二维形式的柯西不等式知识讲解

认
会用柯西不等式解最值问题。对于这个例题，
识
采取学生自主探究解决的方法，然后展示有代
表性的结果，师生共同分析总结。
五、教学过程
例
探实究数2蕴：涵根着据何种OP大1P2小的关边系长吗关？系，你能发现 x1, y1, x2 , y2这4个
解
设计意图：
应
从形出发，得到结
用
论，体现数形结合
，
的方法，从几何关
人教A版选修4-5
二维形式的柯西不等式
目录
一、教材分析 二、学情分析 三、目标定位
四、教法学法 五、教学过程
六、板书设计 七、教学反思
二、学情分析
学习了不等式 的性质与证明 ，向量基础知 识，掌握了不 等式变形方法 以及数形结合 基本方法。具 备一定的观察 、分析、逻辑 推理能力。
该班学生的优点 是性格活泼，
创设情境，引入课题
教
新课探究，形成结论
学
流
程
例解应用，深化认识
回顾过程，反思小结
五、教学过程
创 设 情 境 ， 引 入 课 题
设计意图：
给学生指明探究 的方向------要对 (a2+b2)(c2+d2) 进行配方，激发 了学习的热情， 也为后续要用几 何法证明柯西不 等式和应用柯西 不等式做了铺垫
五、教学过程
新
探究1:类比 a2 b2 的2推a导b 过
课 探
程，请你猜想关于 (a2b2)(c2的 不d 等2式)
究
，
形
成
结
论
设计意图：
这是一个开放式问题 ，关(a2+b2)(c2+d2) 的不等式有很多，但 是如果我们限定问题 是类比 的推导过程 ，那么学生就容易找 到正确的方向。
五、教学过程
好动脑筋，求知 欲强，善于并且 乐于表达自己观 点。
该班学生的缺 点是懒惰，对 前面所学知识 遗忘比较多， 头脑中所建立 的知识之间的 联系比较弱， 因此数学综合 能力不强。
三、目标定位
知识与技能： 理解柯西不等 式的二维形式 和变式以及向 量形式，会简 单应用柯西不 等式解决问题 ，理解三角不 等式和变式
课
探
究
，
形
成
结
论
设计意图：
这是本节课的重中之重
，不仅与 a2 b2 2ab
存在几何证明方法进行 了类比，而且引导学生 从代数与几何两个角度 对柯西不等式进行了证 明，体现了数形结合的 方法，同时得到了向量 形式，而向量形式在推 导n维形式上起了很重要 的作用。
五、教学过程
新 展示学生的向量法证明 课 探 究 ， 形 成 结 论
设计意图：
展示学生的结果， 共同讨论，取长补 短，查漏补缺。
五、教学过程
新
问题3：向量法证明中等号成立的 条件是什么？
课
探
究
，
形
成
结
论
设计意图：
等号成立的条件是 柯西不等式很重要 的一部分，在向量 背景下考虑等号成 立的条件，既为应 用向量形式的柯西 不等式提供了依据 ，也对代数形式和 向量形式进行了全 方位的对比，体现 数学的严密性。
五、教学过程
例 例1. 已知a、b为实数，证明
解 应
(a4+b4)(a2+b2) ≥(a3+b3)2.
用
设计意图：
，
应用柯西不等式证明问题，类比了a2 b2 2ab
深 化
的应用，进一步认识柯西不等式形式上的特点 ，体会柯西不等式在证明问题中的作用，学会
认
用柯西不等式证明问题。对于这个例题，采取
深Biblioteka Baidu
系中得到三角不等
化
式，得到四个实数
认
的另一种大小关系 。
识
五、教学过程
问题4：你能证明三角不等式吗？
例 解 应 用 ， 深 化 认 识
设计意图：
由图形得出三角不等式， 再由代数法进行证明，充 分体现数形结合思想。而 三角不等式也是一个经典 不等式，跟柯西不等式一 样，体现四个实数的不等 关系，它的证明需要用到 不等式的基本变形技巧和 柯西不等式的变式，是柯 西不等式变式应用的重要 体现。证明难度大，采取 学生独立思考，教师个别 辅导的方式，再共同研究 ，给了学生充分的思维空 间和时间。
五、教学过程
新
师生共同探究柯西不等式的两种 变式
课
探
究
，
形
成
结
论
设计意图：
在实际应用中，柯 西不等式的变式用 得比较多，所以很 有必要让学生知道 ，又由于时间有限 ，所以采取师生共 同探究的方法，显 得主次分明。
五、教学过程
新 介绍柯西其人 课 探 究 ， 形 成 结 论
设计意图：
柯西是近代史上非 常著名的数学家， 在教学过程中介绍 柯西的成就，渗透 数学史的教育，符 合新课程要求。同 时，提出要求，让 同学们下课查阅柯 西的相关资料，激 发学习数学的兴趣 。
新 问题1：还有其他方法
课
证明柯西不等式吗？
探
究
，
形
成
结
论
设计意图：
这是一个开放式问题 ，我们刚刚学习了不 等式的证明，有利于 学生打开思路，开阔 思维，多角度探索不 同方法，同时也是对 不等式证明方法的复 习，也是与引入中的
不a2同证b2明 方2a法b 形成类 比和对照。
五、教学过程
新
问题2：可以用几何法 证明柯西不等式吗？
三、目标定位
教学重点：柯西不等式的证明和应用
教学难点：柯西不等式的发现、几何法证 明柯西不等式、三角不等式的证明
四、教法学法分析
教法：采取武汉市第四十九中学“主体探 究课堂教学模式”设置“问题串”引导学 生展开探究
学法：以学生为中心，采取独立思考和小 组合作讨论的方式进行探究式学习
五、教学过程
过程与方法：通过类 比的方法，探索柯西 不等式的形式，并通 过数形结合方法探索 柯西不等式的向量形 式并证明，通过数形 结合方法探索三角不 等式并证明，通过观 察分析柯西不等式的 形式简单应用柯西不 等式解决证明问题和 最值问题
情感态度与价值观 ：通过创设情境， 提出问题，然后探 索解决的办法，培 养学生独立思考、 合作探究、积极探 索的习惯和逻辑推 理能力，渗透数学 史的教育，使学生 体会数学的史学价 值和美学价值
识
学生自主探究解决的方法，然后展示有代表性
的结果，师生共同分析总结。
五、教学过程
例 例2. 求函 y数 3 x54 6x的最.大值 解
应
用
设计意图：
，
应用柯西不等式求最值问题，类比了a2 b2 2ab
深
的应用，进一步认识柯西不等式形式上的特点
化
，体会柯西不等式在求最值问题中的作用，学
五、教学过程
新 探究1:类比 a2 b2 的 推2a导b过
课 程，请你猜想关于
探
(a2b2)(c的2不等d式2)
究
，
问题1：还有其他方法 证明柯西不等式吗？
形
成
问题2：可以用几何法
结
证明柯西不等式吗？
论
问题3：向量法证明中等
号成立的条件是什么？
类比配方
作差法、分析法 向量法
, 平行