线段的垂直平分线,及性质

轴对称（二）——线段的垂直平分线及性质教学目标：⒈探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；⒉探索并理解线段垂直平分线的两个性质；⒊通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法⒋在数学学习的活动中，养成良好的思维品质。

教学重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质

教学难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。教学方法：小组讨论法、引导发现法

教学工具：多媒体、三角板、圆规

教学过程：一、创设情境，引入新课

⒈什么样的图形是轴对称图形呢？下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴．

⒉前节课我们探讨了轴对称图形，今天我们一起来研究轴对称图形有什么性质？如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称)

⒊如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是

图

3

点A 、B 、C 的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN 有什么关系? 下面我们来动手做一轴对称的图形，从图形中能得到结论？

⒋实验探究：⑴折一折：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A 和点A'，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A 和点A'关于直线MN 对称．连结点A ，A'，交直线MN 于点P 。

⑵说一说：观察图形，线段AA'与直线MN 有

怎样的位置关系?你能说明理由吗?类似地，

点B 与点B'，点C 与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?

⑶想一想：上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?

⒌合作探究：⑴课本32P 探究，能用我们已有的知识来证明这个结论吗？反过来，如果PA=PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？（课本33P 探究）如果成立，试证明之。（利用判定两个三角形全等）

（1） 证法一：

证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC ．

∵PA ＝PB ，PC ＝PC ，

∴Rt △PA C ≌Rt △PBC (HL 定理)．

∴AC ＝BC ，

即P 点在AB 的垂直平分线上．

（2）证法二：

证明：取AB 的中点C ，过PC 作直线．

∵AP ＝BP ，PC ＝PC ，AC ＝CB ，

∴△APC ≌△BPC (SSS )．

∴∠PCA ＝∠PCB (全等三角形的对应角相等)．

又∵∠PCA ＋∠PCB ＝180°，

∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°，即PC ⊥AB ．

∴P 点在AB 的垂直平分线上．

（3）证法三：

证明：过P 点作∠APB 的角平分线．

∵AP ＝BP ，∠1＝∠2，PC ＝PC ，

∴△APC ≌△BPC (SAS )．

∴AC ＝DC ，∠PCA ＝∠PCB (全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

又∵∠PCA ＋∠PCB ＝180°，∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°．

∴P 点在线段AB 的垂直平分线上

二、轴对称图形的性质：

⒈线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。

注：01两端点距离相等的所有点的集合。 02几何语言：,,AC CB CD AB =⊥Q

CD ∴是线段AB 的垂直平分线。

⒉图形轴对称的性质：⑴如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线；⑵轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。

注：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行。

这条线段两个端点的距离相等； 注：几何语言：,,AC CB CD AB DA =⊥∴Q 它的垂直平分线上。

注：01几何语言：,,DA DB CD AB AC CB =∴⊥=Q

02线段的垂直平分线的性质的作用：

⑴证明线段的垂直平分线（垂直与相等）；⑵求长度；⑶找中点。

三、堂上练习：课本34P 练习，作业375,11

,12P ⒈设A 、B 两点关于直线MN 轴对称，则直线MN 与线段AB 的关系是 .

⒉若直角三角形是轴对称图形，则其三个内角的度数为_________.

⒊在平面镜里看到背后墙上,电子钟示数如图所示,这时的实际时间应该是______.

⒋给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；

②和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）．

∵BM=BN，∴点B在直线l上（）．

∵CM≠CN，∴点C不在直线l上（）．

如果点C在直线l上，那么CM＝CN（）．

这与条件CM≠CN矛盾．

以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）．

A.②①①①(B)

B.②①①②

C.①②①②

D.①②②①

⒌三角形ABC与三角形A’B’C’关于直线l对称,则 B的度数为

( ).

⒍如图,将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是右图中的( ).

⒎下列说法中,正确的有（）

⑴两个关于某直线对称的图形是全等形;