两条相交直线的夹角.

【教学目标】：

1、理解两条直线相交时，直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角；

2、理解两条直线垂直的充要条件.

3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力.

【教学重点】：两条相交直线的夹角•

【教学难点】：夹角公式的应用•

【教学过程】：

一、课题引入：

平面上两条直线有几种位置关系？

相交、平行、重合.（垂直是相交的一种特殊情形）

下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究. （引出课题：两条直线的夹角）

二、新课讲授：

1.两条直线的夹角：

平面上两条相交直线，它们构成四个角，是两对对顶角.如果一对是锐角，另一对是钝角，

那么我们规定锐角作为它们的夹角. 如果四个角都是直角，那么规定两直线夹角是直角，此时也称两条直线相互垂直.

平面上两条直线相交时构成两组对顶角. 我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.

规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为0.

所以，两条相交直线的夹角0乞：•空".

2

2.夹角公式：

h : a q X +b i V +G = 0

如果已知两条直线的方程分别为： 1 1 y（其中a1,b1不同时为零，a2,b2

l2: a2x b2y c2 = 0

不同时为零）.系数确定，方程确定，直线确定，它们的夹角也就确定，那么如何根据方程

来求h与12的夹角？

设h,l2的方向向量分别为d「d2，向量d「d2的夹角为二，直线h,l2的夹角为〉.将直

■ H

线l1,l2的方向向量*4平移至同一起点，构成四种情形，如图.

JI JI

当0兰日兰一时，G =日；当一< 日兰兀时，日.于是，co^ = co少

2 2

4 - -bi,a i ,d 2 - -b 2,a 2 •由夹角的

a 1,a 2,

b 1,b 2分别是直线一般式方程中 x,y 前面的

系数，已知这四个数就可以应用夹角

例1、已知两条直线的方程分别是：

h : x • 2y • 3 = 0, l 2 : x-3y • 2 = 0，求两条直

线的

1 1 2述-3 .12

22

,'12

(-3)2

练习：求下列各组直线的夹角

(1) 11: y =3x -1,12 ：3y x -4 =0

(2) h :x 2 = 0」2 ：、3x y 3 = 0 -

6

JI

(3) h : y -x 1 =0,l 2： y =4

4

例2、已知直线|1 >,3x y =0与直线kx - y • 1 =0 ,若直线l 1和直线l 2的夹角为60，求k 的值. 解：由

I —3k 一11

=丄得k =打或0.

2 Jk 2

+1 2 cos 「- 0得两直线的夹角为

，称两条直线相互垂直，是两直线相交的一种特殊情形，

2

回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于

两直线垂直（板书）的命题？

71

当a]a 2 b |b^0时，cos ，-0

，此时，两直线相互垂直；反之，当两直线

2

垂直时，它们的方向向量d 1二-b,® ,d 2二-①代也相互垂直，所以

于是，两条直线的夹角公式为: COS ：

a )a^

b 1b 2

|

a ：

b 2

a 2 bf

公式求两直线夹角的余弦•因为余弦函数在

的.

0,二上单调递减，所以此时角 -2 :-是唯一确定

解：由题意:

cos 二

即两直线的夹角为

ji

2

根据直线方程，可设它们的方向向量分别为:

则由题意:

，后解同解1.

d 1d 2 ^bb 2 a 1a^0 •两条直线垂直的 充要条件是：a 1a 2 b,b^ 0 ；

当k i , k 2都存在时，两条直线垂直的充要条件是：

k i = -1 ；

所以两条直线垂直的充要条件也可为： k 1 k 2 - -1或一条斜率不存在另一条的斜率为

零.

当b = 0时，直线方程为：x • 2 = 0;

当b = 0时，b = v 3a ，直线方程为：x 「3y -1=0 ;

所以，直线I 的方程为：x •、、3y-1 =0或x • 2 = 0.

注意：此处设直线的点法向式方程，而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向式 方程可以表示所有直线. 解2：若直线I 的斜率存在，设直线I 的方程为：y-、、3二k(x ・2).

则由题意： 匕、_ =-，解得k 二-上3.

直线方程为：x •、、3y -1 = 0.

n

若直线I 的斜率不存在，即方程为 x = -2 ;则直线I 与直线I 0的夹角为一，满足题意.

所以，直线I 的方程为：x •、、3y -1 =0或x • 2 = 0 .

解3：设直线I 的一般式方程为：ax by ，c =0 ( a,b 不同时为零)

a -2

b .3 c

=0

解1:设直线

I 的一个法向量为n = a,b ，则直线I 的点法向式方程为:

a x 2

b y-、3 =0

整理得:

ax by 2 a 「:； 3b 二 0 ,

-k 2 V-V3 2

方程. 由公式得: