清 C2n＋C4n＋…＋Cnn的准确含义．
[正解] 设 f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次方项系数和为 A，偶次 方项系数和为 B，则依题意可得，A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，且 B －A＝316，
3.3 二项式定理与杨辉三角(二项式定理)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
+
+
3
2
1
=+
= 2 + 2 + 2
= 3 + 32 + 3 2 + 3
+ 4 = 4 + 43 + 62 2 + 4 3 + 4
根据上述分析，你能写出 + 5 的展开式吗？
+
5
= 50 5 +51 4 + 52 3 2 + 53 2 3 + 54 4 + 55 5
−1
+ ⋯ … + −1 + 1
−
+
⋯ … + −1 .
【解析】 解答本题可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求
解．
原式= 0 + 1 +1 + 1 −1 −1 + ⋯ … + + 1 − −1 + ⋯ … +
= 3 + 32 + 3 2 + 3
= 4 + 43 + 62 2 + 4 3 + 4
分析
（1）右侧的项数比左边的次数大
；
（2）各式有一定的对称性，都是按照a的
（3） + 的第k+1项式定理
【尝试与发现】观察下面的等式：
)6的展开式中的常数项为
.
四 课堂练习
【练习3】已知
【答案】270
32
2 5
+ 3 的展开式中所有项的系数之和为 32，则展开式中的常数项为
高二数学《二项式定理-杨辉三角》详说课件
1答案 2答案
令a=1，b=－1得
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律： (a+b)1…………… 1 1
(a+b)2……………1
2 1
(a+b)3…………1 3 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?
思考3
2答案
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2 1.求证：
市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。5分钟线图上，在之前小幅下跌到该线下方后，价格温和反弹上涨到100线移动均线上方。最后一步的止损位并没有 威胁性，并且价格迅速飙升。市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。在此轮上涨过程中，不应该有恐惧。当然，价格上涨并且回调到前期高点(见灰线)下 方，但是，在它达到100线移动均线前，它形成一个v形反转。价格在1.2891见顶，自最后的回调低点又上涨了将近100个基点。我在1.272 5价位做多。价格现在是1. 289 1。伴随趋势万事顺利。 然而，随着价格触及1.291 5-1.293 1的关键阻力位(月度高点)，现在是时候思考未来的情况并计划下一次交易了，是时候考虑哲时退出交易了。在交易日以及交易之初，这看起来似乎不可能， 但是,1. 291 5-1. 293 1的月度交易高点近在眼前。这是可能会导致兑现部分利润并在第一次检验时抛售的价位水平。精明的交易者预测到趋势，赚取了165个基点的利润，他们可能在此水平 抛售，或者兑现部分利润，他们知道，如果价格上涨到1.293 1，他们就会买入。这是非常健康的资金管理方式，并且该交易很合理。在市场走得越来越高时，交易者卖出(做空)，他们也会在 此水平卖出。在他们的思想中，这是回调的时刻，可以让其重返盈亏平衡点。千万不要成为这样的交易者!如果价格的确发现了卖方，并且走低，该出现的情况是买入并改建低点支撑位。为了 兑现利润(或退出),我总是需要一个卖出的技术面因素。仅仅因为产生利润就卖出并不是一个好理由。然而,依据在1. 291 5-1. 293 1关键阻力位卖出就是一个卖出的好理由。它应该适一个关 键界限。界限会给我们提供交易的理由。除了1.291 5-1. 293 1区城外,还有没有其他可以卖出的区域?,1. 289 1-1. 293 1仍有40个基点。因为我总是要展望未来，并且我的图表是动态，而非 静态的.所以存在三种退出交易的选择。 选择方案1依据顶部趋势(图11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时，它不仅对通过连接更高低点绘制牛市趋势线是重要的，而且对连接图中更高的高点也是很重要的。 依据顶部趋势(图 11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时在图中，当最后一次平仓做空仓位时，市场已经把价位推升到了顶部趋势线。该线连接着该交易日的高点。这个价位水平出现在1.289 1。这是低风险 卖出界限吗?是的!依犯顶部趋势线界限卖出时，我的风险是什么?我确实有风险，因为我正在把自己带离自己想要处于的趋势。此时，我的风险是，是否价格会上涨到趋势线上方，并且突破到 月度高点1.293 1上方。如果出现这种情况，我需要在突破时买入。因此，通过在这里卖出，我会放弃40个基点的利润，并且必须在新突破时买入。可以通过其他途径界定风险。我可能依靠 1.289 1区域的趋势线卖出，但是，如果价格上涨到顶部趋势线上方7-10个基点(1. 289 8 -1. 290 1)，我就会买回自己的仓位。如果价格带最上涨到趋势线上方，就会出现额外的空头回补买 盘，这会迅速把价格推升到1.293 1,如果依据1.290。区域买入，我只会把止损放到趋势线下方5-10个基点的1.288 5。逻辑是，如果价格突破这条明显的趋势线，之后突破失败，回调下跌就有 可能自该点开始。因此，在这种选择中，在趋势线上兑现利润时，我所冒的风险为12-20个基点。这是我无法拒绝的选择。我依据界限进行交易，我已经界定了风险，并且我制订了明确的计划。 如果市场回调下跌，我可以在一个更合适的水平上重建多头仓位，或者，如果市场没有回调，并且继续走高，我会返回趋势重新买入。我取得165个基点的利润，所有选择都可以重建多头仓位。 这是抓紧趋势的回报。在逻辑上也完全说得通。对良好的趋势交易来讲.没有恐惧，只有快乐。
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
探究点 1 与杨辉三角有关的问题 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第 5 行除去两端
数字 1 以外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是( )
A．第 6 行 C．第 8 行
B．第 7 行 D．第 9 行
(2)如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个 锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( )
探究点 2 二项式系数和问题 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5.
【解】 (1)令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令 x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5 的通项 Tr＋1＝Cr5(－1)r·25－r·x5－r 知 a1，a3，a5 为负 值，
2
等，且同时取到最大值．
(3)各二项式系数的和： ①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. ②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
对二项式性质的理解 (1)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨 论对 r 的限制；求有理项时要注意到次数等限制条件． (2)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但 这并不意味着等号两边的二项式系数个数相等．当 n 为偶数 时，奇数项的二项式系数多一个；当 n 为奇数时，奇数项的 二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同． (3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项 式系数与各项系数相等时，二者才一致．
个二项式系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Cnr＝Cnn－r.
4、1二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版)
二项式定理知识要点（一）探究34a b a b ++,（）（）的展开式 问题1: 展开式中每一项是怎样构成的？ 展开式有几项？问题2：将上式中, 若令 ,则展开式又是什么？思考一: 合并同类项后, 为什么 的系数是3？问题3: 的展开式又是什么呢？结论: ；（二）猜想、证明“二项式定理”问题4: 的展开式又是什么呢？思考二：（1） 将 展开有多少项？（2）每一项中, 字母 的指数有什么特点？（3）字母 指数的含义是什么？ 是怎么得到的？（4）如何确定 的系数？二项式定理:0111222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++()n *∈N ；（三）归纳小结: 二项式定理的公式特征（1）项数: _______；（2）次数: 字母 按降幂排列, 次数由____递减到_____；字母 按升幂排列, 次数由____递增到______；（3）二项式系数: 下标为_____, 上标由_____递增至_____；（4）通项： __________；指的是第 项, 该项的二项式系数为______；（5）公式所表示的定理叫_____________, 右边的多项式叫做 的二项展开式。
典型例题例1.求 的展开式；例2.① 的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求9)1(x x -的展开式中含3x 的系数。
变式练习1.写出 的展开式；2.求 的展开式的第3项；3.写出n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式的第1r +项；4. 的展开式的第6项的系数是 ；例3.求 的展开式中 的系数。
例4.在 的展开式中, 求 的系数例5.求展开式中的系数例6. , 则＝（）A. 9B. 10C. －9D. －10例7、已知的展开式中, 第五项与第三项的二项式系数之比为14: 3, 求展开式的常数项高考真题1. 的展开式中, 常数项为, 则（）A. B. C. D.2、的展开式中常数项为. （用数字作答）3.若的二项展开式中的系数为, 则（用数字作答）.随堂练习1. 的展开式中常数项是。
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式 中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
[典例 2] 在二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，
得6分
则3k5≥－1 6k≥－1 kk，＋3 1，解得72≤k≤92. 又因为 k 为整数，所以 k＝4，(10 分)
所以展开式中第 5 项系数最大．(12 分)
26
26
系数最大的项为 T5＝C4534x 3 ＝405x 3 .
归纳升华 1.求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对 (a＋b)n 中的 n 进行讨论： (1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展
开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去．
规范解答：令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝ 4n.
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章3.3二项式定理与杨辉三角课件
3、二项式系数先递增后递减 ，变化过程是对称的，两边的 数都是1
4、n是奇数，展开式有偶数个项，最中间两项的二项式系数
是最大的
5、n是偶数，展开式有奇数个项，最中间一项的二项式系数
是最大的
n0 n 1 n2 n3
杨辉三角
题型一：求特定项的系数
(1) a1 a2 a7 ；
(2) a1 a3 a5 a7 ;
(3) a0 a2 a4 a6 ；
Tk1 C7k (2)k xk
解：令 f (x) (1 2x)7 函数方程思想的体现
(4) | a0 |
a0 a1 a2 a7 f (1) a0 f (0) a0 a1 a2 a6 a7 f (1)
b，7 (求1 x)7
b0 b1 的b2值。 b6
令 1 x 原t 式变为 (3 2t)7 b0 b1t b2t 2 b7t 7 于是 b7 C77 (2)7 128
换元法 转化与化归思想
题型二：赋值法的应用
变式2-1： (1 2x)7 b0 b1(1 x) b2 (1 x)2 b，7 (求1 x)的7 值。b6 解： 令 1 x 原t 式变为
(2)求展开式中系数最大的项。
解:(1) f (1) 2n 992 即 4n 2n 992 n 5
n 是奇数，因此二项式系数最大的项是第3，4项，分别是
2
2
22
T3 C52 (x 3 )3(3x2 )2 90x6 T4 C53 (x 3 )2 (3x2 )3 270x 3
题型三：最大系数问题
二项式定理与杨辉三角
主讲人： 时间：202X年1月5日
学习目标
“杨辉三角”与二项式系数的性质课件
[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通 过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使 问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔 行看，从多角度观察．
题型二 二项展开式的系数和问题
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． [思路探索] 本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析 问题、解决问题的能力．可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x＝0或x＝±1解决问 题．
题型三 求二项展开式中的最大项问题
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的 二项式系数和大 992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
审题指导 (1)
(2)
由1知
―→
通项公式
―→
Tr＋1≥首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C32，第 4 项是 C31，…，第 17 项是 C120，第 18 项是 C110，第 19 项是 C121． ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C42)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C121)＝2＋120×9 ＋C132＝274．
最大项
[规范解答] (1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋
3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n．由题意知，
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章3.3二项式定理与杨辉三角(1)课件(共22张PPT)
高二数学 人教B版 选择性 必修第 二册第 三章3. 3二项 式定理 与杨辉 三角（1 ）课件 （共22 张PPT ）
（2）求
x
1 x
9
的展开式中含
x
3
的项.
解：因为
x
1 x
9
[x (x1)]9,
所以展开式中的第k+1项为
Tk 1 C9k x9k (x1)k (1)k C9k x9k k (1)k C9k x92k ,
也就是说 Cn0 Cn2 Cn4 ... Cn1 Cn3 Cn5 ... 结论2：在 (a b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数和
高二数学 人教B版 选择性 必修第 二册第 三章3. 3二项 式定理 与杨辉 三角（1 ）课件 （共22 张PPT ）
对于(1 x)10，令x=1，可得
210
C100
C110
C120
...
C10 10
②
令x = – 1，可得
(1 1)10
C100 (1)0
C110 (1)1
C120 (1)2
我们知道：(a b)1 (a b) (a b)2 a2 2ab b2
而且
(a b)3 (a b)2(a b) (a2 2ab b2 )(a b) a3 a2b 2a2b 2ab2 b2a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
高二数学 人教B版 选择性 必修第 二册第 三章3. 3二项 式定理 与杨辉 三角（1 ）课件 （共22 张PPT ）
高二数学 人教B版 选择性 必修第 二册第 三章3. 3二项 式定理 与杨辉 三角（1 ）课件 （共22 张PPT ）
小结：
求二项展开式中指定项的解题程序： S1：确定定理中的a , b , n 在题目中指的都是什么； S2：写通项公式Tk 1，通过指数运算进行整理； S3：若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指 数等于 t（常数项的指数为0），计算出 k ； S4：将 k 代入通项公式 Tk 1 ，即为所求．
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
∴| a0|＋| a1|＋| a2|＋…＋| a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1 ＋a3＋a5＋a7)＝2 187.
法二 | a0|＋| a1|＋| a2|＋…＋| a7|为(1＋2x)7的展开 式中各项系数的和，∴令x＝1，得| a0|＋| a1|＋| a2|＋…＋| a7|＝37＝2 187.
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② 由①－②， 得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37＝－2 188， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094. (3)由①＋②，得 2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37＝2 186， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝1 093. (4)法一 ∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6均大 于0，而a1，a3，a5，a7均小于0，
点评：利用杨辉三角和二项式系数的关系，将问 题转化，利用组合数的性质求解问题．
题型二 求展开式的系数和
例2 已知(1－2x)7＝a0＋a1 x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析：(1)令x＝0，则a0＝17＝1； 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. (2)令x＝－1，则
“杨辉三角”与二项式系数的性质
基础 梳理
1．二项式系数的性质．
(1)对称性：与首末两端“_等__距__离___”的两个二项式系数相等．
例如：C26＝_C__64___.
(2)增减性与最大值． 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如 果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大． (3)各项二项式系数的和．
03 教学课件_二项式定理与杨辉三角 (第1课时)(4)
这个表早在我国宋代数学家杨辉1261
年所著的《详解九章算法》一书里就出现
了,所不同的仅在于这里的表是用阿拉伯数
学表示,在那本书里是用汉字表示的,称为
“杨辉三角”.在欧洲,这个表被认为是法国数
学家帕斯卡发现的,杨辉三角的发现比欧洲
早500年左右,由此可见我国古代在数学方
面的成就.
尝试与发现
杨辉三角与二项式系数的性质
当堂达标
1.已知C0 +2C1 +22C2 +…+2nC =729,则C1 + C3 + C5 的值等于(
A.64
B.32
C.63
D.31
1
解析:C0 +2C
+…+2nC =(1+2)n=3n=729,
1
所以 n=6.所以C6
+ C63 + C65 =32.
答案:B
)
2.已知关于 x 的二项式
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 019|+|a2 020|=a0-a1+a2-a3+…-a2 019+a2 020=32 020.
尝试与发现
同学们根据二项式定理写出(a+b)n(n=0,1,2,3,4,5,6)的二项式系数.可以写成如下形式:
你能根据上述规律写出下一行的数值吗?
a
b
＋…＋C
a
b
＋…＋C
(a＋b) ＝____________________________________________
n
n
n
n
nb(n∈N )．
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二项式定理知识要点（一）探究34a b a b ++,（）（）的展开式 问题1：()()112233 a b a b a b +++（）展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题2：将上式中，若令123123, a a a a b b b b ======,则展开式又是什么？思考一：合并同类项后，为什么2a b 的系数是3？问题3：4a b +（）的展开式又是什么呢？结论：40413222334444444a b C a C a b C a b C ab C b +=++++（）；（二）猜想、证明“二项式定理”问题4：na b +（）的展开式又是什么呢？ 思考二：（1） 将na b +（）展开有多少项？ （2）每一项中，字母,a b 的指数有什么特点？ （3）字母,a b 指数的含义是什么？是怎么得到的？ （4）如何确定,a b 的系数？二项式定理：0111222()n n n n r n r r n nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ()n *∈N ；（三）归纳小结：二项式定理的公式特征 （1）项数：_______；（2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______；（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；（4）通项：1k T +=__________；指的是第1k +项，该项的二项式系数为______；（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做na b +（）的二项展开式。
典型例题例1、求6)12(xx -的展开式；例2、①7)21(x +的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求9)1(xx -的展开式中含3x 的系数。
变式练习1、写出7p q +（）的展开式；2、求623a b +（）的展开式的第3项；3.写出nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式的第1r +项；4、101x -（）的展开式的第6项的系数是 ；例3、求27(42)(2)x x x ++-的展开式中5x 的系数。
例4、在()5232x x ++的展开式中，求x 的系数例5、求()()()210111x x x ++++⋯++展开式中3x 的系数例6、21091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++L ，则9a ＝（ ）A ．9B ．10C ．－9D ．－10例7、已知22nx ⎫⎪⎭的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14：3，求展开式的常数项高考真题1、21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62、 821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）3、若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中6x 的系数为52，则a = （用数字作答）．随堂练习1、261(2)x x+的展开式中常数项是 。
2、已知9()x a +的展开式中常数项是8-，则展开式中3x 的系数是（ ） A. 168 B. 168- C. 336 D. 336-3、在8)22(-x 的展开式中，6x 的系数是 .（写出数字答案）4、8)1(-x 的展开式中5x 项的系数是 .5、()621x + 的展开式中所有有理项系数之和等于_________。
（用数字作答）6、在6212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中2x 项的系数是 （ ）（A ）30- （B ）60- （C ）30 （D ）60课后作业1、在()103-x 的展开式中，6x 的系数为；2、92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ； 3、1231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为 ； 4、 ()()10311x x +-的展开式中，含5x 项的系数是 ；5、 若()100a x +的展开式中98x 前的系数是9900，求实数a 的值。
6、10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 。
7、求25(1)(1)x x +⋅-的展开式中3x 的系数。
8、已知二项式102(3)3x x，(以下各题答案均用组合数表示)； （1）求展开式的第4项的二项式系数； （2）求展开式的第4项的系数； （3）求展开式的第4项。
9、求二项式210(2x x+的展开式中的常数项。
杨辉三角二项式系数的性质知识要点1、二项式系数表（杨辉三角） 填表找规律（使用课本表格）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2、二项式系数的性质()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rnC 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（因为m n mn n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅L ， ∴kn C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和∵1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L ， 令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++L L典型例题例1、在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和注：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=L L ；例2、设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012nn a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值例3、已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ； （2）017||||||a a a +++L ； （3）1357a a a a +++；例4、在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和； ②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； ④奇数项系数和与偶数项系数和； ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和；例5、已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项；例6、已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中，求二项式系数最大的项。
例7、（1）101()x x-的展开式中，系数最大的项为（ ）A ．第六项B ．第三项C ．第三项和第六项D ．第五项和第七项 （2）13(1)x -的展开式中系数最小的项为（ ） A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项 D ．第九项随堂练习1、)()4511x -展开式中4x的系数为 ，各项系数之和为 ．2、多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为3、若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、84、在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q - 5、求()102x +的展开式中二项式系数最大的项课后作业1、若231()nx x+的展开式的各项系数之和为32，则n ＝ 。
其展开式中常数项为 。
（用数字作答）2、已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值为 。
3、已知()()()434324321023222 x x x a x a x a x a x a -+---=++++，则0a = ；4、若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125、已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）A 、4B 、5C 、6D 、76、若n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A 、10 B 、20 C 、30 D 、1207、已知(1)nax +展开式中的二项式系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而(1)n ax + 展开式的二项式系数最大的项的系数为54，求a 的值(a R ∈8、设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和9、设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．。