线性空间中向量之间线性关系

1 ( 1 , 1 , 1 ) ,2 ( 1 , 1 , 0 ) ,3 ( 1 , 0 , 0 ) 也是R3的一组基．
一般地，向量空间
P n { ( a 1 ,a 2 , L ,a n ) a i P ,i 1 ,2 ,L ,n } 为n维的，
1 ( 1 , 0 , L , 0 ) , 2 ( 0 , 1 , L , 0 ) , L , n ( 0 , L , 0 , 1 )
使 k 11 k 22 L k rr
则称向量 可经向量组 1,2,L,r 线性表出；
若向量组 1,2,L,s 中每一向量皆可经向量组
1,2,L,r线性表出，则称向量组 1,2,L,s
可经向量组 1,2,L,r线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2,L,r V，若存在不全为零的数
练习
1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
a b a b , k o a a k a ,b R , k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基.
2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里
1 0 0
Vf(A)
f(x)R[x],A0 0
0
02,
1 i 3
2
2 解: Q21i 3, 31,
2
1 n3k
n n3k1 kZ 2 n3k2
1 0 0
A20 0
2
0
0,
1 0 0
A30 0
1 0
1 0E,
E n3k
An A n3k1 kZ
①
A2 n3k2
下证 E, A, A2 线性无关. 设 k 1 E k 2A k 3A 20 , 得齐次线性方程组
1 解: 数1是R＋的零元素.
( Q x R ,x 1 x 1 x ) .
任取R＋中的一个数 a , 且 a 1 ，则a是线性无关的.
又 x R ,有 k l o g a x R ,使 k o a a k a l o g a x x . 即 x 可由 a 线性表出.
故R＋是一维的，任一正实数 a ( 1 ) 就是R＋的一组基.
数1就是它的一组基.
例5 求数域P上的线性空间P 22 的维数和一组基．
解：令
E11
1 0
0 0
,
E12
0 0
1 0
,
E21
0 1
0 0
,
E22
0 0
0 1
则 E 11,E 12,E 21,E 22是线性无关的．
事实上，由 a E 1 1 b E 1 2 c E 2 1 d E 2 2 0 ，即
(f(a),
f(a),L,
f(n1)(a) )
(n1)!
例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性
空间的维数与一组基；
若把C看成是实数域R上的线性空间呢？
解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的
一组基； 而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为 它的一组基．
注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，
k1
k1 k2 k3
k2 2k3
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 (1)(21)(2)0 1 2
∴方程组②只有零解： k1k2k30 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V的一组基.
(n 1 )! 即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
注： 此时， f( x ) a 0 a 1 x L a n 1 x n 1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
§6.3 维数 · 基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
解：设 x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 ，则有线性方程组
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
∴解ξ之在得基，x1 1 ,5 4 2,,x2 3, 41 4 下,的x3坐 标1 4 为,x4 (54 , 141 4 ,．14,14) ．
a11 a21
a12 a22
在基
E 11,E 12,E 21,E 22下的
坐标就是 (a11,a12,a21,a22).
一般地，数域P上的全体 mn矩阵构成的线性空间
P mn 为 mn维的，
矩阵单位
0
0
O
E ij
01 O 0
第 i行 i 1,2,L ,m
j 1,2,L ,n
0
O 0 就是 P mn 的一组基．
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的． 其次， f ( x ) a 0 a 1 x L a n 1 x n 1 P [ x ] n f ( x ) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n是n维的.
怎样才能便于运算？
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1） 1 ,2 , L ,r V ( r 1 ) ,k 1 , k 2 , L , k r P ,和式
k 11 k 22 L k rr
称为向量组 1,2,L,r的一个线性组合．
（2）1 ,2 ,L,r, V ，若存在 k1,k2,L,kr P
无限维的.
因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的
向量
1，x，x2，…，xn－1
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n .
注：零空间的维数定义为0.
注： 此时， f( x ) a 0 a 1 x L a n 1 x n 1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0,a1,L,an1)
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f(x)P[x]n，按泰勒展开公式有 f(x ) f(a ) f(a )(x a ) L f(n 1 )(a )(x a )n 1
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
定理：若线性空间V中的向量组1,2,L,n满足 ⅰ） 1,2,L,n线性无关； ⅱ） V, 可经 1,2,L,n线性表出 ,
则V为n 维线性空间，1,2,L,n为V的一组基．
证明：∵ a1,a2,L,an线性无关，
∴V的维数至少为 n．
任取V中 n＋1个向量 1 , 2 ,L , n , n 1 ， 由ⅱ)，向量组 1 , 2 ,L , n , n 1可用向量组
第 j列
mn
A (a ij) P m n , 有 A a ijE ij
i 1i 1
例6 在线性空间P 4 中求向量 (1,2,1,1) 在基
1,2,3,4下的坐标，其中
1 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 2 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 3 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 4 ( 1 , 1 , 1 , 1 )
k1,k2,L,kr P，使得
k 1 1 k 22 L k rr 0
则称向量组 1,2,L,r 为线性相关的；
（4）如果向量组 1,2,L,r不是线性相关的，即
k 1 1 k 22 L k rr 0
只有在 k 1 k 2 L k r 0时才成立，
则称 1,2,L,r 为线性无关的．
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0
向量组 1,2,L,r线性相关 1, 2,L, r中有一个向量可经其余向量线性表出．
（2）若向量组1,2,L,r 线性无关，且可被
向量组 1,2,L,s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L,r与 1,2,L,s为两线性无关的 等价向量组，则 rs.
（3）若向量组 1,2,L,r 线性无关，但向量组
1,2,L,r,线性相关，则 可被向量组
1,2,L,r线性表出，且表法是唯一的．
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是
ห้องสมุดไป่ตู้
a c
b d
0
有 a b c d 0 .
又对 Aaa1211 aa1222P22，有
A a 1 1 E 1 1 a 1 2 E 1 2 a 2 1 E 2 1 a 2 2 E 2 2
∴ E 11,E 12,E 21,E 22是 P 2 2 的一组基，P 2 2 是4维的．
注：
矩阵
A
a1,a2,L,an线性表出.
若 1 , 2 ,L , n , n 1 是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．
∴V中任意n＋1个向量 1 , 2,L, n, n 1是线性相关的．
故，V是n 维的，1,2,L,n就是V的一组基．
例2 3 维几何空间R3＝ {(x,y,z)x,y,z R }
1 ( 1 , 0 , 0 ) ,2 ( 0 , 1 , 0 ) ,3 ( 0 , 0 , 1 ) 是R3的一组基；
dimV＝ 0 V＝{0}
（2）基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1,2,L,n，称为 V 的一组基；
（3）坐标
设 1,2,L,n 为线性空间 V 的一组基， V,
若 a 1 1 a 2 2 L a n n , a 1 , a 2 , L , a n P
则数组 a1,a2,L,an，就称为 在基1,2,L,n
下的坐标，记为 (a1,a2,L,an).
a1
有时也形式地记作
( 1 , 2 ,L
,
n
)
a
2
M
a
n
注意：
向量 的坐标(a1,a2,L,an)是被向量 和基1,2,L,n
唯一确定的．即向量 在基 1,2,L,n 下的坐标唯一的.
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
3、线性空间的基与维数的确定