2010高等数学下试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业

一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ）

A ．齐次方程

B ．可分离变量方程

C ．一阶线性方程

D ．二阶微分方程

2．过点(1,2,--且与直线25

421

x y z +-==-垂直的平面方程是

（ ）

A ．4250x y z +-+=

B ．4250x y z ++-=

C ．42110x y z +-+=

D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2y

f x y x x

=+

，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．1

2

D ．2

4．若lim 0n n u →∞

=，则级数1

n n u ∞

=∑（ ）

A ．可能收敛，也可能发散

B ．一定条件收敛

C ．一定收敛

D ．一定发散

5．下列级数中发散的是

（ ）

A ．112n n ∞

=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．

n ∞

= D ．

n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。（今年不作要求）

2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。

3．设有向量(1,1,0),

a b ==-，它们的夹角为θ，则

c o s θ=____________________。

4．设x z y =，则dz =____________________。

5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分

2(22)(4)L

xy y dx x x dy -+-⎰

的值为____________________。

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y

∂∂∂∂∂。

2．求微分方程()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++=的通解。 3．求微分方程'cos y y x x x -=

满足初始条件2

|2x y ππ

==-的特解。

4．判定级数1

4!n

n n n n ∞

=⋅∑的敛散性。

5．计算二重积分D

xdxdy ⎰⎰，其中D 是由直线y x =和圆周22(1)1x y +-=所围成

且在直线y x =下方的闭区域。 6．设区域D 由,2,2

y x y x x π

===

围成，sin()1D

A x y dxdy +=⎰⎰，其中A 为常数，

试求A 的值。

7．计算曲线积分L

xydx ⎰，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成

的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。

四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1．要做一个具有体积为0V 的有盖圆柱形铁桶，问当高H 与底半径R 之比

H

R

的值为多少时用料最省？

2．设对任意的x 和y ,有22

4f f x y ⎛⎫

∂∂⎛⎫+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭,用变量代换221()2

x uv y u v =⎧⎪⎨=-⎪⎩将(,)

f x y 变换成(,)

g u v ,试求满足22

22g g a b u v u v ∂∂⎛⎫⎛⎫

-=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

中的常数a 和b 。

3. 计已知()F x 是()f x 的一个原函数,而()F x 是微分方程'x xy y e +=满足初始

条件0

lim ()1x y x →=的解,试将()f x 展开成x 的幂级数,并求1(1)!

n n

n ∞

=+∑

。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．C 2、C 3、B 4、A 5、D

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．212(cos sin )x y e C x C x =+ 2．(6,1,4)- 3．1

2

4．1ln x x y ydx xy dy -+ 5．18π-

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1．2221

1()z y y

x x x y y

∂==∂++……………………………3分 222222

222

2222()()z x y y x y x y x y x y ∂+--==∂∂++……………………7分 2．分离变量

11

y x

y x e e dy dx e e =--+…………………………………….4分 积分

ln(1)ln(1)ln y x e e C -=-++…………………………….6分 通解

(1)(1)y x e e C -+=………………………………………….7分 3．原方程化为

1

'cos y y x x x

-=……………………………………………….2分

1

1

(cos )

(cos )

dx dx

x x y e x x e dx C x dx C -⎰⎰=⋅⋅+=+⎰⎰

(sin )x x C =+……………………………………………5分