(中文)第五章 功率谱估计
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第五章 功率谱估计
功率谱--信号功率在频域的分布规 律
内容
• • • • 5.1 确定信号的谱估计 5.2 平稳随机信号的功率谱估计 5.3 参数功率谱密度估计 5.4 基于子空间特征值分析的功率谱估计 （高分辨谱估计）
5.1 确定信号的谱分析
连续时间信号首先通过一个低通（抗混叠）滤波器，然后采样 得到离散时间信号，选择桢长为N交叠为N0的采样数据，然后 加窗，最后用加窗数据的一个合适长度的DFT作为谱估计
• Autoregressive (AR) Model（自回归） • Moving-Averatge (MA) Model（移动平均） • Autoregressive Moving-Average (ARMA) Model（自回归移动平均）
本节内容
• 5.3.1 信号模型及其功率谱 • 5.3.2 AR,MA,ARMA 模型与 他们的功率谱 • 5.3.3 AR 模型的功率谱估计
(3) Welch 法
采用有重叠的数据块
Mean:
1 E[ P XX ( f )] E[ P XX ( f )] N
B (i )
sin ( f v) N dv P XX (v) sin ( f v) 1/ 2
1/ 2
2
An asymptotically unbiased
Variance:
sin 2fN 1 2 B Var[ P XX ( f )] P XX ( f ) 1 N sin 2f K
2
1/k of the variance of the periodogram
Welch-Bartlett 方法
(1) 周期图法
• Periodogram – Sir Arthur Schuster in 1899
1 ˆ Pxx ( f ) N
m 0 N 1 2 j 2fm
x(m)e
1 j 2 fm 2 ˆ ˆ P ( f ) r ( m ) e | X ( f ) | xx xx N m ( N 1)
– Yule-Walker 方程 – AR 模型特性 – 参数估计方法
• 5.3.4 MA模型的功率谱估计 • 5.3.5 ARMA模型的功率谱估计
5.3.1 信号模型及其功率谱
有理函数模型:
白噪声
线性移不变系统
平稳随机信号
(1) Autoregressive-Moving Average (ARMA) 模型
| m| E[ x(k ) x(k m)] 1 rxx (m) N k 0
1 ˆ Var[rxx (m)] N
k
r
2 xx
(k ) rxx (k m)rxx (k m)
是一个渐进无偏
5.2.2 非参数功率谱密度估计方 法
• • • • 周期图法 Bartlett法（平均多个周期图, 采用不同数据块） Welch 法 (平均多个周期图, 采用重叠的数据块) Blackman-Tukey 法 (周期图平滑)
j 2fm
sin 2fN 2 VarPxx ( f ) Pxx ( f ) 1 N sin 2f
2
一个无偏但不一致的估计 An unbiased but not a consistent estimate
(2) Bartlett 法
(1)时域采样 和抗混叠滤 波
FTDTFT：
X ( f ) x(t )e j 2 ft dt
X (e j )
m
x(m)e j m
(2) 频域采样和时域添零操作
频域采样: DTFT-->DFT
X (e j )
m
x(m)e j m
X (k ) x(m)e j (2 / N ) mk
B
(i )
1 N
An asymptotically unbiased
Variance:
sin 2fN 1 2 B Var[ PXX ( f )] PXX ( f ) 1 N sin 2f K
2
1/k of the variance of the periodogram
x(n m)e j 2 f ( n m ) X * ( f ) X ( f ) Pxx ( f )
(2) 自相关估计
- 平稳随机信号的谱估计 估计1：
N |m|1 1 ˆxx (m) r x(k ) x(m k ), m 0,1,2,, N 1 N | m | k 0
平均多个不同数据块的周期图估计结果
1 ( f ) Pxx K
B
P
i 1
K
(i ) XX
(f)
sin ( f v) N ( v ) dv P XX sin ( f v) 1/ 2
1/ 2 2
Mean:
E[ P XX ( f )] E[ P XX ( f )]
泄漏：旁瓣谱峰的水平（导 致虚假谱峰出现）
因此要根据实际情况选择不 同的窗口。矩形窗具有最窄 的主瓣宽度。旁瓣振幅的减 小只能以降低分辨率为代价。 利用矩形窗口分辨两个频率， 应当使两个频率的绝对差值 大于矩形窗频谱的主瓣宽度： |w1-w2|>mainWin
各种不同窗口的属性比较和实域频域特性
(2) Moving Average 模型
输入输出关系: 全零点模型
x n
系统方程:
b u n k
k 0 k q
q
H MA z B z bk z k
k 0
功率谱密度:
S xx z 2 B z B z 1 S xx e
功率谱密度:
2
A z A z 1
2
1
1 Ae
j
2
模型参数
AR p 模型:
MAq 模型:
a1, , a p ,
2
ARMA p, q 模型:
b1, , bq ,
2
a1, , a p , b1, , bq ,
m0
N 1
补零操作
通过对采样信号后 面补零来得到更高密 度的频谱。低密度离 散频谱，在使用线性 内插重建连续频谱时 会产生误差。提高频 谱密度可以减少这个 误差。
x(m), 0 m N xe (m) 0, N m M X (k ) x(m)e j ( 2 / M ) mk
Blackman -Tukey 法
方法理论和实践的比较
对功率谱加窗平滑等价于对估计的自相关序列进行加窗。对窗 口有一定要求：三角窗(Bartlett)和Parzen窗可以，但不适用于汉 明，汉宁或凯瑟窗。
5.3 参数功率谱密度估计
估计步骤： (1) 信号建模 (2) 估计模型参数 (3) 计算功率谱
m 0 M 1
(3) 能量泄漏，分辨率损失和加窗操作
可用数据=完整数据※矩形窗
j j j
xN (n) x(n)wR (n)
1 傅利叶变换：X N (e ) X (e ) W (e ) 2 j - j ( N 1) / 2 WR (e ) A( )e
X (e j )WR (e j ( ) )d
N 1
– Mean
N 1 1 2 j 2fm | m| EPxx ( f ) E X ( f ) 1 rxx (m) e N N m ( N 1)
lim
– Variance
N
EPxx ( f )
m
rxx (m) e
j
2
B e
j
2
(3) Autoregressive 模型
输入输出关系:
全极点模型
x n ak x n k u n
k 1 p
系统方程:
1 H AR z A z
S xx z S xx e
j
1
k a z k k 0 p
unbiased Biased
估计2：
1 ˆxx (m) r N
N | m| 1
k 0
x( k ) x( k m)
Nonnegative definite
Smaller variance
估计量的均值和方差
Mean:
1 ˆxx (m)] E[r N
Variance:
N |m|1
[ P ( f )]
Variance:
BT XX
1 2
1 2
PXX (v)Wc ( f v)dv
相关窗谱为单位面积时，为渐进无偏估计
Uw 2 Var[ P ( f )] PXX ( f ) N Uw/k of the variance of the periodogram
Uw相关窗口的能量
5.2 平稳随机信号的谱估计
• 功率谱为自相关函数的Fourier变换
– Wiener-Khintchine 定理
Pxx ( f )
m
j 2fm r ( m ) e xx
• 自相关的估计值
– 估计值的均值与方差
(1)Wiener-Khintchine 定理
1936年
Pxx ( f ) X ( f ) X ( f ) X * ( f ) x(m)e j 2fm
矩形窗幅频特性
分辨率损失
x(m) cos0.35 m cos0.4 m 0.25cos0.8 m X (k ) x(m) w(m)e j (2 / N ) mk
m0 N 1
可以看出频率分辨率决 定于数据窗的持续时间 （采样点数-1）
窗口函数对分辨率和泄漏的影响
频率分辨率：窗口函数频 谱的主瓣宽度。
(4) Blackman-Tukey 法
加窗的谱估计
P (f)
BT XX
m ( N 1)
BT XX N 1
j 2fm ˆ w(m)rxx (m)e
j 2fm r ( m ) w ( m ) e xx c
N 1
Mean:
[ P ( f )]
BT XX
m ( N 1)
输入输出关系:源自文库
x n ak x n k bk u n k
k 1 k 0 p q
零--极点模型
系统方程:
H z
功率谱密度:
B z A z
k b z k k a z k k 0 k 0 p
q
, a0 1
1 Sxx z H z H A z A 1 z z
窗口 矩形窗 汉宁窗 汉明窗 凯撒窗
多尔夫-切比雪夫窗
旁瓣峰值（db） -13 -32 -43 -A -A
近似主瓣宽度 4pi/(N-1) 8pi/(N-1) 8pi/(N-1) － －
精确主瓣宽度 1.81pi/(N-1) 5.01pi/(N-1) 6.27pi/(N-1) (A-8)pi/(2.285N-1)
2
B z B 1 z 2
S xx e
j
2
H e
j
2
2
B e
Ae
j j
2
1 1 If h n is real , then H H z : z 1 j j 1 z re z e r j z re hn is real 1 1 j e z r 1 j 1 1 j H H e H e H z 1 z r r
m
2
2
rxx (m) Ex(n) x(n m) x(n) x(n m)
n
m
rxx (m)e
j 2 fm
m n
x(n) x(n m)e j 2 fm
n
x(n)e j 2 fn
n
功率谱--信号功率在频域的分布规 律
内容
• • • • 5.1 确定信号的谱估计 5.2 平稳随机信号的功率谱估计 5.3 参数功率谱密度估计 5.4 基于子空间特征值分析的功率谱估计 （高分辨谱估计）
5.1 确定信号的谱分析
连续时间信号首先通过一个低通（抗混叠）滤波器，然后采样 得到离散时间信号，选择桢长为N交叠为N0的采样数据，然后 加窗，最后用加窗数据的一个合适长度的DFT作为谱估计
• Autoregressive (AR) Model（自回归） • Moving-Averatge (MA) Model（移动平均） • Autoregressive Moving-Average (ARMA) Model（自回归移动平均）
本节内容
• 5.3.1 信号模型及其功率谱 • 5.3.2 AR,MA,ARMA 模型与 他们的功率谱 • 5.3.3 AR 模型的功率谱估计
(3) Welch 法
采用有重叠的数据块
Mean:
1 E[ P XX ( f )] E[ P XX ( f )] N
B (i )
sin ( f v) N dv P XX (v) sin ( f v) 1/ 2
1/ 2
2
An asymptotically unbiased
Variance:
sin 2fN 1 2 B Var[ P XX ( f )] P XX ( f ) 1 N sin 2f K
2
1/k of the variance of the periodogram
Welch-Bartlett 方法
(1) 周期图法
• Periodogram – Sir Arthur Schuster in 1899
1 ˆ Pxx ( f ) N
m 0 N 1 2 j 2fm
x(m)e
1 j 2 fm 2 ˆ ˆ P ( f ) r ( m ) e | X ( f ) | xx xx N m ( N 1)
– Yule-Walker 方程 – AR 模型特性 – 参数估计方法
• 5.3.4 MA模型的功率谱估计 • 5.3.5 ARMA模型的功率谱估计
5.3.1 信号模型及其功率谱
有理函数模型:
白噪声
线性移不变系统
平稳随机信号
(1) Autoregressive-Moving Average (ARMA) 模型
| m| E[ x(k ) x(k m)] 1 rxx (m) N k 0
1 ˆ Var[rxx (m)] N
k
r
2 xx
(k ) rxx (k m)rxx (k m)
是一个渐进无偏
5.2.2 非参数功率谱密度估计方 法
• • • • 周期图法 Bartlett法（平均多个周期图, 采用不同数据块） Welch 法 (平均多个周期图, 采用重叠的数据块) Blackman-Tukey 法 (周期图平滑)
j 2fm
sin 2fN 2 VarPxx ( f ) Pxx ( f ) 1 N sin 2f
2
一个无偏但不一致的估计 An unbiased but not a consistent estimate
(2) Bartlett 法
(1)时域采样 和抗混叠滤 波
FTDTFT：
X ( f ) x(t )e j 2 ft dt
X (e j )
m
x(m)e j m
(2) 频域采样和时域添零操作
频域采样: DTFT-->DFT
X (e j )
m
x(m)e j m
X (k ) x(m)e j (2 / N ) mk
B
(i )
1 N
An asymptotically unbiased
Variance:
sin 2fN 1 2 B Var[ PXX ( f )] PXX ( f ) 1 N sin 2f K
2
1/k of the variance of the periodogram
x(n m)e j 2 f ( n m ) X * ( f ) X ( f ) Pxx ( f )
(2) 自相关估计
- 平稳随机信号的谱估计 估计1：
N |m|1 1 ˆxx (m) r x(k ) x(m k ), m 0,1,2,, N 1 N | m | k 0
平均多个不同数据块的周期图估计结果
1 ( f ) Pxx K
B
P
i 1
K
(i ) XX
(f)
sin ( f v) N ( v ) dv P XX sin ( f v) 1/ 2
1/ 2 2
Mean:
E[ P XX ( f )] E[ P XX ( f )]
泄漏：旁瓣谱峰的水平（导 致虚假谱峰出现）
因此要根据实际情况选择不 同的窗口。矩形窗具有最窄 的主瓣宽度。旁瓣振幅的减 小只能以降低分辨率为代价。 利用矩形窗口分辨两个频率， 应当使两个频率的绝对差值 大于矩形窗频谱的主瓣宽度： |w1-w2|>mainWin
各种不同窗口的属性比较和实域频域特性
(2) Moving Average 模型
输入输出关系: 全零点模型
x n
系统方程:
b u n k
k 0 k q
q
H MA z B z bk z k
k 0
功率谱密度:
S xx z 2 B z B z 1 S xx e
功率谱密度:
2
A z A z 1
2
1
1 Ae
j
2
模型参数
AR p 模型:
MAq 模型:
a1, , a p ,
2
ARMA p, q 模型:
b1, , bq ,
2
a1, , a p , b1, , bq ,
m0
N 1
补零操作
通过对采样信号后 面补零来得到更高密 度的频谱。低密度离 散频谱，在使用线性 内插重建连续频谱时 会产生误差。提高频 谱密度可以减少这个 误差。
x(m), 0 m N xe (m) 0, N m M X (k ) x(m)e j ( 2 / M ) mk
Blackman -Tukey 法
方法理论和实践的比较
对功率谱加窗平滑等价于对估计的自相关序列进行加窗。对窗 口有一定要求：三角窗(Bartlett)和Parzen窗可以，但不适用于汉 明，汉宁或凯瑟窗。
5.3 参数功率谱密度估计
估计步骤： (1) 信号建模 (2) 估计模型参数 (3) 计算功率谱
m 0 M 1
(3) 能量泄漏，分辨率损失和加窗操作
可用数据=完整数据※矩形窗
j j j
xN (n) x(n)wR (n)
1 傅利叶变换：X N (e ) X (e ) W (e ) 2 j - j ( N 1) / 2 WR (e ) A( )e
X (e j )WR (e j ( ) )d
N 1
– Mean
N 1 1 2 j 2fm | m| EPxx ( f ) E X ( f ) 1 rxx (m) e N N m ( N 1)
lim
– Variance
N
EPxx ( f )
m
rxx (m) e
j
2
B e
j
2
(3) Autoregressive 模型
输入输出关系:
全极点模型
x n ak x n k u n
k 1 p
系统方程:
1 H AR z A z
S xx z S xx e
j
1
k a z k k 0 p
unbiased Biased
估计2：
1 ˆxx (m) r N
N | m| 1
k 0
x( k ) x( k m)
Nonnegative definite
Smaller variance
估计量的均值和方差
Mean:
1 ˆxx (m)] E[r N
Variance:
N |m|1
[ P ( f )]
Variance:
BT XX
1 2
1 2
PXX (v)Wc ( f v)dv
相关窗谱为单位面积时，为渐进无偏估计
Uw 2 Var[ P ( f )] PXX ( f ) N Uw/k of the variance of the periodogram
Uw相关窗口的能量
5.2 平稳随机信号的谱估计
• 功率谱为自相关函数的Fourier变换
– Wiener-Khintchine 定理
Pxx ( f )
m
j 2fm r ( m ) e xx
• 自相关的估计值
– 估计值的均值与方差
(1)Wiener-Khintchine 定理
1936年
Pxx ( f ) X ( f ) X ( f ) X * ( f ) x(m)e j 2fm
矩形窗幅频特性
分辨率损失
x(m) cos0.35 m cos0.4 m 0.25cos0.8 m X (k ) x(m) w(m)e j (2 / N ) mk
m0 N 1
可以看出频率分辨率决 定于数据窗的持续时间 （采样点数-1）
窗口函数对分辨率和泄漏的影响
频率分辨率：窗口函数频 谱的主瓣宽度。
(4) Blackman-Tukey 法
加窗的谱估计
P (f)
BT XX
m ( N 1)
BT XX N 1
j 2fm ˆ w(m)rxx (m)e
j 2fm r ( m ) w ( m ) e xx c
N 1
Mean:
[ P ( f )]
BT XX
m ( N 1)
输入输出关系:源自文库
x n ak x n k bk u n k
k 1 k 0 p q
零--极点模型
系统方程:
H z
功率谱密度:
B z A z
k b z k k a z k k 0 k 0 p
q
, a0 1
1 Sxx z H z H A z A 1 z z
窗口 矩形窗 汉宁窗 汉明窗 凯撒窗
多尔夫-切比雪夫窗
旁瓣峰值（db） -13 -32 -43 -A -A
近似主瓣宽度 4pi/(N-1) 8pi/(N-1) 8pi/(N-1) － －
精确主瓣宽度 1.81pi/(N-1) 5.01pi/(N-1) 6.27pi/(N-1) (A-8)pi/(2.285N-1)
2
B z B 1 z 2
S xx e
j
2
H e
j
2
2
B e
Ae
j j
2
1 1 If h n is real , then H H z : z 1 j j 1 z re z e r j z re hn is real 1 1 j e z r 1 j 1 1 j H H e H e H z 1 z r r
m
2
2
rxx (m) Ex(n) x(n m) x(n) x(n m)
n
m
rxx (m)e
j 2 fm
m n
x(n) x(n m)e j 2 fm
n
x(n)e j 2 fn
n