音乐与数学的谱系

• 因此可以说数学和音乐都是用来描述世界的,只是描述方 式有所不同,但最终目的都是为人类更好地生存和发展服 务,于是它们之间存在着内在的联系应该是一件自然而然 的事. • 既然数学与音乐有如此美妙的联系,为何不让我们沉浸在 《梁祝》优美动听的旋律中或置身于昆虫啁啾鸣叫的田野 里静下心来思考数学与音乐的内在联系呢 ?为何不让我们 在铮铮琵琶声中或令人激动的交响曲中充满信心地对它们 的内在联系继续探索呢 ? • 在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课 程之中。今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断。 • 乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域。 在乐稿上，我们看到速度、节拍（4／4拍、3／4拍，等 等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分 音符，等等。
• 我们可以通过两个音乐小节来寻找答案. • 显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去, 就出现了音乐中的平移, 这实际上就是音乐中的反复. 把 两个音节移到直角坐标系中, 显然,这正是数学中的平移. • 我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒 发自己内心情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来 表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某 种形式的反复出现的. • 比如, 西方乐曲 When the Saints GoMarching In 的主 题.显然 ,这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的. • 如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴(横轴 x) ,与时间轴垂直的直线作为音高轴(纵轴y) ,那么我们 就在五线谱中建立了时间 - 音高的平面直角坐标系. 于 是, 经一系列的反复或者平移,就可以用函数近似地表示 出来,其中 x 是时间, y 是音高.
音乐中的数学
——优美旋律与数学计算 优美旋律与数学计算
引言
• 今天,计算机和信息技术飞速发展. • 音乐和数学的联系密切, 在音乐理论、音 乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方 面, 都需要数学.在音乐中,数学起着非常 重要的作用. • 《梁祝》优美动听的旋律《,十面埋伏》的 铮铮琵琶声,贝多芬令人激动的交响曲, 田 野中昆虫啁啾的鸣叫 ……当沉浸在这些美 妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有 着密切的联系?
• 由此可见,我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉 .巴托 克那样利用黄金分割来作曲,而且也可以从纯粹的 函数图像出发来作曲. • 这正是数学家约瑟夫.傅里叶的后继工作,也是其 工作的逆过程. • 其中最典型的代表人物,就是20 世纪20Fra Baidu bibliotek年代的哥 伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫 .希林格 (Joseph Schillinger) ,他曾经把纽约时报的一 条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上,然后把这 条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和 间隔转变为乐曲,最后在乐器上进行演奏, 结果发 现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极 为相似的乐曲!
• 这位教授甚至认为,根据一套准则,所有的音乐杰作都可以 转变为数学公式. 他的学生乔治 .格什温(George Gershwin) 更是推陈出新, 创建了一套用数学作曲的系统, 据说著名歌剧《波吉与贝丝》(Porgy and Bess) 就是他 使用这样的一套系统创作的. • 因而我们说, 音乐中出现数学、数学中存在音乐并不是一 种偶然,而是数学和音乐融和贯通于一体的一种体现. • 我们知道音乐通过演奏出一串串音符而把人的喜怒哀乐或 对大自然、人生的态度等表现出来,即音乐抒发人们的情 感, 是对人们自己内心世界的反映和对客观世界的感触, 因而它是用来描述客观世界的,只不过是以一种感性的或 者说是更具有个人主体色彩的方式来进行. • 而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界,使人类 对世界有一个客观的、科学的理解和认识, 并通过一些简 洁、优美、和谐的公式来表现大自然.
• 19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的 研究达到顶点。他证明所有乐——器乐和声乐— —都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周 期正弦函数的和。 • 每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质， 将它与其他乐声区别开来。 • 傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上 清楚地表示出来。 • 音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期 函数的振幅和形状有关。 • 如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创作 和乐器设计的应用方面就不可能有进展。
• 音乐中处处闪现着数学的理性.乐谱的书写, 离不开数学. • 乐器之王 ——钢琴的键盘,其上也恰好与 斐波那契数列有关. • 在钢琴的键盘上,从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程(如图1) . • 其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑 键 ,而 5 个黑键分成 2 组 ,一组有 2 个 黑键 ,一组有 3 个黑键. • 2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契 数列中的前几个数.
• 大自然音乐中的数学. • 大自然中的音乐与数学的联系更加神奇,通常不 为大家所知. 例如[2] , 蟋蟀鸣叫可以说是大自 然之音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很 大的关系,我们可以用一个一次函数来表示:C = 4 t – 160。 • 其中 C代表蟋蟀每分钟叫的次数, t 代表温度. 按照这一公式,我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次 数,不用温度计就可以知道天气的温度了! • 理性的数学中也存在着感性的音乐. • 由一段三角函数图像出发,我们只要对它进行适 当的分段,形成适当的小节, 并在曲线上选取适 当的点作为音符的位置所在,那么就可以作出一 节节的乐曲.
• 对数学与音乐之间联系的研究源远流长. • 这最早可以追溯到公元前六世纪,当时毕达 哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来. • 他们认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的 长度有着密切的关系,从而发现了和声与整 数之间的关系,而且还发现谐声是由长度成 整数比的同样绷紧的弦发出的. • 于是,毕达哥拉斯音阶(thePythagorean Scale) 和调音理论诞生了 , 而且在西方 音乐界占据了统治地位.
• 周期函数，在乐器的现代设计和声控计算 机的设计方面是必不可少的。许多乐器制 造者把他们的产品的周期声音曲线与这些 乐器的理想曲线相比较。电子音乐复制的 保真度也与周期曲线密切相关。音乐家和 数学家将继续在音乐的产生和复制方面发 挥同等重要的作用。 • 数学的抽象美，音乐的艺术美，经受了岁 月的考验，进行了相互的渗透。 • 如今，有了数学分析和电脑的显示技术， 眼睛也可辨别音律。
• 托勒密(C. Ptolemy ,约100 —165 年) 对毕达哥 拉斯音阶的缺点进行了改造 ,得出了较为理想的 纯律音阶(the Just Scale) 及相应的调音理论 . • 毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位,直到 十二平均律音阶(the temperedScale) 及相应的 调音理论出现才被彻底动摇. • 在我国,最早产生的完备的律学理论是三分损益律, 时间大约在春秋中期《管子.地员篇》和《吕氏春 秋.音律篇》中分别有述; • 明代朱载 (1536 - 1610) 在其音乐著作《律学新 说》《律吕精义-内篇》中对十二平均律理论作了 论述,并把十二平均律计算的十分精确, 与当今的 十二平均律完全相同, 这在世界上属于首次.
• 等比数列在音乐中的出现决非偶然了: • 1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数 列规定的. • 显然这个八度音程,被黑键和白键分成了12个半音, 并且我们知道下一个 C键发出乐音的振动次数(即 频率) 是第一个 C 键振动次数的 2倍,因为用2 来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的. • 我们容易求出分割比 x ,显然 x 满足 x12= 2 , 解这个方程可得 x 是个无理数 , 大约是 1106. 于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的 1106 倍 ,而全音的音高是那个音的音高 11062 倍. • 实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列. • 音乐中的数学变换. • 数学中存在着平移变换,音乐中是否也存在着平移 变换呢？
• 当然我们也可以在时间音高的平面直角坐标系中用函数把 两个音节近似地表示出来. • 在这里我们需要提及十九世纪的一位著名的数学家,他就是 约瑟夫.傅里叶(Joseph Fourier) ,正是他的努力使人们对 乐声性质的认识达到了顶峰. • 他证明了所有的乐声, 不管是器乐还是声乐, 都可以用数 学式来表达和描述,而且证明了这些数学式是简单的周期正 弦函数的和. • 音乐中不仅仅只出现平移变换,可能会出现其他的变换及其 组合,比如反射变换等等. 两个音节就是音乐中的反射变换. • 如果我们仍从数学的角度来考虑,把这些音符放进坐标系中, 那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换. • 同样我们也可以在时间 - 音高直角坐标系中把这两个音节 用函数近似地表示出来. • 通过以上分析可知,一首乐曲就有可能是对一些基本曲段进 行各种数学变换的结果.
• 例如，从产生音符C的弦开始，C的16／15长度给出 B，C的6／5长度给出A，C的4／3长度给出G，C的3 ／2长度给出F，C的8／5长度给出E，C的16／9长度 给出D，C的2／1长度给出低音C。 • 你是否曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑 问？ • 实际上许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关。 指数函数和指数曲线就是这样的概念。 • 指数曲线由具有y＝kx形式的方程描述，式中k＞0。 一个例子是y＝2x。它的坐标图如下。 • 不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的 结构都反映出一条指数曲线的形状。
• 书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公 分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一 节拍所规定的小节相适应。 • 作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构 中非常美丽而又毫不费力地融为一体的。 • 如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小 节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。 • 除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、 指数曲线、周期函数和计算机科学相联系。 • 毕达哥拉斯学派（公元前585～前400）是最先用 比率将音乐与数学联系起来的。他们认识到拨动 琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了 和声与整数的关系。他们还发现谐声是由长度成 整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦 的每一和谐组合可表示成整数比。按整数比增加 弦的长度，能产生整个音阶。