函数的定义及三要素

函数的定义及三要素 考点一、函数概念的理解
[例1] 下列对应是否为A 到B 的函数： (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.
[例2】下列各图中，可表示函数)(x f y
的图象的只可能是（ ）
变式1：在下列从集合A 到集合B 的对应关系中不可以确定y 是x 的函数的是(
①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应法则f ：x →y ＝x
3；
②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2；
⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应法则f ：(x ，y )→S ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应法则f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤ 变式2、如图中，哪些是以x 为自变量的函数的图象，为什么？
考点二、相等函数的判断
[例2] 下列各对函数中，是相等函数的序号是________．
①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 ②f(x)＝2x＋12与g(x)＝|2x＋1|
③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t ＋2
变式：下列各组式子是否表示相等函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2； (2)y＝x2，y＝(x)2；
(3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1； (4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2. 考点三、求函数的定义域
[例3] 求下列函数的定义域：
(1)y＝2x＋3； (2)f(x)＝
1
x＋1； (3)
y＝x－1＋1－x； (4)y＝
x＋1
x2－1.
变式1：求下列函数的定义域：
(1)f (x )＝1x ＋2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋1
3－x .
变式2：已知函数()0212
4
)(--++=
x x x x f
（1）求函数的定义域； （2）求
)2
1
(),3(f f -的值；
（3）当3>a
时，求)1(),(2-a f a f 的值.
考点四、求抽象函数的定义域 例1、
例2、
例3、
考点五、据解析式求函数值
[例1] (高一月考)已知f (x )＝x 21＋x
2
，x ∈R .
(1)计算f (a )＋f (1
a
)的值；
(2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (1
4)的值．
变式：已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (1)＋f 2f 12
＋…＋f 10
f
1
10
＝________.
[例2]
(高一月考试题)已知函数f (x )＝ ⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤－2，
x 2
＋2x ，－2<x <2，
2x －1，x ≥2.
(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－5
2))的值；
(2)若f (a )＝3，求实数a 的值；
(3)若f (m )>m (m ≤－2，或m ≥2)，求实数m 的取值范围．
变式1：已知f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋ 1
x >0π
x ＝00
x <0
，求f (f (f (－3)))．
变式2、设函数⎩⎨⎧>-+≤-=)1(2
)
1(1)(2
2
x x x x x x f ，则⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛)2(1f f 的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.8
9
D ．18
例3、
考点六、求函数的解析式
[例1] 已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )．
变式1：已知一次函数()f x 满足()94f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式．
【例2】已知c bx ax x f ++=2)(，若0)0(=f ，且 1)()1(++=+x x f x f ，求)(x f
变式2：已知二次函数f (x )的图象过点A (0，－5)，B (5,0)，其对称轴为x ＝2，求其解析式．
【例3】分别在下列条件下，求出相应的函数f (x )的解析式：
（1）22)1(2++=+x x x f ； （2）3)1(22+=-x x f
变式练习：（1）已知x x x f 2)1(+=+，求()f x 的解析式。

（2）已知2
2
1
)1(x x x x f +
=-，求()f x 的解析式
[例4] (1)已知f (x )＝x 2，求f (2x ＋1)；
(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．
(3)设函数f (x )满足f (x )＋2f (1
x
)＝x (x ≠0)，求f (x )．
变式：(1)设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝( )
A.1－x 1＋x
B.1
x C ．1 D ．0 (2)设f (1
x ＋1)＝1
x
2－1，则f (x )＝________.
(3)若对任意x ∈R ，都有f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，则f (x )＝________. 考点七、函数的图像与值域
[例1] 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2
x
，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．
变式：作出下列函数的图象，并求值域：
(1)y ＝1＋x (x ∈Z )x ∈{－2，－1,0,1,2,3}； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))；
(3)y ＝⎩⎨
⎧
x 2－1，0≤x ≤22x －4，2<x ≤3
.
考点八、函数图象及其变换
[例1] 画出函数y ＝x |1－x 2|
1－x 2
的图象，并根据图象指出函数的值域．
变式1、例2．已知函数)1(2)(+-=x x x f
（1） 画出)(x f 的图像（2）求)(x f 的定义域和值域
变式2、作出函数|32|2--=x x y 的函数图像
[例2] 函数y ＝1x －2的图象可由y ＝1
x
的图象经过怎样的变换得到？
变式：函数y ＝x 2＋2x 的图象上各点向________平移________个单位可以得到y ＝x 2－1的图象．
【课后练习】
1 设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）
A 21x +
B 21x -
C 23x -
D 27x +
2．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )
)20(123.≤≤-=x x y A )20(123
23.≤≤--=x x y B
)20(12
3
.≤≤--=x x y C )20(11.≤≤--=x x y D
3 已知函数)1(+=x f y 定义域是]32[，
-，则)12(-=x f y 的定义域是（ ） A ]2
50[， B ]41[，
- C ]55[，- D ]73[，- 4 已知)0(1)]([,21)(2
2≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)2
1
(f 等于（ ） A 15 B 1 C 3 D 30
5 函数224y x x =-+ ）
A [2,2]-
B [1,2]
C [0,2]
D [2,2]-
6 已知2
2
11()11x x f x x
--=++，则()f x 的解析式为（ ）
A
21x x + B 212x x +- C 212x x + D 2
1x x
+- 二、填空题
7、（1）已知函数)(x f 的定义域是[]1,0，则函数)1(+x f 的定义域为___________； （2）已知函数)1(+x f 的定义域[]1,0，则函数)(x f 的定义域为__________ 8 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为
9
10 设函数21y ax a =++，当11x -≤≤时，y 的值有正有负，则实数a 的范围为
_________
三、解答题
11. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又
2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域
12.求函数x x y -+=142的值域
13、已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求b a -5的值。