数学实验之8.pi的近似计算
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2015/10/27
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He Renbin
利用级数计算Pi
观察级数可知，x的值越接近于0，级 数收敛越快。由此可以考虑令
1 1 x tan α , arctan 5 5 2 tan 2x 5 tan 2 2 2 1 tan 1 x 12 2 tan 2 120 tan 4 1 2 1 tan 2 119
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He Renbin
刘徽不等式
借助于计算机来完成刘徽的工作： a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2; for i=2:6 a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2)); b(i)=3*2^(i-2)*a(i); c(i)=2*b(i)-b(i-1); end n=[3,6,12,24,48,96]; size(b) result=[n;a;b]
数学实验之八
—— 的近似计算
实验目的
在本次试验中，我们将追溯关 于圆周率 的计算历程。通过对割 圆术、韦达公式、级数加速法、迭 代法等计算方法的介绍和计算体验， 感受数学思想和数学方法的发展过 程，提高对极限和级数收敛性及收 敛速度的综合认识，同时使我们看 到数学家对科学真理的永无止境的 追求。
k 0
2k 1
2n 1
计算一下要精确到Pi的200位小数需要取 级数的多少项？
2015/10/27
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He Renbin
利用级数计算Pi
2、欧拉的两个级数（1748年发现） 2 1 2 6 k 1 k 2 1 8 k 0 (2k 1) 2 这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实 用价值不大。
2015/10/27
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He Renbin
实验指导
世界上数学家们一致公认： “历史上一个国家计算圆周率的准 确度，可以作为衡量这个国家当时 数学水平的一个标志。”
2015/10/27
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He Renbin
π值——算法美的追求
π作为圆周率的符号，是由著名数学家欧勒于 公元1737年首先使用的。古代的希伯来人，在描 述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道： “池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其 周长为三十腕尺。”可见，古希伯来人认为圆周 率等于3。不过，那时的建筑师们，似乎没有人不 明白，圆周长与直径的比要比3大一些。 公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了 223/71<π <22/7。
2015/10/27
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He Renbin
蒙特卡罗（Monte Carlo）法
在这个正方形内随机地投入n个点，设 其中有m个点落在单位扇形内。则
2015/10/27
m S1 4m , n S 4 n
随机投点如何来实现？
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He Renbin
蒲丰（Buffon）掷针实验
2015/10/27
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He Renbin
利用级数计算Pi
因此，β＝4α－pi/4非常接近0。
tan 4 1 1 tan 1 tan 4 239 1 1 16 4 16 arctan 4 arctan 5 239 (1) k 1 (1) k 1 16 4 2 k 1 2 k 1 k 0 2k 1 5 k 0 2k 1 239
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He Renbin
拉马努金（Ramanujan)公式
另一个经过改进的计算公式为：
1 12 640320
3 2
(1) (6n)! 13591409 545140134n 3 3n ( n ! ) ( 3 n )! 640320 n 0
n
级数每增加一项，可提高14位小数的 精度。
2015/10/27
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He Renbin
利用级数计算Pi
加速效果非常明显！
2015/10/27
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He Renbin
蒙特卡罗（Monte Carlo）法
单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法， 即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近 似值。具体方法如下： 在平面直角坐标系中，以O(0,0)， A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正 方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位 圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角 的扇形，面积为S1＝Pi/4。
2015/10/27
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He Renbin
拉马努金（Ramanujan)公式
1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这 个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数。 这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数 学家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).
2015/10/27
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2015/10/27
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He Renbin
“割圆术”中学问多
我国2000多年前的《周髀算经》称“周三径 一”，这是π的第一个近似值，叫做“古率”。 据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆 周率一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意 思为π≈sqrt(10)。 魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正 192边形，计算周长与值径之比，得 3.141024< π<3.142704 实际应用时取3.14，或分数值157/50。
1、莱布尼茨级数（1674年发现）
(1) 4 k 0 2k 1
k
2015/10/27
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He Renbin
利用级数计算Pi
1844年，数学家达什在没有计算机 的情况下利用此式算出了Pi的前200位小 数。使用误差估计式 n (1) k 1
r ( n) 4
2015/10/27
2
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He Renbin
“割之弥细，失之弥少，割之又 割，则与圆合体而无所失矣。”
面积与边长有如下关系：
S6( n1) 2 4 a6 n
2
圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系：
S 2 n S 2S 2 n S n
2015/10/27
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He Renbin
蒲丰（Buffon）掷针实验
（3）由几何概率知道针和直线相交的 概率为p=2L/πd，取m/n为p的近似值，则
2nl md
特别取针的长度L为d/2时，π=n/m。
2015/10/27
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He Renbin
蒲丰（Buffon）掷针实验
（3）由几何概率知道针和直线相交的 概率为p=2L/πd，取m/n为p的近似值，则
另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是 1777年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随 机掷针实验。其步骤如下： （1）取一张白纸，在上面画出许多间 距为d的等距平行线。 （2）取一根长度为l(l<d)的均匀直针， 随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷n 次。观察针和直线相交的次数m。
2015/10/27
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He Renbin
刘徽不等式
result‘＝ ans = 3.0000 6.0000 12.0000 24.0000 48.0000 96.0000
2015/10/27
1.7321 1.0000 0.5176 0.2611 0.1308 0.0654
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2.5981 3.0000 3.1058 3.1326 3.1394 3.1410
思考： 如何利用韦达公式构造 出一种迭代算法？
2015/10/27
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He Renbin
数值积分法计算Pi
定积分
4 dx 2 1 x 0
计算出这个积分的数值，也就得到了Pi 的值。
1
2015/10/wenku.baidu.com7
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He Renbin
数值积分法计算Pi
1、梯形公式
2015/10/27
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He Renbin
“割圆术”中学问多
他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这 是比求π值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重 要的“刘徽不等式”。 设圆内接正n边形的边长为an，圆内接正n边 形的面积为Sn。根据勾股定理，边长有如下递推 公式：
a6.2n1 2 4 a6.2n
He Renbin
韦达（VieTa）公式
1、从sint开始
t t sin t 2 cos( ) sin( ) 2 2 t t t 4 cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 4 t t t t 8 cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 8 8
2015/10/27
将积积分区 n 等分，即 x i i/n, i 0,1,, n 。 将所有这所有这些梯形起来就得到 1 n 1 f(x i ) f(x i 1 ) S n i 0 2
2015/10/27
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He Renbin
数值积分法计算Pi
2、辛普森（Simpson）公式
2015/10/27
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主要内容
一、割圆术 二、韦达(VieTa)公式 三、数值积分方法 四、利用级数计算 五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法 六、拉马努金(Ramanujan)公式
实验指导
π是使人们最经常使用的 数学常数。人们对π的研究已经 持续了 2500 多年。在今天，这种 探索还在继续……
2015/10/27
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He Renbin
韦达（VieTa）公式
2、从cos(pi/4)开始
2 cos( ) 4 2 cos(
8
)
cos
4 2
1
2 1 2 2
2 2 2
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韦达（VieTa）公式
3、使用VieTa公式计算Pi的近似值
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He Renbin
韦达（VieTa）公式
所以，对任意N，总有
sin t 2 N t N t sin( N ) cos( n ) t t 2 n 1 2 sin t t 令N , 有 ＝ cos( n ） n 1 t 2 2 取t , 得到 ＝ cos( n 1） 2 n 1 2
令yi f ( xi ) 1 Si ( yi 1 4 y 1 yi ) i n 2
n 1 n 1 S [( y0 yn ) 2 yi 4 y 1 ] i 6n i 1 i 1 2
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利用级数计算Pi
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利用级数计算Pi
3、基于arctan x的级数 对泰勒级数
(1) k x 2 k 1 arctan x 2k 1 k 0 取x＝1时，可得
(1) k ＝ 4 k 0 2k 1
即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速 度极慢，必须考虑加速算法。
2nl md
特别取针的长度L为d/2时，π=n/m。
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He Renbin
拉马努金（Ramanujan)公式
目前，计算pi的一个极其有效的公式为
2 2 (4n)! 1103 26390n 4 4n 9801 n 0 (n!) 396 1
这个级数收敛得非常快，级数每增加 一项，可提高大约8位小数的精度。
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0 3.4019 3.2117 3.1594 3.1461 3.1427
He Renbin
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割圆术的意义
刘徽创立的割圆术，其意义不仅在 于计算出了Pi的近似值，而且还在于提 供了一种研究数学的方法。这种方法相 当于今天的“求积分”，后者经16世纪 英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总 结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以 不少书上把他称做“中国数学史上的牛 顿”，并把他所创造的割圆术称为“徽 术”。
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韦达（VieTa）公式
1593年，韦达首次给出了计算Pi的 精确表达式：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 韦达公式看起来有些神秘，其实它 的导出过程所用的都是朴实简洁的数学 方法。 2
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利用级数计算Pi
观察级数可知，x的值越接近于0，级 数收敛越快。由此可以考虑令
1 1 x tan α , arctan 5 5 2 tan 2x 5 tan 2 2 2 1 tan 1 x 12 2 tan 2 120 tan 4 1 2 1 tan 2 119
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刘徽不等式
借助于计算机来完成刘徽的工作： a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2; for i=2:6 a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2)); b(i)=3*2^(i-2)*a(i); c(i)=2*b(i)-b(i-1); end n=[3,6,12,24,48,96]; size(b) result=[n;a;b]
数学实验之八
—— 的近似计算
实验目的
在本次试验中，我们将追溯关 于圆周率 的计算历程。通过对割 圆术、韦达公式、级数加速法、迭 代法等计算方法的介绍和计算体验， 感受数学思想和数学方法的发展过 程，提高对极限和级数收敛性及收 敛速度的综合认识，同时使我们看 到数学家对科学真理的永无止境的 追求。
k 0
2k 1
2n 1
计算一下要精确到Pi的200位小数需要取 级数的多少项？
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利用级数计算Pi
2、欧拉的两个级数（1748年发现） 2 1 2 6 k 1 k 2 1 8 k 0 (2k 1) 2 这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实 用价值不大。
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实验指导
世界上数学家们一致公认： “历史上一个国家计算圆周率的准 确度，可以作为衡量这个国家当时 数学水平的一个标志。”
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π值——算法美的追求
π作为圆周率的符号，是由著名数学家欧勒于 公元1737年首先使用的。古代的希伯来人，在描 述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道： “池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其 周长为三十腕尺。”可见，古希伯来人认为圆周 率等于3。不过，那时的建筑师们，似乎没有人不 明白，圆周长与直径的比要比3大一些。 公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了 223/71<π <22/7。
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
在这个正方形内随机地投入n个点，设 其中有m个点落在单位扇形内。则
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随机投点如何来实现？
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蒲丰（Buffon）掷针实验
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利用级数计算Pi
因此，β＝4α－pi/4非常接近0。
tan 4 1 1 tan 1 tan 4 239 1 1 16 4 16 arctan 4 arctan 5 239 (1) k 1 (1) k 1 16 4 2 k 1 2 k 1 k 0 2k 1 5 k 0 2k 1 239
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拉马努金（Ramanujan)公式
另一个经过改进的计算公式为：
1 12 640320
3 2
(1) (6n)! 13591409 545140134n 3 3n ( n ! ) ( 3 n )! 640320 n 0
n
级数每增加一项，可提高14位小数的 精度。
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利用级数计算Pi
加速效果非常明显！
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法， 即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近 似值。具体方法如下： 在平面直角坐标系中，以O(0,0)， A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正 方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位 圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角 的扇形，面积为S1＝Pi/4。
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拉马努金（Ramanujan)公式
1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这 个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数。 这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数 学家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).
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“割圆术”中学问多
我国2000多年前的《周髀算经》称“周三径 一”，这是π的第一个近似值，叫做“古率”。 据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆 周率一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意 思为π≈sqrt(10)。 魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正 192边形，计算周长与值径之比，得 3.141024< π<3.142704 实际应用时取3.14，或分数值157/50。
1、莱布尼茨级数（1674年发现）
(1) 4 k 0 2k 1
k
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利用级数计算Pi
1844年，数学家达什在没有计算机 的情况下利用此式算出了Pi的前200位小 数。使用误差估计式 n (1) k 1
r ( n) 4
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“割之弥细，失之弥少，割之又 割，则与圆合体而无所失矣。”
面积与边长有如下关系：
S6( n1) 2 4 a6 n
2
圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系：
S 2 n S 2S 2 n S n
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蒲丰（Buffon）掷针实验
（3）由几何概率知道针和直线相交的 概率为p=2L/πd，取m/n为p的近似值，则
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特别取针的长度L为d/2时，π=n/m。
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蒲丰（Buffon）掷针实验
（3）由几何概率知道针和直线相交的 概率为p=2L/πd，取m/n为p的近似值，则
另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是 1777年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随 机掷针实验。其步骤如下： （1）取一张白纸，在上面画出许多间 距为d的等距平行线。 （2）取一根长度为l(l<d)的均匀直针， 随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷n 次。观察针和直线相交的次数m。
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刘徽不等式
result‘＝ ans = 3.0000 6.0000 12.0000 24.0000 48.0000 96.0000
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数值积分法计算Pi
定积分
4 dx 2 1 x 0
计算出这个积分的数值，也就得到了Pi 的值。
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数值积分法计算Pi
1、梯形公式
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“割圆术”中学问多
他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这 是比求π值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重 要的“刘徽不等式”。 设圆内接正n边形的边长为an，圆内接正n边 形的面积为Sn。根据勾股定理，边长有如下递推 公式：
a6.2n1 2 4 a6.2n
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韦达（VieTa）公式
1、从sint开始
t t sin t 2 cos( ) sin( ) 2 2 t t t 4 cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 4 t t t t 8 cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 8 8
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一、割圆术 二、韦达(VieTa)公式 三、数值积分方法 四、利用级数计算 五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法 六、拉马努金(Ramanujan)公式
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π是使人们最经常使用的 数学常数。人们对π的研究已经 持续了 2500 多年。在今天，这种 探索还在继续……
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2、从cos(pi/4)开始
2 cos( ) 4 2 cos(
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2 1 2 2
2 2 2
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3、使用VieTa公式计算Pi的近似值
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韦达（VieTa）公式
所以，对任意N，总有
sin t 2 N t N t sin( N ) cos( n ) t t 2 n 1 2 sin t t 令N , 有 ＝ cos( n ） n 1 t 2 2 取t , 得到 ＝ cos( n 1） 2 n 1 2
令yi f ( xi ) 1 Si ( yi 1 4 y 1 yi ) i n 2
n 1 n 1 S [( y0 yn ) 2 yi 4 y 1 ] i 6n i 1 i 1 2
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利用级数计算Pi
3、基于arctan x的级数 对泰勒级数
(1) k x 2 k 1 arctan x 2k 1 k 0 取x＝1时，可得
(1) k ＝ 4 k 0 2k 1
即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速 度极慢，必须考虑加速算法。
2nl md
特别取针的长度L为d/2时，π=n/m。
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拉马努金（Ramanujan)公式
目前，计算pi的一个极其有效的公式为
2 2 (4n)! 1103 26390n 4 4n 9801 n 0 (n!) 396 1
这个级数收敛得非常快，级数每增加 一项，可提高大约8位小数的精度。
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割圆术的意义
刘徽创立的割圆术，其意义不仅在 于计算出了Pi的近似值，而且还在于提 供了一种研究数学的方法。这种方法相 当于今天的“求积分”，后者经16世纪 英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总 结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以 不少书上把他称做“中国数学史上的牛 顿”，并把他所创造的割圆术称为“徽 术”。
2015/10/27
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He Renbin
韦达（VieTa）公式
1593年，韦达首次给出了计算Pi的 精确表达式：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 韦达公式看起来有些神秘，其实它 的导出过程所用的都是朴实简洁的数学 方法。 2
2015/10/27
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