数学建模淋雨问题论文

淋雨问题论文摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人在雨中奔跑时淋雨的多少与奔跑速度、降雨的方向以及雨线的方向与跑步的方向是否在同一平面内等因素的关系，得出结论：若雨迎面落下，则以最大速度跑完全程淋雨量最少；如果雨从背面吹来，分两种情况: (雨从背面吹来时与人体夹角为α)当tan2/15α>时，跑步α<时，跑得越快越好;当tan2/15速度，则以降雨速度的水平分量奔跑时淋雨量最少。

若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则可将雨速方向分解为与人跑速度同向的速度和与人跑速度方向垂直的速度. 同向速度即平面共面，可看成模型二、三的情况，垂直速度可看成模型一的情况。

关键词淋雨量，雨速大小与方向，跑步速度。

正文1.问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。

将人体简化成一个长方体，搞a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m 。

设跑步距离d=1000m ，跑步最大速度5/m v m s =,雨速u=4m/s ，降雨量w=2cm/h,记得跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为x ，如图1，建立总淋雨量与速度v 以及参数a 、b 、c 、d 、u 、w 、θ之间关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0θ=，30θ=时的总淋雨量（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α,如图2，建立总淋雨量与速度v 以及参数a 、d 、c 、d 、u 、w 、α之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算30α=时的总淋雨量。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）进行作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

2.模型假设2.1将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m ；设跑步的距离为1000m ，跑步的最大速度5/m v m s =，雨速u=4m/s ，降雨量w=2cm/h ，记跑步速度为v ；2.2雨中跑步为匀速直线，不考虑风、雨水等阻力问题2.3雨的密度相同，不考虑风、雷电等因素的影响，雨速为常数且方向不变。

3.符号的说明t ：时间 Q ：总降雨量1Q :顶部降雨量 2Q ：前表面降雨量3Q ：后表面降雨量S : ：淋雨的面积 L ：单位升 αθ、 ：雨速方向与人速方向的最小夹角4.模型建立与求解4.1模型一的建立与求解淋雨量的定义：文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到的雨的体积，可表示为单位时间单位体积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨的时间的乘积。

设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积S=2ab 2ac bc ++雨中奔跑的所用的时间: t mdv =总降雨量: t 360Q S ω=⨯⨯带入相关数据，解得2S=2.2t 200(s)2.444(L)Q =≈（m ）4.2模型二的建立与求解当雨迎面吹来时，雨线和跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ。

则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量。

（如图1）建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,,a b c d u ωθ之间的关系如下:(1)考虑顶部淋雨量：设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ，（00090θ<<）由图可知，雨速在垂直方向上的分量与v 无关，故顶部单位时间单位面积的淋雨量为：cos ωθ，顶部的面积是b c •，淋浴时间为d v于是顶部淋雨量为：1Q =cos /360bc d v ωθ••（2）考虑前部淋雨量:由图可知，雨速的水平分量是且与方向相反，人相对于雨的水平速度是：usin v θ+故前部单位时间单位面积淋雨量为：sin /(u sin )/v u v u ωθωωθ+=+（即人本身的淋雨量加上人相对于雨速的淋雨量）又因为前部的淋雨面积是a b •：，时间是：d v故前部的淋雨量是：[]21Q (u sin )/360v u ωθ=+（a b ）(d/v) 综上所述，可得总淋雨量[]121Q=Q +Q cos /+(u sin )/360360bc d v v u ωθωθ=••+（a b ）(d/v)带入相关数据求得：40cos 300sin +75v Q=72vθθ+ 由v Q （）函数可知，总淋雨量与人跑步速度v 以及雨线与人的夹角θ两者有关。

对函数v Q （）求导得240cos 300sin Q =-72v θθ+’（）显然，Q ’<0,故Q 是v 的减函数，Q 随v 的增大而减小。

因此，速度m v=v 5/m s =总淋雨量最小。

（i ） 当0=0θ，带入数据，解得：Q 1.153L ≈（）（ii ） 当0=30θ，带入数据，解得：Q 1.403L ≈（）4.3模型三的建立与求解若与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，且与人体的夹角是，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量。

（如图2） 建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,,a b c d u ωα之间的关系如下： (1)考虑顶部淋雨量：设雨从背面吹来时与人体夹角为α，（00090α<<）由图可知，雨速在垂直方向上的分量与v 无关，故顶部单位时间单位面积的淋雨量为：cos ωα，顶部的面积是b c •，淋浴时间为d v于是顶部淋雨量为：1Q =cos /360bc d v ωα••（2）考虑后部淋雨量:由图可知，雨速的水平分量是且与方向相同，人相对于雨的水平速度是：sin ,sin sin ,sin u v v u v u v u αααα-≤⎧⎨->⎩故人后部单位时间单位面积淋雨量为：sin /,sin (sin )/,sin u v u v u v u u v u ωααωαα-≤⎧⎨->⎩（） 又因为后部的淋雨面积是a b •：，时间是：d v 故后部的淋雨量是：[][]2'21Q =(sin -v)/(a b)(d/v),sin 3601Q =(v sin )/(a )(d/v),sin 360u u v u u u b v u ωααωαα⎧⋅≤⎪⎪⎨⎪-⋅>⎪⎩ 综上所述，可得总淋雨量[][]12'121Q +Q cos /+(u sin )/b sin 360360Q=1Q +Q cos /+(v u sin )/sin 360360bc d v v u u bc d v u b u ωαωααωαωαα⎧=••-≤⎪⎪⎨⎪=••-⎪⎩（a ）(d/v),v （a ）(d/v),v> 带入相关数据求得：40cos 300sin 75,sin 72Q=40cos 300sin 75,sin 72v v u v v v u v αααααα+-⎧≤⎪⎪⎨-+⎪>⎪⎩由v Q （）函数可知，总淋雨量与人跑步速度v 以及雨线与人的夹角α两者有关。

对Q 求导得：2'240cos 300sin ,sin (72v)Q =300sin -40cos ,sin (72v)v u v u αααααα+⎧-≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩（I ）当v sin u α≤时，且00090α<<，可知40cos 300sin 0αα+>，故'Q 0<；所以总淋雨量Q 随着速度v 的增加而减少，因此v sin u α=当时，，总淋雨量最少。

（II ）当v>sin u α时，且00090α<<，可知300sin -40cos αα的符号不确定，故可分为两种情况。

'i 300sin -40cos 0tan /2/15,Q 0Q v v=v m c a ααα<<=<（）当时，即即，故总淋雨量随着速度的增加而减少。

所以，当时，总淋雨量最少。

'ii 300sin -40cos 0tan /2/15,Q 0Q v v=usin c a αααα>>=>（）当时，即即，故总淋雨量随着速度的增加而增加。

所以，当时，总淋雨量最少。

当0=30α，tan 2/15α>，由上述情况两种可知当v=sin =41/22(m/s)u α⨯=时，总淋雨量最小，代入相关数据可得：Q=0.241（L ）4.4模型四的建立与求解(1)根据(3)中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画出图如下：(2)解释结果的实际意义从图中可以知道：（i）如果雨迎面吹来时，跑得越快越好。

（ii）如果雨从背面吹来，分两种情况:当tan2/15α<时，跑得越快越好当tan2/15α>时，跑步速度，v=usinα，Q最小4.5模型五的建立与求解在以上的假设中，雨线方向与跑步方向是在同一平面内，若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则可将雨速方向分解为与人跑速度同向的速度和与人跑速度方向垂直的速度. 同向速度即平面共面，可看成模型二、三的情况，垂直速度可看成模型一的情况.5.结果分析由这些数值可知：随着人跑步的速度逐渐变快，人的淋雨量越少，跟我们在实际生活中相差不大。

在该模型二中只考虑到了顶面和人的迎雨面，可以看出在该模型下人跑的越快，淋雨就越少，可是在实际情况我们也应该考虑到人的背面是否淋雨，在模型三中就解释了这个问题。

在该模型三中考虑到雨的方向问题，这个模型跟模型二相似，将模型二与模型三综合起来跟实际的生活就差不多很相似了。

由这三个模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。

只是这是在理想模型下建立的求解，因为在实际的生活中人的跑步速度不太可能是匀速的，而且人的速度也不可能是一直增加的。

在以上的假设中，人以沿直线奔跑，若人以沿折线奔跑，则可将折线分段考虑，同样可分解成模型一或模型二、三，在以上的假设中，人看成长方体，若人看成是圆柱体，情况又发生改变，而实际问题中的限制性因素远远超过这些，因此此文的分析方法仍存在一定的局限性，有待改进和提高。

参考文献[1]姜启源数学模型（第三版）高等教育出版社2003.08[2]韩中庚数学建模方法及其应用（第二版）高等教育出版社2009. 06[3]薛梦香优秀的雨中淋雨模型网址： 2014.03。