2013广州一模文科数学(全word版,含答案)

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2013．3 本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式121ni i i ni i x x y y bay bx x x ()(),()==--∑==--∑ ，其中y x ,表示样本均值. 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðB C ．U A = ()U B ð D ．U =()U A ð()U B ð 3．直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心图1俯视图4．若函数()y fx =是函数2x y =的反函数，则()2f 的值是A ．4B ．2C ．1D ．0 5．已知平面向量a ()2m =-,，b (1=，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为A．- B． C． D．6．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B . 1C . 23D . 138. 已知函数()2fx x sin =，为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()fx 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2f x fy C C (+= 为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数()()1f x x ln =+-的定义域是图2C12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()f n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最 短时，点B 的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D ，若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ的值.图3a0.06b 图4MDCBAP17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图 3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. （1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的中点.（1）求证:PA //平面BMD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BMD 的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ； （3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最大正整数n 的值.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知n ∈N *，设函数2321()1,2321n n x x x f x x x n -=-+-+-∈- R . （1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．(]1,2 12．1238. 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………7分∴OP PQ OQ ===……………10分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OPOQ+-+-∠===.……12分 解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………6分∴(4,P Q . ……………8分∴(4,OP OQ ==. ……………10分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………12分 解法3: ∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭6∴(4,P Q . ……………7分作1PP x ⊥轴, 1QQ x ⊥轴,垂足分别为11PQ ,,∴112,OP OP PP OQ ====114OQ QQ ,==………8分设11POPQOQ ,αβ∠=∠=, 则133sin ,cos ,sin,cos ααββ====. ……………10分 ∴cos cos POQ ∠=()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分 样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株）， ……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b .=+.①…………3分 根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分 解①②得:008004a b .,.==. ……………6分 （2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为123A A A ,,,4A ， ……………… 7分产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. ………11分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接AC ，AC 与BD 相交于点O , 连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ……………1分ON MDCBAP∵M 为PC 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵PA ⊄平面BMD ,MO ⊂平面BMD ,∴PA //平面BMD . ……………3分 (2)证明:∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD . （苏元高考吧： ） ……………4分 ∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =， ∴222260BDAB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+-22AB AD =-. ……………5分 ∴22ABAD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PD BD D = ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵PB ⊂平面PBD ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取CD 的中点N ，连接MN ，则MN PD //且12MN PD =. ∵PD ⊥平面ABCD ，2PD =，∴MN ⊥平面ABCD ，1MN =. ……………9分在Rt △PCD 中，2CD AB PD ===，1122DM PC ===∵BC AD //,AD PB ⊥,∴BC PB ⊥.在Rt △PBC 中，12BM PC ==在△BMD 中，BM DM =，O 为BD 的中点, ∴MO BD ⊥.在Rt △ABD 中，6022BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △MOB 中，MO ==.∴12ΔABD S AD BD =⨯= ，12ΔMBD S BD MO =⨯= .…………11分 设点A 到平面BMD 的距离为h ，∵M ABD A MBD V V --=，（苏元高考吧： ） ∴13MN 13ΔABD S h =ΔMBD S . ……………12分即13⨯1⨯13h =⨯⨯ 解得h =. ……………13分∴点A 到平面BMD 的距离为5. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1） 解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2） 解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分 （3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 222222222131411234n n ----=⋅⋅⋅⋅()()2222132********n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分 令12n n+10102013>，解得：42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, （苏元高考吧： ）∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-， 即211412x x x y -=. ② ……………7分 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分 则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ……8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵232()1,23x x y f x kx x kx =-=-+-- ……………1分∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分方程210x x k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤， 故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210x x k -++=的两个实根为112x -=，212x +=. ……………4分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12x x x ,∈时，0y '>；()2x x ,∈+∞时，0y '<； 故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n x x x f x x n -=-+-+-- ， 得22322()1n n n f x x x xx --'=-+-++- . ……………7分若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n x f x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x xf x -'+<+<<, 当1x >-时，2110,10,()0n n x xf x -'+>+><,∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++--- 0>， ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++---24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++--- 2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅-- 0<. …………12分 ∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分 当()1x ,∈-∞时，()()10n n f xf >>；当()2x ,∈+∞时，()()20n n f x f <<.综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解.∴1t =. ……………14分。