2 误差及数理统计基础
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2019分析化学课件第二章误差及分析数据的统计处理
15.9
16.0 16.1
测量值
16.2
16.3
问题： 测量次数趋近于无穷大时的频率分布？
测量次数少时的频率分布？
某段频率分布曲线下的面积具有什么意义？
2021/3/3
2、正态分布：
分析化学中测量数据一般符合正态分布，即高斯分布。
yf(x) 1 e(x22)2
2
x 测量值，μ总体平均值， σ总体标准偏差
定量分析的任务：准确测定组分在试样中的含 量。
实际测定不可能得到绝对准确的结果。
2021/3/3
• 客观上误差是经常存在的，在实验过程中， 必须检查误差产生的原因，采取措施，提 高分析结果的准确度。同时，对分析结果 准确度进行正确表达和评价。
2021/3/3
一、准确度和精密度
（一）.准确度和精密度——分析结果的衡量指标。
测量值
2021/3/3
No 分组
1 15.84 2 15.87 3 15.90 4 15.93 5 15.96 6 15.99 7 16.02 8 16.06 9 16.09 10 16.12 11 16.15 12 16.18 201231/3/3 16.21
频数 频率 （ni) （ni/n)
1 0.005 1 0.005 3 0.015 8 0.040 18 0.091 34 0.172 55 0.278 40 0.202 20 0.101 11 0.056 5 0.025 2 0.010 0 0.000
化学课件第二章误差及分析数据的统计处理
基本要点： 1. 了解误差产生的原因及其表示方法； 2. 理解误差的分布及特点； 3. 掌握分析数据的处理方法及分析结果的表示。
2021/3/3
定量分析中误差
ye
(
x )2 2 2
•σ的值等于0.608峰高处的峰宽。
2π
•峰高等于
1
2π
• σ越小，曲线既窄又高，表明精密度
就越好，数据越集中。
•σ越大，曲线既宽又低，表明精密度 就越差，数据越分散。
•σ表征数据的分散程度。真值μ表征 数据的集中趋势。
2019/9/7
标准正态分布
•μ＝０，σ＝１，记作N(0，1)。令 ：
2019/9/7
【例2-2】
对某试样中乙醇的含量进行了3次平行测定，所得结 果分别为0.084%，0.089%，0.079%，求置信度为95%的 置信区间。
解:
x 0.084% 0.089% 0.079% 0.084%
3
0.000%2 0.005%2 0.005%2
s
0.005%
（2）极差R
指一组平行测定值中最大值xmax与最小值xmin之差： R = xmax－ xmin
由于xmin< <xmax， xmax x 0, xmin x 0
R ( xmax x) ( xmin x) xmax x xmin x
极差R实际上就是最大正偏差与绝对值最大的负偏差之 和。这表明极差对一组平行测定值中的大偏差反映灵敏。
（3）过失误差
2019/9/7
(3)提高准确度的方法
a. 选择合适的分析方法
分析方法 容量分析法 分光光度法
适用范围 相对误差
常量
±0.1%
微量
±2%
结果
例：对含量为30.00%的铁矿石样品的分析
容量分析法 29.97～30.03%（±0.1%） 准确度高
误差、不确定度及其相关数学知识
随机误差的性质
随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见， 不可修正。 虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预 定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过 大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规 律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随 机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做 出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结 果的影响。
pc
n
测量不确定度：
测量不确定度：指测量结果变化的不肯定，即测量结 果含有的一个参数，表征被测量值的分散性。 测量结果＝被测量的估计值＋不确定度 完整的测量结果有两个基本量：
p( ) 1
2 3
0
求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量， 但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？
有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值
x 1 n
x
i 1
n
i
算术平均值的标准偏差
(x)
(X)
n
算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 n 倍。原 因是随机误差的抵偿性 。
r
L
L0
绝对误差 被测量的真值，常用约定 真值代替，也可以近似用 测量值 L 来代替 L0 相对误差
特点：
1） 相对误差有大小和符号。 2） 无量纲，一般用百分数来表示。
绝对误差和相对误差的比较
用一个测长仪测量0.01m长的工件，其绝 对误差Δ= 0.0006mm,但用来测量1m长的 工件, 其绝对误差为Δ= 0.0105mm。
正态分布的概率密度函数和统计特性
随机误差的概率密度函数为：
p( )
2 exp( ) 2 2 2
1
1 ( x )2 测量数据X的概率密度函数为： p( x) exp[ ] 2 2 2 随机误差的数学期望和方差为：
第2章 误差及分析数据统计处理
相对标准偏差为: RSD
s 0.13% 100% 0.35% x 37.34%
16
2014-5-11
精密度(precision)是指在确定条件下，平行测定多次，
所得结果之间的一致程度。精密度的大小常用偏差表示。 精密度的高低还常用重复性(repeatability)和再现性 (reproducibility)表示。 重复性(r)：同一操作者，在相同条件下，获得一系列结果之间 的一致程度。 再现性(R)：不同操作者，在不同条件下，用相同的方法获得 单个结果之间的一致程度。
有较大偏离的数据(离群值或极值)？这些值是否该舍去？处理
的方法有： Q值检验法(Q-test)、Grubbs检验法和四倍法。 这些方法是建立在随机误差服从一定分布规律的基础上。
2014-5-11
20
(一) Q 检验法 于1951年由迪安(Dean)和犾克逊(Dixon)提出。 步骤: (1) 数据排列 X1 X2 …… Xn
Ea xi
Er Ea
(1)
相对误差Er (relative error)
100% 100% (2)
xi
绝对误差和相对误差都有正负，正值表示分析结果偏高，反之负值 偏低。实际工作中，真值并不知道，常把多次测定结果的平均值或标准 物质的理论值看作真值。
准确度(accuracy)是指测定结果的平均值与真值接近程 度，常用误差大小表示。误差小，准确度高。
2014-5-11
17
五、准确度与精密度的关系
如图：
真值37.40
甲 乙 丙
丁
36.00 36.50 37.00 37.50 38.00
准确度好的结果要 求精密度好，精密度 好的结果准确度不一 定好。所以，有好的 精密度才可能有好的 准确度。
1 误差与数理统计
18
分析结果的表示：
μ=
+s
μ=
19
2. 显著性检验
2-1 显著性水平
在实际应用中仅估计总体的值还不够,常常需要说明两个样 本的均值差异是否显著到不能代表同一总体. 在实验结果的评估中, 显著性检验广为采用. 该类统计推断 都是先提出假设, 然后按照某种逻辑在一定概率上做出是 否有显著性差异的推断. 在概率论中，小概率的原则是，如果一个事件发生的概率 很小，那末在一次实验中，实际上可把它看成不可能发生 的事件。如果某个小概率事件竟然发生了，则认为这是一 反常现象。小概率越小就越显得异常，此小概率在显著性 检验中称为显著性水平α。α在0.05以下便认为是显著。
单尾检验：若Fn1-1,n2-1 F临界，则有显著性差异， 方法2比方法1具有更高的精密度。 双尾检验：若 Fn1-1,n2
-1
F
临界，两种方法的s1和s2
31
具有显著性差异。
例1-6 测定废水中的氧，n1 = n2 = 8，结果为
1 2 3 4
t值 置信概率P/ 95%
12.71 4.3 3.18 2.78
置信概率P/ 99%
63.66 9.92 5.84 4.60
5
10 18 20
2.57
2.32 2.10 2.09
4.03
3.17 2.88 2.85
30
50 100
2.04
2.01 1.98 z =1.96
2.75
2.68 2.63 z = 2.58
解： s2＝（9×0.32＋9×0.232）／18=0.0715, s ＝0.267
t =（28.0- 26.25）／[0.267 ×(0.1+0.1)1/2 ]＝14.7 自由度为18，α = 0.05，查表得的临界值为2.1。
第六章 数理统计的基本概念
1 n 2 S S ( X X ) i n 1 i 1
2
(4) 样本k阶(原点)矩
1 n k Ak X i n i 1
k 1, 2,
k 2,3,
(5) 样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X )k n i 1
§2
常用统计量的分布
统计量的分布称为抽样分布.下面介绍三种由 正态总体演化而来的统计量的分布：
• 从二战后到现在，是统计学发展的第三个时期，这是一个在 前一段发展的基础上，随着生产和科技的普遍进步，而使这 个学科得到飞速发展的一个时期，同时，也出现了不少有待 解决的大问题．
学科奠基者
数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费歇尔。他1909 年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业。毕业后，他曾去投资办工 厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员。1919年，他开始对生物统 计学产生了浓厚的兴趣，参加罗萨姆斯泰德试验站的工作，致力于数理统计 在农业科学和遗传学中（费歇尔1890—1962）的应用研究。 年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定。 在一般人看来枯燥乏味的数学，常能带给研究者极大的慰藉，费歇尔热衷于 数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据 而不减少信息、对一个模型的参数估计等。 最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面 “科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。 费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的。在30－ 50年代费歇尔是统计学的中心人物。1959年费歇尔退休后在澳大利亚度过了 最后三年。
若 x1 , x2 , , xn 是样本的观察值, 则 g ( x1 , x2 , xn ) 是 g ( X 1 , X 2 , X n )
(高等数学与工程数学习题课指导)第十章数理统计基础
数据的数字特征
集中趋势
偏态与峰态
描述数据的中心趋势，如平均数、中 位数等。
描述数据分布的形状，如偏度、峰度 等。
离散程度
描述数据的离散程度，如方差、标准 差等。
03
概率论基础
概率的基本概念
概率
描述随机事件发生的可能性大小 的量度，取值范围在0到1之间， 其中0表示不可能事件，1表示必
然事件。
频率
第十章 数理统计基础
目录 Contents
• 数理统计基础概述 • 描述性统计 • 概率论基础 • 参数估计与假设检验 • 方差分析数理统计基础概述
定义与概念
定义
数理统计是数学的一个重要分支 ，它研究如何从数据中获取有用 信息，以及如何利用这些信息进 行决策。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理等， 以提高数据质量。
数据分组
根据研究目的和数据特征， 将数据分为若干组，便于 后续分析。
数据的图表表示
柱状图
折线图
散点图
箱线图
用于展示分类数据和连 续数据的对比关系。
用于展示时间序列数据 的变化趋势。
用于展示两个连续变量 之间的关系。
用于展示数据的分布特 征和异常值。
描述两个随机变量同时取值的分散程度和它 们之间的相关性的量，计算公式为 Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]。
描述两个随机变量之间线性相关程度的量 ，取值范围在-1到1之间，其中1表示完全 正相关，-1表示完全负相关，0表示无关。
04
参数估计与假设检验
点估计与区间估计
点估计
用单一数值表示估计的参数值，常见 的点估计方法有矩估计和极大似然估 计。
数理统计
随机误差=y y
一般而言，引起随机误差的因素是不能加以控制的 ，它们的变化时大时小、时正时负，因此是无法加 以修正的。它们是一种不可预测的、随机的差值， 可以把它们看成是测量过程中的“随机噪声”。
李 振 华 制 造
数理统计在化学中的应用
随机误差的减小方法
对于随机误差来说，在了解了样本的特性和差异 性的基础上，可以根据统计的原理采取以下一些 措施： 1. 调整样本的大小 2. 正确地进行抽样 3. 进行良好的实验设计 4. 进行假设检验和区间估计。
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
不同的检出限
3. 样品检出限 即相对于空白的可检测的最小样品含量，也定义为 三倍的空白浓度的标准偏差，即 3σ空白 (或 3 S 0 ) 。实际使用中，样品检出限要比方法检出限更重要 ，方法检出限仅是对某一样品而言，而当样品不同 时在同一个检测方法下，样品检测限却可能会相差 很大。
精密(随机误差小)
不准确(系统误差大)
不精密(随机误差大)
精密(随机误差小)
不准确(系统误差大)
准确(系统误差小)
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
准确度
准确度指的是测量结果与被测量真值之间的一致程 度，根据该定义可知，准确度仅是指 “一致的程度”，并未用量值来表示。由于它与 真值相连，因此它也只是一个定性描述的概念 。 根据定义要计算准确度是不可能的。 国际计量学界经过多年的研究后决定：表征测量结 果的可靠程度应采用不确定度。 准确度
李 振 华 制 造
数理统计在化学中的应用
(5)样品误差 (6)测量定义不完善 (7)引用数据
数理统计在化学中的应用
误差及数理统计基础
重复性是指在完全相同条件下，即同一操作者、 同一仪器、 同一实验室，在较短时间内分析同一样品所得结果的精密度；
再现性是指在不同的条件下，即不同的操作者、非同一台仪 器、不同的实验室、不同的时间，但是用相同的分析方法和 分析相同样品所得结果的精密度. 准确度表示测量值与真值的 偏离程度，它由系统误差和偶然误差共同决定.
7
3.712 4.414 6.634
7
5.337
6.345
8.301
8
2.902 3.452 4.521
8
3.369 4.007 5.775
8
4.613
5.488
7.187
9
2.743 3.264 4.278
9
3.136 3.732 5.248
9
4.147
4.936
6.468
10
2.626 3.125 4.098
2. 相对误差 绝对误差在真值中所占的比率称相对误差，一般用百分率表 示 x 相对误差（％）＝ x μ0
μ0 当真值为未知时，可用多次重复测定结果的算术平均值代替 。相对误差没有量纲.
3. 粗差 粗差也称过失误差，是由于非正常实验条件或非正常操作所
造成的. 如测量时对错了标志, 误读了数码, 实验仪器未达到预想 的指标等. 含有粗差的测量值常称为坏值或异常值, 应予以剔除.
如由4个学生用浓度准确为0.1mol/L的盐酸滴定浓度准确为 0.1mol/L的氢氧化钠, 氢氧化钠的体积准确为10.00ml. 每个学 生重复测量5次, 其结果示于表1.1.
表1.1 用盐酸进行氢氧 化钠的滴定结果
由表1.1可见, 学生A尽管测试结果 重复性较好, 即精密, 但是准确性较差 (A的均值为10.10), 所有结果均偏高. 这是由于系统误差所致. 学生B的测试 落到准确值(即真值)的两侧, 其均值为 10.01. 此结果较准确, 但精密度较差, 主要受到了偶然误差的影响. 学生C测 量中既有偶然误差的影响, 又有系统误 差的影响, 所以既不精密, 也不准确. 只 有学生D测试结果比较精密(范围为 9.97-10.04ml), 又比较准确(均值为
再现性是指在不同的条件下，即不同的操作者、非同一台仪 器、不同的实验室、不同的时间，但是用相同的分析方法和 分析相同样品所得结果的精密度. 准确度表示测量值与真值的 偏离程度，它由系统误差和偶然误差共同决定.
7
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2. 相对误差 绝对误差在真值中所占的比率称相对误差，一般用百分率表 示 x 相对误差（％）＝ x μ0
μ0 当真值为未知时，可用多次重复测定结果的算术平均值代替 。相对误差没有量纲.
3. 粗差 粗差也称过失误差，是由于非正常实验条件或非正常操作所
造成的. 如测量时对错了标志, 误读了数码, 实验仪器未达到预想 的指标等. 含有粗差的测量值常称为坏值或异常值, 应予以剔除.
如由4个学生用浓度准确为0.1mol/L的盐酸滴定浓度准确为 0.1mol/L的氢氧化钠, 氢氧化钠的体积准确为10.00ml. 每个学 生重复测量5次, 其结果示于表1.1.
表1.1 用盐酸进行氢氧 化钠的滴定结果
由表1.1可见, 学生A尽管测试结果 重复性较好, 即精密, 但是准确性较差 (A的均值为10.10), 所有结果均偏高. 这是由于系统误差所致. 学生B的测试 落到准确值(即真值)的两侧, 其均值为 10.01. 此结果较准确, 但精密度较差, 主要受到了偶然误差的影响. 学生C测 量中既有偶然误差的影响, 又有系统误 差的影响, 所以既不精密, 也不准确. 只 有学生D测试结果比较精密(范围为 9.97-10.04ml), 又比较准确(均值为
第五章 数理统计基础知识
（3）对360个零售商店调查零售额（单位：元）的结果 如下：
商店数 零售额
61 135
110
42
12
1000 (1000 ,5000 ] (5000 ,10000 ] (10000 ,20000 ] (20000 ,30000 ]
这是一个容量为360的样本的观察值，对应的总体是所 有零售店的周零售额.不过这里没有给出每一个样品的观 察值，而是给出了样本观察值所在的区间，称为分组样本 的观察值.
这便是一个容量为30的样本观察值，其样本均值为：
x
1 (156 30
134
161
151)
153.5
它反映了该厂工人周工资的一般水平.
例3(分组样本均值的近似计算）如果在例2中收集
得到的样本观察值用分组样本形式给出（见下表)，
此时样本均值可用下面方法近 似计算：以 xi ，表示
第 i 个组的组中值(即区间的中点），ni 为第 i 组的频
（2）对某型号的20辆汽车记录每加仑汽油各自行驶的 里和数（单位：公里）如下：
29.8 27.6 28.3 28.7 27.9 30.1 29.9 28.0 28.7 27.9 28.5 29.5 27.2 26.9 28.4 27.8 28.0 30.0 29.6 29.1
这是一个容量为20的样本的观察值，对应的总体是该 型号汽车每加仑汽油行驶的里程.
即下表所示.
X
0
1
P
1 p p
其中 X 是一个随机变量，表示抽查一台彩电的质量后 所得到的不合格数，X 0 表示该彩电合格，X 1 表示该 彩电不合格.不同厂家的总体间的差异就体现在不同的 p 上.
数学的数理统计学
数学的数理统计学数理统计学是一门应用数学的分支学科，旨在研究数据的收集、分析和解释。
它是现代科学、工程和社会科学中必不可少的工具之一。
本文将从数学的角度出发，介绍数理统计学的基本概念、方法和应用。
一、基本概念数理统计学的基本概念包括总体、样本、随机变量和概率分布等。
总体是指研究对象的全体，样本则是从总体中选取的一部分个体。
随机变量是描述随机现象的数值特征，概率分布则描述了随机变量的取值规律。
二、数据的收集与描述在数理统计学中，收集和描述数据是关键的一步。
常见的数据收集方法包括抽样调查、实验和观测等。
而对数据进行描述的手段主要有集中趋势度量和离散程度度量。
集中趋势度量包括均值、中位数和众数等，用于反映数据的中心位置；离散程度度量包括方差、标准差和变异系数等，用于反映数据的离散程度。
三、概率与概率分布概率是数理统计学的重要概念之一，用来描述随机现象发生的可能性。
概率分布则用于描述随机变量的取值规律。
常见的概率分布包括正态分布、二项分布和泊松分布等。
正态分布是一种重要的连续型概率分布，其以钟形曲线为特征，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
二项分布和泊松分布则常用于描述离散型随机变量的概率分布。
四、参数估计与假设检验参数估计与假设检验是数理统计学中的核心内容。
参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，常用的方法包括点估计和区间估计。
假设检验则是用于判断总体参数是否满足某个假设，常用的方法包括单样本假设检验、双样本假设检验和方差分析等。
五、回归与相关分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
简单线性回归分析用于描述两个变量之间的线性关系，多元线性回归分析则考虑多个自变量对因变量的影响。
相关分析则用于描述两个变量之间的相关程度，常用的是皮尔逊相关系数。
六、应用领域数理统计学在各个领域都有广泛的应用。
在自然科学方面，数理统计学可以帮助分析实验数据，验证理论模型。
在工程领域，数理统计学可以应用于质量控制、可靠性分析等。
统计调查误差有哪几种
统计调查误差有哪几种篇一：浅谈统计调查及统计调查误差的种类浅谈统计调查及统计调查误差的种类随着社会的发展，统计调查作为各信息的来源势必会越来越受到人们更多地关注，也势必会有越来越多的人参与到统计调查活动中来。
从统计调查的概念出发，通过对统计调查和其它调查的区别解释统计调查，并正确区分统计调查与非统计调查、理解统计调查的种类、统计调查误差的种类及其特征和产生的原因，这些问题是参与和搞好统计调查、提高统计调查质量的基本前提。
统计调查误差统计调查质量[7]一、统计调查的概念统计调查不仅要有明确的调查对象，而且调查对象是由具有某一或某些共同特征的许多个体构成的总体，同时构成总体的个体数要足够地多，除此之外，还要求调查的个体单位数也要足够地多。
统计调查对构成总体的许多独立个体的调查不是目的，综合与提炼许多独立个体信息资料才是统计调查的真正目的。
因此，统计调查所获资料的真实、准确与否，直接取决于个体提供的信息资料是否真实、准确。
而统计个体之所以有可能提供不真实、不准确的个体信息资料，是因为统计个体担心一旦提供了个体真实、准确的信息资料可能会为自己、他人或相关部门带来不必要的麻烦。
不过，从统计调查的真实目的来看，统计个体的信息资料根本不是统计调查所关注的信息资料，个人信息资料只作为一种信息载体出现，仅起到显现总体一般属性或数量特征的作用———从对个体信息资料进行深入的加工、综合中提炼出总体的一般属性或数量特征。
二、统计调查的种类众所周知，信息化时代信息的主体是统计信息，统计信息的获取建立在统计调查的基础之上。
统计调查搜集到的个体信息资料的真实、准确与否将直接影响信息化时代信息的质量。
统计调查获取个体信息资料的方式方法的不同决定了不同种类的统计调查获取个体信息资料质量的差异。
统计调查按是否对构成总体的全部个体进行调查，可以划分为全面统计调查与非全面统计调查两类。
全面统计调查指的是对构成总体的所有个体进行的调查，即要搜集总体中所有个体的个体信息资料的一种调查。
第二章 测量误差分析与数据处理
• 系统误差的特点是，测量条件一经确定， 误差就为一确切的值。用多次测量取平均 值的方法，并不能改变误差的大小。针对 其产生的根源采取一定的技术措施，以减 小它的影响。例如，仪器不准时，通过校 验取得修正值，即可减小系统误差。
– 系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被 测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的 真值之差。即
• [例] 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为 0～400mA和1.5级量程为0～100mA的两个电流表， 问用哪一个电流表测量较好？
解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时，最大 相对误差为
xm 400 x1 s% 0.5% 2% x 100
用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最大相 对误差为 x 100
随机 误差
粗大 误差
1． 绝对误差（Absolute Error）
（1）绝对误差 用被测量对象的显示值（仪器上的示值） x减去被测量对象的真值A0，所得的数据Δx，叫做 绝对误差。 Δx= x – A0 真值A0无法求到，常用上一级标准仪器的示值 作为实际值A（约定真值）代替真值 △x=x- A 特点：
难点：
1．方差与标准差、权、加权平均值。 2．常用函数的合成误差推导与应用。 3．最佳测量条件的确定与测量方案的设
计。
本次课目标
本次课阐述测量误差的基本概念、误差的表 达形式、误差分类、误差来源；给出描述误差大 小的精度概念及其与误差各类误差的特性。 给出测量中的有效数字概念及其在数据处理 中的基本方法。通过学习本章内容，使读者对测 量误差分析及其数据处理的问题有一个概貌的了 解，为学习后面章节的内容奠定基础。
•
含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数 据处理时，应剔除掉。
[研究生入学考试]第六章数理统计基础
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个体都有同等机会被选入样本,这便意味着每一 样品xi与总体X有相同的分布.
〔2)样本要有独立性,即要求样本中每一样品的取 值不影响其他样品的取值,这意味着x1,x2,…,xn相 互独立.
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随 机样本,也简称样本.除非特别指明,本书中的样本 皆为简单随机样本.
于是,样本x1,x2,…,xn可以看成是相互独立的 具有同一分布的随机变量,其共同分布即为总体分 布.
对于样本均值的抽样分布,我们有下面的定理 定理1 设x1,x2,…,xn是来自某个总体X的样本, 为样本均值. 〔1)若总体分布为N〔μσ2),则的精确分布为
N〔μσ2/n); 〔2)若总体X分布未知〔或不是正态分布),且
n1E渐<i近nX1 >分x=i 布μ的,D是渐<指X近>n分=较σ布大2,为则时N当的〔样近μ本似σ2容分/n量)布,这n较里大的时,
〔1)x<1>的分布函数F1<x>=1-<1-F<x>>n,x<1> 的分布密度f1<x>=n-<1-F<x>>n-1f<x>
〔2)x〔n)的分布函数Fn<x>=[F<x>]n,x<n>的分 布密度fn<x>=n[F<x>]n-1f<x>
证明 先求出x<1>及x<n>的分布函数F1<x>及Fn<x>： 分别对F1〔x),Fn〔x)求导即得
定义1 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样 本函数T＝T〔x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参 数,则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.
〔2)样本要有独立性,即要求样本中每一样品的取 值不影响其他样品的取值,这意味着x1,x2,…,xn相 互独立.
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随 机样本,也简称样本.除非特别指明,本书中的样本 皆为简单随机样本.
于是,样本x1,x2,…,xn可以看成是相互独立的 具有同一分布的随机变量,其共同分布即为总体分 布.
对于样本均值的抽样分布,我们有下面的定理 定理1 设x1,x2,…,xn是来自某个总体X的样本, 为样本均值. 〔1)若总体分布为N〔μσ2),则的精确分布为
N〔μσ2/n); 〔2)若总体X分布未知〔或不是正态分布),且
n1E渐<i近nX1 >分x=i 布μ的,D是渐<指X近>n分=较σ布大2,为则时N当的〔样近μ本似σ2容分/n量)布,这n较里大的时,
〔1)x<1>的分布函数F1<x>=1-<1-F<x>>n,x<1> 的分布密度f1<x>=n-<1-F<x>>n-1f<x>
〔2)x〔n)的分布函数Fn<x>=[F<x>]n,x<n>的分 布密度fn<x>=n[F<x>]n-1f<x>
证明 先求出x<1>及x<n>的分布函数F1<x>及Fn<x>： 分别对F1〔x),Fn〔x)求导即得
定义1 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样 本函数T＝T〔x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参 数,则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.
试验设计与数据处理
最佳参数的一种实用方法。学会它对我们今后的学习与工作具有非常大的指 导意义。 • 第五章 回归分析 • 自然界中大多数的事物是没有规律性的，即它没有数学模型，但是我们可以 在忽略一些次要因素的同时通过回归分析的方法，寻找出它的较佳的数学模 型，以指导我们的社会实践活动。
2020年1月19日
4
第一章 概论
• 复现性是指在改变测量条件下，对被测量进行多次测量时，每一 次测量结果之间的一致性。即在一定的误差范围内，每一次测量 结果的可靠性是相同的，这些测量值服从同一分布。
• (4)测量方法
• 根据给定的测量原理，在测量中所用的并按类别描述的一组操作 逻辑次序和划分方法，常见的有替代法、微差法、零位法、异号 法等。（2）相Βιβλιοθήκη 误差 用以区分两组不同准确度的比较。
相对误差＝…….
2020年1月19日
15
公式（１—８）
定义：
相对误差
绝对误差 真值
绝对误差 测量值 绝对误差
1 测量值
绝对误差 1
当绝对误差很小时，
测量值 绝对误差
1,时
相对误差
绝对误差 测量值
简便实用形式——引用误差
（1—8）
引用误差
• 检测：对给定的产品、材料、设备、生物体、物理现象、工艺过程或服务，按照一定的 程序确定一种或多种特性或性能的技术操作。检测通常是依据相关标准对产品的质量进 行检验，检验结果一般记录在称为检测报告或检测证书的文件中。
• 校准:在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具或参考物 质所代表的量值，与对应的由标准所复现的量值之间关系的一组操作。
1.2.3 误差的分类
偏离测量规定的条件，测量方法不合适，按某一确定的规律所引起的误差。
2020年1月19日
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第一章 概论
• 复现性是指在改变测量条件下，对被测量进行多次测量时，每一 次测量结果之间的一致性。即在一定的误差范围内，每一次测量 结果的可靠性是相同的，这些测量值服从同一分布。
• (4)测量方法
• 根据给定的测量原理，在测量中所用的并按类别描述的一组操作 逻辑次序和划分方法，常见的有替代法、微差法、零位法、异号 法等。（2）相Βιβλιοθήκη 误差 用以区分两组不同准确度的比较。
相对误差＝…….
2020年1月19日
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公式（１—８）
定义：
相对误差
绝对误差 真值
绝对误差 测量值 绝对误差
1 测量值
绝对误差 1
当绝对误差很小时，
测量值 绝对误差
1,时
相对误差
绝对误差 测量值
简便实用形式——引用误差
（1—8）
引用误差
• 检测：对给定的产品、材料、设备、生物体、物理现象、工艺过程或服务，按照一定的 程序确定一种或多种特性或性能的技术操作。检测通常是依据相关标准对产品的质量进 行检验，检验结果一般记录在称为检测报告或检测证书的文件中。
• 校准:在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具或参考物 质所代表的量值，与对应的由标准所复现的量值之间关系的一组操作。
1.2.3 误差的分类
偏离测量规定的条件，测量方法不合适，按某一确定的规律所引起的误差。
误差理论及数据处理
③培养和提高学生的科学实验素养，要求学生具有理论联 系实际和事实求是的科学作风，严肃认真的工作态度，勇于探 索、坚忍不拔的钻研精神以及遵守纪律、团结协作、爱护公物 的优良品德。
实验前认真预习
首先，在实验前，大家应该仔细阅读实验讲义和有关资 料，弄清实验目的和实验原理，搞清楚本次实验要测量什么 量，使用什么方法，需要那些仪器，主要的操作步骤及注意 事项。然后在此基础上写好预习报告。
绪 论 实验误差及数据处理
康
耘
2012.03.-2012.12
绪
论
物理学是一门实验科学。物理概念的确定,物理规律
的发现、建立和检验，都是通过实验结果概括出来的。因
此，从古至今物理实验在物理学的创立和发展上都占有十 分重要的地位。物理学作为许多应用科学的基础，在科技 发展中的重要作用益加凸现。而物理实验在物理学的建立 和发展中一直起着重要的作用。
在实验中可能遇到一些问题，这是大家应看作是学习的良 机，要冷静地分析和处理之，如果自己不能解决，可请教指导 教师或与其讨论。对待实验数据要严肃认真、一丝不苟，要用 钢笔或圆珠笔记录好原始数据，做到准确、清楚、有次序，做 完实验后，要将实验数据交指导教师检查，得到认可后，再将 仪器整理复原，方可离开实验室。
第 二 节
系统误差及修正
系统误差的特征是具有确定的规律性，原则上讲可以消除，但不能通 过多次重复测量来减小或消除，因此，系统误差的处理较为复杂。他要求 实验者既要有较好的理论基础，又要有丰富实践经验。所以对系统误差修 正只作原则性介绍。
一.系统误差的发现
(1)实验对比，就是用不同的测量原理、方法和仪器来测量同一物理量， 改变某项实验条件、实验参数等进行对比。分析这些实验结果有无明显差 异，来判断是否存在系统误差。 (2)理论分析，分析实验所依据的理论公式要求的条件与实际情况有无 差异，分析仪器所要求的使用条件是否满足等。理论分析是研究系统误差 的重要方法，但是要分析恰当。 (3)数据分析，因为随机误差服从一定的统计分布规律，如果所测数据 不遵从这种规律，则说明存在系统误差。如果按测量次序记录的数据具有 单向或周期性变化特征，说明存在固定的或周期性的系统误差。
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t值的计算用下式：
t x1 x2
1 1 s n1 n2
式中n1和n2分别为两样本的容量. t 的自由度为n1+n2-2. 如果tt（，f）， 则否定原假设，即两种方法所得结 果有显著性差异. t（，f）为显著性 水平是、自由度是f的查表值.
4
如用两种方法测定植物中硼，结果为： 分光光度法（ug/g）: 均值=28.0; 标准偏差=0.3 荧光光度法（ug/g）: 均值=26.25; 标准偏差=0.23
显著性差异的判断。
2
§1.6.1 显著性水平
显著性检验离不开预设的小概率，例如正态分布的测量值 落到区间 [ 2 ] 以外的概率小于0.05, 落到 区间
[ 3 ] 以外的概率小于0.01。
在概率论中，小概率的原则是：如果一个事件发生的概率 很小，那么在一次试验中，实际上可把它看成不可能发生 的事件。如果某个小概率事件竟然发生了，则认为这是一 反常现象。小概率越小就越显得异常，所以此小概率在显 著性检验中称为显著性水平。反映的是显著差异的程度， 通常在0.05以下便认为是显著。 Matlab函数：pdf，cdf
有两种情况: 一是我们希望知道是否方法A比方 法B更精密（单尾检验）；二是拟知道方法 A与 方法B的精密度上有否差别（双尾检验）. 在第 一种情况下是假定方法 A不会比方法 B精密；在 第二种情况下，比较的是两种方法的相对精密 度. 很清楚，假若我们希望测试一种新的方法是 否比已有的标准方法更精密，则用单尾检验； 假若我们希望比较两种标准偏差是否有显著性 差异，则用双尾检验. F检验的表达方式为：
3
4
50
60
48
57
若沿用上述算法去直接比较两种方法的均值是不适合的，因为 测试结果的差异有可能由于本试样不同所导致。
在此种情况下，可以采用同一试样两个测试结果比较的方法.
11
如上述数据，对应试样的差值分别为-5, -7, 2, 3; 这些差值 的均值=-1.75；差值的标准偏差s=4.99. 由于差值的期望值 =0，所以
用统计法进行坏值剔除的基本思想是：给定一显著性水平 ，并确定一门限值，凡超过这个门限的误差就认为它不 属于随机误差的范畴，而是粗差，并予以剔除. 1. Ρайта法则 设残差为： vi xi x
样本的标准偏差为s，若
vi 3s
则认为xi是含有粗差的坏值，应予剔除. 2. Chauvenet准则 同上，当
t x n/s
t 的自由度为 n-1=3, 取 =0.05 ，查表得t 值为 3.18 ， t 的实验 值为-0.70, | t |< t(，f) 故两种方法测得Pb含量的均值没有显 著性差别。
Matlab代码：[h,p,~,pstat]=ttest(x,y)
12
§1.6.3 F检验
F检验主要用于两套数据方差的比较。
已 知 汞 的 含 量 为 38.9%. 其 测 试 值 为 38.9%, 37.4% 和 37.1%. 由此可得平均值为 37.8% ，标准偏差为 0.964%. 作假设，即设定无系统误差，则利用上述公式可计算 t 值：
| t || 37.8 - 38.9 | * 3 / 0.9641 1.98
14
再如§1.6.2中硼的测定
两种方法的测定次数均为10，即自由度均为9, 标准偏 差分别为0.30 和0.23. 若采用F检验：
分光 荧光 27.3585 27.7481 28.4064 27.6784 28.2883 28.0372 28.4310 27.4117 27.9407 27.6376 26.9188 26.4398 26.5672 26.0066 26.1422 26.1873 26.5026 26.1861 26.4114 25.7781
16
观测频率，O
24 17
期待频率，E
15.25 15.25源自O–E8.75 1.75
(O - E)2/E
5.020 0.201
11
9
15.25
15.25
-4.25
-6.25 0.00
1.184
2.561 χ2=8.966
其中，O – E列的加和恒等于0, 故可作计算中的校验. 若χ2超 出一定的临界值则拒绝假设 . 在此例中，自由度为4-1=3， 若=0.05, 则由χ2的分布表可知χ2的临界值为7.81，计算值大 于查表值，说明4位工作者的可信赖度确有区别. Chi2inv(0.95,3)
第一章 误差及数理统计基础
1
§1.6 显著性检验
在实际应用中仅估计总体的值还不够，常常需要
说明总体的某种性质，例如两个样本的均值差异
是否显著到不能代替同一总体。这里包括工艺改
变后产品质量有无显著变化，两种分析方法测定 结果是否一致等问题. 该类统计推断都是先提出假
设，然后按照某种逻辑在一定概率上作出是否有
F=0.32/0.232=1.7 显然，在此种情况下为双尾检验. 查双尾F分布表所得 临界值为4.026（=0.05）. 计算值小于临界值，说明 两种方法的标准偏差没有显著性差别. 须指出, 在进行双尾检验时, 若使用的F分布表为单尾, 则显著性水平 应为双尾的 的 1/2. 如上例 , 应为 0.025而不是0.05.
分光 荧光 27.3585 27.7481 28.4064 27.6784 28.2883 28.0372 28.4310 27.4117 27.9407 27.6376 26.9188 26.4398 26.5672 26.0066 26.1422 26.1873 26.5026 26.1861 26.4114 25.7781
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§1.6.4
2
检验
χ 2检验是有关于某事件发生频率的测试. 如，由实验室中 4位工作者打破玻璃器皿的件数，用χ2 检验他们的可信赖度有否区别. 打破件数：24，17，11，9 若作 H 0 假设，则认为他们间可信赖度无区别. 就是说在同 一段时间内，他们打破玻璃器皿的件数是相同的 . 由于打 破的总件数为61，所以对于每位工作者打破器皿的期望值 为 61/4=15.25. 现在我们拟得到的答案是，观测值与期望 值是否有显著性差别. 为此，作如下计算：
t ( x1 x 2 ) / s1 / n1 s 2 / n2
s1 / n1 s 2 / n2 s1 / n1 s 2 / n2 ( )( ) n1 1 n2 1
2 2 2 2
自由度的计算为：
2
7
如风湿病人和对照组血中硫醇含量(mmol)为： 对照组：1.84, 1.92, 1.94, 1.92, 1.85, 1.91, 2.07 风湿病人：2.81, 4.06, 3.62, 3.27, 3.27, 3.76 由此，可计算得到： n1=7, =1.921, s1=0.076
当自由度为2时，查t值分布表可得t(,f)=4.3 (=0.05). 由 于|t|〈t临界，H 0 假设为真，即无明显的系统误差.
Matlab代码： [h,p,~,pstat]=ttest(x,0.389)
10
3、成对结果的t检验（paired t-test）
两种方法对于4个试样Pb的测定结果(ug/L)为： 试样 1 2 湿法氧化 71 61 直接萃取 76 68
s1 2.80 s1 2.57
2
2
75min: x1 57.8;
作 H 0 假设，即蒸馏时间对测定结果无影响. 方差总值为：
s 2 (5 2.80 5 2.57) / 10 2.685 s 1.64
Matlab 代码演算
6
t (57.8 57.0) /(1.64 (1/ 6 1/ 6) ) 0.84
8
2. 试验均值与已知值的比较
为了判断实验均值与真值 是否有显著性差别，与上类同, 可 将方程
x (ts / n )
n s
重写为：
t (x )
然后由实验数据可计算t值. 若|t|>t(,f)，则放弃假设. 同样, t(,f) 由查表得到.
9
用冷蒸汽原子吸收法测定某标样中的汞
n2=6, =3.465, s2=0.440
t=8.5 依照式上述公式, 计算得自由度为5. 若取=0.01, 查得t的临 界值为4.03. 实验t值大于t的查表值，否定原假设，即风湿病 人血中硫醇的含量与对照组（正常人）有显著差别。 Matlab 代码演算 [h,p,ci,stats] = ttest2(x,y,0.01,'both','unequal')
3
§1.6.2 t检验
1. 两套试验平均值的比较
将t用于显著性检验可判断两试验均值是否有显著性差别. 设两试验的均值分别为 x1和 x 2 . 若作假设H0，即假设两种方法 所得均值没有差别. 在判断中，首先由单一标准偏差s1和s2作综 合标准偏差的计算：
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 1 2 2 s2 1 n1 n2
17
作为χ2检验的应用，观测总数要大于或等于50 次，而个体重复次数不应低于5。 另外 , χ2 检验可用于检验总体方差是否正常， 但总体方差要已知. 运用时首先计算出统计量：
2
(n 1) s
2
2
然后查分布表，并将查表值与计算值进行比较， 以判断如某批产品正常与否.
18
§1.6 坏值的剔除
72.7853
71.0545
71.9698
69.2482
71.9475
68.7588
70.7948
68.1723
73.5382
70.2339
71.7988
试问，新方法的精密度是否明显高于标准方法？对于此问题可以采用单尾 F检验. F=3.312/1.512=4.8 在两种情况下均测定8次，所以自由度均为7. 若=0.05，查表（单尾）得F 的临界值为3.787. 由于计算值大于该临界值，故可得新方法比标准法具有 更高精密度的结论.