第6章 选择函数形式

怎样测度弹性： 6.5 怎样测度弹性：对数线性模型
• 考虑以指数回归模型命名的如下模型：
• 可表达为 • 如果写成 6.5.3） （6.5.3）
• 其中 ，这个模型就是对参数α和β2 为线性，并且对 变量Y和X的对数为线性，从而可用OLS回归来估计。 • 由于这一的线性性质，这种模型本称为对数-对数（log-log）， 双对数（double log）或对数线性(log-linear)模型。
• 由此可以看出，当尺度因子相同时，即 • 斜率系数及其标准差不受尺度从 响。 • 截距及其标准差放大或缩小了w1 倍。
变到
时， 的影
• 若X尺度不变（即w2 =1），而Y的尺度按因子w1 改变，则斜 率和截距系数以及各自的标准差都要乘以因子w1 。 • 若Y尺度不变（即w1 =1），而X尺度按因子w2 改变，则斜率 系数及其标准误要乘以因子1/ w2 ，截距系数及其标准差不变 。
6.3 标准化变量的回归
• 刚才我们看到回归子和回归元的单位会影响到回归系数的截距 。如果我们把回归子和回归元表示成标准化变量，这种影响就 可以避免。 • 于是，在Y对X的回归中，如果我们把这些变量重新定义为：
• 其中 • • 变量
=Y的样本均值， =Y的样本标准差， =X的样本均值， =X的样本标准差。 和 被称为标准化变量(standardized variables.)
• 标准化变量的一个有趣特征是，其均值总是0，标准差总是1.
• 注：样本方差自由度为n-1，因为样本中如果知道了均值，那 么只需要知道其他n-1个数就可以把样本中每个数都确定了。
• 于是我们对标准化变量做回归：
（6.3.5） ）
• 由于对标准化的回归子和回归元做回归，所以截距项总是零。 （截距=因变量的均值-斜率*回归元的均值，对标准化变量而 言，因变量和回归元的均值都是零。） • （6.3.5）是一个过原点的回归。 • 标准化变量的回归系数（ 、 表示）被称为β系数。 • 如何解释β系数呢？ • 其解释是，如果标准化回归元增加一个单位的标准差，则标准 化回归子平均增加 单位个标准差（标准化变量的标准差为1 ）。与传统模型不同，我们度量的变量影响用标准差为单位。
一个数值例子：1988-1997年美国GPDI与GDP的关系
• GPDI和GDP都以10亿美元计算：
• GPDI和GDP都以百万美元计算：
• 如理论所示，(6.2.22)中截距及其标准差都是回归（6.2.21）中 相应值的1000倍（ w1 =1000），但斜率系数及其标准差不变 。
一个数值例子：1988-1997年美国GPDI与GDP的关系
• 考虑劳务支出数据，拟合线性趋势模型的结果如下：
• 若GPDI以10亿美元计算而GDP以百万美元计算：
• 仅X改变尺度w2 =1000，所以斜率系数及其标准差是（6.2.21 ）中的1/1000倍。 • 若GPDI以百万美元计而GDP以10亿美元计算：
• 如理论所示，X尺度不变，Y 按w1 改变，截距和斜率系数及其 标准差都是它们在（6.2.21）中的1000倍。
例：耐用品支出与个人消费总支出之间的关系
• 表6.3给出了个人消费总支出（personal consumption expenditure,PCEXP）、耐用品支出（expenditure on durable goods,EXPDUR）、非耐用品支出（expenditure on nondurable goods,EXPNONDUR）和劳务支出（ expenditure on services,EXPSERVICES）。 • 假设我们想求耐用品支出（EXPDUR）对个人消费支出（ PCEXP）的弹性。将耐用品支出的对数相对个人消费支出的对 数描点。将看到二者之间存在线性关系。因此，双对数模型可 以适用。
• 线性趋势模型。 • 有时研究者不去估计增长模型，而估计如下模型：
• 不做lnY对时间的回归，而是做Y对时间的回归。 • 该模型称为线性趋势模型（linear trend model），并且把时间 变量t取名为趋势变量（trend variable）。 • 趋势的意思，是一个变量的行为中一种持续上升或下降的运动。 • 如果上式中的斜率系数为正，则Y有一种上升趋势，如果它是负 的，则Y有一下降趋势。
• 其中w1 和w2 为常数，称为尺度因子(scale factors)，w1 和w2 可以相等或相异。 • 如果Y 和X 是以10亿美元度量的而现在改用百万美元去表示， 则有
• 现考虑使用如下回归： • 其中
• 我们要找出以下每组变量之间的关系式：
• 把OLS法应用于新的回归我们得到： •
容易证明：
例：劳务支出的增长率
• 根据增长模型，考虑表6.3中给出的劳务支出数据，得到回归结 果如下：
• 解释：1993年第1季度到1998年第3季度期间，劳务支出以（ 每季度）0.743%的速度增加。粗略的讲，这等于2.97%的年增 长率。 • 截距项7.7890=研究期初EXS的对数，所以取其反对数则得到 EXS期初值（1992年第4季度末）为2413.90（单位为10亿美 元）。 • 如图是方程给出的散点图。
第六章 双变量线性回归模型的 延伸
目
• • • • • • • • • 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
录
过原点回归 尺度与测量单位 标准化变量的回归 回归模型的函数形式 怎样测度弹性：对数线性模型 半对数模型：线性到对数与对数到线性模型 倒数模型 函数形式的选择 关于随机误差项的性质
运用@定义变量： series lnexdur=@log(expdur) series lnpcex=@log(pcexp)
• 回归结果如下：
• 其中*表示p值极小。 • 如结果所示，EXDUR对PECX的弹性约为1.90 • 这表明，若个人消费支出提高1%，耐用品支出则提高约为 1.9%。 • 因此，耐用品支出很容易受到个人消费百度文库出变动的影响。这就 是耐用品生产者总是关注个人收入和个人消费支出变动的原因 之一。
• 如果经典线性回归模型的假定均得到满足，则可用OLS法估计 （6.5.3）中的参数。令
• 其中 ， 。所得的OLS估计量 将分别是α和β2 的最优线性无偏估计量。
和
• 对数-对数模型一个使它普通应用的特点，是斜率系数β2 测度了 Ｙ对Ｘ的弹性，也就是由给定的Ｘ的百分比的变化引起的Ｙ的 百分比的变化。 • 比如说，Ｙ代表对某一商品的需求量，Ｘ代表其单位价格，则 β2 测度了需求的价格弹性。如图： • 图6.3(a)给出了需求量与价格的关系，6.3（b)给出了价格弹性 （- β2 ）的估计。
图６.３ 不变弹性模型
对数线性模型的特点
• 1. 该模型假定Y与X之间的弹性系数β2在整个研究范围内保持不 变，因此又名不变弹性模型(constant elasticity model)。 • 2.虽然 和 是α和β2 的无偏估计量，但β1 进入原始模型的 参数估计 本身是一个有篇估计量。然而在大多 数实际问题中，截距项都居于次要地位，我们没有必要为得到 一个无偏估计量而发愁。 • 在双变量模型中，决定对数线性模型能否拟合好数据的简单办 法，是描绘出lnY 对lnX 的散点图，看是否差不多落在如图6.3 （b）那样的直线上。
6.2
尺度与测量单位
• 1988-1997年美国私人国内总投资与国内生产总值
• • • •
GPDIBL=以1992年10亿美元计私人国内总投资 GPDIM=以1992年百万美元计私人国内总投资 GDPB=以1992年10亿美元计国内生产总值 GDPM=以1992年百万美元计国内生产总值
• 假使在GPDI和GDP的回归中某一研究者使用以10亿美元计的 数据，而另一研究者使用以百万美元的同样变量的数据。这两 种情形的回归结果是否会是一样的？ • 为了回答Y和X的测量单位是否会造成回归结果的任何差异这个 问题，我们令： • 其中Y=GPDI，X=GDP。定义：
• 回到上一例：
• 其中GPDI和GDP以10亿美元计。 • 标准化变量的回归结果为：
• 解释（6.3.6）：若GDP提高1美元，则GPDI平均提高0.3美元. • 解释（6.3.7）：若GDP增加一个标准差，则GPDI平均约增加 0.94个标准差。
• 标准化回归模型与传统模型相比有什么优势？ • 1. 若不止一个回归，我们就能将它们放在同等地位直接进行比 较。 • 2. 可以用β系数作为各个回归元相对解释力的一种度量。如果 一个标准化回归元的系数比模型中另一个标准化回归元的系数 大，那么前者就能比后者更多的解释回归子。 • 注意：传统模型的β系数与这里的β系数之间存在关系，在双变 量情形中，这种关系如下：
• 则
• 加一个干扰项得： • 此模型和任何其他线性模型一样，也是对参数为线性的。唯一 的区别，在于回归子是Y的对数而回归元是取值为1、2、3等的 “时间”。 • 此模型称为半对数模型（semilog model）,因为只有一个变量 以对数形式出现。为便于叙述，只是回归子取对数的模型叫做 线性到对数模型。 • 区别之前讲的对数线性模型（意为取对数后为线性）。 • 稍后将考虑回归子是线性而回归元是对数的模型，称为对数到 线性模型。
半对数模型： 6.6 半对数模型：线性到对数与对数到线性模型
怎样测量增长率： 怎样测量增长率：线性到对数模型 • 经济学家，企业人员与政府常常对某些经济变量，如人口、 GNP、货币供给、就业、生产力、贸易赤字等等的增长率感兴 趣。 • 假设我们相对表6.3中的数据求出个人劳务消费支出的增长率。 令Yt 表示t时期对劳务的真实支出，Y0 表示劳务支出的初始值。 • 复利公式： • 其中r是Y在时间上的复合的增长率。去自然对数，得 • 现假设：
• 因此，若知道回归元和回归子的样本标准差，则可以将两个β 系数相互转换。
6.4 回归模型的函数形式
• 如第3章指出的，本课程主要考虑对参数为线性的模型，对变 量则可以是或不是线性的。 • 在下面的几节中，我们考虑一些常用的回归模型，它们也许对 变量是非线性的，但对参数是线性的。或者可通过适当的变量 代换而转变为对参数线性。具体讨论如下的回归模型： • 1. 对数线性模型 • 2. 半对数线性模型 • 3. 倒数模型 • 4. 对数倒数模型
为结果的解释进一言
• 因为斜率系数 无非就是变化率，它的单位就是如下比率的 单位： 因变量Y的单位 解释变量X的单位 例如在回归（6.2.21）中，斜率系数0.3016的意义是，GDP 每改变一个单位，即10亿美元，GPDI平均改变0.3016个10亿美 元。 在回归（6.2.23）中，GDP的一个单位即1百万美元的变化 ，平均导致GPDI的0.000302个10亿美元的变化。 当然，这两个结果从它们的GDP对GPDI的影响看是完全相 同的；只不过用不同的测量单位来表示而已。
1972-1991年美国实际GDP的增长 年美国实际GDP的增长： 图6.4 1972-1991年美国实际GDP的增长：半对数模型
• 瞬时与复合增长率。 • 增长模型 中的β2 给出瞬时（指一个时 点）的增长率而不是复合（指一个时期）增长率。 • 只需取β2 估计值的反对数，再减1，再乘以100%. • 对于该例，估计的斜率系数为0.00743。因此（ antilog(0.00743)-1）=(e^0.00743-1)=0.00746或0.746%。 • 因此，在该例中，劳务支出的复合增长率约为每季度0.746%， 略高于0.743%的瞬时增长率。这是由于复合效应所致。
• 在此半对数模型中，斜率系数度量了给定回归元（在本例中为 时间变量t）取值的绝对改变时Y的恒定比例或相对改变量，也 就是：
回归子的相对改变量
•
回归元的绝对改变量
（6.6.7）
• 如果将Y的相对该变量乘以100，则（6.6.7）将给出相对于回 归元X的绝对改变量的、Y的百分比变化或增长率。即100乘以 β2 给出Y的增长率。 • 100乘以β2 在文献中被称为Y对X的半弹性(semielasticity)。