4圆的极坐标方程及互化
圆的极坐标方程
2012—2013学年下学期高二文数学案第4周第三节 圆的极坐标方程（第1课时）学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解学习重点：圆的极坐标方程的求法学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用学习过程：一、复习引入问题1.直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？问题2.直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？二、新知探究1.引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(,0)(0)a a >， 你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，则有：cos O M O A θ=，即：=2cos a ρθ ①， 可以验证点(0,)2O π、(2,0)A a 满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上.2.定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
三、例题展示类型一：圆心在极点的圆例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？类型二：圆心在极轴上且过极点的圆例2：求圆心坐标为(,0)(0)C a a >、半径为a 的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆例3：求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？变式训练：求下列圆的极坐标方程（1） 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；（2） 圆心为2π（，），半径为2的圆的极坐标方程； （3） 圆心在3(2,)2A π处并且过极点的圆的方程。
类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化例4．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程sin 2ρθ= 为直角坐标方程。
1、4圆的极坐标方程
ρ＝2acosθ
跟踪演练1求过极
点O的弦的中点的轨迹. 解 设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点.连接OM并延 长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，
设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为 （２r, π /2)。
设圆上任意一点为P（ρ，θ），连结PA，则 ｜OP｜＝ρ，∠POx＝θ 在Rt△POA中，由于 cos∠POA=|OP|/|OA|， cos( ) / 2r , 即 sin / 2r, 所以 2
即ρ
2
π －16ρcosθ－3＋39＝0 为所求圆的极坐标方程.
公式 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为a ；
＝ a
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos ＝2asin
(３)中心在(a,/2)，半径为a； (４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ. 故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.
探究2：求圆心在C（r,π/2)、半径为r的 圆的极坐标方程？
解： 如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于 极轴上方的射线上，而圆周经过极点。
C.(x－2)2＋y2＝4
解析
D.(x＋2)2＋y2＝4
由已知得ρ2＝4ρsin θ，∴x2＋y2＝4y，
∴x2＋(y－2)2＝4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
2． 圆心在极点， 半径为 r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点(a， π 2)处且过极点的圆的方程又是什么？
提示：圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r；圆心 π 在点(a，2)处且过极点的圆的方程为 ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)．
[研一题] [例1] 设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
2θ
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
4-4极坐标系及圆的极坐标方程
1.2.1极坐标系的的概念学习目标1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.学习过程一、学前准备情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？二、新课导学探究一：极坐标的定义1、如右图，在平面内取一个O ，叫做 ；自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通常取 方向），这样就建立了一个 .2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离OM 叫做点M 的 ，记为 ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 .有序数对 叫做点M 的 ，记作 .3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？___________________________________________.例题1：(1)写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标.变式：在上极坐标系里描出下列点)35,6(),4()34,5()65,3()2,3()2,6()0,3(ππππππN M W T S Q P（2）：思考下列问题，给出解答.平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？同一个点的不同极坐标可以有同一的表示形式吗？探究二：直角坐标系与极坐标系的互化直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和()θρ,，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x θρtan 222说明：1.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取πθρ20,0<≤>2.互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合;（2）极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; （3）两种坐标系的单位长度相同.例1．将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标。
极坐标与平面直角坐标的互换
例1 把下列点的极坐标化为直角坐标：
(1) A(8, )
(2) B(6, 3 )
(3) C(2, )
3
4
解：（1）设点A直角坐标为(x,y),由互化公式得
x 8cos 4,
3 y 8sin 4 3,
3
点A的直角坐标是 (4,4 3)
例2 把下列点的直角坐标化为极坐标： (1) P( 3,1); (2) Q( 2, 2); (2) R(0,2);
3
推广到一般情形：
A(1,1), B(2,2 )(1 0, 2 0)
则A，B两点间距离为
| AB | 12 22 212 cos(1 2 )
例3、在平面直角坐标系中，将曲线的方程 x2 y2 2x 0 化为极坐标系中的方程。
练习：把下面直角坐标方程化为极坐标方程
24
2
半径为 5 的圆。 2
小结
极坐标与直角坐标的互化公式
M (x, y)
x cos
y
s in
2 x2 y2
tan
y x
M (, )
0 2 且要依点所在象限决定
y
P
y
O
x x P1
0, 0 2
注：将xy点的直scio角ns坐标化为极坐标ta时2n， 取x
0, 0 2
2
y x
y2
(x 0)
极坐标与直角坐标的互化
三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合; （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; （3）两种坐标系的单位长度相同.
第1节 极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化
【解析】 (1)圆的参数方程为
:
x y
6 5 sin
5 cos
(
为参数).
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极 坐标方程.
(2)由x cos , y sin可得C的极坐标方程为 : 2 12 cos 11 0.
以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)1中3.,直线l的方程为
sin( + π ) 2 2.
4 (2)求直线l被曲线C截得的弦长.
(2) 直线l的直角坐标方程为x y 4 0, 由x2 y2 4x 0得直线l与曲线C的交点坐标为(2, 2), (4, 0),
x y 4 所以直线l被曲线C截得的弦长为2 2.
【解析】由于cos 2 1 2sin2 ,故y 1 2x2,
即y 2x2 1(1 x 1).
8.将参数方程
x y
t t
1 t
2
1 t2
(t为参数)化为普通方程为
.
【答案】 x2 y 2( y 2)
【解析】 y
t2
x2 y2 2x 6 y,即(x 1)2 ( y 3)2 10. 曲线C2的直角坐标方程为(x 1)2 ( y 3)2 10.
5.圆O的方程为:(x-1)2+(y+1)2=4.
【解析】 参数方程
:
x
y
1 2 1
cos 2 sin
(
为参数);
极坐标方程 : 2 2 cos 2 sin 2 0.
6.椭圆的方程为: x2 y2 1. 94
北师版选修4-4§2 2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 2.5
2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)教材整理1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．常见简单曲线的极坐标方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝π2.()(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行．()(3)ρ＝cos θ表示一个圆．()[解析](1)√过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．(2)×ρcos θ＝2表示直线x＝2，ρsin θ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直．(3)√ρ＝cos θ可化为x2＋y2＝x，故正确．[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．利用把曲线的两种方程进行相互转化．填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为__________________________．(2)方程y＝2x的极坐标方程为___________________________．(3)圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为_____________________．[解析](1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，即tan θ＝2.(3)ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.[答案](1)x2＋y2＝1(2)tan θ＝2(3)(x－1)2＋y2＝1教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．【例1】(1)求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上． [精彩点拨] 解答本题先根据题意画出草图，设点M (ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可．[尝试解答] (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4， ∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 OM sin ∠OAM ＝OAsin ∠OMA ，即ρsin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ， 所以ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22， 化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连结AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： (1)建立适当的极坐标系； (2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．1．(1)求过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程．(2)在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．[解] (1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)．∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝2，其中0<θ<π.(2)设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点．连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．[精彩点拨] 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入―→极坐标方程 [尝试解答] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)，半径为r＝|a|.1．化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[解析]直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.[答案]ρ＝2cos θ(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝11－cos θ.[精彩点拨]极坐标方程――――→ρcos θ＝xρsin θ＝y直角坐标方程―→曲线的形状[尝试解答]根据点的极坐标化为直角坐标的公式：ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y.(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线． (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1. 故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆． (3)∵ρ2cos 2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2.故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理， 得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线．1．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程．2．解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的式子，进行整体代换．方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法．3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．[解析] 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.[答案] 1[1．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？[提示] 在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连结OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M (ρ，θ)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程．2．在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？[提示] 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．3．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？[提示] 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．【例4】 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．[精彩点拨] 解答本题可以设出动点P ，M 的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决．[尝试解答] 法一：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，点M 为(ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ. ∵M 在直线ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ＝4，即12ρcos θ＝4，于是ρ＝3cos θ(ρ＞0)为所求的点P 的轨迹方程． (2)由于点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ＝2·32cos θ，所以点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉极点)．又直线l ：ρcos θ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R 在直线l 上，由此可知RP 的最小值为1.法二：(1)直线l ：ρcos θ＝4的直角坐标方程为x ＝4，设点P (x ，y )为轨迹上任意一点，点M (4，y 0)，由O P →∥OM →得y 0＝4yx (x ＞0)． 又|OM |·|OP |＝12， 则|OM |2·|OP |2＝144， ∴(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋16y 2x 2＝144， 整理得x 2＋y 2＝3x (x ＞0)，这就是点P 的轨迹的直角坐标方程．(2)由上述可知，点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉原点)．又点R 在直线l ：x ＝4上，由此可知RP 的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式．可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解．4．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程． [解] 法一：如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连结CM . ∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎨⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.1．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆[解析] 方程可化为ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2－22x －22y ＝0，所以曲线表示圆．[答案] D2．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρcos θ＝2B ．ρsin θ＝2C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1[解析] 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除点A (2,0)外的任意一点，连结OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cosθ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.[答案] A3．在极坐标系中，极点到直线ρcos θ＝2的距离是________．[解析] ρcos θ＝2，即x ＝2.所以极点到直线的距离为2.[答案] 24．两直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 016，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 015的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)[解析] 两直线方程可化为x ＋y ＝2 0162，y －x ＝2 0152，故两直线垂直．[答案] 垂直5．求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．[解] 设P (ρ，θ)为圆C 上任意一点(不与O ，A 点重合)，圆C 交极轴于另一点A ，则|OA |＝8.在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |cos θ，即ρ＝8cos θ，经验证点O ，点A 也满足该等式，所以ρ＝8cos θ.这就是圆C 的极坐标方程．。
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表圆心位置 极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cosθ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sinθ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( )A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆．2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C.3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆解析：选D.ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，所以ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ， 即x 2＋y 2＝22x ＋22y . 化简整理得⎝⎛⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －242＝14，表示圆．选D.4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________．解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2＝π. 答案：π圆的极坐标方程求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．[解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ， 所以ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式． 所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 因为sin5π6＝12， 所以ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，所以点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程的五个步骤(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)．[注意] 求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为1的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得 |OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2，即ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2±1，π4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y2＝4x； (2)x2＋y2－2x－1＝0； (3)ρ＝12－cos θ.[解] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简，得ρsin2θ＝4cos θ.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1.所以2x2＋y2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)y＝3x；(2)x2－y2＝1.解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π3.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝1cos 2θ.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝1.(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.求相关动点的极坐标方程从极点O 作圆C ：ρ＝2a cos θ的任意一条弦ON ，求各弦的中点M 的极坐标方程．[解] 法一：如图所示，圆C 的圆心C (a ，0)，半径r ＝|OC |＝a ，因为M 为弦ON 的中点，连接CM .所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上， 所以动点M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ. 法二：设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． 因为N 点在圆ρ＝2a cos θ上， 所以ρ1＝2a cos θ1.① 因为M 是ON 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将它代入①式得2ρ＝2a cos θ，故M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ.将本例中所求得的中点M 的极坐标方程化为直角坐标方程．解：因为ρ＝a cos θ，所以ρ2＝a ·ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝ax ，所以中点M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－ax ＝0.本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点的轨迹方程．求解时找出等量关系，代入化简即可．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形？解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)，则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，所以ρ0＝25ρ，因为ρ0＝2cos θ0.所以25ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，它表示一个圆．1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化．3．求曲线的极坐标方程求解步骤与直角坐标系中求曲线方程的步骤基本相同．较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化．4．极坐标方程表示的曲线形状的判断方法极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程后再分析形状．1．极坐标方程ρ＝1表示( )A ．直线B ．射线C ．圆D ．半圆解析：选C.因为ρ＝1，所以ρ2＝1，所以x 2＋y 2＝1.所以表示圆． 2．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )解析：选C.如图所示．设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，即ρ＝2r sin θ＝a sin θ.3．把圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ转化为直角坐标方程为______________，圆心的直角坐标为________．解析：因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入得直角坐标方程为x2＋y2＝2x，其圆心坐标为(1，0)．答案：x2＋y2＝2x(1，0)4．写出圆心在(1，－1)处，且过原点的圆的极坐标方程．解：圆的半径为r＝2，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.变形得x2＋y2＝2(x－y)，用坐标互化公式得ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2cos θ－2sin θ.[A 基础达标]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( )A．ρ＝22cos θ B．ρ＝－22cos θC．ρ＝22sin θ D．ρ＝－22sin θ解析：选B.如图所示，P(2，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP 与圆交于点Q ，则∠OMQ ＝90°，在Rt △OMQ 中， |OM |＝|OQ |·cos ∠QOM ， 所以ρ＝22cos (π－θ)， 即ρ＝－22cos θ.选B.2．x 2＋y 2－4x ＝0的极坐标方程为( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝4cos θD ．ρ＝4sin θ 解析：选C.把x ＝ρ·cos θ，y ＝ρ·sin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入得ρ2－4·ρ·cos θ＝0，所以ρ＝0或ρ＝4cos θ.又极点也在ρ＝4cos θ上，故选C.3．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫5，－2π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3解析：选D.因为ρ＝5cos θ－5 3 sin θ， 所以ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝5x －53y ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋5322＝25，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，ρ＝254＋754＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π3，所以圆心C 的极坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3. 4．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．22解析：选D.两圆的直角坐标方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14， 圆心分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 圆心距d ＝14＋14＝22， 故选D.5．极坐标方程ρ＝cos(π4－θ)表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 解析：选D.因为ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，即ρ＝22(cos θ＋sin θ)， 所以ρ2＝22(ρcos θ＋ρsin θ)， 所以x 2＋y 2＝22x ＋22y ，即⎝⎛⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －242＝14.6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．解析：因为 ρ＝2sin θ，所以 ρ2＝2ρsin θ，所以 x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋y 2－2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2y ＝07．圆心在点(3，π)处，半径为3的圆的极坐标方程为____________．解析：如图所示C (3，π)，A (6，π)，设M (ρ，θ)为圆上异于O 、A 的任一点，连接OM ，AM ，则OM ⊥AM ，|OA |＝6为圆C 的直径，在Rt △OMA 中，∠AOM ＝π－θ或θ－π，因为|OM |＝|OA |cos (π－θ)， 所以ρ＝6cos (π－θ)，即ρ＝－6cos θ，验证知O 、A 也适合， 所以所求圆的极坐标方程为ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π2)． 答案：ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π2)8．在极坐标系中，若过点A (3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．解析：由题意知，直线方程为x ＝3， 曲线方程为(x －2)2＋y 2＝4， 将x ＝3代入圆的方程， 得y ＝±3，则|AB |＝2 3. 答案：2 39．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． (1)x 2＋y 2－2x ＝0；(2)ρ＝cos θ－2sin θ； (3)ρ2＝cos 2θ.解：(1)因为x 2＋y 2－2x ＝0， 所以ρ2－2ρcos θ＝0. 所以ρ＝2cos θ.(2)因为ρ＝cos θ－2sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. 所以x 2＋y 2＝x －2y ， 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0. (3)因为ρ2＝cos 2θ，所以ρ4＝ρ2cos 2θ＝(ρcos θ)2. 所以(x 2＋y 2)2＝x 2， 即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程； (2)关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程．解：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求． (2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，即ρ＝－2a cos θ为所求．[B 能力提升]11．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 B ．ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 C ．ρ＝2cos(θ－1) D ．ρ＝2sin(θ－1)解析：选C.在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为：r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．12．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 上的动点，则|PQ |的最小值是________．解析：已知圆的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53π，半径为1，将点P ，C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. 由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径，即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322－1＝3－1＝2. 答案：213．设点M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，过M 作MP ⊥MA 交OA 于点P ，求P 点的极坐标方程．解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图．设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点．因为MP ⊥MA ，所以|MA |2＋|MP |2＝|PA |2.由余弦定理，可知|MA |2＝a 2＋r 2－2ar cos θ，|MP |2＝a 2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA |＝r －ρ，由此可得a 2＋r 2－2ar cos θ＋a 2＋ρ2－2aρcos θ＝(r －ρ)2.整理化简，得ρ＝a (a －r cos θ)a cos θ－r. 14．(选做题)在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，半径为3，点Q 在圆周上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点P 是OQ 的中点，求点P 的轨迹． 解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，OD 为直径，连接DQ ，OQ ，则|OD |＝6，∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π3，因为∠DQO ＝π2. 所以在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)若P 的极坐标为(ρ，θ)，则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)．所以2ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以ρ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.所以P 的轨迹是圆．。
人教版选修4极坐标与直角坐标的互化课堂
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
9
3.? ? 3? 的直角坐标方程是
4
? ? 解：? tan ? y ? tan 3 ? y ,即y ? ? x( y ? 0)
x
4x
4.极坐标方程? ? sin? ? 2 cos?所表示的
曲线是
解：因给定的?不恒等于零 , 得? 2＝? sin ? ? 2? cos?
1
3
?
M (2, ? )或(2, 2k? ?
?
)
k?
Z
3
3
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y) ，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ? y ( x ? 0)
x
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
坐标时，取 ? ? 0,? ? ?0,2??
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
8.以 (?
2
,
?
4
)为圆心，2
为半径的圆的极坐标方程是
( C)
A. ? ? ? (sin ? ? cos?) B. ? ? sin ? ? cos?
C. ? ? ?2(sin ? ? cos?) D. ? ? 2(sin? ? cos?)
11
5. 若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与
化成直角坐标方程为 x2 ? y2 ? y ? 2x
即( x ? 1)2 ? ( y ? 1 )2 ? 5 这是以点(1, 1 )为圆心，
24
2
半径为 5 的圆。
10
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； 1 (3)ρcos 2＝1；(4)ρ cos 2θ＝4；(5)ρ＝ . 2－cos θ
2 2θ
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρsin 2θ＝4cos θ.
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
[通一类] π 3．把极坐标方程 ρcos(θ－6)＝1 化为直角坐标方程．
π 3 1 解：由 ρcos (θ－6)＝1 得 2 ρcos θ＋2ρsin θ＝1， 3 y 将 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入上式，得 2 x＋2＝1， 即 3x＋y－2＝0.
利用圆的极坐标方程求圆心、半径，再利用圆心、半径解 决问题，是高考模拟的重点题型之一.2012年江西高考以填空题 的形式考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考 模拟的一个新亮点． [考题印证] (2012· 江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0， 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的 极坐标方程为________． [命题立意] 本题考查将圆的直角坐标方程化为极坐标方 程的方法． [解析] (1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0得 ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
[精讲详析]
极坐标知识点
1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程(1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数． 椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．。
高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第4课时圆的极坐标
故ρ＝－2rsin θ.
3π 经验证，点O(0,0)，A2r， 2 的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsin θ.
[规律方法]
求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况
一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程
圆x2＋y2＝r2还有他的表示形式吗？
1．曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表 示．曲线与方程满足如下关系： 点的坐标 都是方程f(x，y)＝0的解； (1)曲线C上__________ 坐标的点 都在曲线C上． (2)以方程f(x，y)＝0的解为__________
曲线 圆心在极点，半径 为r的圆 圆心为C(r,0)，半径 为r的圆
π 圆心为Cr，2，半
圆形
极坐标方程
ρ＝r __________
(0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ
π π － ≤θ< 2 2
ρ ＝2rsinθ __________
(0≤θ<π)
径为r的圆
1．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是( 2 2 y x A．x2＋ 2 ＝1 B． 2 ＋y2＝1 C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1
2．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极 f(ρ，θ)＝0 坐标中至少有一个满足方程 __________________ ，并且坐标 f(ρ，θ)＝0 适 合 方 程 ________________ 的点都在曲线C上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 __________________ 叫做曲线C的极坐标方程．
f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．
极坐标与参数方程知识点与习题
参数方程极坐标一、知识点：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
极坐标与直角坐标的互化公式
极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式：
转化方法及其步骤：
第一步：把极坐标方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式
第二步：把cosθ化成x/ρ,把sinθ化成y/ρ；或者把ρcosθ化成x,把ρsinθ化成y 第三步：把ρ换成（根号下x2＋y2）；或将其平方变成ρ2,再变成x2＋y2
第四步：把所得方程整理成让人心里舒服的形式.
例：把ρ＝2cosθ化成直角坐标方程.
将ρ＝2cosθ等号两边同时乘以ρ,得到：ρ2＝2ρcosθ
把ρ2用x2＋y2代替,把ρcosθ用x代替,得到：x2＋y2＝2x
再整理一步,即可得到所求方程为：
（x－1）^2＋y2＝1
这是一个圆,圆心在点（1,0）,半径为1
直角坐标转换为极坐标：
第一：两个坐标原点重合.x轴相重合.
第二：长度单位相同.
第三：通常使用“弧度制”.
在此情况下,我们有设直角坐标系里的曲线上的一个任一点的坐标为A（x,y).则它在极坐标系里的坐标为A（ρ,θ）.。
普通方程与极坐标方程的互化及其求极坐标方程
常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐标系。
直角坐标化：直2角x坐2 标y：22 2xx2 5y2 2 x 5 直理整角得理坐：2得故标整：x：2理22得xyx2：222yx2y2 22x22y5xx2552 x 5 方 理方平整 得整方理 ：理2整整故：：平理表理x方yy得示2：22整 的yy曲55理22((线xx：为52(：yx4545x2抛))，，物5455表表线()，x示示表抛抛45示)物物，抛线线表物示线抛物线
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
y x
①柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及 空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
解：如图，设M (ρ,θ) 是直线 l 上除A外的任意一点
在Rt△MOA中有 |OM|cos∠MOA=|OA|
即 cos a
经验证：
ρ M (ρ,θ)
Oθ
x
点A的坐标(a,0)满足上式
故所求方程为： cos a
l A (a,0)
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[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρsin 2θ＝4cos θ.
[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； 1 (3)ρcos 2＝1；(4)ρ cos 2θ＝4；(5)ρ＝ . 2－cos θ 2 2 (2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y ＋x －2x－1＝0，
(3)∵ρcos 2＝1， 1＋cos θ ∴ρ· 2 ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2. ∴ x2＋y2＋x＝2.化简，得 y2＝－4(x－1)．
2θ
[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； 1 (3)ρcos 2＝1；(4)ρ cos 2θ＝4；(5)ρ＝ . 2－cos θ
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
三维设计 考点一 圆的极坐标方程
设圆心极坐标为C(
0, 0 ),圆上的点M（ ,
2 2
），圆的半径为r。
当 0
0（圆心在极轴上）时，
方程为
r 0 20 cos
2
当 0 0（圆心在极轴上），且 0 r （极点到圆心 的距离等于半径）
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( , ) 0 并且坐标适合方程 f ( , ) 0的点都在曲线 C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6
2 2θ
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
2 2θ
得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2＝1， 1＋cos θ ∴ρ· ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2.
2θ
[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化 (2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0， (1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； 得(ρsinθθ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，1 (3)ρcos 22＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝ . 2－cos θ 2 化简，得 ρ －2ρcos θ－1＝0.
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为 ＝cos 2 4 2
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 (5, ) (5, ) A、 (5,0) B、 D、 (5, ) 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
2 化为直角坐标系为 2＝4 sin
2 2 2 2
即x y 4 y x ( y 2) 4
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O
[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； 1 (3)ρcos 2＝1；(4)ρ cos 2θ＝4；(5)ρ＝ . 2－cos θ
[通一类] π 3．把极坐标方程 ρcos(θ－6)＝1 化为直角坐标方程．
π 3 1 解：由 ρcos (θ－6)＝1 得 2 ρcos θ＋2ρsin θ＝1， 3 y 将 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入上式，得 2 x＋2＝1， 即 3x＋y－2＝0.
题组练习2
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
方程为 若 0
20 cos 2r cos
r ,0 0
方程为
2r cos( 0 )
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
练习：三维设计 考点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 题组集训
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究:
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
M
O
C(a,0)
A
x
解：圆经过极点 O。设圆与极轴的另一个 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式 (1) 2
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2