人教备战中考数学易错题专题复习-二次函数练习题及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加x 元．求：

（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？

【答案】（1）y=60-

10

x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．

【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；

（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；

（3）支出费用为20×（60﹣

10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10

x ），利用配方法化简可求最大值．

试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣10

x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110

x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣

10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣

2110x +42x +10800 =﹣110

（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．

此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．

点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.

(2)求支柱MN 的长度.

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

【答案】（1）y=-350

x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】 试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．

（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．

试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).

将B 、C 的坐标代入2

y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩

解得3,650

a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-

+. (2) 可设N (5,N y )，

于是2356 4.550

N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.

(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，

则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).

过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050

H y =-

⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

3．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.

【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）

(2)m 、n 的值分别为 5，-5

【解析】

（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得：

4b+c-16=0，b+c-1="3" ，

解得：b="4" ， c=0．

所以抛物线的表达式为：2

4y x x =-+．

y=-224(2)4y x x x =-+=--+，

所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．

（2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）．

三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20，

所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）

又n=-2m +4m ，

所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)

故所求m 、n 的值分别为 5，-5．

4．如图1，在平面直角坐标系中，直线122y x =

+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212

y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．