解三角形最值或范围一教师版

解三角形最值或范围编辑整理：乔明

1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a -c b

=cos C cos B ，b =2．（1）求B ；

（2）求△ABC 的面积的最大值．

【解】（1）由2a -c b =cos C cos B ，结合正弦定理可得（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ，

∴2sin A cos B ﹣sin C cos B =sin B cos C ，

∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin （B +C ）=sin A ，得cos B =12 ，∵B ∈（0,π），∴B =π3 ；（2）若b =2，由余弦定理得：4=a 2+c 2-2ac ⋅cos π3

，即a 2+c 2﹣ac =4，

又a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac =ac ，即ac ≤4．∴△ABC 的面积的最大值为S =12 ac ∙sin B =12 ×4×3 2 =3 ．2.在锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin B -3 2

b =0．（1）求角A 的大小；

（2）若a =4，求△ABC 面积的最大值．【解】（1）因为a sin B -3 2 b =0，所以sin A sin B -3 2 sin B =0，又sin B ≠0，所以sin A =3 2

，即A =60°．（2）因为a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ，A =60°，a =4，

所以16=b 2+c 2-2bc ×12

=b 2+c 2-bc ，所以16≥2bc ﹣bc =bc ，即bc ≤16（当且仅当b =c =4时取等号），故S △ABC =12 bc sin A ≤12 ×16×sin60°=43 ．△ABC 面积的最大值：43 ．

3.在△ABC 中，a =2，2cos2A +3=4cos A ．

（1）求角A 的大小

（2）求△ABC 的周长L 的取值范围

【解】（1）因为2cos2A +3=4cos A ，

所以2cos 2A +12 =2cos A ，所以4cos 2A ﹣4cos A +1=0，所以cos A =12

，又因为0

，A =π3 ，a =2，

所以b =43 sin B ，c =43 sin C ，所以l =2+b +c =2+43 （sin B +sin C ），因为B +C =2π3 ，所以l =2+b +c =2+43 [sin B +sin （2π3 -B ）]=2+4sin （B +π6 ），又因为B ∈（0，2π3 ），可得B +π6 ∈（π6 ，5π6 ），所以12

）≤1，所以l ∈（4，6]．

4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积S =abc ，sin 2A +sin 2B +sin A sin B =2c sin C ．

（Ⅰ）求角C ；

（Ⅱ）求△ABC 周长的取值范围．

【解】（Ⅰ）由S =abc =12 ab sin C ，可知：2c =sin C ，∴sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C ．由正弦定理得a 2+b 2+ab =c 2．

∴由余弦定理得cos C =-12 ，∴C =2π3

．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c =sin C ，

∴2a =sin A ，2b =sin B ．∴△ABC 的周长为a +b +c =12 （sin A +sin B +sin C ）=12 [sin A +sin （π3 -A ）]+3 4 =12 （sin A +3 2 cos A -12 sin A ）+3 4 =12 （12 sin A +3 2 cos A ）+3 4 =12 sin （A +π3 ）+3 4 ∵A ∈（0，π3 ），∴A +π3 ∈（π3 ，2π3 ），∴sin （A +π3 ）∈（3 2 ，1]，∴△ABC 的周长的取值范围为（3 2 ，2+3 4

]．5.已知锐角△ABC 面积为S ，∠A 、∠B 、∠C 所对边分别是a 、b 、c ，∠A 、∠C 平分线相交于点O ，b =3 且S =3 4

(a 2+c 2-b 2)，求：（1）∠B 的大小；

（2）△ABC 周长的最大值．【解】（1）∵S =3 4

(a 2+c 2-b 2)，∴12 ac sin B =3 4 （a 2+c 2﹣b 2），故：12 ac sin B =3 4

•2ac cos B ，

可得：tan B =3 ，

由B ∈（0，π），可得：B =π3 ．…6分（2）∵b =3 ，B =π3 ．∴由正弦定理可得：a sin A =c sin C =3 3 2 =2，可得：a =2sin A ，c =2sin C =2sin （2π3 -A ），∴则a +c =2sin A +2sin （2π3 ）=2sin A +2sin 2π3 cos A ﹣2cos 2π3 sin A =3sin A +3 cos A =23 sin （A +π6 ）．∵0

6.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos A cos B +sin A sin B =2c b 且b =3．

（Ⅰ）求角B ；

（Ⅱ）求△ABC 周长L 的最大值．

【解】（Ⅰ）．cos A cos B +sin A sin B =2c b ，由正弦定理得cos A sin B +cos B sin A cos B sin B =2sin C sin B ，即sin (A +B )cos B sin B =2sin C sin B

，又sin （A +B ）=sin C ≠0，

所以cos B =12

，又B ∈（0，π），得B =60°（Ⅱ）在△ACD 中，由余弦定理得b 2=a 2+c 2﹣2ac cos B =a 2+c 2﹣ac =9，所以(a +c )2=9+3ac ≤9+3(a +c 2

)2，即a +c ≤6，所以L =a +b +c ≤9，

当a =b =c =3时，△ABC 的周长L 最大值为9．

7.在△ABC 中，∠ACB =60°，∠ACB 的平分线CD 交边AB 于D ，若CD =1，则4BC +AC 的最小值是（ ）

A.33

B.63

C.6

D.9【解】如图所示，

△ABC 中，∠ACB =60°，∠ACB 的平分线CD 交边AB 于D ，

且CD =1，设AC =b ，BC =a ，

由S

△ABC =S △ADC +S △DBC ，

即12 ab sin60°=12 b sin30°+12 a sin30°，化为1a +1b =3 ，

则4BC +AC =4a +b =13 （4a +b ）（1a +1b ）=13 （5+b a