函数的定义及三要素

函数的定义及三要素 考点一、函数概念的理解

[例1] 下列对应是否为A 到B 的函数： (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.

[例2】下列各图中，可表示函数)(x f y

的图象的只可能是（ ）

变式1：在下列从集合A 到集合B 的对应关系中不可以确定y 是x 的函数的是(

①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应法则f ：x →y ＝x

3；

②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2；

⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应法则f ：(x ，y )→S ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应法则f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤ 变式2、如图中，哪些是以x 为自变量的函数的图象，为什么？

考点二、相等函数的判断

[例2] 下列各对函数中，是相等函数的序号是________．

①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 ②f(x)＝2x＋12与g(x)＝|2x＋1|

③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t ＋2

变式：下列各组式子是否表示相等函数？为什么？

(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2； (2)y＝x2，y＝(x)2；

(3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1； (4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2. 考点三、求函数的定义域

[例3] 求下列函数的定义域：

(1)y＝2x＋3； (2)f(x)＝

1

x＋1； (3)

y＝x－1＋1－x； (4)y＝

x＋1

x2－1.

变式1：求下列函数的定义域：

(1)f (x )＝1x ＋2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋1

3－x .

变式2：已知函数()0212

4

)(--++=

x x x x f

（1）求函数的定义域； （2）求

)2

1

(),3(f f -的值；

（3）当3>a

时，求)1(),(2-a f a f 的值.

考点四、求抽象函数的定义域 例1、

例2、

例3、

考点五、据解析式求函数值

[例1] (高一月考)已知f (x )＝x 21＋x

2

，x ∈R .

(1)计算f (a )＋f (1

a

)的值；

(2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (1

4)的值．

变式：已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (1)＋f 2f 12

＋…＋f 10

f

1

10

＝________.

[例2]

(高一月考试题)已知函数f (x )＝ ⎩⎨⎧

x ＋1，x ≤－2，

x 2

＋2x ，－2

2x －1，x ≥2.

(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－5

2))的值；

(2)若f (a )＝3，求实数a 的值；

(3)若f (m )>m (m ≤－2，或m ≥2)，求实数m 的取值范围．

变式1：已知f (x )＝⎩⎨⎧

x ＋ 1

x >0π

x ＝00

x <0

，求f (f (f (－3)))．

变式2、设函数⎩⎨⎧>-+≤-=)1(2

)

1(1)(2

2

x x x x x x f ，则⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛)2(1f f 的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.8

9

D ．18

例3、

考点六、求函数的解析式

[例1] 已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )．

变式1：已知一次函数()f x 满足()94f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式．

【例2】已知c bx ax x f ++=2)(，若0)0(=f ，且 1)()1(++=+x x f x f ，求)(x f

变式2：已知二次函数f (x )的图象过点A (0，－5)，B (5,0)，其对称轴为x ＝2，求其解析式．

【例3】分别在下列条件下，求出相应的函数f (x )的解析式：

（1）22)1(2++=+x x x f ； （2）3)1(22+=-x x f

变式练习：（1）已知x x x f 2)1(+=+，求()f x 的解析式。

（2）已知2

2

1

)1(x x x x f +

=-，求()f x 的解析式

[例4] (1)已知f (x )＝x 2，求f (2x ＋1)；

(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．

(3)设函数f (x )满足f (x )＋2f (1

x

)＝x (x ≠0)，求f (x )．

变式：(1)设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x ＝( )

A.1－x 1＋x

B.1

x C ．1 D ．0 (2)设f (1

x ＋1)＝1

x

2－1，则f (x )＝________.

(3)若对任意x ∈R ，都有f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，则f (x )＝________. 考点七、函数的图像与值域

[例1] 作出下列函数的图象并求出其值域．

(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2

x

，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．

变式：作出下列函数的图象，并求值域：

(1)y ＝1＋x (x ∈Z )x ∈{－2，－1,0,1,2,3}； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))；