1.2.1函数的概念(第一课时)
人教版必修1函数的概念教案(第一课时)
1.2.1 函数的概念第一课时一，教材的地位与作用函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。
函数的概念是抽象概括出的概念，通过大量的实例，培养学生从“特殊到一般”的综合归纳的能力，培养学生分析问题的能力，引导学生如何发现事物的本质，如何找到问题的突破口来解决问题。
二，教学目标1，知识与技能：（1）理解函数的概念及其符号表示，能够辨别函数的例证和反例（2）会求简单函数的定义域与值域（3）掌握构成函数的三要素，学会判别两个函数是否相等，理解函数的整体性2，过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）通过函数概念学习的过程，培养学生从“特殊到一般”的分析问题能力以及抽象概括能力3，情感态度与价值观让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象概括之美。
三，教学重点与难点1，教学重点：函数的概念，构成函数的三要素2，教学难点：函数符号y=f(x)的理解四，教学方法分析1，教法分析：遵循建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，按照从“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向分组研究尝试验证，归纳总结，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生在心理上得到认同，建立新的认识结构。
2，学法分析：倡议学生主动观察，积极思考，提出问题，大胆猜测，从而自主归纳小结。
在学习中培养自我的从“特殊到一般”的分析问题能力，感受数学的抽象概括之美。
五、教学过程1，复习回顾回顾初中所学函数（如一次函数y=ax+b a≠0等）及函数的概念：（传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
人教版数学高二-新课标 《函数的概念》 教学设计
1.2.1 函数的概念（第一课时）课 型：新授课 教学目标：（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的三要素；（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、问题链接：1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、合作探究展示： 探究一：函数的概念：思考1：（课本P 15）给出三个实例：A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-。
B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
（见课本P 15图）C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
（见课本P 16表）讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B → 函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
函数的概念-导学案
1.2.1函数的概念（第一课时）[预习内容]:认真阅读教材 P 15—18页。
深入理解本节的学习目标及重难点，认真独立完成本节的题目。
一．教学目标:1. 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
重点：函数的概念；难点：对抽象符号()x f 的理解。
二．自学引入;1、初中学过函数的概念----你能叙述吗？函数有哪几种表示方法?初中学过哪些具体函数?例如：思考(1)1=y 是函数吗？(2)函数x y =与xx y 2=是同一个函数吗? 现在从集合的对应关系进一步学习函数及其构成。
2、阅读教材15-16页三个函数实例完成填空由实例一可知：对于数集 任一时间t 按照对应关系 在数集 中都有唯一确定的高度h 和它对应.由实例二可知：对于数集 每一时刻t 按照对应关系 在数集 中都有唯一确定的臭氧洞面积s 和它对应.由实例三可知：对于数集 每一时刻按照按对应关系 在 数集 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应.以上三个实例有什么不同点 其共同点是：3、从集合的观点叙述函数的概念。
一般地，设A ，B 是__________数集，如果按照__________________________，使对于集合中A __________________，在集合B 中都有________________________，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的 .显然，值域是集合B 的子集.4、概念理解概念巩固(1)1=y 是函数吗？(2)函数x y =与xx y 2=是同一个函数吗? （3）一次函数的定义域 值域反比例的定义域 值域 值域(4)要使函数y ，∴此函数的定义域为________． (5)还要有实际意义；一种练习本的单价为0.6元，买本子的个数x 与应付钱数y 之间的函数关系为________，其中x 的允许取值范围是________． 5、函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就 故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．如y ＝1与y ＝x x不是相等函数，因为 y ＝3t ＋4与y ＝3x ＋4是相等函数，因为(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．6．阅读教材P17填表.上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，如{x |a ＜x ≤b }＝(a ，b ]，{x |x ≤b }＝(－∞，b ]．（1）实数a ，b 都叫相应区间的 。
函数的定义
对应法则： y ax
4ac b 2 y , 当a 0 4a B 2 4 ac b y , 当a 0 4a
2
bx c
x
函数的三要素：①定义域 ②值域 ③对应关系 函数的三要素作为判断两个函数是否是 同一函数的判断依据
, a (, a) _______ ( a , ) [ a , ) ( , ) 符号 _________ ______ _
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示. ( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为［2，+∞］. ( )
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念
实例1 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为 845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的 规律是
h 130t 5t 2 .
（1）你能得出炮弹飞行1s、5s、10s、20s时距离地面多高吗？ （2）t的变化范围是多少？ （3）可以得出什么结论？
（3）设 A= Z，B= Z, f:
x . x
【解题探究】1.当已知的对应关系用图象表示时，怎样判断其是否为函数 关系？ 2.一般依据什么来说明一个对应关系是不是函数关系？
（1）是 （2）是 （3）不是
类型 二 用区间表示数集 【典型例题】 1.用区间表示数集{x|x≤2或x＞3}为____________.
【拓展提升】用区间表示数集的两个注意点 (1)弄清区间的含义，掌握一般区间形式所对应的数集. (2)注意数集中的符号“≤”“≥”“＜”及“＞”与区间中的符号 “［”“］”“(”“)”的对应关系.
§1.2.1函数的概念(第1课时) 集体备课
§1.2.1函数的概念(第一课时)一、教学目标1. 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合；二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，区间表示；三、学法与教学用具1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .2、教学用具：电脑投影仪 .四、教学思路（一）复习引入1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；（先提问后放幻灯片设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；2、阅读引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：引例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是：h=130t-5t2 (*)（板书）这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B ={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系(*)，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。
引例2：近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。
下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化情况：（板书）根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B ={S|0≤S≤26}.并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.引例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。
高中数学新课标人教A版必修一：1.2.1 函数的概念 课件 (共16张PPT)
3 两个函数相同：当且仅当三要素相同。
例1 y= x 3 + 2 x 是函数吗？
——函数的定义域和值域均为非空的数集
例2 y=± x 是函数吗？
——对于函数定义域中每一个x，值域中都有 唯一确定的y和它对应。(不是函数)
练习：下列图形哪个可以表示函数的图象？
y
0x
A
y
0x
B
y
0x
C
四、如何求函数的定义域
想 f(1)表示什么意思？ 一 想 f(1)与f(x)有什么区别？
一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。 f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。 14
例：已知函数f(x)=3x2-5x+2.求f(0)，f(a)和 f(a+1)
想一想 f[f(0)]等于多少？
练习：f(x)=|x+1|,则f(-1) +f(1)等于多少？
六、小结
1 函数的概念
2 定义域的求法 3 对函数符号y=f(x)的理解
七、布置作业
一、复习回顾
初中时学过函数的概念，它是怎样叙述的？ 设在一个变化过程中,有两个变量x和y，
如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与 它对应.那么就说y是x的函数. 其中x叫做 自变量，y是函数值。
想一想
y=1（x∈R）是函数吗？
Go to 13
研究函数y 1 x
为了研究的方便，取几组特殊的x值和对应的y值
当x=1时，y=1
当x=2时，y
1 2
当xБайду номын сангаас3时，y 1
3
A
B
y1
x
1
1
1
2
2
(绝对经典)1.2.1函数的概念
a, b
x a x b 写成开区间
a, b
x a x b 写成左闭右开区间a,b
x a x b 写成左开右闭区间 a,b
另外还有 ,,a,,a,,,b,,b
例 1.已知函数 f x x 1 1
函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域，注意，值域是 B 的子集。
指出下列函数的定义域和值域，对应法则
（1） y 2x 1
（2） f x x2 2x 2
（3） g(x) 3 x
（4） h x 1 x 1
区间的概念及其写法介绍
当 a b 得时候
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 2.下列函数中，哪些函数与函数 f x x 相同
2
（1） g x x
（2） h x x2
（3） t t2
t
（4） k s 3 s3
1.2.1函数的概念
定义：一般地，设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中
的任意一个数 x ，在集合 B 中，都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f x,xA
其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，
x 2
（1）求 f x 的定义域；
（2）求
f
3 ,
f
2 3
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 1.已知函数 f x x 1 1 x 20
函数的概念(一)
第一章集合与函数的概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念（第一课时）一、学习目标1、正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三要素；2、会判断某个对应关系能否构成函数关系，会求定义域，函数值。
二、学习过程（一）复习引入新课1.初中学习过哪些函数？函数解析式（对应关系）定义域值域2、初中函数的概念在某变化过程中，有两个变量x、y，如果每一个x ，相应地有唯一的一个y 值与之对应，那么x是自变量，y是因变量。
此时就称y 是x 的函数。
（二）尝试学习1、阅读课本15页到16页，归纳概括出三个实例的共同特征。
2、函数的定义设A 、B 是两个（ ）的（ ）集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的（ ）数x ，在集合B 中都有（ ）的数f(x)和它对应，那么就称f: A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数， 记作 ：y=f(x),x ∈A 。
其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的（ ），与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 （ ）叫做（ ）值域是集合B 的（ ）集。
注意：（1）可以“一对一”，“多对一”，但不可以“一对多”； （2）函数的三要素：定义域、值域、对应关系；（3）y=f(x)表示y 是x 的函数，可简记为f(x),有时也可以用 F （x ）,g(x)来表示函数； （4）f(a)表示自变量x=a 时的函数值； 3、讲解课本17页例1（三）分组讨论、合作释疑1、下列图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是（ ）xyo xy oxy oxy oBACD的定义域、求函数312)(2-+-=x x x f )]1([,21)(3f f x x x f 求、已知函数++=（四）小组展示，教师点拨小结（1）求定义域要注意：①偶次方根下的被开方数为非负数，分式中分母不为零； ②如果f(x)由几部分组成，定义域应为使各部分都有意义的x 的集合的交集 ；③在实际问题中，要考虑自变量具有实际意义。
人教版高中数学必修一(1.2.1-1函数的概念)ppt课件
定义域
f:x 2x1
值域
函数解析式：f(x)=2x+1或y=2x+1
-3
-5
-2
-3
-1
-1 f(x)2x1
0
1
1
3
2
5
3
7 对应法则
对应法则施
加的运算对
f ( 3 ) 2 （ 3 ） 象 1 5
对应法 则
运算对象
运算内容：乘以2加一
象，即y的值
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(a )f,(a 1 )
练习：
g(x) 2x3 5x2 3x2,求g(3),
h(x) | 4x|,求h(8),h(a) x2
1 r(x) 3
x5,求r(3),r(6)
x
已知函数
x 2
f
(x)
x
2
2
x
(1)求 f ( 2 ) , f的( 1值);
2
集合B中有唯一元素和A中某个元素对应
开平方
B
A
3
300
-3
2
450
-2 1
600
-1
900
求正弦
A
一对多不是映射
求平方
B
1
1
-1
一对一是映射
A
乘以2
1
2
4
-2
2
3 -3
9
3
多对一是映射
一对一是映射
集合A中任何一个元素都在B中有对应
乘以2加1
A
1
3
5
1B
2 3 4 5 6 7
集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对 应，不能称为映射。
1.2.1任意角的三角函数的定义(第一课时)
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程1.复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?Rt △ABC 中,设A 的对边为a ,B 的对边为b ,C 的对边为c ,锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin A=,cos A= ,tan A= .2.探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ),点P 与原点的距离r=,sin α= ;cos α= ;tan α= . 思考:对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．.思考:怎样适当地选取P 点使比值简化?其中,以原点为圆心,以 为半径的圆为单位圆. 新知:1.任意角的三角函数.设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ): 那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; (2)x 叫作α的余弦,记作cos α,即 ;(3)叫作α的正切,记作 ,即tan α=(x ≠0).三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4.思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一典型例题【例1】求π的正弦、余弦和正切值.解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】已知角α的终边过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 解:sin α==-,cos α==-,tan α=.【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.证明:如果sin α<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan α>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°; (2)sin(-4π); (3)tan(-672°); (4)tan3π. 解:(1)因为250°是第三象限角,所以 cos250°<0; (2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0; (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tan π,而π的终边在x 轴上,所以tan π=0. 【例5】求下列三角函数值. (1)sin1480°10'; (2)cos; (3)tan(-).解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645; (2)cos =cos(+2π)=cos ;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.【例6】 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 【例7】 判断下列各式的符号： (1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0， ∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角． 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”． 跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan765°－cos360°. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.一、选择题1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C.22D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22. 2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α等于( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2017·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.6．(2017·湖州期末)点P 从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动5π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 C解析 根据题意可得：x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32， y Q ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－12. 则Q 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－12. 7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角． 二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. 答案32解析 tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32. 9．(2017·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x 轴上，终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫－32，12，则cos α＝________. 答案 －3210．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上， sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3. 11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________． 答案32，12，3或－32，－12， 3 解析 因为角α的终边在直线y ＝3x 上， 所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________.答案 －1解析 原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是________________．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0， sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0， sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0， sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域为{－4,0,2}．三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.达标检测1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin αB.cos αC.tan αD.2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知角α的终边过点P (-1,2),则cos α的值为 .4.已知角α的终边过点(a ,2a )(a ≠0),求α的正弦、余弦和正切值.5.判断sin4·tan(-)的符号.参考答案复习:探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ), 点P 与原点的距离r=,sin α=,cos α=,tan α=.由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随P 在角的终边的位置改变而改变. 2.单位圆.不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sin α=b ,cos α=a ,tan α=,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P 点.此时,点P 与原点的距离r=1.其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆. 新知:1.cos α=x ;tan α;自变量2.≠+k反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=.3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】解:sinα==-,cosα==-,tanα=.【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos250°<0;(2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;(2)cos=cos(+2π)=cos;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.达标检测1.B2.B3.-4.当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=2;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=2.5.略。
高一数学必修一课件1.2.1函数的概念
定义域是R，值域是集合B，当a>0时，B={y︱ y≥ 4ac - b2},当a<0时，B={y︱y≤ 4ac - b}2. 对于R4中a 的任意一个数x，在B中都有4a唯一确定的
y = a素x2是+定b构x义+成c域函(a、数0对的) 和应三它关要对应.
3.y 系= k和(值k 域 0. ) x
定义域是A={ xR︱x≠0 }，值域是R.
对于集合A中的每一个x，在R中都有唯一确定的 值 y = k (k 0) 与它对应.
x
用实心点表示包括在区 与函数相间关内的的概端念点—，—用区空间心点表示
不包括在区间内的点.
定义 {x︱a≤x≤b} {x︱a<x<b}
域就是{x︱x<0}.
(2)使根式 x + 2 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}， 使分式 1 成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这
10 - x
个函数的定义域就是
{x︱x≥-2} {x︱x≠10}={x︱x ≥-2，且x≠10} .
例2 已知函数 f(x) = 3 - x + x + 1 - 1 （1）求f(-1)，f(0)的值； （2）当-1≤a ≤ 3时，求f(a)的值.
x
A. f ( x) ln x B. f (x) 1
x
C. f (x) | x | D. f ( x) e x
1
解析：y = x的定义域为{x|x>0},而 f ( x) ln x
的定义域也为{x|x>0}.
3．（2008 山东）设函数
f
(
x
)
必修1课件1.2.1-1 函数的概念 (一)
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 时间 （年）
恩格尔 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 系数
练习1、下列说法中正确的有( A ) (1)y=f(x)与y=f(t)表示同一个函数 (2) y=f(x)与y=f(x+1)不可能是同一个函数 (3) f(x)=1与g(x)=x0是同一函数 (4)定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
练习2、下列各组函数表示同一函数的是(D )
求定义域的几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等 于0的实数的集合
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号 内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函 数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. （即求各集合的交集）
1 而 x 2 时，分式 有意义 x2
∴这个函数的定义域是:
x | x 2
例2．求下列函数的定义域：
(2) f ( x) 3x 2
②解：要使函数有意义，则：
3x 2 0
2 x 3
∴这个函数的定义域是{x|
2 x 3
}.
1 例2．求下列函数的定义域：(3) f ( x) x 1 2 x
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
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{x|0≤x≤10}
关系．( y＝4.9x2 ）
{y|0≤y≤490}
{x|0≤x≤24}
{t|-2≤t≤9}
对于集合A中的每一个元素 x,在集合B中都有唯一的元素 y 和它对应,
记作: f：A→B
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集,如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数
在这些变化着的现象中,都存在着两个变量，当 一个变量变化时，另一个变量随之发生变化．
在初中数学中有没有学过类似的知识？ 函数
函数的概念
初中函数的概念
设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对 于x的每一个值, y都有唯一的值与它对应, 那么就 说 y是 x的函数, x叫做自变量.
下面再来看一些函数的实际例子。
函数的概念
年份
22001188
22001177
22001166 2015 2015 2014 2014 2013 2013
人数（万人）
1177.5.5
1166..11
15.6 1144..88 14.0 14.0 13.8 13.8
函数的概念
年份 2018 2017 2016 2015 2014 2013
函数的概念
问题2:一物体在490米高的位置从静止开始下落, 下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关 系式y＝4.9x2． 若一物体下落2s，你能求出下落的距离吗？
函数的概念
问题3:某市一天24小时的气温变化图：
4时的气温是多少？全天的最高气温是多少？
函数的概念
在上面的三个问题中,是否确定了函数关系？
x
定义域{x|x≠0},值域{y|y≠0}.
函数的概念
2.已学函数的定义域和值域
⑶二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)
理 17.5万人 16.1万人 15.6万人 14.8万人 14.0万人 13.8万人
A
2018 2017 2016 2015
2014 2013
B
17.5
(1)会不会出现某个年份没
16.1 15.6
有与之对应的人数？
14.8 14.0
(2)会不会出现某个年份有
13.8 两个人数与之对应？
函数的概念
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集,如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集,如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数
函数的概念
能否用集合语言来阐述这三个问题的共同特点？
年份 2018 2017 2016 2015 2014 2013
理 17.5万人 16.1万人 15.6万人 14.8万人 14.0万人 13.8万人
一个物体在490米高的位置从静止 开始下落,下落的距离y(m)与时间 x(s)的关系．( y＝4.9x2 ）
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集,如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集,如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数
年份 人数（万人）
非空数集A
非空数集B
2018 17.5万人
2017 2016
16.1万人 15.6万人
｛2013,2014 ,2015,2016,2017,2018｝｛17.5,16.1,15.6,14.8,14.0,13.8｝
2015 14.8万人
2014 14.0万人
2013 13.8万人
一个物体在490米高的位置从静止开 始下落,下落的距离y(m)与时间x(s)的
与x值相对应的y的值叫做函数值，
函数值的集合{ f (x) | x A}叫做函数
的值域.
函数的概念
思考:
• 一次函数,反比例函数、二次函数 的定义域、值域各是什么？
函数的概念
2.已学函数的定义域和值域
⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0) 定义域R,值域R.
⑵ 反比例函数f (x) k (k 0)
函数的概念
问题1:2010—2018年,我国普通高等学校在四川本科招
生人数情况如下：
年份 2018 2017 2016 2015 2014 2013
理 17.5万人 16.1万人 15.6万人 14.8万人 14.0万人 13.8万人
试回答下列问题： （1）2013年我国在四川本科招生人数为多少？ （2）哪一年的四川本科招生人数为15.6人？ （3）2018年的四川招生人数与2017年相比增加了多少？
为什么？
年份 2018 2017 2016 2015 2014 2013
理 17.5万人 16.1万人 15.6万人 14.8万人 14.0万人 13.8万人
一个物体在490米高的位置从静止 开始下落,下落的距离y(m)与时间 x(s)的关系．( y＝4.9x2 ）
函数的概念
在上述的每一个问题中都含有两个变 量,当一个变量的取值确定后，另一个变 量的值随之惟一确定，每一个问题确定了 一个函数关系．
记作： y＝f (x)，xA
函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中 都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数, 记作： y＝f (x)，xA
其中,x叫做自变量，x的取值范围A叫
做函数的定义域;
函数的概念
1.2.1 函数的概念
第一课时
函数的概念
清晨,SUN从东方冉冉升起;
SUN
随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；
中国的国内生产总值在逐年增长．
想一想:
上述三个现象中,从数学的角度看,你认为有哪些 共同特点？
函数的概念
清晨,太阳从东方冉冉升起; 随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖； 中国的国内生产总值在逐年增长．