布里渊区求和及模式密度
东南大学固体物理基础课后习题解答
《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。
所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。
1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。
（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。
解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
布里渊区
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
14
固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
8
固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
30 布里渊区的知识
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型）， 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内， 我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将 在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律， 更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位 移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
固体物理学：布里渊区(brillouin zone )
a1、a 2、a 3 ,
倒格基矢
b 1、b 2、b 3
Rm ma1 na2 pa3
Gn n1b1 n2 b2 n3b3
例1：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第 一、第二、第三布里渊区。
aa
解：
首先写出正格子 原胞基矢为：
a1 ai
a2 a j
a
利用公式：
a2 a j
a1 ai
第二布里渊区是从原点出发经过1个中垂 面(或中垂线，或布拉格反射面)才能到达的区 域；
第n+1布里渊区是从原点出发经过n个中垂 面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)。
（2）布里渊区作图法
对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画 布里渊区。
晶体 结构
原胞
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
布里渊区
正格基矢
L
X
K
O：2π 0,0,0
a
X：2π 1,0,0
a
L：2π 1 , 1 , 1 a 2 2 2
K： 2π 3 , 3 ,0 a 4 4
第一布里渊 区为原点和8 个近邻格点 连线的垂直 平分面围成 的正八面体 ，和沿立方 轴的6个次近 邻格点连线 的垂直平分 面割去八面 体的六个角, 形成的14面 体。
二维正方晶格的十个布里渊区
第一区 第二区 第三区 第四区 第五区 第六区 第七区 第八区 第九区 第十区
例1： 简单立方格子
解:
正格子基矢：
倒格子基矢：
简单立方格子的第一布里渊区：原点和6个近 邻格点的垂直平分面围成的立方体。
简单立方格子的第一布里渊区
例2：画出体心立方的第一布里渊区。设体心立方
a
2π ( i j )
第三章 例题
dU (V ) E p=− +γ dV V
式中P是压强， E 为所有模式的振动能量，即
hωs (q ) ⎞ ⎛1 E = ∑ ⎜ hωs (q ) + hωs ( q ) kBT ⎟ e −1 ⎠ q ,s ⎝ 2
γ 为格林爱森常数
dl n ω s ( q ) γ =− dl n V
定义为简正模式频率对体积的对数导数的负值，和 点阵振动的非线性有关。在德拜模型下，有
5. 中子（或光子）的非弹性散射
声子对中子的非弹性散射可以用来测量声子能谱 （晶格振动谱）。该实验方法所依据的基本原理是 散射过程遵守能量守恒和动量(波矢)守恒定律。
′ ± hωs (q ) 能量守恒定律要求： E = En
i n
′ 是散射前后中子的能量， ωs (q ) 是吸收或 式中 Eni 和 En 发射的声子的频率。
在德拜模型下有式中p是压强为所有模式的振动能量即例1初基晶胞含有两个原子的一维点阵考虑一个双原子链其中两种具有相同质量m的离子交错排列只考虑近邻原子间的相互作用设力常数分别为ca证明简正模式的色散关系是b讨论在下列极限情况下色散关系的形式及简正模式的性质分别表示第s个初基晶胞中两个原子相对于平衡位置的位移
7. 爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型假定晶体中所有简正模式都具有 ω = ωE 相同的频率： 于是爱因斯坦模型的模式密度为
g E (ω ) = 3nδ (ω − ωE )
⎝ V ⎠
N⎞ 式中 n 是单原子点阵的原子密度 ⎛ n = ⎜ ⎟ ω = ν q ，声速 ν 为常数。另外，假定波矢q取 在波矢空间中半径为 qD 的球（称为德拜球）内， 而不是取第一布里渊区中的所有q值。
相应地点阵热容为
布里渊区的积分
(9)
(10)
I (E ) =
V
f (k )δ (E − ε(k ))dk =
i=1
pi Ii (E )
(11)
其中 Ii (E ) =
V
µi (x, y, z )δ (E − εl (x, y, z ))dxdydz
(12)
对于i=1,2,3,4，有µi (x,y,z)=1,x,y,z。 这样，I(E)变为四个独立的积分。接下来换元，令
计算体积分的一种办法是对面积分I(e)进行数值积分： J (E ) =
E −∞
I (e)de =
E Emin
I (e)de
(22)
但是我们更希望得到解析解。 首先对J(E)作变换： J (E ) =
tetra
f (k )θ (E − ε(k )) d3 k = Vtetra (E ) f occ
x = f (e, u, v )
y = g (e, u, v ) z = h(e, u, v )
(13)
3
4
ε1<e<ε2
ε2<e<ε3
4
ε3<e<ε4
4
e
e 1 3
1
e 3
1
3
2
2
2
Figure 2: 图2 得到εl (x,y,z)= εl (e,u,v)=e。于是 Ii (E ) =
对于三维体系由于二次曲面形式复杂除了态密度dos即ie中的被积函数恒等于1的计算能做到解析求解23以外目前最多只能做到半解析求解10即在某些维度上是解析的其它维度上是数值的因此积分的计算量稍大
布里渊区的积分
January 20, 2007
第五部分 热学性质(声子2)-总结与习题指导
gD
(ω )
=
⎧3
⎪ ⎨
2π
2
ω2 v3
,
ω
<
ωD
(12)
⎪⎩ 0
,ω > ωD
如图 5.3 所示.
5．2 模式密度的范·霍夫(Van Hove)奇点 (a)对只考虑最近邻互作用的一维单原子点阵，简正模式的色散关系为
ω(K
)
=
ωm
sin
1 2
Ka
式中ωm 是简正模式的最高频率. ωm = 2
C ，C 是力常数，M 是原子质量．证 M
波矢空间中的频率等值面ω ( K ) ≡ ω 是一球面，如图 5．1 所示. 该球面内所包围
的模式数为
N
(K
)
=
4π 3
K3
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
=
V 6π
2
K3
(4)
式中V = L3 是晶体体积．利用色散关系式(1)将式(4)化为对频率ω 的函数
N
(ω )
=
V 6π
2
ω3 v3
6
于是得到
gD
程(U 过程)．倒逆过程是如下形式的三声子碰撞过程：
K1 + K2 = K3 + G
(5.15)
其中 G 是不为零的倒易点阵矢量．由于倒逆过程可以大幅度地改变声子团的总 动量，因而可以建立起声子的热平衡分布，并决定在高温下的点阵热阻．
8 点阵的自由能和格林爱森(Grüneisen)常数 点阵自由能为
(ω )
=
1 V
⎛ ⎜ ⎝
dN (ω )
dω
⎞ ⎟ ⎠
=
1 2π 2
ω2 v3
固体物理答案第六章1
6.8 已知某简立方晶体的晶格常数为 a，其价电子的能带
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
（1）已测得能带顶电子的有效质量
m
2 2a2
，试求参数A；
（2）求出能带宽度；
（3）求出布里渊区中心点附近电子的状态密度。
解： 一、假定A大于0
（1）对于能带为
对比(1)式，即得
v k v k
电子占有某个状态的几率只同该状态的能量有关。 因为
E k E k，电子占有
k
状态和
k状态的几率相同。
而由 v k v k 知道，这两个状态的电子电流互相抵消，
因此，无外场时，晶体中总电流为零。
固体物理答案第六 章1
6.5 应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间 的相互作用，
固体物理答案第六 章1
原点，即 Rs 0，6个最近邻
的坐标分别为
y
a,0
, a,0
,
a 2
,
3 2
a
a 2
,
3a 2
,
a 2
,
3a 2
,
o
x
a 2
,
3a 2
a
对于s态电子，各个最近邻
的交迭积分皆相等， 令 Jsn J ，则得 固体物理答案第六
章1
e e e iπ 2 axk iπ 2 axk iπ ax ( k 3 k y)
此处
E kE m i n 4Jk2 aE m i n h 22 m kb * 2
mb*
h2
8J 2a2
为能带底部电子的有效质量。
固体物理答案第六 章1
显然， mb* 0 ，即能带底部电子的有效质量为正值。
布拉菲晶格布里渊区及费米面的分析和计算
万方数据 万方数据布拉菲晶格布里渊区及费米面的分析和计算作者：杜永胜， 张红霞作者单位：内蒙古科技大学理学院刊名：科技信息(学术版)英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：2007(24)参考文献(5条)1.方俊鑫;陆栋固体物理学 19812.黄昆固体物理学 19883.阎守胜固体物理基础 20034.聂向富二维正方格子自由电子气的费米面[期刊论文]-河北师范大学学报(自然科学版) 2002(04)5.吴代鸣固体物理学 1996本文读者也读过(10条)1.汪乔欣.田强.WANG Qiao-xin.TIAN Qiang体心立方晶格的布里渊区形状不是正十二面体[期刊论文]-大学物理2007,26(6)2.马志军.章天金.张柏顺.MA Zhi-jun.ZHANG Tian-jin.ZHANG Bai-shun面心立方晶格第一布里渊区的三维动画模拟[期刊论文]-湖北大学学报（自然科学版）2006,28(4)3.聂向富.马丽梅.郭革新.唐贵德.孙会元二维正方格子自由电子气的费米面[期刊论文]-河北师范大学学报(自然科学版)2002,26(6)4.邵华圣.SHAO Hua-sheng关于第n布里渊区体积等于倒格子原胞体积的证明[期刊论文]-大学物理2009,28(2)5.孟祥东.华中VRML语言及在固体物理教学中的应用[期刊论文]-吉林师范大学学报(自然科学版)2004,25(2)6.张敬周.王旭.仲政电磁弹性复合材料双圆柱夹杂问题[期刊论文]-力学季刊2002,23(3)7.刘昶时.LIU Changshi电离辐射对Si3N4/SiO2/Si中SiO2禁带的影响[期刊论文]-固体电子学研究与进展2009,29(1)8.刘建军.路彦锋.LIU Jian-jun.LU Yan-feng《固体物理》课程虚拟现实可视化教学的研究与实践[期刊论文]-淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）2010,31(4)9.王忆.WANG Yi《固体物理》和《量子力学》课程双语教学实践[期刊论文]-教育与现代化2005(4)10.陈祝.曾勇.陈昌明"固体物理"教学中的数学应用[期刊论文]-技术物理教学2009,17(2)本文链接：/Periodical_kjxx-xsb200824250.aspx。
固体物理学基础概念
第一章晶体结构晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。
晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。
单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。
基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。
原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。
晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。
原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。
布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。
简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。
密堆积和配位数-----晶体组成原子视为等径原子时所采取的最紧密堆积方式称为密堆积，晶体中只有六角密积与立方密积两种密堆积方式。
晶体中每个原子周围的最近邻原子数称为配位数。
由于晶格周期性限制，晶体中的配位数只能取：12，8，6、4、3（二维）和2（一维）。
晶列、晶向（指数）和等效晶列-----晶列是晶体结构中包括无数格点的直线，晶列上格点周期性重复排列，相互平行的晶列上格点排列周期相同，一簇相互平行的晶列可将晶体中所有格点包括无遗；晶向指晶列的方向，晶向指数是晶列的方向余旋的互质整数比，表为[uvw]；等效晶列是晶体结构中由对称性相联系的一组晶列，表为<uvw>。
《固体物理学》概念和习题 答案
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。
答：最小平行单元。
2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。
答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。
3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。
4. 请描述七大晶系的基本对称性。
5. 请给出密勒指数的定义。
6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。
7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。
8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。
9. 给出布里渊区的定义。
10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？11. 写出晶体衍射的结构因子。
12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。
13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。
14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。
15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。
（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）16. 给出声子的定义。
17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。
18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
19. 简述晶体热膨胀的原因。
20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。
21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。
23. 写出金属的电导率公式。
24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。
25. 简述能隙的起因。
26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。
27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。
28. 给出空穴概念。
29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。
东南大学《电子工程物理基础》习题参考答案
《电子工程物理基础》习题参考答案第一章1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大?解：（1）由归一化条件，知 2201x A x e dx λ∞-=⎰得到 归一化常数 2A λλ= 所以 归一化波函数为2(0,0)()0(0)xxe x x x λλλλψ-⎧≥>⎪=⎨<⎪⎩（2）粒子坐标的概率分布函数{32224(0,0)0(0)()()x x e x x w x x λλλψ-≥><==（3）令()0dw x dx = 得到 10,x x λ==，根据题意x=0处，()w x =0，所以1x λ=处粒子的概率最大。
1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为2/4/4202()()()11sin 422a a P x x dx n x dx a an n πψππ===-⎰⎰sin（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
这时概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态，2212()()x m x Aeαωψα-==h求①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=解：类似题1-1的方法 （1）归一化常数由*1dx ψψ+∞-∞=⎰ 得到 1/4A απ=（2） 振子的概率密度 222()()xw x x e ααψπ-==由()0dw x dx= 得到x=0时振子出现概率最大。
固体物理名词解释
固体物理名词解释本文介绍了固体物理中的晶体结构和相关名词解释。
晶体是由内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上有规则的周期性重复排列构成的固体。
晶体结构是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，是决定固态金属的物理、化学和力学性能的基本因素之一。
所有晶体具有的共通性质包括自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。
单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终，而多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。
晶体结构中的基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。
倒易点阵是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
原胞是在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元，WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。
晶胞是在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元。
原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。
晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。
一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。
倒格子是晶格经过傅里叶变换所得到的几何格子，其中倒格子基矢可以用公式（1）和（2）表示，其中2πρ是一个常数，a和b是正格子基矢，且b= a×a。
倒格子空间是正格子的倒易空间。
布里渊区是倒空间中由倒格矢的中垂面所围成的区域，其中第一布里渊区是倒格矢的中垂面所围成的最小区域，是倒空间中的对称性原胞。
布里渊区
的Wigner-Seitz原胞给出。
金刚石结构的Si、Ge和闪锌矿结构的Ⅲ-Ⅴ族半导体等, 都具有面心立方Bravais格子, 因此都具有体心立方的倒格子, 从而也都具有相同形状的第一Brilouin区, 为截角八面体(即是由6个正方形和8个正六边形构成的14面体)。
3布里渊区的特殊k点采样问题研究介绍在各种周期性边界条件的第一原理计算方法中，需要涉及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布，以及金属体系中费米面的确定等等。
如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致非常大的计算量。
这使得计算的效率非常低下。
因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的点运算取得较高的精度。
而这些k点被称之为“平均值点”（Baldereschi）或者“特殊点”（Chadi, Cohen）。
[1]基本思想Chadi和Cohen最早提出了这种特殊点的数学基础[1]。
考虑一个光滑函数，我们可以将其展为傅立叶级数：假设另有一个拥有体系全部对称性（对称性用对称群表示）的函数，满足条件，则我们可以将用展开如下：其中是对称群的阶数。
设，将上式的求和顺序重新组合可以得到其中是距离原点第近邻的球半径，按升序排列，且。
需要注意的是限制条件具有球对称性，也即高于的对称性，所以满足限制条件的格点集合并不一定都是等价的——或说可以通过中的操作联系起来的——格点。
方程(3)中的函数满足下列条件：上式中是倒格矢，是满足条件的格点数。
五个方程分别表明函数在第一布里渊区内成奇函数、具有正交性、周期性、体系对称性和完备性。
对于特殊点法而言，前两条更为重要。
注意到上面公式中的求和从1开始，因此需要对的情况进行单独定义。
我们定义，则函数的平均值为：那么该如何得到呢？注意方程(3)，如果存在这样的特殊点，使其满足：>那么立刻可以得到，这样的点被称为“平均值点”。
但是普遍的讲，满足上述条件的点并不存在。
固体物理题库之名词解释
固体物理题库之名词解释NUIT 1 1.理想晶体：内在构造完全规那么的固体是理想晶体，它是由全同的构造单元在空间无限重复排列而构成的。
：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。
3.配位数: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。
：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。
5.空间点阵(布喇菲点阵) ：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部构造可以概括为是由一些一样的点子在空间有规那么地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。
空间点阵是晶体构造周期性的数学抽象。
6.基元：组成晶体的最小根本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。
7.格点(结点): 空间点阵中的点子代表着构造中一样的位置，称为结点。
：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。
取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。
固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。
：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n ，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, 是固体物理学原胞的体积。
：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n ,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, 是固体物理学原胞的体积11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞)：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间划分成各个区域。
布里渊区
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
面体作为倒格子的周期性结构单元。
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
（2.4.1）
（2.4.2）
2、电荷密度的傅立叶展开（Fourier series of charge density）
在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性， 也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即
n(r ) n(r Rl )
（2.4.3）
这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢 Gh
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
湘潭大学固体物理复习重点
晶体: 规则结构，分子或原子按一定的周期性排列。
长程有序性，有固定的熔点。
E.g. 水晶 非晶体：非规则结构，分子或原子排列没有明确的周期性。
短程有序性，没有固定的熔点。
玻璃 橡胶准晶体: 有长程的取向序，有准周期性，但无长程周期性 。
理想晶体：没有缺陷和杂质的晶体。
缺陷: 缺陷是指微量的不规则性。
晶体格子: 晶体中原子(或离子)排列的具体形式。
(简称“晶格”) 密堆积：如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积。
密排面：粒子球在一个平面内最紧密排列的方式。
配位数Z ：一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数.它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。
等同点系：晶格中所有与起始点在化学、物理和几何环境完全相同的点的集合空间点阵：由等同点系所抽象出来的一系列在空间中周期排列的几何点的集合体(布拉伐格子) 格点：空间点阵中周期排列的几何点 基元：一个格点所代表的物理实体。
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单晶格。
晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是完全等同的。
若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离子），那么晶格为复式晶格。
复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格相同。
复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。
原胞：空间点阵原胞 空间点阵最小的重复单元 每个空间点阵原胞中只含有一个格点 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法（ Wigner-Seitz 原胞），但原胞的体积均相等晶格原胞 ＝ 空间点阵原胞＋基元除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。
为了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为一个大的周期性单元。
结晶学中常用这种方法选取周期性单元，故称为结晶学单胞，简称晶胞（也称为单胞）。
堆积系数 ＝晶胞中原子所占的体积/晶胞体积 晶列 ：相互平行的直线系 (格点分列在一系列相互平行的直线系上)。
格波模式数及模式密度密度
图中虚线是只考虑声频支波
并认为在长波极限下晶体是
各向同性的弹性体，将此关
系延伸到最高频率，虚线下
面积为 d g d 3 N
0
V
例题: 求一维简单晶格的模式密度.
单位波矢区间对应有 L / 2
2有L dq L dq
2
个振动模式.
个模式,dq区间内
单位频率区间包含的模式数目定义为模式密 度,根据这一定义可得模式密度为
g()d
1
8
3
dq sd
s
选取dq的表达式之后，简 模式密度可以表达为：
g ( )d
1
8 3
lds
1
8
3
dsd grad
由于d是任意的
g()
1
8 3
ds
grad q
图4.10是晶体硅的简正模密度曲线（图中实线）。 实线与横坐标所包围的面积应该等于晶体单位体积 中原子的总自由度。
g
d
3
r
N V
➢波矢 q 在布里渊区的对称轴方向常可分为一个
纵波和两个横波；其他方向一般难以分出纵波 和横波。
图4.8是硅晶体的格波色散关系，硅每个原胞有两 个原子，因此有三支声频波和三支光频波，由于TA和 TO都是频率简并的，故TA和TO都只有一条色散曲线。
4.4.2 格波的模式数
采用玻恩-冯.卡门边界条件：
* (2 )3 (2 )3
N N Vc
Vc 为晶体体积。
所以波矢q的点在布里渊区中的密度为
N *
N
(2 )3
Vc
(2 )3
一维：
波矢q点在布里渊区中的密度为
N *
N
2
Na
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取在BZ中分布比较均匀的M个q k，计算相应的k q k ，每个q k及k代表它
们附近的 q
b M
个模式。把整个频率区间分成P个等长区间i, i
1，统
计M个k在这些区间的分布Mi，于是有
Ni ≈ Mi ∗ q
b M
≈ gi ∗
gi ∗
准确积分值
Sm
42 2m12
fqx, qy dqxdqy 657. 874217282883
− −
∑ ∑ m m
f
k−m l−m
2∗k 2m1
,
2∗l 2m1
列表如下
m
Sm
相对误差
0 801. 3243588 22% 1 653. 0405273 −7 ∗ 10−3 2 657. 9654861 1. 4 ∗ 10−4 3 657. 8765141 3. 5 ∗ 10−6 4 657. 8739040 −4. 8 ∗ 10−7 5 657. 8742193 3. 1 ∗ 10−9
hgd
0
dN
q d3 q gd
BZ, q ∈,d
定义了（频域）模式密度g。 如何计算g？
g
V 83
dS ∇q q
缺点：没有实际用途，因为频谱全体 q 不可计算，只能对指定的任意有限个
q k计算相应的 q k 。 改进：回到模式密度g的原始定义dN gd
BZ
难点：除非知道f q 的解析表达式，否则不可能严格算出A0
解决方法：找M适当的个q k，使得对尽可能多的不太大的 l ≠ 0都有
∑M exp iq k l 0，于是
k1
∑M
f qk
k1
∑ A l ∑M exp iq l
l
k1
∑ MA0
AlSl
l 较大
0，
由于随着 l 的增大傅立叶系数A l 会比较快地趋于零，
≈
N
Mi M
N是晶体原胞数。 优点：无需知道频谱全体 q 即可较精确地计算近似的模式密度g
缺点：需要计算大量的数值点才能得到好的结果。
方法二：定义模式密度的主要目的是为了计算∑ f q ，应该回归本源，直接从
BZ
求和式本身着手。 由于f q 是q的周期函数，因此可以把它写成傅立叶级数
f q ∑ A exp iq l l l
k−m
2∗k Ma
na
0。如Βιβλιοθήκη M2m是偶数，则qk
∗2k−1 ，
Ma
k −m, … , m − 1这M − 2个qk使得对所有的非M整数倍的
Sna
∑m−1
exp
k−m
i
∗2k1 Ma
na
0。
例：函数fqx, qy 112 131 sin2qx 300 cos4qy ，
一般来说随着 l 的增大傅立叶系数A l 会比较快地趋于零。
∑f q
BZ
∑ ∑ A l exp iq l
BZ l
∑ A l ∑ exp iq l
l
BZ
容易证明，当 l 0时∑ exp q l N，且 l ≠ 0时∑ exp iq l
BZ
BZ
于是
∑ f q NA0
布里渊区求和、模式密度 在固体物理中经常遇到需要对所有的晶体运动模式的某个物理量求和，由于晶体 的微观平移对称性，晶体的基本运动模式都可以用布里渊区BZ内均匀分布的波矢量
q标记，相应的物理量都可以写成f q 形式，且f q G f q 。
如何求这些物理量∑ f q f q q d3 q ？
BZ
BZ
方法一：许多物理量f仅仅通过f q h q 间接地依赖于q, 因此积分或者
求和时可以先把频率 q ∈ , d之间的q找出来完成积分，然后再对积
分，这就导出了（频域）模式密度的概念，
通过等式
hq BZ
q d3 q h
q d3q
BZ, q ∈,d
S ∑M exp iq l
l
k1
M，因此
N M
∑M f
k1
qk
可以作为∑ f
BZ
q
NA0的
一个较好的近似。
如何选取有这种良好性质的q k？以一维晶体为例，如果M 2m 1是奇数，则
qk
2∗k Ma
，k
−m, … , m这M个qk使得对所有的非M整数倍的
Sna
∑m expi