2020年江西省南昌二中高考数学校测试卷(文科)(三)
江西省南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学(文科)试题
江西省南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学（文科）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
②命题“ ，使得 ”的否定是：“对 ，均有 ”；
③命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件；
④若函数 在 有极值0，则 ， 或 ， .
A．0B．1C．2D．3
9．已知x，y满足区域D： ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线 ，焦点为 ，圆 ，过 的直线 与 交于 、 两点（点 在第一象限），且 ，直线 与圆 相切，则 （）
（I）求证： 平面 ；
（II）设 ，求三棱锥 夹在平面 与平面 间的体积.
17．已知点M为椭圆 （ ）上一个动点，且点M到两焦点的距离之和为4，离心率为 ，且点M与点N关于原点O对称.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点M作椭圆的切线l与圆C： 相交于A，B两点，当 的面积最大时，求直线l的方程.
18．已知函数 ，
A． B． C． D．
12．若函数 在其定义域上有两个零点，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、解答题
13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为________.
2020年全国卷(3)文科数学
2020年全国卷(3)文科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：1.已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}$，$B=\{x|3<x<15\}$，则$A \cap B$ 中元素的个数为 A。
2 B。
3 C。
4 D。
52.复数 $z\cdot(1+i)=1-i$，则 $z=$ A。
$1-i$ B。
$1+i$ C。
$-i$ D。
$i$3.设一组样本数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 0.01，则数据 $10x_1,10x_2,\dots,10x_n$ 的方差为 A。
0.01 B。
1 C。
100 D。
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$（$t$ 的单位：天）的 Logistic 模型$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。
当 $I(t^*)=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则$t^*$ 约为（$\ln 19 \approx 3$） A。
60 B。
63 C。
66 D。
695.若 $\sin\theta+\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=1$，则$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=$ A。
$\frac{3}{4}$ B。
$\frac{1}{4}$ C。
$-\frac{1}{4}$ D。
$-\frac{3}{4}$6.在平面内，$A,B$ 是两个定点，$C$ 是动点，$AC\cdot BC=1$，则点 $C$ 的轨迹是 A。
圆 B。
椭圆 C。
抛物线 D。
直线7.设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线$C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点，若 $OD\perp OE$，则$C$ 的焦点坐标为 A。
2020届江西省南昌二中高三高考校测(一)数学(文)试题(解析版)
2020届江西省南昌二中高三高考校测（一）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()UA B =（ ）A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】C【解析】根据补集的运算，求得{|0Ux A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤， 可得{|0Ux A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}UA B ⋂=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i -- D ．4-【答案】B【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3．已知实数.a b ，则“2ab ≥”是“224a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识． 充分性：由均值不等式；必要性：取，显然得不到2ab ≥．故“2ab ≥”是“224a b +≥”的充分不必要条件，选A ．4．若函数()()sin 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()12sin 2sin 23f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值， ∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ， ∵0>ω， ∴ω的最小值为52. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.5．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）． A ．35 B ．33C ．31D ．29【答案】C【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ． 【考点】等比数列的通项公式及性质． 6．已知向量()3,0a =，(),2b x =-，且()2a a b ⊥-，则⋅=a b （ ）A ．-B ．C ．32-D ．32【答案】D【解析】先由题意，求出()232,4a bx -=-，再由向量垂直的坐标表示列出方程求出x =，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果. 【详解】 因为向量()3,0a =，(),2b x =-， 则()232,4a b x -=-；又()2a a b ⊥-，则()20aa b ⋅-=，)2040x +⨯=，解得x ；所以()33·3022a b =⨯+⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题.7．我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为（ ）A ．20B ．25C ．30D ．75【答案】B【解析】利用循环结构依次推理计算即得结果. 【详解】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的n ，m ，s 的值，即可得出跳出循环时输出n 的值.解：输入20n =，80m =，100s ≠，21n =，79m =，100s ≠， 22n =，78m =，100s ≠， 23n =，77m =，100s ≠， 24n =，76m =，100s ≠， 25n =，75m =，100s ，输出25n =， 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，属于基础题.8．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>【答案】A【解析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小. 【详解】 由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题． 9．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②．所以②选项是正确的； 当a =0时,则()1f x x=,其定义域为：{x |x ≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的． 本题选择C 选项.10．已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===，90ABC ︒∠=，则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )A ．3B ．1C ．12D ．3 【答案】B【解析】画图分析可知O 到面ABC 的距离为定值,故只需求底面ABC 的面积最大值,再根据基本不等式的方法求解即可. 【详解】如图,设PO 交平面ABC 于D .因为2PA PB PC ===,由球的对称性有PD ⊥底面ABC .又PB PO OB ==,PO DB ⊥.故1PD OD ==.3DB =,23AC =因为90ABC ︒∠=,所以111326O ABC V AB BC OD AB BC -=⨯⋅⨯=⋅. 又222122AB BC AC AB BC +==≥⋅.故6AB BC ⋅≤. 故116O ABC V AB BC -=⋅≤.当且仅当6AB BC ==时取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.11．已知1F ，2F 分别是双曲线22:143x y C -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆22:(3)1E x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．6D ．3【答案】A【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，可得焦点坐标，求得圆E 的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值. 【详解】双曲线22143x y -=中2a =，b =c ==1(F ，2F ，0)，圆E 半径为1r =，(0,3)-E ，21124AF AF a AF ∴=+=+，1AB AE BE AE -=-(当且仅当A ，E ，B 共线 且B 在A ，E 之间时取等号)，21111433AB AF AE AF AF AE EF +-++=+++37==，当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号.2AB AF ∴+的最小值是7.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.12．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e---【答案】A【解析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x a f x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21Ma --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题13．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____. 【答案】1【解析】求出导函数，根据0x =处的导数值为1，即可求得参数的值. 【详解】因为x y axe =，故可得()xy eax a ='+，又x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直， 故01x y a ='==.故答案为：1. 【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值，属基础题.14．如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边CD 的中点，13DF DA →→=，若·4AE BF →→=-，则cos DAB ∠=___________.【答案】14【解析】直接利用三角形法则和向量的线性运算和向量的数量积的运算的应用求出夹角的余弦值. 【详解】因为平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 是边CD 的中点，13DF DA →→=，∴12AD DE AD AB AE →→→→→=+=+，23BF AF AB AD AB →→→→→=-=-，∴2212212()()23323AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB →→→→→→→→→→⋅=+⋅-=--⋅222123434cos 323BAD =⨯-⨯-⨯⨯⨯∠ 688cos 4BAD =--∠=-，所以1cos 4DAB ∠=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.15．如图，在一个底面边长为4cm 的正六棱柱容器内有一个半径为23cm 的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm .【答案】43π 【解析】由题意可求球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为32883234433243h ππ-==，即可求水面下降高度．【详解】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，水面高度为3此时正六棱柱容器中水的体积为2134643323288323V ππ=⨯⨯=-， 若将铁球从容器中取出，则水面高度3234433243h ππ==，则水面下降4443(43)33ππ=. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.16．在数列{}n a 中，11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，则n S 为___________. 【答案】13(1)3n- 【解析】将122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+化为1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，再由等比数列的定义和通项公式､求和公式，可得所求和. 【详解】解：由11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，可得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n n n n a a n ------+=++--⋅+，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项､2为公差的等差数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n nS -==--.故答案为：13(1)3n-. 【点睛】本题考查数列的通项公式和求和公式，构造等比数列是解题的关键，考查转化思想和运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知3()22sin()sin()2f x x x x ππ=++-，x ∈R ， （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且()f A =，3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）()f x 的最小正周期为：π；函数()f x 单调递增区间为： 511[,]()1212k k k Z ππππ++∈；（2. 【解析】（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可； （2）由（1）结合()f A =，求出A 的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可. 【详解】 （1）3()3cos 22sin()sin()23cos 22cos sin 3cos 2sin 22cos(2)6f x x x x x x x x x x πππ=++-=-=-=+()f x 的最小正周期为：22T ππ==； 当2222()6k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时，即当511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为：511[,]()1212k k k Z ππππ++∈； （2）因为()3f A =-，所以3()2cos(2)3cos(2),6675(0,),2(,)2.2666663f A A A A A A A πππππππππ=+=-⇒+=-∈∴+∈∴+=∴=设BC 边上的高为h ，所以有113sin 22ah bc A h bc =⇒=， 由余弦定理可知：22222222cos 929a b c bc A b c bc b c bc bc =+-⇒=+-+≥∴≤（当用仅当b c=时，取等号），所以333h bc =≤，因此BC 边上的高的最大值33. 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数： 温度（单位：C ︒）21 23 24 27 29 32死亡数y （单位：株）61120275777经计算：611266i i x x ===∑，611336i i y y ===∑，()()61557i i i x x y y =--=∑，()62184ii x x =-=∑，()6213930i i y y =-=∑，()621ˆ236.64i i y y=-=∑，8.0653167e ≈，其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i =.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2303ˆ0.06xye =，且相关指数为20.9522R =.（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i ni i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-；相关指数为：()()22121ˆ1ni i i niii v vR v v ==-=--∑∑.【答案】（1）ˆy =6.6x −139.4；（2）（i ）回归方程0.2303ˆ0.06xy e =比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好；（ii ）190.【解析】（1）根据公式，结合已知数据，分别求得ˆˆ,ba ，则问题得解； （2）根据相关指数的计算公式，结合已知数据，求得2R ，再进行比较即可； （3）将35x =代入回归方程，即可求得结果. 【详解】(Ⅰ)由题意得，()()()121557ˆ 6.6384nii i nii xx y y bxx ==--==≈-∑∑∴ˆa=33−6.63⨯26=−139.4， ∴y 关于x 的线性回归方程为：ˆy=6.6x −139.4． (Ⅱ) （i ）线性回归方程ˆy=6.6x −138.6对应的相关指数为： ()()6221621ˆ236.641110.06020.93983930ii i i i i yyR y y ==-=-=-≈-=-∑∑，因为0.9398＜0.9522，所以回归方程0.2303ˆ0.06xye =比线性回归方程ˆy=6.6x −138.6拟合效果更好． （ii ）由（i ）知，当温度35C x ︒=时，0.2303358.06050.060.060.063167190ˆye e ⨯==≈⨯≈， 即当温度为35︒C 时该批紫甘薯死亡株数为190. 【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解、相关指数的求解，以及用回归直线方程进行估算，属综合中档题.19．已知四棱台1111ABCD A B C D -的下底面是边长为4的正方形，14AA =，且1AA ⊥面ABCD ，点P 为1DD 的中点，点Q 在BC 上，3BQ QC =，1DD 与面ABCD 所成角的正切值为2.（1）证明：//PQ 面11A ABB ；（2）求证：1AB ⊥面PBC ，并求三棱锥1Q PBB -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，6.【解析】（1）取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H ，可证四边形PQBE 为平行四边形，得出//PQ BE ，故而//PQ 面11A ABB ；（2）由1AA ⊥面ABCD 可得1AA BC ⊥，由相似三角形可得1AB BE ⊥，故而1AB ⊥平面PEBC ，求出1B 到平面PEBC 的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积. 【详解】（1）证明：取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H .1AA ⊥面ABCD ，11//AA D H ，1D H ∴⊥面ABCD .1D DA ∴∠为1DD 与面ABCD 所成角. ∴12AA DH=，又14AA =， 2DH ∴=.112A D ∴=.111()32PE A D AD ∴=+=， 334BQ BC == 又//,//EP AD EP BQ ，∴四边形PQBE 为平行四边形，//PQ BE ∴，又PQ ⊂/面11A ABB ，BE ⊂面11A ABB ， //PQ ∴面11A ABB .（2）1AA ⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，1ABAA A =，BC ∴⊥面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ∴⊥.在梯形11A ABB 中，Rt BAE Rt ∆≅△11AA B ，111190B AE AEB B AE AB A ∴∠+∠=∠+∠=︒，1AB BE ∴⊥，又BEBC B =，BE ⊂平面PEBC ，BC ⊂平面PEBC ，1AB ∴⊥面PEBC .设1AB BE M ⋂=，2AE =，4AB =，25BM ∴=，112A B =，14AA =，125AB ∴=，·4525AE AB AM BE ∴===， 1165B M AB AM ∴=-=， 又334BQ BC ==， ∴11111165·3256332Q PBB B PBQ PBQ V V S B M --∆===⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.20．已知曲线C 上的点到点()1,0F 的距离比到直线:20l x +=的距离小1，O 为坐标原点.（1）过点F 且倾斜角为45的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求MON △的面积； （2）设P 为曲线C 上任意一点，点()2,0N ，是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22（2）直线l 存在，其方程为1x =，定值为2.【解析】（1）利用抛物线的定义可求得曲线C 的方程，由题意可得直线MN 的方程为1y x =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得MON △的面积；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，并设点()00,P x y ，求出以PN 为直径的圆的方程，将x a =代入圆的方程，求出弦长的表达式，进而可求得a 的值，由此可求得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意得，曲线C 上的点到点()1,0F 的距离与到直线:1l x =-的距离相等， 所以曲线C 的方程为：24y x =.过点F 且倾斜角为45的直线方程为1y x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，则124y y +=，124y y ⋅=-，则1212MAN S y y =-==△；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，设点()00,P x y ， 则以PN 为直径的圆的方程为()()()0020x x x y y y --+-=， 将直线x a =代入，得()()20020y y y a a x -+--=，则()()()()2000424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦，设直线l 与以PN 为直径的圆的交点为()3,A a y 、()4,B a y ， 则340y y y +=，()()3402y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==，当10a -=，即1a =时，2AB =为定值. 故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，同时也考查了抛物线中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数2()ln 2f x x x x =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间.[,](,)m n m n ∈∈Z Z 内，求n m -的最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为10,2⎛ ⎝⎭，单调减区间为1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）答案见解析.【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出导函数()'g x ，分类讨论()'g x 的正负，确定()g x 的单调性，再根据零点存在定理确定零点存在的区间．首先确定(0,1)上有一个零点，然后确定1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,3)，(3,)+∞上有否零点，从而可得n m -的最小值．【详解】（1）2()ln 2f x x x x =+-的定义域为(0,)+∞，21221()22x x f x x x x'-++=+-=，令()0f x '=，得112x =，212x -=（舍）.当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当⎫+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，因此，函数()f x 的单调增区间为⎛ ⎝⎭，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （2）2()ln 2cos g x x x x x =+--，当(0,1)x ∈时，1()22sin g x x x x'=+-+， 因为1()22f x x x'=+-单调递减， 所以()12201g x '>+-+=，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)1cos10g =->，11111ln cos 0442164g ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭， 所以存在唯一1(0,1)x ∈，使得()10g x =.当1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又22102g πππ⎛⎫'=+-+>⎪⎝⎭， 所以()0g x '>，()g x 在1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增. 因为(1)1cos10g =->，所以()0>g x ，故不存在零点.当,32x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又02g π⎛⎫'>⎪⎝⎭，1(2)24sin 202g '=+-+<， 所以存在0,22x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，使得()00g x '=. 当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()0,3x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减.又2ln 0224g ππππ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，(2)ln 2cos 20g =->，(3)ln 369cos30g =+--<，所以存在唯一2(2,3)x ∈，使得()20g x =.当[3,)x ∈+∞时，22()12130g x x x x x x <-+-+=-+≤，故不存在零点. 综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1(0,1)x ∈，0(2,3)x ∈， 因此n m -的最小值为3. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点．解题关键是掌握导数与单调性的关系．本题对学生分析问题解决问题的能力，转化与化归能力要求较高，本题属于难题．22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积. 【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1【解析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积． 【详解】解：（1）1cos :1sin x t C y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M 到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．第 1 页 共 6 页 23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【答案】（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。
【2020年数学高考】江西省南昌市第二中学2020届高三上学期第七次月考(期末)数学(文).doc
南昌二中2017～2020学年度上学期第七次考试高三数学（文）试卷一、选择题（每小题5分，共60分。
每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．设集合{}2M x x x ==，{}lg 0N x x =≤，则M N =（ ）A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. (,1]-∞2．设i 是虚数单位，若()52ii x yi i+=-,x ,y R ∈，则复数x yi +的共轭复数是（ ） A. 2i -B. 2i --C. 2i +D. 2i -+3．设p :()21f x x mx =++在()2,+∞内单调递增,q :4m >-，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ）A.2或2 B. 2C.25．若,m n 是两条不同的直线， ,,αβγ是三个不同的平面，下面说法正确的是（ ） A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥B. 若,αγαβ⊥⊥，则γβ⊥C. 若,,//m n m n αγβγ⋂=⋂=，则//αβD.若,//m m βα⊥，则αβ⊥6．在ABC ∆中， D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF x AB y AC =+，若不等式212a at x y+≥+对[]2,2t ∈-恒成立，则a 的最小值为（ ） A. -4B. -2C. 2D. 47．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）C. D. 18．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A.316B.38C.14D.189．已知函数()2sin cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>）的相邻两 个零点差的绝对值为4π，则函数()f x 的图象（ ） A. 可由函数()cos4g x x =的图象向左平移524π个单位而得B. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移524π个单位而得C. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移724π个单位而得D. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移56π个单位而得10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.316π B. 318π C. 48164π11．已知抛物线21:4C y x =和圆()222:11C x y -+=，直线()1y k x =-与12,C C 依次相交于()()1122,,,,A x y B x y()()3344,,,C x y D x y 四点（其中1234x x x x <<<）， 则AB CD ⋅的值为（ ）A. 1B. 2C. 24kD. 2k12．已知实数0a >，函数()f x = ()112,02{1,022x x ae x a ae x a x x --+<+-++≥，若关于x 的方程()2aa f f x e -⎡⎤-=+⎣⎦有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 21,2e ⎛⎫+⎪⎝⎭ B. 22,2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 12,2e ⎛⎫+⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13．已知奇函数()f x 的图像关于直线对称，当[]0,3x ∈时， ()f x x =-，则()16f -=__________．14．已知x ，y 满足约束条件20,{20, 4180,x y x y x y -≤-≥+-≤则目标函数328xy z =的最小值为__________．15．在ABC ∆中，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，且,4cos cos a b c A B==，则OA AB ⋅=_______. 16．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2MA MO =，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且2211b S +=，3329S b =．（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)2n n n na c nb --=⋅，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求1n n T T -（*n N ∈）的最大值与最小值．18．（本小题满分12分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为,A B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图， 表一(I)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；(Ⅱ)某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；(Ⅲ)在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%， B 类女生占女生总数的比例为1k ， B 类男生占男生总数的比例为2k ，判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11AAC C ， 1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .(I)求证： 1A C ⊥平面1ABC ； (Ⅱ)求证： 1//AA EF ；(Ⅲ)记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若直线l ： 2y kx =+与椭圆C 相交于A ， B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +为定值？若存在，求出点D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()222x e f x e x=+， ()3ln g x e x =，其中e 为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性.(Ⅱ)试判断曲线()y f x =与()y g x =是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线l 的方程；若不存在，请说明理由.四、请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ： 21sin ρθ=-，直线l ： {x tcos y tsin αα==（t 为参数， 0απ≤<）. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点（A 在第一象限），当30OA OB +=时，求α的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =+．（I ）求不等式()103f x x ≤--的解集；（II ）若正数m ， n 满足2m n mn +=，求证： ()()216f m f n +-≥．南昌二中2017～2020学年度上学期第七次考试高三数学（文）试卷参考答案一、选择题1．设集合{}2M x x x ==，{}lg 0N x x =≤，则M N =（ ）A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. (,1]-∞ 【答案】A【解析】试题分析：,,所以，故选A. 考点：集合的运算.2．设i 是虚数单位，若()52ii x yi i+=-， x ， y R ∈，则复数x yi +的共轭复数是（ ） A. 2i - B. 2i -- C. 2i + D. 2i -+ 【答案】A 【解析】()()5i 2i 5i i i i,12i 2i 5x y y x ++=-+==-+-，根据两复数相等的充要条件得2,1x y ==，即i 2i x y +=+，其共轭复数为i 2i x y -=-，故选A.3．设p ： ()21f x x mx =++在()2,+∞内单调递增， q ： 4m >-，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】∵()21f x x mx =++在()2,+∞内单调递增，∴42m-≤，解的4m ≥-，故则p 是q 的必要不充分条件，故选B.4．已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ）【答案】B【解析】由题意得216m =，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214y x +=，故离心率为2c e a ====；当4m =-时，曲线方程为2214y x -=，故离心率为c e a ====B ． 5．若,m n 是两条不同的直线， ,,αβγ是三个不同的平面，下面说法正确的是（ ） A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B. 若,αγαβ⊥⊥，则γβ⊥C. 若,,//m n m n αγβγ⋂=⋂=，则//αβD.若,//m m βα⊥，则αβ⊥ 【答案】D【解析】若,m βαβ⊂⊥，则m 与α平行，相交或m α⊂，故A 不正确；若,αγαβ⊥⊥，则γ与β相交或平行，故B 不正确；若,m αγ⋂= n βγ⋂=， //m n ，则//αβ或α与β相交，故C 不正确；若,//m m βα⊥，则αβ⊥， //m α，根据线面平行的性质在α内至少存在一条直线'm 与m 平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直这个平面，那么另一条也垂直于该平面， 'm β⊥，可得αβ⊥，故D 正确，故选D.6．在ABC ∆中， D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF x AB y AC =+，若不等式212a at x y+≥+对[]2,2t ∈-恒成立，则a 的最小值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】B【解析】根据图像知道点DFC 三点共线，故AF x AB y AC =+ 2x AD y AC =+，由共线定理得到21,x y += 则()124248y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故问题转化为28a at ≥+，对[]2,2t ∈-恒成，因为不等式是关于t 的一次函数，故直接代入端点即可， []22280{ 2,2280a a a a a +-≤⇒∈---≤ a 的最小值为-2. 故答案为：B 。
2020年江西省南昌二中高考数学质检试卷(文科)(7月份) (解析版)
2020年江西省南昌二中高考数学质检试卷（文科）（7月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则∁R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．∅C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n 的比值＝（）A．B．C．2D．34．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．1375．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．96．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．312．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）101113128发芽数y2325302616（颗）（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n 均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x．（参考公式：回归直线方程为＝x ，其中＝，＝x）19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB ＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；BCD间的体积．（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则∁R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．∅C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）解：因为A＝{x||2x﹣1|≥3}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，所以∁R A＝（﹣1，5），B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}＝{x|x＞3或x＜﹣4}，故选：B．2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：∵复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，∴，解得tanθ＝2．故选：C．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n 的比值＝（）A．B．C．2D．3解：根据茎叶图知，乙的中位数是31，∴甲的中位数也是31，即＝31，又甲的平均数是×（24+29+33+42）＝32，∴n＝9；故选：A．4．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．137解：在等差数列{a n}中，∵a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，故选：B．5．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．9解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣3）x+y﹣1＝0，l2：x+6by+1＝0，且l1⊥l2，∴（a﹣6）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab≤，≥8，当且仅当a＝2b＝时，等号成立．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝tan+tan+…+tan的值，由于tan的取值周期为6，且2017＝336×6+2，故选：C．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意，设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，其底面面积S＝πr2，侧面积S侧＝2πr•h，若侧面积是底面积的3倍，即2πr•h＝4πr2，则有h＝3r，若|PO|≤r，则P在以O为球心，半径为r的球内，其体积V′＝，故选：C．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x7+x+1≥0”，故②错误；对于④：f'（x）＝3x2+6ax+b，因为f（x）在x＝﹣1有极值0，故，解得当a＝1，b＝3时，f'（x）＝3x7+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；故选：A．9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．解：作出不等式表示的平面区域如图所示，令t＝，则t∈[0，8]，t+1∈[1，3]，＝＝．而当1+t＝1时，1+t+﹣3＝1，当1+t＝3时，1+t+﹣3＝1，∴的取值范围是[，1]．故选：C．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，f（x）＝＝，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象向x轴靠近，排除C；故选：D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．3解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，解得x1＝1．∴，则直线l的方程为y＝，即3x+4y﹣6＝0．则圆M的圆心坐标为（1，﹣2），半径为．故选：B．12．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））解：函数定义域为（0，+∞），由f（x）＝0有两个根，而f（1）＝2，所以x＝1不是方程的根，即直线y＝a与函数y＝有两个交点，，．由图可知，a的取值范围是（4（1+ln4），+∞）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．解：由三视图还原原几何体如图，PA⊥底面ABC，且AB＝PA＝2，∴BC⊥平面PAC，得BC⊥PC，取PB中点O，则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，∴这个几何体的外接球的体积为．故答案为：．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．解：根据题意，作出如下所示的图形：同理可得，＝+，＝++＝．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2①，当n＝1时，．①﹣②得3（S n﹣S n﹣1）+（a n﹣a n﹣1）＝0，所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．所以．所以T50＝c1+c2+…+c50＝＝．故答案为：．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．解：根据题意知，大正方形的边长为，面积为a2+b2，小正方形的面积为（a2+b6）﹣4×ab＝a4+b2﹣2ab；∴﹣3（）+1＝0，又a＞b，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比数列，∴＝a4•a6，即＝a1•（a1+5d）②，∴a n＝a2+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．把A（﹣1，）代入函数y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵A（﹣1，），B（5，﹣），在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，又5＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝（）×（）﹣×＝．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）101113128发芽数y（颗）2325302616（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m ，n 均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x．（参考公式：回归直线方程为＝x，其中＝，＝x）解：（1）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．（2），故所求线性回归方程为．19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB ＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积．解：（Ⅰ）证明：由已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，得DC⊥BC，AB⊥AD，∴AB⊥平面BCD，得AB⊥DC，∴DC⊥平面ABC；∵CD＝2，∴BD＝AB＝4，BC＝2，则．由（Ⅰ）知DC⊥平面ABC，则EF⊥平面ABC．∴．∴三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积为．20．已知点M为椭圆上一个动点，且点M到两焦点的距离之和为4，离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB的面积最大时，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a＝4，即a＝2，又e＝＝，可得c＝，b＝＝1，（Ⅱ）设M（m，n），由题意可得N（﹣m，﹣n），可得过M的切线的斜率为﹣，化为mx+4ny＝4，圆C的圆心为（7，0），半径为2，可得圆心到切线的距离为，故S△NAB＝•2•＝•2|n|＝≤＝4，则当△NAB的面积最大时，直线l的方程为x+8y﹣12＝0，或x﹣8y﹣12＝0，或x+8y+12＝0，或x﹣8y+12＝0．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．解：（Ⅰ）依题意，f′（x）＝1+lnx+1＝lnx+2，故k＝f′（1）＝2，又f（1）＝3，（Ⅱ）由题意可知，g（x）＝（2﹣a）x﹣2ln（x+1）（x＞﹣1），则，∴6﹣a＞0，∴函数g（x）在上单调递减，在单调递增，①当，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，∴；②当，即时，g（x）在[0，3]单调递减，∴g（x）min＝g（3）＝8﹣3a﹣2ln4；综上，当时，；当时，g（x）min＝6﹣3a﹣4ln2．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab＝1，或a+b＝0，①ab＝6时，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，②a+b＝0时，a，b异号，ab＜0，（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥7，a＝1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥8恒成立，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥4得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．。
【精品】2020年江西省南昌二中高三高考数学(文科)校测试题(一)(含解析)
2020年江西省南昌二中高三高考数学（文科）校测试题（一）一、单选题1．2019年是新中国成立70周年，某学校为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则4个剩余分数的方差为（ ）A ．1B ．32 C ．4 D ．62．如图所示的图形可以作为某个函数图象的是( )A ．B ．C ．D ．3．已知圆锥的体积为9π，母线与底面所成的角为45︒，则该圆锥的母线长为（ ）A B C ．D ．4．若()()2,3,4,7a b ==-，b 方向上的单位向量为e .则a 在b 上的投影向量为（）A ．5eB eC eD e5．执行如图所示的程序框图，则输出a =（ ）A ．6B ．6.25C ．6.5D ．6.86．“0a b >>”是 “22a b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合{}2|340,{|273}A x x x B x x =+-<=+≥，则AB =（ ） A ．1{|}4x x -≤< B ．1{|}4x x -<≤C ．{|21}x x -≤<D ．{|21}x x -<≤ 8．若复数2z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +⋅=（ ）A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．39．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ）A ．-4B ．-6C ．-8D ．-10 10．对任意实数,a b 定义运算“”，,,,b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩，设2()(2)(4)f x x x =--，有下列四个结论：①()f x 最大値为2；②()f x 有3个单调递减区间；③()f x 在3[,1]2--是减函数； ④()f x 图象与直线y m =有四个交点，则02m ≤<，其中正确结论有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个11．已知圆22240x y x my +-+-=上两点M ，N 关于直线20x y +=对称，则圆的半径为（ ）．A ．9B ．3C ．D ．212．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对于任意x ∈R ，都有()( 0)0f f π+=，且()f x 在()0,π有且只有5个零点，则ω=（ ）A ．112B ．92C ．72D ．52二、填空题13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，1AC BC ==，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AN MP ⋅的取值范围为______ .14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()12n n a S n N *+=∈，则n a = ____． 15．函数()y f x =在1x =处切线方程为10x y -+=，则()()1'1f f +=______.16．轴截面为正方形的圆柱的侧面积为8π，则此圆柱的体积为__________．三、解答题17．（本小题满分13分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A,B 两点.椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =（Ⅰ）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过A,B 两点分别作抛物线C 的切线12,l l ，切线12l l 与相交于点M.证明AB MF ⊥；（Ⅲ）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A M B ''''，（,A B ''为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线M A M B ''''，所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.18．设()236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最大值及取到最值时x 的取值集合；（2）求()f x 的单调区间；（3）若锐角α满足()3f α=-tan 2α的值.19．凤天路上某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系. (附：回归直线方程y bx a =+中，1122211()()()n n i i i i i i n n i ii i x x y y x y nx y b xx x nx ====---⋅==--∑∑∑∑ ，a y bx =-)（1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程；（2）试估计这家面馆第6天的营业额.20．在直角坐标系xOy 中，已知点()6,2Q ，曲线1C 的参数方程为28682x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），点P 是曲线1C 上的任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于点O ，A ，射线OA 逆时针旋转90︒交曲线2C 于点B，且3OA OB ⋅=，求k . 21．如图，已知三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（2）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积.22．已知函数()()221f x m x x x R =---+∈.（1）当4m =时，求不等式()20f x +>的解集；（2）若函数()f x 的图象与函数223y x x =++的图象存在公共点，求实数m 的取值范围.23．已知函数． （1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．参考答案1．B先分析得到x ≥3，再确定剩下的四个数并求它们的方差得解.数据93，90，90，91的平均数为91，由题意可得3x ≥，所以4个剩余分数为93，90，90，91，则4个剩余分数的方差为222221(9391)(9091)(9091)(9191)4S ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦32=. 故选B本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．B根据函数定义，选项,,A C D 为错误，选项B 正确.根据函数的定义，定义域中的任一自变量只有唯一的函数值对应，选项,,A C D 均不满足定义，所以错误；选项B 满足.故选:B.本题考查识别图像是否表示函数，考查函数定义的理解，属于基础题.3．D先设圆锥底面圆半径为r ，圆锥母线长为l ；根据圆锥的体积，以及母线与底面所成的角为45︒，即可列出方程组，求出结果.设圆锥底面圆半径为r ，圆锥母线长为l ，由圆锥的体积为9π，母线与底面所成的角为45︒，可得19345r r cos l ππ︒⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3l r ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故选D本题主要考查圆锥的有关计算，熟记圆锥的体积公式等即可，属于常考题型.4．A由向量的投影计算公式，代值计算即可求得.由向量的投影计算公式可得，故a 在b 上的投影向量为65565a b e e e b ⋅==. 故选：A .本题考查向量的投影计算公式，属基础题.5．A 分析：根据框图，先求得91101a =+=，然后执行循环体，求,k b 的值，判断条件，满足，b 的值赋给a ，再执行循环体，直到不满足条件a b >时，输出a 的值。
江西省南昌市第二中学2020届高三数学下学期校测试题（三）理
江西省南昌市第⼆中学2020届⾼三数学下学期校测试题（三）理江西省南昌市第⼆中学2020届⾼三数学下学期校测试题（三）理第I 卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合4{log 1}M x x =<，{2}M N =，则集合N 可以是（）A.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{2,3,4}2.若复数z 的其共轭复数z 满⾜i iz311+=+，则复数z 为（） A.i 42-- B. i42+- C. i 44- D. i 44+3. “数摺聚清风，⼀捻⽣秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出⼊怀袖，扇⾯书画，扇⾻雕琢，是⽂⼈雅⼠的宠物，所以⼜有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的⽰意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取⼀点，则此点取⾃扇⾯（扇环）部分的概率是（）A ．14B ．12C ．58D ．434．设52-=a ，5log 2b =，8log 5c =,则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<5. 已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥??+≥??-≥?表⽰的平⾯区域内，则22m n +的最⼩值为（）A.25105 C.49 D.23 6. 函数()()2cos ln1xf x x x=+-的部分图象⼤致为（）A.B.C.D.7. 明代数学家程⼤位（1533~1606年），有感于当时筹算⽅法的不便，⽤其毕⽣⼼⾎写出《算法统宗》，可谓集成计算的⿐祖．如图所⽰的程序框图的算法思路源于其著作中的“李⽩沽酒”问题．执⾏该程序框图，若输出的y 的值为2，则输⼊的x 的值为（） A ..74 B. 5627 C. 2 D. 164818.=?-=?==?AC AB BE AD AC E DC BD AC AB ABC ，则4的中点，若是2中，,,( )A. 0B. 2C. 4D. 89. 已知数列{}n a 为等差数列, n S 是其前n 项和, 255,35==a S .数列?+11n n a a 的前n项和为n T ,若对⼀切*∈n N 都有n T m >+12恒成⽴,则m 能取到的最⼩整数为( ) A. 1- B. 0 C. 1 D. 210. 在棱长为2的正⽅体1111ABCD A B C D -中，E 是正⽅形11BB C C 的中⼼，M 为11C D 的中点，过1A M 的平⾯α与直线DE 垂直,则平⾯α截正⽅体1111ABCD A B C D -所得的截⾯⾯积为（） A.24 B. 26 C.52D. 10211.已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ,使得经过点T 所作的圆222()x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离⼼率的取值范围是A ． (30,] B ．（3,1]C ．(32,] D ．（2,1]12.已知函数()??≤<≤≤--=ex x x x x f 00212,ln ,，⽅程()a x f =恰有两个不同的实数根)(,2121x x x x <,则221x x +的最⼩值与最⼤值的和( )A. e +2B. 2C. 36-+eD. 34-+e第II 卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 宣传费⽤x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元） 45 24 a 50根据上表可得回归⽅程?9.6 2.9y x =+a 为．14．定义在R 上的函数)(x f 满⾜对任意的y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+.设2x x x f x g ++=sin )()(，若202010=)(g ，则=-)(10g ．15. 已知22024a x dx π=-?，若2020(1)-=ax 220200122020()++++∈b b x b x b x x R ，则20201222020222+++b b b 的值为______. 16.⾼三年级毕业成⼈礼活动中，要求A,B,C 三个班级各出三⼈，组成33?⼩⽅阵，则来⾃同⼀班级的同学既不在同⼀⾏，也不在同⼀列的概率为 .三、解答题：共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考⽣都必须作答.第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答. (⼀)必考题：共60分.17. （本⼩题满分12分）如图，在ABC ?中，点P 在边BC 上， .4,2,3=+==PC AC AP C π. (1) 求APB ∠的⼤⼩；(2)若25的⾯积为ABC ?，求PAB ∠sin 的值.18. （本⼩题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧⾯PAD 为等边三⾓形且垂直于底⾯ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． (1)证明：直线CE ∥平⾯PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底⾯ABCD 所成⾓为o 45，求⼆⾯⾓M AB D --的余弦值．19. （本⼩题满分12分）已知点F 1，F 2为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，F 1，F 2都在圆E ：22302yx y +--=上，椭圆C 和圆E 在第⼀象限相交于点P ，且线段PF 1为圆E 的直径．（1）求椭圆C 的⽅程；（2）椭圆C 的左、右顶点分别为M ，N ，过定点Q 的直线l: x ＝ty ﹣2（t +1）与椭圆C 分别交于点A ，B ，且点A ，B 位于第⼀象限，点A 在线段BQ 上，直线OQ 与NA 交于点C ．记直线MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2．求证：k 1k 2为定值．20. （本⼩题满分12分） 2019年由袁隆平团队研发的第三代杂交⽔稻10⽉21⽇⾄22⽇⾸次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公⽄，第三代杂交⽔稻的综合优势可以推动我国的⽔稻⽣产向更加优质、⾼产、绿⾊和可持续⽅向发展．某企业引进⼀条先进的⾷品⽣产线，计划以第三代杂交⽔稻为原料进⾏深加⼯，创建⼀个新产品，已知该产品的质量以某项指标值([70,100])k k ∈为衡量标准，其质量指标的等级划分如表：质量指标值k 10090<≤k 9085<≤k 8580<≤k 8075<≤k7570<≤k产品等级废品合格良好优秀良好机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到产品质量指标值k 的频率分布直⽅图（如图）．（1）若从质量指标值不⼩于85的产品中利⽤分层抽样的⽅法抽取7件产品，并采集相关数据进⾏分析，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值[90k ∈，95)的件数X 的分布列及数学期望；（2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件产品，记“抽出的产品中⾄少有1件为合格或合格以上等级”为事件A ，求事件A 发⽣的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如表所⽰(14):t << 质量指标值k 10090<≤k 9085<≤k 8580<≤k 8075<≤k7570<≤k利润y （元) t e -t 2t 4t 3tt 考数值：20.7ln ≈，3 1.1ln ≈，5 1.6)ln ≈．21. （本⼩题满分12分）已知函数()ln f x kx x =-，()k R ∈(1)讨论函数()f x 的单调性(2)若()f x 有两个零点1212,()x x x x <证明：ek x e x ->(⼆)选考题：共10分请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答.如果多做，则按所做的第⼀题计分.选修4-4：坐标系与参数⽅程 22．（本⼩题满分10分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，曲线C 的直⾓坐标⽅程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴⾮负半轴为极轴，建⽴极坐标系，直线l 的极坐标系⽅程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标⽅程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23. （本⼩题满分10分）已知函数21++-=x a x x f )((1) 当1=a 时，求不等式4≤)(x f 的解集；(2)当1-南昌⼆中 2020 届⾼三校测(三)数学(理)试卷参考答案C AD A A A C D B B C C27a = -1820 -11140⼩题详解：10. 【解析】由如图，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ，则平⾯1A MCN 即为平⾯α．证明如下：由正⽅体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M CN N 四点共⾯，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平⾯DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NCMC C =，则DE ⊥平⾯1A MCN ，所以平⾯1A MCN 即平⾯α，且四边形1A MCN 即平⾯α截正⽅体1111ABCD A B C D -所得的截⾯．因为正⽅体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对⾓线123AC =，22MN =，所以其⾯积1S ==. 11.【解析】b a >，所以离⼼率212c b e a a ??==+>，圆222()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆⼼，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，⽽焦点(,0)F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以2TF a b =≥，即2ba≤，所以213c b e a a ??==+≤，所以双曲线M 的离⼼率的取值范围是(2,3]．12. 【解析】函数()≤<≤≤--=ex x x x x f 00212,ln ,的图像为：则[](],ln ,,,,2213211且02x x e e x x =-∈-∈-所以(]e e x x x x x ,,ln 32222211-∈+-=+ 令()(]()x x x x g e e x x x x g 111则13-=+-=∈+-=-/,,,ln ,所以()()()()33421--+====e e g x g g x g max min ,，选C.15. 【解析】由积分的⼏何意义知221(2)24a ππ==，220200122020(12)-=++++x b b x b x b x 中，01b =，令12x =，则2020120220200222++++=b b b b ，∴202012220201222+++=-b b b ． bTFO16. 【解析】⾸先，第⼀⾏队伍的排法有33A 种；第⼆⾏队伍的排法有2种；第三⾏队伍的排法有1种；然后，第⼀⾏的每个位置的⼈员安排有111333C C C 种；第⼆⾏的每个位置的⼈员安排有111222C C C 种；第三⾏的每个位置的⼈员安排有111??种.所以来⾃同⼀班级的同学既不在同⼀⾏，也不在同⼀列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ==. 17. 【解析】（1）32π（6分）（2）38573（12分）18. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF ．因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=?得BC ∥AD ，⼜12BC AD =，所以EF BC ∥，四边形BCEF 是平⾏四边形，CE ∥BF ．⼜BF ?平⾯PAB ，CE ?平⾯PAB ，故CE ∥平⾯PAB ．（5分）（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的⽅向为x 轴正⽅向，AB 为单位长，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,3P ，(1,0,3)PC =-，(1,0,0)AB =，设()(),,01M x y z x <<，则()1,,,(,1,3)BM x y z PM x y z =-=--，因为BM 与底⾯ABCD 所成的⾓为45°，⽽()0,0,1=n 是底⾯ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45BM =?n ，()21zx y z =-++，即()22210x y z -+-=．①⼜M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则 ,1,33x y z λλ===-．②由①②解得21216x y z ?=+==-??(舍去)，21216x y z ?=-?=??=．所以26(1,1,)2M -，从⽽26(1,1,)2AM =-．（9分）设()000,,x y z =m 是平⾯ABM 的法向量，则0,0,AM AB ??=?? =m m 即0000(22)260,0,x y z x ?-++=??=?? 所以可取(0,6,2)=-m ．于是 10cos ,?==m n m n m n ，因此⼆⾯⾓M AB D --（12分）19. 【解析】（1）在圆E 中，令y ＝0可得x ＝3±，所以由题意可得c ＝3，由圆的⽅程可得圆的半径为47，所以由题意可得|PF 1|＝27，连接PF 2，因为F 2在圆上，所以PF 2⊥F 1F 2，⼜有|F 1F 2|＝2c ＝23，则|PF 2|＝,211244922121=-=-F F PF 由题意的定义可得：2a ＝|PF 1|+|PF 2|，可得a ＝2，b 2＝1，所以椭圆的⽅程为：42x +y2＝1；（4分）（2）Q （﹣2，2），设A （x ，y ），B （x '，y '），直线l 的⽅程：x ＝ty ﹣2（t +1），联⽴椭圆的⽅程整理得：（4+t 2）y 2﹣4t （t +1）y +4t （t +2）＝0∴038,0<<->?t ，y +y '＝2414t t t ++)(，yy '＝2424t t t ++)(，（6分）设点C （﹣c ，c ），由A ，C ，N 三点共线点：22-=--x yc c ，所以c ＝22-+-y x y ，（8分）则k 1k 2＝()()()()()22222222222222////////-+--=-++-=+-+-+-?+=+-?+y t y t yy y x x yy y x y y x yx y c c x y()()[]422++-+-=///y y yy t t yy ＝??+++-++?+++-441424242424222t t t t t t t t t t t )()()()(＝41-，所以k 1k 2为定值41-．（12分） 20. 【解析】（1）由频率分布直⽅图得指标值不⼩于85的产品中，[85k ∈，90)的频率为0.0850.4?=， [90k ∈，95)的频率为0.0450.2?=，[95k ∈，100]的频率为0.0250.1?=，∴利⽤分层抽样抽取的7件产品中，[85k ∈，90)的有4件，[90k ∈，95)的有2件，[95k ∈，100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值[90k ∈，95)的件数X 的所有可能取值为0，1，2，(0)7C P X C ===，1225374(1)7C C P X C ===，2125371(2)7C C P X C ===，（4分）()0127777E X =?+?+?=．（5分）（2）设事件A 的合格率为P （A ），则根据概率分布直⽅图得：⼀件产品为合格或合格以上等级的概率为1(0.040.02)50.7p =-+?=，∴事件A 发⽣的概率P （A ）973030703 33...=??=C ．（7分）（3）由频率分布直⽅图可得该产品的质量指标值k 与利润y （元)的关系与表所⽰(14)t <<，0.30.40.30.40.150.3 1.25t t y e t t t t e t =-++++=-+，(14)t <<，则0.3 1.25t y e '=-+，令0.3 1.250t y e '=-+=，解得256t ln =，∴当25(1,)6t ln ∈时，0y '>，函数0.3 1.25t y e =-+单调递增，当25(6t ln ∈，4)时，0y '<，函数0.3 1.25t y e t =-+，单调递减，（10分）∴当256t ln =时，y 取最⼤值2562532550.3 1.25(2523)0.561064ln e ln ln ln ln -+?=-?+?--=，∴⽣产该产品能够实现盈利，当251.46t ln ==时，每件产品的利润取得最⼤值为0.5元．（12分）21. 【解析】（Ⅰ）由题设可得定义域()0,x ∈+∞，()11kx f x k x x-'=-= 01当0k ≤，()1<恒成⽴，()f x 在()0,+∞上单调递减； 02当0k >，()11k x k f x k x x -'=-=， 10,x k ??∈，()0f x '<，故()f x 在10,k ??单调递减；1,x k ??∈+∞ ，()0f x '>，故()f x 在1,k ??+∞单调递增.（5分）（Ⅱ）⽅法⼀：()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则ln xk x=有两解，令()ln x g x x =，()21ln xg x x-'=， ()()()()0,e ,0,e,,0x g x x g x ''∈>∈+∞<，则()()max 1g x g e e==，()()120,,,x e x e ∈∈+∞，（7分）由题意可得，11ln 0..........(1)kx x -=22ln 0. (2)kx x -=1221211ln ln 1ln 1ln ek x e x x ek x ek x x -∴>?->-?+->⼜()()120,,,x e x e ∈∈+∞, 所以1ln 1,x <故121ek x e x ->转化为：只需证明2ln 11x ek +->,设()22ln 1F x x ek =+-（9分）由(2)式可得22ln x k x =，()22222ln ln 1ln 1x F x x ek x e x =+-=+-； ()2222221ln (1ln )1x x e x F x e x x x -+-'=+=，()()()22221ln ,x ,x x e x e ?=+-∈+∞， ()2210ex x ?'=->，(),x e ∈+∞恒成⽴，()()20,x e e ??∴>=>∴()20F x '>，故()F x 在(),e +∞上单调递增，()()211ln F x F e x >=>，即2212ln ln 1ln x x e x x +->，整理可得121ek xe x ->.（12分）⽅法⼆：由（1）知，()f x 有两个零点12,x x ，则0k >且1()1ln 0f k k=+<，得10k e<<，则1e k >，12x x <21x e k∴>>，⼜11ek e e k <<，（7分）且()()0ek ek ekf e ke ek k e e =-=-<，⼜1()0f x =，即1()()ekf e f x <，⼜()f x 在1(0,)k上单调递减，（9分）111(0,),(0,)ek e x k k ∈∈10ek x e ∴<<，⼜2x e >，121ek ek x ee x e-∴>=，所以原命题成⽴.（12分）22. 【解析】（1）将22(1)(1)3x y -++=改为222210x y x y +-+-=，化为极坐标⽅程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（4分）（2）将3θ=代⼊22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，（6分）以为211)480?=+=->，所以⽅程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C相交，公共弦的长为12ρρ-==（10分）23. 【解析】(1)当1=a 时，21++-=x x x f )(-≤--<<-≥+=212123112x x x x x ,,,（2分）令4≤)(x f ，解得2325-≤≤x ，即解集为：??∈23，25-x （5分）(2)当1-≥-++<<-++-≤-++=1121121212-21）1（-x a x a x a x a x a x a x f ),()(,)(),()(，（7分）)(x f 的图像与x 轴围城的三⾓形⾯积等于6，2-=∴a （10分）。
2020届江西省名校(临川一中、南昌二中)高三下学期联合数学(文)试题及答案
2020届江西省名校（临川一中、南昌二中）高三下学期联合数学（文）试题及答案一、单选题1．已知集合{|1}M x x =≥，1{|21}x N x -=<，则M N =（ ）A ．{|1}x x ≤-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -≤≤D ．{|1}<x x【答案】A【解析】先求出两个集合对应的不等式的解集，然后二者取交集即可。
【详解】由题意知，集合{}{}|1|11M x x x x x 或=≥=≥≤-，{}{}1|21|1x N x x x -=<=<，所以{|1}M N x x ⋂=≤-.故选A. 【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系与运算，属于基础题。
2．已知复数z 满足(1)1z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】()(1111111344i iz i++====++，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若x，y满足约束条件22,2,20,x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2yx+的取值范围为A．1[,1]2-B．1(,][1,)2-∞-⋃+∞C．[0,1]D．1[,1]2【答案】A【解析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件22220x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图：△ABC，2yx+表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组222xx y=⎧⎨+=⎩可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：21222-=-+，当直线经过点A时，M取最大值4=1．则2y x +的取值范围：[12-，1]． 故选：A ．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ）A ．一鹿、三分鹿之一B ．一鹿C ．三分鹿之二 D ．三分鹿之一【答案】B【解析】由题意得在等差数列{}n a 中，15121354552a S a d ⎧=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，求出13d =-，由此能求出簪裹得一鹿． 【详解】由题意得在等差数列{}n a 中，151********a S a d ⎧=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩， 解得13d =-，3121212()133a a d ∴=+=+⨯-=．∴簪裹得一鹿．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的某一项的求法，考查等差数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．函数()sin ln f x x x =的部分图像象是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：∵()sin()ln sin ln ()f x x x x x f x -=--=-=-，令()0f x =，则sin 0x =或ln 0x =，所以x k π=或1x =±，所以，当6x π=时，()sinln066f x ππ=⨯<所以选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数图象.6．已知向量1e ，2e 为单位向量，若)()121222e e e -⊥+，则向量1e ，2e 的夹角大小为（ ） A ．0 B ．4πC ．2πD ．π【答案】C【解析】设向量1e ，2e 的夹角为α，化简)()121222=0e e e -⋅+即得解. 【详解】设向量1e ，2e 的夹角为α，由题得)()121222=0e e e -⋅+，所以)()121222=220,2e e e παααα-⋅++-==∴=.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．设F 为抛物线214y x =-的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴的交点为Q ，则PQF ∠的值是（ ） A ．90 B ．60 C ．45 D ．30【解析】先求出F 的坐标，利用导数求直线l 的斜率，点斜式写出直线l 的方程，由此方程求出直线l 与x 轴的交点Q 的坐标，计算QF k 的值，由斜率之积等于-1得到PQ ⊥QF ． 【详解】 易知F (0,−1)，又1',22QF y x k =-∴=， 所以，直线l 的方程为()424y x +=+， 令y =0，得Q (−2,0)，101022QF k --∴==-+， 所以PQ ⊥QF ，即90PQF ∠=， 故选A.8．已知数列{}n a 的通项公式81n a n n=+，则12238081a a a a a a -+-++-=（） A ．150 B ．162C ．128D ．210【答案】C【解析】判断当19n 时，数列{}n a 递减，9n 时，数列{}n a 递增，由裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】8181218n a n n n n=+⋅， 可得当19n 时，数列{}n a 递减，9n 时，数列{}n a 递增，可得1122301223898118081098101||||||a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+⋯+-=-+-+⋯+-+-+-+⋯+- 198191818112(99)128a a a a =-+-=+++-+=．故选：C ．本题考查数列的单调性的判断和运用，考查裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．38cm 3 B ．320cm 3C ．34cmD ．35cm【答案】A【解析】先找到几何体原图，再利用割补法求几何体的体积得解. 【详解】由三视图得几何体是图中的四棱锥P-ABCD. 所以该几何体的体积为311182222222V V V V =--=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021-【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解． 【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值， 由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．已知1F ，2F 为双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点．直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则||(AB =)A ．7B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，则NM c =，121()2AM NB PF PF a -=-=，可得2222()3AB MN MA NB c a b =--=-==【详解】解：如图，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，则NM c =，121()2AM NB PF PF a -=-=， 2222()3AB MN MA NB c a b ∴=--=-==故选：B ． 【点睛】本题考查了圆的性质，充分应用双曲线的定义是解题的关12．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()0f x >，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A ．()()1111624f f <<B ．()()111824f f <<C ．()()111422f f << D ．()()111822f f <<【答案】B【解析】分别构造函数2()()f x g x x =，(0,)x ∈+∞，3()()f x h x x =，(0,)x ∈+∞，利用导数研究其单调性即可得出．【详解】 令2()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞， 3()2()()xf x f x g x x '-'=， (0,)x ∀∈+∞，2()()3()f x xf x f x <'<恒成立，()0f x ∴>，所以3()2()0xf x f x x '-<， ()0g x ∴'>，∴函数()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递增， ∴(1)(2)14f f <，∴(1)1(2)4f f <．令3()()f x h x x =，(0,)x ∈+∞， 4()3()()xf x f x h x x '-'=， (0,)x ∀∈+∞，2()()3()f x xf x f x <'<恒成立， 4()3()()0xf x f x h x x '-∴'=<， ∴函数()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，综上可得：1(1)18(2)4f f <<，故选：B ． 【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知x 与y 之间的一组数据：()()()()11232537，，，，，，，，则y 与x 的线性回归方程必过点______ ．【答案】()24，【解析】24x y ==，，∴数据的样本中心点是()24，，y ∴与x 的线性回归方程必过点()24，， 故答案为()24，． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若513210a a -=，则25S =______.【答案】250【解析】先化简513210a a -=得13=10a ，再求25S 得解. 【详解】由题得111133(4)210,1210a d a a d a +-=∴+==， 所以251325250S a ==. 故答案为：250【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在面积为4的正方形ABCD 中，M 是线段AB 的中点，现将图形沿,MC MD 折起，使线段,MA MB 重合，得到一个四面体A CDM -（其中点B 重合于点A ），则该四面体外接球的表面积为______． 【答案】193π【解析】先确定三角形ACD 外心1O ，再根据MA ⊥平面ACD ，确定外接球球心在过1O 且平行于MA 直线上，最后解方程得球半径，根据球表面积公式得结果. 【详解】作出图形如图所示，由图可知在四面体A CDM -中，MA AD ⊥，MA AC ⊥，AC AD A ⋂=，故MA ⊥平面ACD ，将图形旋转得到如图所示的三棱锥M ACD -，其中ACD 为等边三角形，过ACD 的中心1O 作平面ACD 的垂线1l ，过线段MC 的中点2O 作平面MAC 的垂线2l ，易得直线1l 与2l 相交，记12l l O ⋂=，则O 即为三棱锥M ACD -外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC 、1O C ，可得11123O C OO ==,在1Rt OO C 中，2222111912OC OO O C R =+==，故外接球的表面积21943S R ππ==，故答案为193π.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 16．若直线y kx =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________. 【答案】{}(,0]1-∞⋃【解析】根据函数()2log 2y x =+的图像，将曲线方程中的绝对值去掉，化为分段函数的形式，然后画出这个分段函数的图像，根据图像和直线y kx =的交点有两个，求得实数k 的取值范围. 【详解】如图，可知()()()222log2,1log2log2,21x xxx x⎧+≥-⎪+=⎨-+-<<-⎪⎩()2log221xy x+∴=--()()22log2log221,121,21xxx xx x+-+⎧--≥-⎪=⎨---<<-⎪⎩3,121,1111,212xx xx xx⎧⎪≥⎪=+-≤<⎨⎪⎪+--<<-+⎩由图可知，直线y kx=与曲线()2log221xy x+=--恰有两个公共点，则0k≤或1k=【点睛】本小题主要考查对数函数的图像，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题.三、解答题17．已知()sin cos,2sinm x x x=+，()cos sin3n x x x=-，若()f x m n=⋅（1）求()f x在区间[]0,π的单调增区间；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，()1f A =，其ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2【解析】（1）先求出()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求函数的增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈,再求()f x 在区间[]0,π的单调增区间；（2）先求出3A π=,6b c =+再利用基本不等式求面积的最大值. 【详解】 （1）()()()sin cos cos sin 2sin cos2f x m n x x x x x x x x =⋅=+⋅-+=2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令22226236k x k k x k πππππππππ-≤+≤+∴-≤≤+，k Z ∈.当0k =时，36x ππ-≤≤，当1k =时，2736x ππ≤≤，0x π≤≤,故函数的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3.（2）()11,2sin(2)1,sin(2),662f A A A ππ=∴+=∴+= 因为1350,2,2,666663A A A A πππππππ<<<+<∴+=∴=.2a b =+，6a b c ++=所以6b c =+4bc ≥⇒≤，当且仅当b=c=2等号成立所以max 134322S =⋅⋅=. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．如图，PA ⊥面ABC ，90ACB ∠=︒，2PA AC BC ===，E 为PC 的中点，F 为PB 的中点且2AM MB =（1）求证：面AEF ⊥面PBC （2）求三棱锥M AEF -的体积 【答案】（1）证明见解析（2）29【解析】（1）证明AE ⊥平面,PAC 平面AEF ⊥平面PBC 即得证；（2）根据2233M AEF B AEF A EFB V V V ---==求解. 【详解】（1）PA ⊥面ABC BC PA ∴⊥,， 因为BC AC ⊥，,,ACPA A AC PA =⊂平面PAC,所以BC ⊥平面,PAC BC AE ∴⊥AE PC ⊥，,,PCBC C PC BC =⊂平面PAC所以AE ⊥平面,PAC 因为AE ⊂平面AEF,所以平面AEF ⊥平面PAC . （2）由题得11122224422EFB PBC S S ∆∆==⨯⨯⨯=.由题得2221222333329M AEF B AEF A EFBV V V ---===⋅⋅⋅=. 【点睛】本题主要考查线面位置关系的证明，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．在某大学自主招生考生中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有20人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； （ii ）若该考场共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，从这7中随机抽取两人，求两人成绩之和大于等于18的概率.【答案】（1）6（2）（i）2.9（ii）47【解析】（1）先计算出该考场共有80人，再根据()⨯----求解；（2）（i）直接利用频率分8010.3750.3750.150.025布直方图中的平均数公式求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）利用古典概型的概率求解.【详解】（1）该考场共有200.2580÷=人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数为()⨯----=⨯=.8010.3750.3750.150.025800.0756（2）（i）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为()()()()() 1800.22800.13800.3754800.255800.075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯80=2.9（ii）设10分的人为A,B,9分的人为C,D,8分的为E,F,G,从中任意取两个人的基本事件有（A,B）,(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G), (C,D),(C,E),(C,F),(C,G), (D,E),(D,F),(D,G), (E,F),(E,G),(F,G).共21个基本事件.其中两人成绩之和大于等于18的基本事件有（A,B）,(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G), (B,C),(B,D), (B,E),(B,F),(B,G), (C,D),共12个基本事件.由古典概型的概率得124P==.217【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的频率和平均数的计算，考查概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M . （Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求||||AB MF 的最小值.【答案】(Ⅰ) 24y x = (Ⅱ)2【解析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p 的值，再写出抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB 所在的直线斜率不存在时，求得AB MF=2；②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB |；写出FM 所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF |，再求AB MF的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为()1,0∴抛物线的焦点为()1,0F ，∴2p =，抛物线的标准方程为24y x =.（Ⅱ）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：24AB p ==，2MF =，2AB MF=.②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知，AB 的斜率不为0.设AB 所在直线方程为()1y k x =-，且()11,A x y ，()22,B x y .联立方程组：()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222220k x k x k -++=；()212222k x x k++=，121x x⋅=，()21610k ∆=+>，12AB x =-=()2241k k += FM 所在的直线方程为()11y x k=--，联立方程组：()111y x k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴MF ==∴()22412k ABMF +==>，综上所述：AB MF的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21．设22(),()11x ef x xe axg x nx x x a =-=+-+-． （1）求()g x 的单调区间； （2）讨论()f x 零点的个数； （3）当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞。
2020年南昌市二中高三数学(文)5月高考模拟试卷附答案解析
2020年南昌市二中高三数学（文）5月高考模拟试卷一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或22．若复数2i2a z -=，a R ∈在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ） A ．2B ．2C ．1D ．223．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．10-D ．10 4．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64B ．32C ．16D ．45．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．126．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．[]1,10x ∈x 4913253109．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()x f x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2e e ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦10．已知函数()()231cos sin 0,R 22xf x x x ωωω=+->∈.若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．212．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A ．51-B ．152+ C ．352+ D ．5二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n}的前9项之和等于_____14．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)1000,1500)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．15.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.16. 设M ，N 分别是曲线f (x )＝－x 3＋x 2(x <e)与g (x )＝a ln x (x ≥e)上一点，△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题（共60分） 17.（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，b ，c，且sin sin sin a b cC B A+-=-． （1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．四、选做题（10分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程； （2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.23.设函数()|21|2|1|f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（2）若m 是()I 中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤.数学文科试卷参考答案一、单选题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2 【答案】C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项. 2．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2BC ．1D ．【答案】B 【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a az i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，可得10212aa z i -=⇒==-，,z ==,故选B. 3．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．20-D ．2【答案】A【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <,∴ 1.m =-故选A ． 4．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B【解析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.5．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．12【答案】C【解析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+. 【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-.故选：C.6．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断.【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U【答案】D【解析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min ym m x ->+即可， 142x y +=Q，1212x y∴+=， 则12122211121212112442248842y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅=+⨯=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24min yx +=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B试题分析：运行该程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；推出循环输出，由得，由几何概型概率公式[]1,10x ∈x 49132531021,2x x n =+=()221+1=43,3x x x n =++=2187,4x x x n =+=+=87x +8763x +≥7x ≥可得输出的不小于的概率为，故选B. 考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 9．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()x f x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】A【解析】求出0x ≤时()x f x xe =的导数，可得单调区间和极值，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位可得0x >时()f x 的图象，由题意可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．将直线()y g x =绕着()10-，旋转考虑经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，11e⎛⎫- ⎪⎝⎭，，可得此时的斜率k ，结合图象可得所求范围． 【详解】当0x ≤时，()x f x xe =的导数为()()1x f x x e '=+，当10x -<<时，()0f x >′，()f x 递增；当1x <-时，()0f x <′，()f x 递减，则1x =-处()f x 取得极小值()11f e-=-，由0x >时，()()1fx f x =-，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位，可得()f x 在0x >时的图象，如图：由方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．又()()1y gx k x ==+的图象为恒过定点()10-，的直线，当该直线经过点10e⎛⎫- ⎪⎝⎭，时， 1k e=-；当该直线经过点11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，k 12e =-． 由图象可得当112k e e-<<-时，()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．故选：A ． x 631071103-=【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能力和数形结合思想的运用，属于中档题． 10．已知函数()()231cos sin 0,R 22xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【答案】D 【解析】1cos 3131()sin sin cos 222x f x x x x ωωωω+=+-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+Q , 函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω>Q 5012k ∴<≤ ；（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k = ，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k 的取值范围是5511(0,][,]12612U ，选D . 【点睛】有关函数sin()y A x ωϕ=+求ωϕ、的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准sin()y A x ωϕ=+型，函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点，根据x 的范围求出3x πω+的范围，使其在(2,2)k k πππ+或在(2,22)k k ππππ++内，恰好函数无零点，求出ω的范围.11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ）A．4 B．2C ．1 D．【答案】C【解析】首先连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面11CC D D ，即//MH AD .再根据相似三角形得到11C H MH AD C D =，1111HH C HDD C D=，即1MH HH =.再将2PM MN +转化为PM MH +，求其最小值即可. 【详解】连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥ 所以MH⊥平面11CC D D . 因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .所以11C HMH AD C D =. 又因为11//HH DD ，所以1111HH C H DD C D=. 即11HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN V 中，222MN MH HN =+.因为1HN HH ≥，所以2222212MH HN MH HH MH +≥+=.即222MN MH ≥，MN ≥.所以12PM MN PM MH +≥+≥.即PM 的最小值为1 故选：C 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A1B．12C．32+ D【答案】C【解析】先利用角平分线及12AF c =得到三角形相似，进而得到AB ，再根据角平分线定理也可得到AB ，列方程即可求出离心率． 【详解】 如图：由题意得：112AF F F =，所以1212F AF F F A ∠=∠，又12F B F B =，所以1221BF F BF F ∠=∠，又2F B 是21AF F ∠的平分线，所以122BF F AF B ∠=∠， 所以221~BAF AF F V V ，所以2212||AF AB F F =⋅，即2(22)||2c a AB c -=⋅，所以22()||c a AB c-=，由角平分线定理知，2112||AF AB BF F F =，则112211||BF F F AB AF +=+， 所以21122||AF AB AF F F AF =+，所以2222()2()||22222c a c c a c a AB c c a c c a c---=⋅==-+-，故22230310c ac a e e e -+=⇒-+=⇒=．故选：C ． 二、填空题 13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n}的前9项之和等于_____【答案】90 【解析】 【分析】先利用等差数列的性质列方程组求出2a 和5a 的值，并求出1a 和公差d 的值，再利用等差数列前n 项和公式可求出数列{}n a 的前9项之和。
江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测(一)数学(理)试题
A． P1 P2
B． P1 P2
C．
P1
P2
4 1
D．
P2
P1
1 1
10. 已知双曲线 C:
2
（ > 0,b > 0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作斜率为 的直
2
线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点，若|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B． 2
则 an （
A．8
） B． 粠
C． 粠
D．16
9.如图，点 C 在以 AB 为直径的圆上，且满足 CA CB ，圆内的弧线是以 C 为圆心， CA 为半 径的圆的一部分.记 ABC 三边所围成的区域（灰色部分）为 M ，右 侧月牙形区域（黑色部分）为 N .在整个图形中随机取一点，记此点取
自 M , N 的概率分别为 P1 ， P2 ，则（ ）
D．既不充分也不必要条件
4．若函数 f x sinx 3cosx 0 的图象的一条对称轴为 x ，则 的最小值为（ ）
3
3
A．
2
B． 2
5
C．
2
5.
下列图象可以作为函数
f
x
x x2 a 的图象的有（
）
D． 3
A．1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个
B．2 个
C．3 个
1
D．4 个
6. 若两个非零向量 a ， b 满足 a b a b 2 b ，则向量 a b 与 b 的夹角为（ ）
②
y
f
x
f
x
2
在
,
上的值域为
0,
2
；③若
m
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={12,a 2+4a,a −2}，且−3∈A ，则a =( )A. −1B. −3或−1C. 3D. −32. 复数z =1−2i 1+i+i ，则|z|=( )A. 0B. √2C. 1D. √223. 双曲线x 2m−y 23+m =1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A. 12B. 1或3C. 1+√22D. √2−124. 已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2+a 3=3，则a 4=( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. −56B. −16C. 16D. 566. 如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记∠ABP =x(x ∈[0,π2])，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴影部分)的面积为y =f(x)，则函数f(x)的图象是( )A.B.C.D.7.若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4<m2−m有解，则实数m的取值范围是()A. (−1,2)B.C. (−2,1)D.8.已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为()A. 514B. 914C. 59D. 499.已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (0,1)B. (1,+∞)C. (−1,0)D. (−∞,−1)10.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π,2π)内有零点，则ω的取值范围是()A. (14,58)∪(54,+∞) B. (0,14]∪[58,1)C. (18,14)∪(58,54) D. (18,14)∪(58,+∞)11.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则平面B1CD1到平面A1BD的距离是()A. √32B. √22C. 2√23D. 2√3312.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的平分线，则双曲线C的离心率e=()A. √5−1B. 1+√52C. 3+√52D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=10，S4=36，则公差d为______ ．14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这100人的月平均收入为______元．15.如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=√63，AB=6，BD=√6，则ADsin∠BAD=______ ．16.已知函数f(x)=x|x2−3|，若存在实数m，m∈(0,√5]，使得当x∈[0,m]时，f(x)的取值范围是[0,am]，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsinC =√3b−csinB−sinA．(1)求角A的大小；(2)若等差数列{a n}的公差不为零，a1sinA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{4a n a n+1}的前n项和S n．18.某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：x(公顷)2040506080y(°C)34445(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =1，AA 1=2，点D 是侧棱AA 1的中点． (1)证明：DC 1⊥平面BCD ； (2)求三棱锥B 1−BCD 的体积．20. 已知抛物线的方程为y 2=−8x ，设过点N(2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线相交于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点E ，求点E 的横坐标的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +2ax+1+bx(a ∈R,b ∈R)．(1)当a =0时，若函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点，求b 的取值范围；(2)当b =0时，是否存在a ∈R ，使得不等式f(x)≤a2(x +1)恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x +y −2=0，曲线C 2：{x =1+cosθy =sinθ，(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)曲线C 3：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t >0，0<α<π2)，分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，|OB||OA|取得最大值．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x−2m|−|x|，m∈N∗，且f(x)<4恒成立．(1)解关于x的不等式f(x)>1−3x；(2)若α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求证：4α+1β≥18．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了元素与集合的关系及元素的性质，属于基础题．由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a，再根据集合中元素的互异性确定a的值即可．解：由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1或−3，当a=−1时，A={12,−3,−3}，不符合元素的互异性，舍去；当a=−3时，A={12,−3,−5}，符合题意，即a=−3．故选D．2.答案：D解析：解：∵z=1−2i1+i +i=(1−2i)⋅(1−i)(1+i)(1−i)+i=−12−32i+i=−12−12i，∴|z|=√22．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题．根据双曲线的焦点且c=2，可知m+3+m=4，进而得出m的值．解：∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c=2，∴m+3+m=c2=4．。
2020届江西省南昌二中高三校测数学(文)试题(三)(解析版)
2020届江西省南昌二中高三校测试数学（文）题（三）一、单选题1．已知集合4{|log 1}M x x =<，{}2M N =，则集合N 可以是（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{2，3，4}【答案】C【解析】先利用对数函数的单调性化简集合M ，然后再根据交集的运算求解. 【详解】{|04}M x x =<<，{}2M N =，∴集合N 可以是{2，4}.故选：C 【点睛】本题主要考查交集的运算以及对数函数的单调性应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.2．若复数z 的其共轭复数z 满足131zi i=++，则复数z 为（ ） A ．24i -- B ．24i -+C ．44i -D ．44i +【答案】A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案. 【详解】 解：由131zi i=++，得(13)(1)24z i i i =++=-+， 24z i ∴=--.故选：A . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9y x =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ）A ．36.5B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】利用点(,)x y 满足回归直线方程，求出x ，进而得到y ，即可求解. 【详解】回归方程1ˆ9.6 2.9,(4235) 3.54yx x =+=+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =． 故选：D . 【点睛】本题考查线性回归方程，样本中心点在回归直线上是解题的关键，属于基础题. 4．设52a -=，5log 2b =，3log 2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】 解：521log 2log 5b ==，321log 2log 3c ==，22log 5log 31>>，2210log 511log 3∴<<<， 则53log 2log 21<<， 又1135355log 2log log 1853>==， 531log 2log 213∴<<<， 又51232a -==， 故a b c <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内，则22m n +的最小值为（ ）A ．25B．5C ．49D ．23【答案】A【解析】画出约束条件的可行域,转化m 2+n 2为x ,y 的关系,利用目标函数的几何意义转化求解即可． 【详解】0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域如图阴影部分, 点(m +n ,m -n )在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内,设x m n y m n =+⎧⎨=-⎩,即(,)x y 在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内, 且,22x y x ym n +-==, 所以()2222221222x y x y m n x y +-⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则m 2+n 2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半．由可行域可知,可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为P 到原点的距离, 即原点到直线2x -y -2=0的距离,所以距离的最小值为所以m 2+n 2的最小值为:21225⨯=, 故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题． 6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263【答案】A【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.7．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+．设()()sin g x f x x x =+-，若(10)2020g =，则()10g -=（ ）A ．2020-B ．2020C ．0D ．1010【答案】A【解析】利用抽象函数关系，判断函数()f x 是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】 解：有()()()f x y f x f y +=+，(00)(0)(0)(0)f f f f ∴+=+=，即(0)0f =，令y x =-，则有()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，即()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，若()()sin g x f x x x =+-，(10)2020g =，则(10)(10)sin10102020g f =+-=， 则(10)(10)sin1010(10)sin1010g f f -=--+=--+，两式相加得：02020(10)g =+-，得(10)2020g -=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键，属于中档题．8．已知ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，则AD BC =（ ） A ．20 B ．102C ．10D ．103【答案】C【解析】先由正弦定理求得2220b c -=，再将,AD BC 均用,AB AC 表示，再结合向量的数量积的运算律即可求解结论． 【详解】解：因为ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，21R ∴=且··2022b cb c R R-=； 故2220b c -=；∴2222111·()()()()10222AD BC AB AC AC AB AC AB b c =+⋅-=-=-=； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立， 所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.11．已知双曲线22:1x C y m -=(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．2(,0)(0,)22-B ．(，0)(0⋃C ．2(,(,)-∞+∞ D ．5(,(,)-∞+∞ 【答案】A【解析】利用双曲线的离心率求出m ，得到双曲线方程，设出直线方程，设出AB 坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k 的范围即可． 【详解】解：由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2=2m =， 双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=， 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12222y y t =-，12224y y t t =--+ 221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-， 又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >， 所以直线l 的斜率22112k t =<， 又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是2(,0)(0,)22-， 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题． 12．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（ ）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞【答案】C【解析】由已知条件可得2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，结合一次函数的单调性，可得1b lnx x≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，求得导数和单调性，可得()h x 的最大值，进而得到b 的范围． 【详解】解：不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，即2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，因为2()0x x -+<，所以()g a 在[0，)+∞上递减，所以()(0)1max g a g lnx x ==+-，所以问题转化为1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，则'1()1h x x=-，由'()0h x >，可得01x <<；'()0h x <，可得1x >．所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减．所以()max h x h =（1）0=，所以0b ≥． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．二、填空题13．若向量1(tan15,)cos75a =，(1,sin 75)b =，则·a b =__．【答案】4【解析】进行数量积的坐标运算即可得出sin15cos15·cos15sin15a b =+，然后通分，根据二倍角的正弦公式和22sin cos1αα+=即可求出答案．【详解】解：22sin75sin15cos15sin15cos151·tan1541cos75cos15sin15sin15cos15sin302a b+=+=+===⋅．故答案为：4．【点睛】本题考查了切化弦公式，二倍角的正弦公式，向量坐标的数量积的运算，22sin cos1x x+=，考查了计算能力，属于基础题．14．我市VR大会展厅前广场改造，在人行道（斑马线）两侧划分5块区域（如图），现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的区域）所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有__种．【答案】288【解析】根据题意，分两步讨论区域①②和区域③④⑤的摆放方式数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2种，有2412A=种选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选3种，有3424A=种选法，则不同的摆放方式有1224288⨯=种．故答案为：288.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15．三棱柱111ABC A B C-的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于20π．若2AB AC==，120BAC∠=︒，则此棱柱高为__．【答案】2【解析】设球的半径为R，由球的表面积公式可求出R的值；在ABC中，结合余弦定理和正弦定理，可求得ABC的外接圆半径r，而棱柱的高为222R r-解． 【详解】解：设球的半径为R ，则2420S R ππ==球，5R ∴=．在ABC 中，由余弦定理知，22212cos12044222()122BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯-=，23BC ∴=．由正弦定理知，ABC 的外接圆半径r 满足232sin120r =︒，2r ∴=．∴球心到平面ABC 的距离为22541d R r =-=-=．∴此棱柱的高为2．故答案为：2．【点睛】本题考查棱柱与球中的简单计算问题，熟悉棱柱与球的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．已知椭圆()22210x y m m+=>的焦点为1F ，2F ，若在长轴12A A 上任取一点M ，过点M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，若使得12·0PF PF <的点M 的概率为，则m 的值为__． 【答案】2或12【解析】根据12·0PF PF =，得到P 的轨迹为圆，利用椭圆的焦点坐标在x 或y 轴，分类求解椭圆与圆的焦点坐标，利用几何概型，转化求解即可． 【详解】当12·0PF PF =时，点P 在圆222x y c +=上， 联立椭圆()22210x y m m+=>，222x y c +=，当1m 时，()222211m c x m -=-，解得x c=±，所以当x c=±12·0PF PF =. 若使得12·0PF PF <的点M，可得2c m =，解得23c =，2m =． 当01m <<时，解得y =3=， 得到2232c m =+，又因为221c m =-，解得12m =． 故答案为：2或12【点睛】本题主要考查几何概型的应用，同时考查椭圆的简单性质以及向量的数量积，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，所以2n S n =，①当1n =时，111a S ==，当2n 时，21(1)n S n -=-，②，①-②得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-（首项符合通项）．故21n a n =-． （2）数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+，整理得13(3)3n nb b +-=-，即13133n n b b +-=-， 所以数列{}3n b -是以1133b -=为首项，13为公比的等比数列． 所以11113()333n n n b --=⨯=，故1(21)3n n c n =-⨯．211113(21)333n n T n =⨯+⨯+⋯+-⨯①，231111113(21)3333n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯②， ①-②得：2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋯+--⨯，整理得113n nn T +=-． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）若点M 为PC 的中点，4PA =，求点D 到平面MAB 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）4217. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，只需证明BCEF 是平行四边形，即可得到//CE BF ，然后得到直线//CE 平面PAB ；（2） 取AD 的中点O ，M 在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点，取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ，可得AB MQ ⊥，设点D 到平面MAB 的距离为h ，利用等体积法M ABD D MAB V V --=，得11 (33)ABD MAB MN S h S ∆∆=，即可求得结论．【详解】解：（1）证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =， 由，90BAD ABC ∠=∠=︒，得//BC AD ， 又12BC AD =， 所以//EF BC 且EF BC =，四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ∴，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊂平面PAB ，故//CE 平面PAB ；（2）解：取AD 的中点O ，连接,OC OP ， 侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，PO ∴⊥底面ABCD ，点M 为PC 的中点，M ∴在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点．12MN PO ∴=， 取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ， 则NQ AB ⊥，又MN AB ⊥，NQMN N =，AB ∴⊥平面MNQ ，AB MQ ∴⊥，4PA =，23PO ∴=，2AB =，由在Rt MNQ ∆中，132MN PO ==，2NQ =，222(3)7MQ =+=， 11··27722MABS AB MQ ∆∴==⨯⨯=，11··24422ABD S AB AD ∆==⨯⨯=， 设点D 到平面MAB 的距离为h ，由M ABD D MAB V V --=得11····33ABD MAB MN S h S ∆∆=，即1134733h ⨯⨯=⋅⋅ 421h ∴=， 即点D 到平面MAB 的距离为4217．【点睛】本题考查了线面平行的判定，点到平面的距离的求法，其中，利用体积法是解决点面距离的常用方法，属于中档题．19．某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．如表是家长所打分数X的频数统计．（1）求家长所打分数的平均值；（2）若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？（3）在评分为10分的学生中有7名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）395；（2）有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）27.【解析】（1）利用平均数公式计算平均值即可；（2）填写列联表，计算2K，对照附表得出结论；（3）利用古典概型的概率公式，计算即可．【详解】解：（1）家长所打分数的平均值为139 (5468720824916108) 805X=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）填写列联表如下：计算2280(1882430)10.8277.87942384832K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）总共基本事件为2721C =种，有小雯同学的选法为1116·6C C =种， 故所求的概率值为62217P ==． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了平均值与古典概型的概率计算问题，是基础题．20．已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k .（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）22y x =-； （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据52MF =及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标. 【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5(2)22p MF =--=， 1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：2222(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩ 212122222,kb b x x x x k k--+==① 又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，将①代入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养. 21．设函数()()ln 0k x f x x x k x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()()2312g x x k x =-+，求证：方程()()f x g x =有唯一零点. 【答案】（1）函数()y f x =在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增（2）证明见解析；【解析】（1）当1k =时，()2x x f x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭'=，即可得出其单调区间（2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，则()()()1x x k F x x--'=-，然后分1k =，1k >，01k <<三种情况讨论即可.【详解】（1）当1k =时，()2ln f x x x =-，所以()12f x x x'=-，即()2x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=，当0x <<0f x，函数()f x 单调递减；当2x >时，0f x，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，()()()1x x k F x x--'=-①当1k =时，()0F x '≤，当且仅当1x =时取等号，所以()F x 为减函数. 因为()3102F =>，()4ln 40F =-<，所以()F x 在()1,4内有唯一零点； ②当1k >时，当01x <<或x k >时，()0F x '<；当1x k <<时，()0F x '>， 所以()F x 在0,1和(),k +∞上单调递减，在()1,k 上单调递增. 因为()1102F k =+>，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在()1,22k +内有唯一零点；③当01k <<时，当0x k <<或1x >时，()0F x '<；当1k x <<时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,k 和1,上单调递减，在(),1k 上单调递增.因为()()22ln 02kF k k k =+->，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在(),22k k +内有唯一零点. 综上可得方程()()f x g x =有唯一零点.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和零点个数，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=（2）直线l 与曲线C 相交，公共弦的长【解析】（1）化圆的方程为一般方程，结合222x y ρ=+及cos x ρθ=，sin y ρθ=即可得到曲线的极坐标方程； （2）把()3R πθρ=∈代入圆的极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，由判别式大于0可知直线l 与曲线C 相交，再由根与系数的关系求解弦长. 【详解】（1）将22(1)(1)3x y -++=改称为222210x y x y +-+-=，化为极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（2）将3πθ=代入22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，21)480∆=+=->，所以方程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为12ρρ-==【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题. 23．已知函数()12f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）当1a <-时，若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，求a 的值. 【答案】（1）53[,]22-；（2）2a =-.【解析】（1）将1a =代入()f x 中，然后根据()4f x ，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件，求出()f x 的图象与x 轴围成的三角形底边长和高，然后根据面积为6得到关于a 的方程，再求出a 的值.【详解】解：（1）当1a =时，21,1()123,2121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-++=-<<⎨⎪---⎩.()4f x ，∴2141x x +⎧⎨⎩或21x -<<或2142x x --⎧⎨-⎩， ∴312x 或21x -<<或522x --，∴5322x -， ∴不等式的解集为53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当1a <-时，(1)(12),2()(1)21,21(1)(21),1a x a x f x a x a x a x a x -++--⎧⎪=-++-<<⎨⎪++-⎩，当1a <-时，令()0f x =，则121a x a -=+或211a x a+=-， 又由(1)(12)(1)21y a x a y a x a =-++-⎧⎨=-++⎩，得3y =， ()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，∴1211236211a a a a +-⎛⎫⨯⨯-= ⎪-+⎝⎭， 解得2a =-或12a =（舍).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档题.。
2020年全国卷Ⅲ高考文科数学试题及答案
2020年全国卷Ⅲ高考文科数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则A ∩B 中元素的个数为 {}1235711A =，，，，，{}315|B x x =<<A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若，则z = )(1i 1i z +=-A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊病0.23(53)()=1e t I K t --+例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3） *t *t A ．60B ．63C ．66D ．695．已知，则 πsin sin=3θθ++（）1πsin =6θ+（）A ．B ．C ．D ．123323226．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若，则点C 的轨迹为 =1AC BC ⋅A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标()220y px p =>为 A ．（，0） B ．（，0） C ．（1，0） D ．（2，0）14128．点到直线距离的最大值为 (0)1-，()1y k x =+C．6+2D．4+23，则C．b<c<a D．，BC=3，则tan B=C．4D．517．（12分）设等比数列{a n }满足，． 124a a +=138a a -=（1）求{a n }的通项公式；（2）记为数列{log 3a n }的前n 项和．若，求m ． n S 13m m m S S S +++=18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好 空气质量不好附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.82819．（12分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，1111ABCD A B C D -E F 1DD 1BB 12DE ED =12BF FB =．证明：的取值范围．参考答案选择题答案 一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C10．A11．C12．D非选择题答案 二、填空题 13．7 14．15．116．323π三、解答题17．解：（1）设的公比为，则.由已知得{}n a q 11n n a a q -=， 1121148a a q a q a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得.11,3a q ==所以的通项公式为. {}n a 1=3n n a -（2）由（1）知故 3log 1.n a n =-(1).2n n n S -=由得，即. 13m m m S S S +++=(1)(1)(3)(2)m m m m m m -++=++2560m m --=解得（舍去），.1m =-6m =18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为． 1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=（3）根据所给数据，可得列联表：22⨯人次≤400人次>400 空气质量好3337。
【精品卷】2020年江西省南昌二中高三(6月份)高考数学校测试题(有答案解析)
2020年江西省南昌二中高三（6月份）高考数学校测试题一、单选题1．明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x （小时）、货船距石塘的距离为y （千米），则下列各图中，能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知1,2,25a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为A ．6πB ．3π C ．4π D ．2π 3．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则A B =（ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1 C ．[]1,2D ．()3,2-4．已知关于,x y 的不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为（ ）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．05．若()()221214,,32z m m m m i m R z i =++++-∈=-，则1m =是12z z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件6．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，x ∈R .在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．2π B ．23π C ．2πD ．π7．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD |等于( )A ．5 BC D 8．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，则图中阴影部分BC 1M 在平面BCC 1B 1上的正投影是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ）A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>10．已知直线34y x =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C的左焦点，且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 111．设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∀∈都有()()12f t f t +=，且(]x 0,4∈时，()()´f x fx x>，则()2016f 、()42017f 、()22018f 的大小关系是（ ）A ．()()()42017220182016f f f <<B ．()()()42017220182016f f f >>C ．()()()22018201642017f f f <<D ．()()()22018201642017f f f >>12．已知正项等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且（3n ﹣1）2S n 2﹣n （3n ﹣1）S n T n ﹣2n 2T n 2＝0对任意的n ∈N *恒成立，则5282a b b +＝（ ）A ．49B ．1011 C ．8188D ．913二、填空题13．已知函数()32cos f x x =-+的图象经过点(,)3b π，则b =____.14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2−y 2=1（a >0）经过抛物线y 2=8x 的焦点，则该双曲线的离心率是____．15．在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化.人类对天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富的气象经验.三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预报出会有一场大雾出现，并在大雰的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.小明计划8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为0.8，那么小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为___________. 16．已知数列{}n a 的通项公式是12n na ，数列{}nb 的通项公式是31n b n =-，集合{}{}1212,,...,,,,...,,n n A a a a B b b b n N *==∈,将集合A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c ，则数列{}n c 的前45项和45S =_______．三、解答题17．为了落实习总书记在改革开放40周年庆祝大会上的讲话精神，实现“更高质量、更有效率”的可持续发展，继续深化改革，某工业基地对在生产同一产品的甲、乙两个厂区，选择了乙厂区进行改革试点，一段时间后，工业基地为了检查甲、乙两个厂区的生产情况，随机地从这两厂区生产的大量产品中各抽取100件作为样本，得到关于产品质量指标值的频数分布表（已知合格产品的质量指标值应在区间 2.552.70]（，内，否则为不合格产品）：（1）将频率视为概率，由表中的数据分析，若在某个时间段内甲、乙两个厂区均生产了2000件产品，则在此时间段内甲、乙两个厂区生产出的不合格产品分别为多少件？（2）根据样本数据写出下面22⨯列联表中a b c d ,,,的值，判断是否有85%的把握认为“该工业基地的产品质量与改革有关”，并说明理由.18．已知函数()2πsin ()sin [sin π)]2f x x x x x ωωωω=+-⋅-+（其中0ω>）的最小周期为2π.（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x m +=在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解，求实数m 的取值范围. 19．解下列不等式：（1）(1)(2)(3)0x x x x -+->; （2）()()2223210x x x x ---+<；（3）22320560x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩；（4）333x x -+（5）1121lg 1lg x x+>+-；（6）|2||3|5x x -++>； （7）5|23|11x x <++≤； （8）12230x x -+-<.20．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，12F F =Q 方程(()2211x y +-=，且圆心Q 在椭圆上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知直线1:1l y =+交椭圆1C 于A 、B 两点，过直线1l 上一动点P 作与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C 、D 两点，M 为弦CD 中点，MAB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形．（1）证明：A 1C 1//平面ACD 1；（2）求异面直线CD 与AD 1所成角的大小； （3）已知三棱锥D 1﹣ACD 的体积为23，求AA 1的长． 22．已知函数()ln (1)1()f x x a x a a R =+-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：当1a =时，()0xe f x ->.23．在极坐标系中，直线:cos 3l ρθ=，P 为直线l 上一点，且点P 在极轴上方以OP 为一边作正三角形OPQ （逆时针方向），且OPQ △面积为（1）求点Q 的极坐标；（2）写出OPQ △外接圆的圆心C 的极坐标，并求OPQ △外接圆与极轴的相交弦长.参考答案1．A由题意可以得出各段过程中y 随x 变化而变化的趋势，即可得答案.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y 随x 增大而增大；停留一段时间内，y 随x 增大而不变；解除故障到河口这段时间，y 随x 增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y 随x 增大而减少. 故选A本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题. 2．C根据条件求出a b ⋅，然后再根据数量积的定义求解可得两向量的夹角． ∵25a b -=， ∴()2222445a ba ab b -=-⋅+=，又1,2a b ==， ∴14425a b -⋅+⨯=， ∴1a b ⋅=．设向量,a b 的夹角为θ，则2cos θ||a b a b ⋅==⋅， 又0θπ≤≤， ∴θ 4π=．故选C ．求两向量的夹角时应先求出两向量的数量积，然后再根据公式求解，但在解题中要注意两向量夹角的取值范围，否则出现错误． 3．B解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得AB .由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(江西卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（江西卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程：y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =- 锥体体积公式1212,n n x x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+== 13V Sh = 其中S 为底面积，h 为高第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数x yi +=（ ） A.2i -+ B.2i + C.12i - D.12i + 答案：B2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 答案：D3.若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2-答案：C4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e答案：A5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 答案：B7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A.e o m m x== B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175 175176177177则y 对x 的线性回归方程为A.y = x-1B.y = x+1C.y = 88+12x D.y = 176 C 线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni i ni ii x x y y x x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。
江西省南昌二中2020届高三(6月份)高考数学(理科)校测试题(一)(wd无答案)
江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）校测试题（一）一、单选题(★★★) 1. 已知全集，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★★) 3. 已知实数，则“ ”是“ ”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 下列图象可以作为函数的图象的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个(★★★) 6. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( ) A．B．C．D．(★★) 7. 不等式组表示的平面区域的面积是9，则 m的值是（）A．8B．6C．4D．1(★★) 8. 设是等差数列的前项和，存在且时,有，，则（）A．8B．C．17D．16(★★★) 9. 如图，点在以为直径的圆上，且满足，圆内的弧线是以为圆心，为半径的圆的一部分.记三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ.在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为，，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．(★★★★) 11. 下图是棱长为2的正方体木块的直观图，其中分别是，，的中点，平面过点且平行于平面，则该木块在平面内的正投影面积是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知上的奇函数满足，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 13. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则______．(★★) 14. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中的各位数字中，，，3，4，出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为__．(★★★) 15. 若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为__．(★★★)16. 已知函数，方程在，上只有4个不同实根，，，．给出下列结论：① 的最小正周期为；② 在上的值域为；③若，则；④ ，则．其中正确结论的序号为__．三、解答题(★★) 17. 已知，，（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．(★★★★) 18. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，.（1）求证：平面；（2）为线段上的点，当时，求二面角的余弦值.(★★★) 19. 已知椭圆( )的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.（1）求的方程；（2）直线交于，两点，且.已知上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，若在直线的右下方，求的值.(★★★) 20. 华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取名同学（男同学名，女同学名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）物理题数学题总计男同学女同学总计（1）在犯错误的概率不超过的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列和数学期望. 附表及公式(★★★★) 21. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，是的两个零点，求证：．(★★★) 22. 选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.(★★★) 23. 已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.。
2020年数学江西省高考 数学试卷(文科)【word版;可编辑;含答案】
2020年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝{−1, 0, 1, 2, 3, 4}，集合A ＝{−1, 1, 2, 4}，集合B ＝{x ∈N|y =√4−2x }，则A ∩(∁U B)＝（）A.{−1, 2, 3, 4}B.{−1, 4}C.{−1, 2, 4}D.{0, 1}2.已知i 为虚数单位，z ⋅21−i =1+2i ，则复数z 的虚部是（） A.32B.32iC.12iD.123.已知等差数列{a n }满足a 2+a 4＝6，a 5+a 7＝10，则a 18＝（） A.12B.13C.133D.1434.已知a ，b ∈R ，则“a +2b ＝0“是“ab =−2”成立的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.213，5−12，log 32的大小关系是（） A.213<5−12<log 32B.5−12<213<log 32 C.log 32<5−12<213D.5−12<log 32<213E.5−12<log 32<2136.已知tan (α+π6)=−35，则sin (2α+π3)=() A.817B.−817C.1517D.−15177.设x ，y ∈R ，a →=(x, 1)，b →=(2, y)，c →=(−2, 2)，且a →⊥c →，b → // c →，则|2a →+3b →−c →|＝（）A.2√34B.√26C.12D.2√108.设函数f(x)＝e x +2x −4的零点a ∈(m, m +1)，函数，g(x)＝ln x +2x 2−5的零点b ∈(n, n +1)，其中m ∈N ，n ∈N ，若过点A(m, n)作圆(x −2)2+(y −1)2＝1的切线l ，则l 的方程为（）A.y ＝±√33x +1 B.y ＝±√3x +1 C.y ＝1 D.x ＝0，y ＝19.若点(x, y)在不等式组{x +y −1≥0x −y −1≤0x −3y +3≥0表示的平面区域内，则实数z =2y−1x+1的取值范围是（） A.[−1, 1]B.[−2, 1]C.[−12, 1]D.[−1, 12]10.已知三棱锥A −BCD 的顶点均在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝AD =√3,∠BCD =π2，若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且CH =√2，则球O 的表面积为（）A.4√3πB.2√3πC.9πD.4π11.函数f(x)=ln x −14x 2的大致图象是（）A.B.C.D.12.已知点F 为双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A.(1, 3)B.(1, 3]C.(1, √3]D.[√3, 3]二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分.13.中华文化博大精深，丰富多彩．“纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一，“组合花纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某组合花纹（如图阴影部分所示）的面积，作一个半径为1的圆将其包含在内，并向该圆内随机投掷1000个点，已知恰有600个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是________14.抛物线y＝ax2(a>0)的焦点与椭圆y210+x2=1的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是________15.已知函数f(x)={log2x,x≥42ax−3,x<4，对任意x1，x2∈(−∞, +∞)，都有f(x1)−f(x2) x1−x2>0，则实数a的取值范围为________58]16.在三角形ABC中，|AB|＝2，且角A，B，C满足2sin2C2−74=12cos2(A+B)，三角形ABC的面积的最大值为M，则M＝________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分.17.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后“…小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后“，观察了所在地区A的200天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）根据上面的列联表判断能否有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关？（2）小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，再从这4天中随机抽出2天进行数据分析，求抽到的这2天中仅有1天出现“日落云里走”的概率．18.设S n为等差数列{an}的前n项和，S7＝49，a2+a8＝18．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若S3、a17、S m成等比数列，求S3m．19.如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线的交点，E为PD上的一点，PD⊥平面ABE，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，AB＝1,AC=√5．。
2020届江西省南昌二中高三6月份高考数学理校测一试题解析版
2020届江西省南昌二中高三（6月份）高考数学（理）校测（一）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()UA B =（ ）A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】C【解析】根据补集的运算，求得{|0Ux A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤， 可得{|0Ux A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}UA B ⋂=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2．已知i 是虚数单位，复数22020(1)z i i =-+在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数代数形式的乘除运算及虚数单位i 的运算性质化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】220204505(1)212z i i i i i ⨯=-+=-+=-，z ∴在复平面内对应点的坐标为(1,2)-，在第四象限． 故选：D ． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知实数.a b ，则“2ab ≥”是“224a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识． 充分性：由均值不等式；必要性：取，显然得不到2ab ≥．故“2ab ≥”是“224a b +≥”的充分不必要条件，选A ．4．若函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()132sin 2sin 23f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值， ∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ， ∵0>ω， ∴ω的最小值为52. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.5．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②．所以②选项是正确的； 当a =0时,则()1f x x= ,其定义域为：{x |x ≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的． 本题选择C 选项.6．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 【答案】D【解析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可． 【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a ba b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，则0a b ⋅=，由2a b b +=，平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a b cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ，故选D. 【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．7．不等式组0,40,(0)x y x y m x m +⎧⎪-+>⎨⎪⎩表示的平面区域的面积是9，则m 的值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．1【答案】D【解析】画出不等式组所表示的平面区域，求得顶点的坐标，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】画出不等式组0,40,(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示，得到平面区域是以(2,2),(,),(,4)m m m m --+为顶点的三角形区域（包含边界），则该区域的面积为1[(2)][4()]92m m m --+--=，解得1m =（舍负）. 故选：D .【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及三角形面积公式的应用，其中解答中准确作出不等式组所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力.8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，存在*n N ∈且4n >时,有820S =，2129116n n S S ---=，则n a =（ ）A ．8B ．172C ．17D ．16【答案】B【解析】利用等差数列的性质，转化求解即可． 【详解】由题知12820a a a +++=…，且2129282721116n n n n n S S a a a ------=+++=…， 所以121222828()()()20116n n n a a a a a a ---+++++=+，所以16136n a =，所以172n a =. 故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 9．如图，点C 在以AB 为直径的圆上，且满足CA CB =，圆内的弧线是以C 为圆心，CA 为半径的圆的一部分.记ABC ∆三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ.在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为1P ，2P ，则（ ）A ．12P P =B ．12P P >C ．1241P P π+=+ D ．2111P P π-=+ 【答案】A【解析】本题首先可以设出圆的半径，然后计算出区域Ⅰ的面积以及区域Ⅱ的面积，再然后计算出圆的面积并通过几何概型的概率计算公式即可得出结果． 【详解】设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为112112S =⨯⨯=；区域Ⅱ的面积2221111[(2)21]242S =π⨯-π⨯-⨯⨯=1． 圆的面积为π×12＝π．所以121P P ==π．故选A ． 【点睛】本题考查几何概型的相关性质以及平面图形的面积求法，考查数形结合思想，考查推理能力，考查几何概型的概率计算公式，是中档题．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为22的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22||||AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 2C 5D 3【答案】D【解析】取AB 中点M ，连结2F M ，则2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的定义可知，12AF x a =-，12BF x a =+，所以114AB BFAF a =-=，2AM BM a ==，1FM x =，由勾股定理，知222221212()()()()F M F F MF BF BM =-=-，将所得结论代入进行运算可得22222x a c =+，222F M b =再由221222122tan 222F M b MF F F Ma c ∠===+，化简即可得离心率的值． 【详解】解：如图，取AB 中点M ，连结2F M ，22AF BF =，2F M AB ∴⊥，设22AF BF x ==，21||||2AF AF a -=，12AF x a ∴=-， 又12||||2BF BF a -=，12BF x a ∴=+，114AB BF AF a ∴=-=，2AM BM a ∴==， 11F M BF BM x ∴=-=，由勾股定理，知222221212()()()()F M F F MF BF BM =-=-2222244F M c x x a =-=-，解得22222x a c =+，∴2222222F M c a b =-=∴221222122tan 222F M b MF F F M a c ∠===+，即222212c a a c -=+，化简得223c a =， ∴离心率3==ce a故选：D ． 【点评】本题考查双曲线的定义和基本几何性质，还涉及勾股定理、直线斜率与倾斜角之间的关系等基础知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．11．下图是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块的直观图，其中,,P Q F 分别是11D C ，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）A ．3B ．33C ．23D 3【答案】A【解析】先根据题意平面α可以平移至平面11A BC ，即木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D ，最后根据正六边形面积公式可求出投影的面积． 【详解】解：根据题意可知平面α过点D 且平行于平面PQF ， 则平面α可以平移至平面11A BC ，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影， 根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D 如图所示， 因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2， 所以2212222A B +=则投影面内正六边形的边长为：'1226cos303A A ==根据正六边形面积公式可得投影的面积为：'''111233264323A A BC C D S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭故投影面积为：3故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体和正投影得概念，考查面积公式是计算，考查空间想象力和推导能力，属于难题．12．已知R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式2(1)(32ln )3(12)f x x x x -<-+-的解集是（ ）A ．1(0,)eB ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞【答案】B【解析】【详解】试题分析：设()()()()2132ln 312g x f x xx x =-----，则()()''14ln 46g x f x x x x =-+-+，设()4ln 46h x x x x =-+，则()'4ln h x x =，由()'0h x >得1x >，由()'0h x <得01x <<，即当1x =时，函数()h x 取得极小值同时也是最小值()12h =，∵()()'122f x h x ->-≥，，∴()()'1220f x h x -+>-+=，即()()()()2''132ln 3120g x f x x x x =----->，即()g x 在()0+∞，上为增函数，则当1x =时，()()()()2111132ln13120g f =-----=，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-等价为()0g x <，即()()1g x g <，则1x <，即不等式()()()2132ln 312f x xx x -<-+-的解集是()01，，故选B ．【考点】1．导数在最大值、最小值问题中的应用；2．函数的单调性与导数的关系． 【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．构造函数()()()()2132ln 312g x f x xx x =-----，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．二、填空题13．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()01,F P y ，是抛物线上一点，过点P 向抛物线C 的准线引垂线，垂足为D ，若PDF ∆为等边三角形，则p =______． 【答案】23【解析】求出抛物线的焦点坐标，推出PQ 坐标，再由抛物线的定义，结合等边三角形的定义，得到的方程，可得的值．【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为1:2p x =-，()01,P y 是抛物线上一点，则202y p =，由题意可得22p D p ⎛-⎝， 由于PFD ∆为等边三角形，则有PF PD FD ==，即有：1222p p -=⨯，可得23p =． 故答案为23．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，属于中档题．14．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A =，其中A 的各位数字中，11a =，(2k a k =，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，则启动一次出现的数字A 中恰有两个0的概率为__． 【答案】827【解析】根据题意，2a 、3a 、4a 、5a 四个数中恰好有2个0，2个1，据此由n 次独立重复实验中恰有k 次发生的概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，A 中恰有两个0的概率，即在2a 、3a 、4a 、5a 四个数中恰好有2个0，2个1，则A 中恰有两个0的概率2224128()()3327P C ==； 故答案为：827． 【点评】本题考查n 次独立重复实验中恰有k 次发生的概率计算，注意该概率公式的正确运用，属于基础题．15．若数列{}n a 满足113a =-，且1(2)(2)nn n a a n -=+-，若使不等式n a λ成立的n a 有且只有三项，则λ的取值范围为__．【答案】1335[,)33【解析】利用数列的递推关系式，推出数列的通项公式，判断数列的奇数项与偶数项的单调性，然后利用已知条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：当2n 时，11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋯+-+， 于是有：211221(2)[1(2)]1(2)(2)(2)(2)()31(2)3n nn n n a ------=-+-+-+⋯+-+-=---，所以111(2)3n n a +=--，显然113a =-也适合，因此数列{}n a 的通项公式为：111(2)3n n a +=--．当n 为奇数时，1111111(2)1?2?21333n n n na +++=--=-=-，此时数列{}n a 的奇数项数列是单调递增函数； 当n 为偶数时，1111111(2)1?2?21333n n n n a +++=--=+=+，此时数列{}n a 的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式n a λ成立的n a 有且只有三项，只需有：1234{a a a a λλλλ>⇒23451·2131·213{1·2131·213λλλλ-+-+>⇒13113{133353λλλλ<⇒133533λ<．故答案为：1335[,)33． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16．已知函数()sin()4f x x π=+，方程()f x m =在[0，]α上只有4个不同实根1x ，2x ，3x ，41234()x x x x x <<<．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②()()2y f x f xπ=++在(,)-∞+∞上的值域为；③若34m =，则12349222x x x x π+++=；④12m =，则19231212ππα<．其中正确结论的序号为__． 【答案】③【解析】利用函数的周期判断①；化简函数的解析式，利用余弦函数的值域，求解函数的值域，判断②；利用函数的对称性，求解方程根的和判断③，求出角的范围，判断④． 【详解】()f x 的最小正周期为π，①错误；()()sin()cos()244y f x f x x x πππ=++=+++由11cos22x +，可得()()2y f x f xπ=++在(,)-∞+∞上的值域为，②错误；若34m =，则122x x π+=，2332x x π+=，3452x x π+=，相加得12349222x x x x π+++=，③正确； ；12m =，则方程1()2f x =在[0，)+∞上的前5个实根分别为711192331,,,,1212121212πππππ， 所以23311212ππα<，④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查命题的真假的判断，数形结合的应用，函数的零点以及函数的对称性，三角函数的最值的求解，是中档题．三、解答题17．已知3()322sin()sin()2f x x x x ππ=++-，x ∈R ， （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =-，3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）()f x 的最小正周期为：π；函数()f x 单调递增区间为： 511[,]()1212k k k Z ππππ++∈；（233. 【解析】（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可； （2）由（1）结合()3f A =-，求出A 的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可. 【详解】 （1）3()3cos 22sin()sin()23cos 22cos sin 3cos 2sin 22cos(2)6f x x xx x x x x x x πππ=++-=-=-=+()f x 的最小正周期为：22T ππ==； 当2222()6k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时，即当511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为：511[,]()1212k k k Z ππππ++∈； （2）因为()3f A =-，所以3()2cos(2)3cos(2),6675(0,),2(,)2.2666663f A A A A A A A πππππππππ=+=-⇒+=-∈∴+∈∴+=∴=设BC 边上的高为h ，所以有113sin 22ah bc A h bc =⇒=， 由余弦定理可知：22222222cos 929a b c bc A b c bc b c bc bc =+-⇒=+-+≥∴≤（当用仅当b c=时，取等号），所以333h bc =≤，因此BC 边上的高的最大值33. 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.18．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【解析】（1）根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的判定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的判定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；（2）根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ， 作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =， 则(0,0,3)A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以3)OB OA AB OA DC =+=+=，由已知1(3,,0)2G，所以(3,2,BE =-，10,,2BG ⎛= ⎝，设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，则32012m BE x y m BG y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取3x =，6y =，z =得m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =， 所以31cos ,||||4936m n m n m n ⋅<>===⋅+，即二面角B EG D --的余弦值为14. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切. （1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >.已知l 上存在点P ，使得PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1- 【解析】（1）由C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切求出b ，再由离心率和,,a b c 关系，可求出椭圆标准方程；（2）将直线y x m =+与椭圆方程联立，消元整理，由根与系数关系，得到12,,x x m 的两个关系式，再从已知条件寻找12,,x x m 第三个等量关系，根据已知结合平面图形，可得NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，得()12,Q x y ，进而有()1222,P x x y -，代入直线l 方程，得到12,,x x m 等量关系，求解关于12,,x x m 方程组，即可求出m . 【详解】 （1）依题意，1b ==，因为离心率2263ca b e aa -===， 所以216a -=，解得3a =，所以C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒， 且PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -，所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， 所以1232x x m +=-，② ()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-.综上，m 的值为1-.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查数学运算和逻辑推理，属于中档题.20．华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）（1）在犯错误的概率不超过1%的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为58-分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为68-分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附表及公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1) 在犯错误的概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理题和数学题的学习与性别有关. (2) 2()3P A =. (3)分布列见解析，1()2E X =. 【解析】（1）先根据卡方公式求2K 值，并与参考数据比较作判断，（2）为几何概型概率，测度为面积，先确定甲、乙解答第一道物理题的时间所构造的矩形面积，再求甲比乙先解答完此题所确定的直角梯形面积，最后根据面积比得概率，（3）先确定随机变量取法，再分别根据组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 【详解】（1）由表中数据得2K 的观测值()22601622148404.444 6.635303024369K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 在犯错误的概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理题和数学题的学习与性别有关.（2）设甲、乙解答第一道物理题的时间分别为,x y 分钟，则{58(,)68x x y y ⎧≤≤⎫Ω=⎨⎬≤≤⎭⎩，设事件A 为“甲比乙先解答完此题”，则()(),,x y A x y x y ⎧⎧⎫∈Ω⎪⎪=⎨⎨⎬<⎪⎭⎪⎩⎩，作出可行域如图∴()122221233P A ⨯⨯=-=⨯ （3）由题可知在选择做物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有12种； 两人都被抽到有221C =种 ∴X 可能值为()()()1512310,1,2,0,1,22828728P X P X P X ======= X 的分布列为： X12∴()1512110122828282E X =⨯+⨯+⨯= 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 21．已知函数21()()f x alnx a R x=+∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，212()x x x <是()f x 的两个零点，求证：212()10e aln x x a-++<． 【答案】（1）当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为；（2）证明见解析. 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，求出导函数，通过①当0a 时，②当0a >时，判断导数的符号，判断函数的单调性即可．（2）利用()f x 有两个零，得到2022a a f ln a=+<，推出2a e >，要证原不等式成立，只需证明211()2e ln x x a a-+<-，122ax e -<；另一方面，令1()g x lnx ex=+，(0)x >，通过函数的导数，转化求解函数的最值，转化求解即可．【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且2332()2a ax f x x x x--=-+='， ①当0a 时，()0f x '，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；②当0a >时，由()0f x '>得x ，故()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为．（2）证明：()f x 有两个零点，∴由（1）知0a >且2022a a f ln a=+<，2a e ∴>，要证原不等式成立，只需证明211()2e ln x x a a -+<-，只需证明1221a e x x e a --<-，只需证明1212a e x x e a -<<<．一方面2a e >，∴1<，∴1111022111()0222aaaaf ee alnee e --=+=->-=>，∴12()0a f f e -<，且()f x 在)+∞122a x e -<； 另一方面，令1()g x lnx ex=+，(0)x >， 则22111()ex g x x ex ex='-=-，当10x e <<时，()0g x '<；当1x e >时，()0g x '>； 故1()()110min g x g e ==-+=，故()0g x 即1lnx ex-时(0,)x ∈+∞恒成立，令e x a=，则2e a ln a e >-，于是222222()0e a e a a f aln a e a e e=+>-=，而2222222240e e a e e a a a ---=<<，故(0e f a <，且()f x 在单调递减，故1e x a <<综合上述，1212ae x x e a -<<<<，即原不等式成立． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力，属于较难题．22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积. 【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1【解析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积． 【详解】解：（1）1cos :1sin x t C y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M 到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年江西省南昌二中高考数学校测试卷（文科）（三）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|log 4x <1}，M ∩N ={2}，则集合N 可以是( )A. {1,2}B. {2,3}C. {2,4}D. {2,3，4}2. 若复数z 的其共轭复数z −满足z−1+i=1+3i ，则复数z 为( )A. −2−4iB. −2+4iC. 4−4iD. 4+4i3. 某产品的宣传费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表所示：根据上表可得回归方程y ̂=9.6x +2.9，则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为( )A. 36.5B. 30C. 33D. 274. 设a =2−5，b =log 52，c =log 32，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. c <a <b5. 已知点(m +n,m −n)在{x −y ≥0x +y ≥02x −y ≥2表示的平面区域内，则m 2+n 2的最小值为( )A. 23B. √105C. 49D. 256. 明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n 的结果为( )A. 53B. 54C. 158D. 2637. 定义在R 上的函数f(x)满足对任意的x ，y 都有f(x +y)=f(x)+f(y).设g(x)=f(x)+sinx −x ，若g(10)=2020，则g(−10)=( )A. −2020B. 2020C. 0D. 10108. 已知△ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且|AC|sinB −|AB|sinc =20，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 20B. 10√2C. 10D. 10√39. 函数y =sinx +ln|x|在区间[−3,3]的图象大致为( )A.B.C.D.10. 已知数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 2=5，S 5=35.数列{1a n ⋅a n+1}的前n 项和为T n ，若对一切n ∈N +都有2m +1>T n 恒成立，则m 能取到的最小整数为( )A. −1B. 0C. 1D. 211. 已知双曲线C ：x 2m−y 2=1的离心率为√62，过点P(2,0)的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为钝角(其中O 为坐标原点)，则直线l 斜率的取值范围是( )A. (−√22,0)∪(0,√22)B. (−√55,0)∪(0,√55) C. (−∞,−√22)∪(√22,+∞) D. (−∞,−√55)∪(√55,+∞) 12. 已知函数f(x)=lnx −(a +1)x ，若不等式f(x)≤ax 2+b −1对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为( )A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [0,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量a ⃗ =(tan15°,1cos75∘)，b ⃗ =(1,sin75°)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______．14. 我市VR 大会展厅前广场改造，在人行道(斑马线)两侧划分5块区域(如图)，现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的区域)所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有______种．15. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于20π.若AB =AC =2，∠BAC =120°，则此棱柱高为______． 16. 已知椭圆x 2m 2+y 2=1(m >0)的焦点为F 1，F 2，若在长轴A 1A 2上任取一点M ，过点M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，若使得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0的点M 的概率为√63，则m 的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,S n )(n ∈N ∗)在函数y =x 2的图象上，数列{b n }满足b 1=103,3b n+1=b n +6，(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)若c n =a n (b n −3)，求数列{c n }的前n 项和T n ．AD，∠BAD=∠ABC= 18.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12 90°，E是PD的中点．(Ⅰ)证明：直线CE//平面PAB；(Ⅱ)若点M为PC的中点，PA=4，求点D到平面MAB的距离．19.某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长(每位学生请一位家长)对学生打分，满分为10分．如表是家长所打分数X的频数统计．分数X5678910频数482024168(Ⅰ)求家长所打分数的平均值；(Ⅱ)若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？(Ⅲ)在评分为10分的学生中有7名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？附：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.010.005k0 2.706 3.841 6.6357.87920.已知抛物线y2=−2px(p>0)的焦点为F，x轴上方的点M(−2,m)在抛物线上，且|MF|=5，直线l与抛物线2交于A，B两点(点A，B与M不重合)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)当k1+k2=−2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．)(k>0)．21.设函数f(x)=x(x−klnxx(Ⅰ)当k=1时，求函数f(x)的单调区间；x2−(k+1)x，求证：方程f(x)=g(x)有唯一解．(Ⅱ)若g(x)=3222.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+(y+1)2=3，以O为极点，x轴非负半轴为极(ρ∈R)．轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=π3(1)求曲线C的极坐标方程；(2)判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．23.已知函数f(x)=|x−1|+a|x+2|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≤4的解集；(Ⅱ)当a<−1时，若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M ={x|0<x <4}，M ∩N ={2}， ∴集合N 可以是{2,4}． 故选：C ．可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由z−1+i=1+3i ，得z −=(1+3i)(1+i)=−2+4i ，∴z =−2−4i ． 故选：A ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意产品的宣传费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据满足回归方程y ̂=9.6x +2.9， 则x −=4+2+3+54=3.5，y −=45+24+a+504=119+a 4，因为回归直线经过样本中心，所以119+a 4=9.6×3.5+2.9，解得a =27，宣传费用为3万元时，y ̂=27． 故选：D ．直接利用回归直线方程，求出样本中心代回归直线方程，求解a 即可． 本题考查回归直线方程的应用，考查计算能力，是基本知识的考查．4.【答案】A【解析】解：∵13<log 52<log 32<1，a =2−5=132， 故a <b <c ． 故选：A ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】解：{x −y ≥0x +y ≥02x −y ≥2表示的平面区域如图阴影部分，点(m +n,m −n)在{x −y ≥0x +y ≥02x −y ≥2表示的平面区域内，可得{x =m +ny =m −n ，所以m =x+y 2，n =x−y 2，所以m 2+n 2=(x+y 2)2+(x−y 2)2=12(x 2+y 2)，则m 2+n 2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半．由可行域可知，可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为P 到原点的距离，即原点到直线2x −y −2=0的距离，所以距离的最小值为：√5，所以m 2+n 2的最小值为12×(√5)2=25． 故选：D ．画出约束条件的可行域，转化m 2+n 2为x ，y 的关系，利用目标函数的几何意义转化求解即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．6.【答案】A【解析】解：【法一】正整数n 被3除余2，得n =3k +2，k ∈N ； 被5除余3，得n =5l +3，l ∈N ； 被7除余4，得n =7m +4，m ∈N ； 求得n 的最小值是53． 【法二】按此歌诀得算法如图， 则输出n 的结果为按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构得n =263−105−105=53， 即输出n 值为53． 故选：A ．【法一】根据正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求出n 的最小值．【法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n 的初值，代入循环结构求得n 的值． 本题考查了程序框图的应用问题，也考查了古代数学的应用问题，是基础题．【解析】 【分析】本题主要考查函数值的计算，结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键． 利用抽象函数关系，判断函数f(x)是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解即可． 【解答】解：∵有f(x +y)=f(x)+f(y)， ∴f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0)， 即f(0)=0，令y =−x ，则有f(x −x)=f(x)+f(−x)=f(0)=0 即f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数， 若g(x)=f(x)+sinx −x ，g(10)=2020， 则g(10)=f(10)+sin10−10=2020，则g(−10)=f(−10)−sin10+10=−f(10)−sin10+10， 两式相加得：0=2020+g(−10)， 得g(−10)=−2020， 故选：A ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据条件求得b 2−c 2=20；再结合向量的数量积即可求解结论． 【解答】解：因为△ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且|AC|sinB −|AB|sinc =20，∴2R =1且b ⋅b 2R −c ⋅c2R =20； 故b 2−c 2=20；∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12(b 2−c 2)=10；故选：C ．【解析】解：设f(x)=sinx+ln|x|，当x>0时，f(x)=sinx+lnx，f′(x)=cosx+1x，∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0，即f(x)在(0,1)上单调递增，排除B；又当x=1时，f(1)=sin1>0，排除D；∵f(−x)=sin(−x)+ln|−x|=−sinx+ln|x|≠±f(x)，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，排除C；故选：A．判断f(x)的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算f(1)，结合选项即可得出答案．本题考查了函数图象判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面进行判断，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：数列{a n}为等差数列，S n是其前n项和，a2=5，S5=35．设首项为a1，公差为d，所以{a1+d=55a1+5×42d=35，解得{a1=3d=2，故a n=3+2(n−1)=2n+1，所以1a n⋅a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，所以T n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)<16．对于切n∈N+都有2m+1>T n恒成立，只需满足2m+1≥16即可，故m的最小整数为0．故选：B．首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用恒成立问题的应用求出m的最小值．本题考查的知识要点：数列的通项公式，裂项相消法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：由题意双曲线C：x2m −y2=1的离心率为√62，得√m+1√m=√62，解得m=2，双曲线C：x22−y2=1，设直线l：x=ty+2，与双曲线C联立得：(t2−2)y2+4ty+2=0，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y 1y 2=2t 2−2，x 1x 2=t 2y 1y 2+2t(y 1+y 2)+4=−2t 2−8t 2−2，又因为∠AOB 为钝角，所以y 1y 2+x 1x 2<0，即−2t 2−8t 2−2<0得出t 2−2>0，所以直线l 的斜率k 2=1t 2<12，即直线l 斜率的取值范围是(−√22,0)∪(0,√22)，故选：A ．利用双曲线的离心率求出m ，得到双曲线方程，设出直线方程，设出AB 坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k 的范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题．12.【答案】C【解析】解：不等式f(x)≤ax 2+b −1对于任意的非负实数a 都成立， 即b ≥lnx −ax 2−(a +1)x +1对于任意的非负实数a 都成立， 令g(a)=−(x 2+x)a +lnx +1−x ，a ≥0，因为−(x 2+x)<0， 所以g(a)在[0,+∞)上递减， 所以g(a)max =g(0)=lnx +1−x ， 所以问题转化为b ≥lnx +1−x 恒成立， 令ℎ(x)=lnx +1−x ，则ℎ′(x)=1x −1，由ℎ′(x)>0，可得0<x <1；ℎ′(x)<0，可得x >1． 所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减． 所以ℎ(x)max =ℎ(1)=0， 所以b ≥0． 故选：C ．由已知条件可得b ≥lnx −ax 2−(a +1)x +1对于任意的非负实数a 都成立，令g(a)=−(x 2+x)a +lnx +1−x ，a ≥0，结合一次函数的单调性，可得b ≥lnx +1−x 恒成立，令ℎ(x)=lnx +1−x ，求得导数和单调性，可得ℎ(x)的最大值，进而得到b 的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：a ⃗ ⋅b ⃗ =tan15°+sin75°cos75∘=sin15°cos15∘+cos15°sin15∘=sin 215°+cos 215°sin15∘⋅cos15∘=112sin30∘=4． 故答案为：4．进行数量积的坐标运算即可得出a⃗ ⋅b ⃗ =sin15°cos15∘+cos15°sin15∘，然后通分，根据二倍角的正弦公式和sin 2α+cos 2α=1即可求出答案．本题考查了切化弦公式，二倍角的正弦公式，向量坐标的数量积的运算，sin2x+cos2x=1，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】288【解析】解：根据题意，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2个，有A42=12种选法，对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选2个，有A43=24种选法，则不同的摆放方式有12×24=288种．故答案为：288．根据题意，分2步讨论区域①②和区域③④⑤的摆放方式数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：设球的半径为R，则S球=4πR2=20π，∴R=√5．)=12，在△ABC中，由余弦定理知，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos120°=4+4−2×2×2×(−12∴BC=2√3．=2r，由正弦定理知，△ABC的外接圆半径r满足2√3sin120°∴r=2．∴球心到平面ABC的距离为d=√R2−r2=√5−4=1．∴此棱柱的高为2．故答案为：2．设球的半径为R，由球的表面积公式可求出R的值；在△ABC中，结合余弦定理和正弦定理，可求得△ABC的外接圆半径r，而棱柱的高为2−r2，从而得解．本题考查棱柱与球中的简单计算问题，熟悉棱柱与球的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】2或12+y2=1(m>0)，x2+y2=c2，【解析】解：联立椭圆x2m，故只要在长轴A1A2上任取一点M，当m>1时，解得x=±m√c2−1c过点M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，若使得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0的点M 的概率为√63，可得2m √c 2−1c2m=√63，m=2．当0<m <1时，解得y =±√c 2−m 21−m2，由2√c2−m 21−m 22=√63，解得m =12． 故答案为：2或12．判断PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，P 的轨迹为圆，利用椭圆的焦点坐标在x 或y 轴，分类求解椭圆与圆的焦点坐标，利用几何概型，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质以及向量的数量积，几何概型的应用，是中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,S n )(n ∈N ∗)在函数y =x 2的图象上，所以S n =n 2，① 当n =1时，a 1=S 1=1， 当n ≥2时，S n−1=(n −1)2，②，①−②得a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1(首项符合通项)． 故a n =2n −1． (Ⅱ)数列{b n }满足b 1=103,3b n+1=b n +6，整理得3(b n+1−3)=b n −3，即b n+1−3b n −3=13(常数)，所以数列{b n −3}是以b 1−3=13为首项，13为公比的等比数列． 所以b n −3=13×(13)n−1=13n ， 故c n =(2n −1)×13n ． T n =1×13+3×132+⋯+(2n −1)×13n①，13T n =1×132+3×133+⋯+(2n −1)×13n+1②，①−②得：23T n =13+2(132+133+⋯+13n )−(2n −1)×13n+1， 整理得T n =1−n+13n．【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． (Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ．因为E 是PD 的中点，所以EF//AD ，EF =12AD ， 由，∠BAD =∠ABC =90°，得BC//AD ，又BC =12AD ，所以EF//BC 且EF =BC ，四边形BCEF 是平行四边形，CE//BF ． 又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE //平面PAB ． (Ⅱ)解：取AD 的中点O ，连接OC ，∵侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， ∴PO ⊥底面ABCD ， ∵点M 为PC 的中点，∴M 在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点．∴MN =12PO ，取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ，则NQ ⊥AB ，又MN ⊥AB ，NQ ∩MN =N ， ∴AB ⊥平面MNQ ，∴AB ⊥MQ ， ∵PA =4，∴PO =2√3，AB =2，由在Rt △MNQ 中，MN =12PO =√3，NQ =2，MQ =√22+(√3)2=√7， ∴S △MAB =12⋅AB ⋅MQ =12×2×√7=√7，S △ABD =12⋅AB ⋅AD =12×2×4=4，设点D 到平面MAB 的距离为h ，由V M−ABD =V D−MAB 得13⋅MN ⋅S △ABD =13⋅ℎ⋅S △MAB ，即13×√3×4=13⋅ℎ⋅√7∴ℎ=4√217，即点D 到平面MAB 的距离为4√217．【解析】(Ⅰ)取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，只需证明BCEF 是平行四边形，即可得到CE//BF ，然后得到直线CE//平面PAB ；(Ⅱ)取AD 的中点O ，M 在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点，取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ，可得AB ⊥MQ ，设点D 到平面MAB 的距离为h ，利用等体积法V M−ABD =V D−MAB ，得13⋅MN ⋅S △ABD =13⋅ℎ⋅S △MAB ，即可求得结论． 本题考查了线面平行的判定，点到平面的距离的求法，属于中档题．19.【答案】解：(1)家长所打分数的平均值为X −=180×(5×4+6×8+7×20+8×24+9×16+10×8)=395；(2)填写列联表如下：计算K 2=80×(18×8−24×30)242×38×48×32≈10.827>7.879，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关．(3)总共基本事件为C 72=21种，有小雯同学的选法为C 11⋅C 61=6种，故所求的概率值为P =621=27．【解析】(1)利用加权平均数公式计算平均值即可； (2)填写列联表，计算K 2，对照附表得出结论； (3)利用古典概型的概率公式，计算即可．本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了平均值与古典概型的概率计算问题，是基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)由抛物线的定义可以|MF|=P 2−(−2)=52，∴p =1抛物线的方程为y 2=−2x ； (Ⅱ)证明：由(1)可知，点M 的坐标为(−2,2) 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线l 与抛物线联立得：{y =kx +b y 2=−2xk 2x 2+(2kb +2)x +b 2=0x 1+x 2=−2kb−2k 2，x 1x 2=b 2k 2------------------① 又k 1+k 2=y 1−2x 1+2+y 2−2x 2+2=−2，即(kx 1+b −2)(x 2+2)+(kx 2+b −2)(x 1+2)=−2(x 1+2)(x 2+2)2kx 1x 2+2k(x 1+x 2)+b(x 1+x 2)−2(x 1+x 2)+4b −8=−2x 1x 2−4(x 1+x 2)−8 将①带入得，b 2−b −2−2k(b +1)=0 即(b +1)(b −2−2k)=0 得b =−1或b =2+2k ．当b =−1时，直线l 为y =kx −1，此时直线恒过(0,−1)当b =−2−2k 时，直线l 为y =kx +2k +2=k(x +2)+2，此时直线恒过(−2,2)(舍去) 所以直线l 恒过定点(0,−1)．【解析】(Ⅰ)利用抛物线的定义以及性质，列出方程求出p，即可求抛物线的方程；(Ⅱ)当k1+k2=−2时，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化求解直线l恒过定点并求出该定点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．21.【答案】解：(Ⅰ)当k=1时，f(x)=x2−lnx，所以f′(x)=2x−1x =2(x−√22)(x+√22)x(x>0)，当0<x<√22时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>√22时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴函数f(x)在(0,√22)上单调递减，在(√22,+∞)上单调递增．(Ⅱ)令F(x)=f(x)−g(x)=−12x2+(k+1)x−klnx，x>0，则F′(x)=−(x−1)(x−k)x，①若k=1，则F′(x)≤0，F(x)单调递减，∵F(1)=32>0，F(4)=−ln4<0，∴F(x)在(1,4)内有唯一零点，符合题意；②若k>1，当0<x<1或x>k时，F′(x)<0；当1<x<k时，F′(x)>0，∴F(x)在(0,1)和(k,+∞)上单调递减，在(1,k)上单调递增．∵F(1)=k+12>0，F(2k+2)=−kln(2k+2)<0，∴F(x)在(1,2k+2)内有唯一零点，符合题意；③若0<k<1，当0<x<k或x>1时，F′(x)<0；当k<x<1时，F′(x)>0，∴F(x)在(0,k)和(1,+∞)上单调递减，在(k,1)上单调递增．∵F(k)=k2(k+2−2lnk)>0，F(2k+2)=−kln(2k+2)<0，∴F(x)在(k,2k+2)内有唯一零点，符合题意．综上所述，方程f(x)=g(x)有唯一解．【解析】(Ⅰ)当k=1时，f(x)=x2−lnx，求导后，比较f′(x)与0的大小关系即可得函数f(x)单调区间．(Ⅱ)令F(x)=f(x)−g(x)，原问题转化为函数F(x)的零点问题，对F(x)求导后，分k=1、k>1和0<k<1三类讨论F(x)的单调性，并根据零点存在定理来判断函数F(x)的零点个数，从而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性、方程的解，将方程的解转化为函数的零点问题是解题的关键，考查学生的分类讨论和化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由(x−1)2+(y+1)2=3，得x2+y2−2x+2y−1=0．∴ρ2−2ρcosθ+2ρsinθ−1=0．即曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ+2ρsinθ−1=0；(2)把θ=π3代入ρ2−2ρcosθ+2ρsinθ−1=0，得ρ2−(1−√3)ρ−1=0．∵△=(1−√3)2+4>0，∴方程ρ2−(2−√3)ρ−1=0有两不等实数根，则直线l 与曲线C 相交． 且ρ1+ρ2=1−√3，ρ1ρ2=−1．∴弦长为|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√(1−√3)2+4=√8−2√3．【解析】(1)化圆的方程为一般方程，结合ρ2=x 2+y 2及x =ρcosθ，y =ρsinθ即可得到曲线的极坐标方程； (2)把θ=π3代入圆的极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，由判别式大于0可知直线l 与曲线C 相交，再由根与系数的关系求解弦长．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题． 23.【答案】解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +2|={2x +1,x ≥13,−2<x <1−2x −1,x ≤−2，因为f(x)≤4，所以①当x ≥1时，则2x +1≤4，解得x ≤32，即1≤x ≤32； ②当−2<x <1时，则3≤4，无解；③当x ≤−2时，则−2x −1≤4，解得−52≤x ≤−2， 综上，−52≤x ≤32，即解集为：[−52,32]． (Ⅱ)当a <−1时，当x ⩽−2时，f(x)=−(a +1)x −2a +1， 当−2<x <1时，f(x)=(a −1)x +2a +1， 当x ⩾1时，f(x)=(a +1)x +2a −1， 综上，f(x)={−(a +1)x +(1−2a),x ≤−2(a −1)x +2a +1,−2<x <1(a +1)x +(2a −1),x ≥1，画出函数f(x)的图象如图所示：则f(x)与x 轴围成的△ABC 三个顶点分别为：A(−2,3),B(−−2a+1a+1,0),C(2a+1−a+1,0)，由题设可得：S=12⋅(2a+1−a+1−−2a+1a+1)⋅3=6，化简得2a2+3a−2=0，解得a=−2或a=12(不合题意，舍去)故a的值是−2．【解析】(Ⅰ)通过讨论x的范围，求出各个区间上的x解集，取并集即可；(Ⅱ)求出f(x)的解析式，画出函数图象，求出三角形顶点的坐标，表示出三角形面积，得到关于a的方程，解出即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想与数形结合思想，逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．。