(中文)第五章 功率谱估计
功率谱估计教材
1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
m m
ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
m
jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]
1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT
jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0
功率谱估计
第五章 功率谱估计§5.1 引言从第一章的讨论中，我们已经知道一个随机信号在各时间点上的值是不能先验确定的，它的每个实现(样本)往往是不同的，因此无法象确定信号那样可以用数学表达式或图表精确地表示它，而只能用它的各种统计平均量来表征它。
其中，自相关量作为时移的函数是最能较完整地表征它的特定统计平均量值。
而一个随机信号的功率谱密度(函数)，正是自相关函数的傅氏变换。
对于一个随机信号来讲，它本身的傅氏变换是不存在的，只能用功率谱密度来表征它的统计平均谱特性。
因此功率谱密度是一个随机信号的一种最重要的表征形式。
我们要在统计意义下了解一个随机信号，就要求知道(或估计)的它功率谱密度。
如果我们用)(m xx φ表示随机信号)(n x 的自相关函数，)(ωxx P 表示它的功率谱密度(以下简写成PSD)，则有[见式(1.56)]∑∞-∞=-=m mj xxxx e m P ωφω)()( (5.1)而其中[])()()(m n x n x E m xx +∆*φ(5.2)对于平稳随机过程，根据各态历经假设，集合的平均可以用时间的平均代替，于是上式可写成∑-=*∞→++=NNn N xx m n x n x N m )()(121lim )(φ (5.3)将式(5.3)代入式(5.1)得n j m NN n N xx xx e m n x n x N P P ωωω∑∑∞-∞=-=*∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)()(121lim )()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑∞-∞=+*-=-∞→m m n j N N n n j N e m n x e n x N )()()(121lim ωω 令m n l +=，上式可写成*∞-∞=---=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑l l j n j N N n N xx e l x e n x N P ωωω)()(121lim )(2)(121lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--=∞→∑n j N N n N e n x N ω (5.4)式(5.4)在∞→N 的极限情况下是不可能收敛的，这是因为对于无限时域的随机信号，它的傅氏变换是不存在的。
功率谱估计
功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。
对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。
功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。
如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。
ch6 功率谱估计-随机信号处理-陈芳炯-清华大学出版社
1500
50
100
真实谱
10
8
6
4
2
0
150
-2
-1
0
1
2
窗函数，长度为10
2000
20
15
10
5
0
-2
-1
0
1
2
窗函数，长度为20
3000
1000 500
1500 1000
500
2000 1000
0
0
0
100
200
300
0
100
200
例子
bia(Sˆx ())
1
2
S x ()W ( )d S x ()
x(n) sin(2*n) u(n)
高斯白噪声
30 20 10
0 0 10 20 30 40 50
N=50
50
40
30
20
10
0
0
50
100
N=100
250 200 150 100
50 0 0 100 200 300 400 500
(1
)D0
(
2
)d
2
1
2N
S()D0 (1
)D0 ( 2
)d
2
其中：
d0
(n)
1, 0,
| n | N 1 other
F
D0 ()
1 2
Var (Sˆ ( ))
1
2N
2
S ()D0 ( )D0 ( )d
E(Sˆ( ))2
N Var[Sˆx ()] E[Sˆx ()] 0
N=500
功率谱估计
功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。
如果我在噪声中加入一个信号波形。
要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。
下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。
后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。
该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。
傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。
19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。
这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。
周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。
1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。
Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。
Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。
1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。
经典功率谱估计
雷达和声呐系统
目标检测
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计常被用于目标检测。通过对接收到的信号进行功率 谱分析，可以判断是否存在目标以及目标的位置和速度等信息。
距离和速度测量
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于距离和速度测量。通过对接收到的信号 进行功率谱分析，可以估计出目标与系统之间的距离和相对速度。
信号分类
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于信号分类。通过对接收到的信号进行功 率谱分析，可以判断目标的类型，例如区分飞机、船舶或车辆等不同类型目标。
05 经典功率谱估计的改进方 法
基于小波变换的功率谱估计
1
小波变换能够将信号分解成不同频率和时间尺度 的分量，从而更好地揭示信号的内在结构和特征。
然而，这些方法通常需要较长 的数据长度和较为复杂的计算 过程，对于短数据和实时处理 的应用场景具有一定的局限性 。
研究展望
01
随着信号处理技术的发展，经典功率谱估计方法仍有进一步优化的空 间。
02
针对短数据和实时处理的应用场景，研究更为快速、准确的功率谱估 计方法具有重要的实际意义。
03
结合机器学习和人工智能技术，探索基于数据驱动的功率谱估计方法 是一个值得关注的方向。
优点
能够提供较高的频率分辨率和较低的估计误差。
原理
格莱姆-梅尔谱估计利用了信号的模型参数，通过 构造一个模型函数来描述信号的频率响应特性， 并求解该函数的极值问题得到信号的功率谱。
缺点
需要预先设定模型函数的形式和参数，且计算复 杂度较高。
03 经典功率谱估计的优缺点
优点
01
02
03
算法成熟
经典功率谱估计方法经过 多年的研究和发展，已经 相当成熟，具有较高的稳 定性和可靠性。
第5章 功率谱分析及其应用3
2 xy
Gxy 2 Gx Gy
相干函数是表示两个信号在频域内的相似 性。
随机信号的功率谱密度
▪ 频率响应函数的定义
H
Gxy Gx
▪ 谱相干函数的性质
2
Sxy ( f ) Sx ( f )Sy ( f )
油管振动自谱
第五章 信号分析技术
机械工程测试技术基础
§5.2 功率谱分析及其应用
一、自功率谱密度函数
1 定义
Sx ( f )
Rx
(
)e
j
2
f
d
称 Sx(f) 为 x(t) 的自功率谱密度函数
7
第五章 信号分析技术
机械工程测试技术基础
2 功率谱分析及其应用
2.1 自功率谱密度函数
1 定义 ➢ 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱密
Sy f Sx f
测量中经常用这个公式计算频率响应函数的幅值， 但无法计算它的相位、实部和虚部。
随机信号的功率谱密度
▪ 互功率谱密度函数定义
➢
如果互相关函数满足付氏变换条件
Rxy
d
Sxy
R xy
e j d
Rxy
1
2
S xy
e j d
▪ 单边互谱密度函数
Gxy
➢ 虚部
Qxy
2
R xy
sin d
Gxy Gxy e jxy
Gxy Cxy 2 Qxy 2
xy
arctan
Qxy Cxy
第五章 信号分析技术
机械工程测试技术基础
第五章 功率谱的估计
5. 功率谱的估计（周期图与窗函数）5.1. 随机信号的功率谱 5.1.1. 功率谱的定义由前面的讨论，我们知道，Fourier 变换是从频域上描述信号的基本工具。
在确定性信号的情况下，当信号是周期时，可以分解为傅氏级数，构成离散频谱。
当信号是非周期性的，只在有限时间段内有值，满足狄拉克绝对可积(平方可积)条件，可以通过傅立叶变换，获得频谱。
但是，对于随机信号，一般既不是周期的，又不是绝对可积的，因此，严格意义上，随机信号既不能进行傅氏级数分解，又不能进行傅氏变换。
为了解决这一困难，维纳首先提出了广义谐波分析的概念。
所谓广义谐波分析是指：随机信号的傅氏分析可以从极限意义上来讨论。
1. 广义谐波分析取随机信号)(t x 在有限时间内的（-T~+T ）的一段，并定义⎩⎨⎧+<<-=其他0)()(Tt T t x t x T 由于时间有限，所以)(t x T 存在傅氏变换，即)()(ωX t x FTT −→←取极限值，并就全部样本集合从总集意义上求平均值，便可以获得随机信号的功率谱定义如下：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∞→T X E S T T x 2)(lim )(2ωω2. 维纳-辛钦定理可以证明，如果)(t x 是零均值的，上式又可以写成维纳-辛钦定理的形式，表示成自相关函数的傅氏变换。
即：⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰∞∞--∞∞-ωωπωττωωτωτd e S R d e R S j x x j x x)(21)()()(根据傅氏变换的卷积定理：2*)()()()(*)(ωωωT T T FT T T X X X t x t x =⋅−→←-亦即⎰∞∞--=ττωωτd e R X j T T )()(2式中dt t x t x dt t x t x R TT T T T T T ⎰⎰+-∞∞-+=+=ττττ)()()()()(因此[]ττωωτωτd dt t x t x E Te TX E S TT T T T j T T ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰+-∞→∞∞--∞→)()(21lim 2)(lim)(2注意到[][])(21)()2(21lim )(21lim )()(21lim )()(21lim )()(21lim τττττττττττττx T x T x T T T x TT x T T T T T T T T T R T R T T R dt T R dt R T dt t x t x E T dt t x t x E T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→∞→+-∞→+-∞→+-∞→+-∞→⎰⎰⎰⎰所以ττωωτd e R S j x x -∞∞-⎰=)()(3. 随机过程的功率谱密度函数的三种定义(1) 自功率谱密度函数定义为随机过程的傅立叶频谱幅值平方的数学期望：{}2)(21),(ωωT x X E T T S ={}2)(21lim )(ωωT T x X E TS ∞→=(2) 自功率谱密度函数定义为随机过程的自相关函数的傅立叶变换：ττωωτd e R S j x x -∞∞-⎰=)()((3) 自功率谱密度函数在中心频率f 的带宽f ∆内的取值，定义为随机过程样本信号，通过中心频率为f ，带宽f ∆的带通滤波后的平均功率：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∆⎰-∞→TT T T x dt f f t x T f f S 2),,(21lim ),( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎰-∞→→∆T TT T f x dt f f t x T f S 20),,(21lim lim )(5.1.2. 功率谱的性质1. 对称性对于实信号，由于)(τx R 是实偶函数，所以)(ωx S 也是实偶函数。
《功率谱估计》课件
实验数据展示 功率谱估计结果对比 误差分析 实验结论与展望
结果分析：对比不同方法的结果，分析优缺点 实验误差来源：讨论实验误差的来源，如设备、环境等因素 改进方向：提出针对实验误差的改进措施，提高实验精度 未来展望：探讨功率谱估计在未来的应用和发展趋势
功率谱估计的应用 案例
语音信号处理：用于语音分析和编码，提高语音质量 图像和视频信号处理：用于图像和视频的压缩和传输，降低带宽需求 雷达和声呐信号处理：用于目标检测和跟踪，提高定位精度
通信领域：用于调制解调、频 谱管理、频谱监测等
生物医学工程：用于心电图信 号处理、脑电图信号处理等
总结与展望
介绍了功率谱估计的基本概念和原理 分析了功率谱估计的常用方法 探讨了功率谱估计在实际应用中的优势和局限性 总结了本次PPT的主要内容和知识点
功率谱估计技术的进一步优化 拓展应用领域，如语音、图像等 结合深度学习等先进技术，提高估计精度 探索与其他领域的交叉研究，如信号处理、通信等
信号的分类
信号的时域和频域 表示
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的应用 场景
功率谱估计的方法
FFT算法原理 FFT算法优缺点分析
FFT算法实现步骤
FFT算法在功率谱估计中的应 用
最小二乘法的基本 原理
功率谱估计的数学 模型
基于最小二乘法的 实现过程
算法的优缺点及改 进方向
卡尔曼滤波原理
功率谱估计与卡尔 曼滤波结合
《功率谱估计》PPT 课件
汇报人：PPT
目录
添加目录标题
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的方法
功率谱估计的原理 与步骤
功率谱估计的实验 与分析
功率谱估计的应用 案例
添加章节标题
功率谱估计的经典方法PPT课件
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
6
时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平
均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术
平均值和时间取样自相关序列定义为
x(n) lim 1
功率谱估计的经典方法
版权所有
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
1
离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。
但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列
xn, n ，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不
Syy(z)
Ryy(m) zm
Rxx(m
p)Rhh (
p)
zm
m
m p
Rxx(n)Rhh ( p)
z n z p
Sxx(z)Shh (z)
m n
S
xx
(
z
)H
(
z
)
H
(
z
1
)
协方差序列的z变换
Sxx(z) Cxx(m) zm , m
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为
零，所以有
Sxx(z) Rxx(m) zm , m
由于 Rxx(m) Rxx(m) ，则有 Sxx (z) Sxx (z 1) 。
功率谱估计模型法
由于系统输入u(n)为白噪声信号，因此：
2
ruu
(m)
E[u(n)u(n
m)]
0
这样rxu(m)为：
rxu (m) 2 h(k) (k m) k 0
2h(m)
m0 else
AR模型估计功率谱密度
而h(m)为系统H(z)的脉冲响应，由于H(z)为因 果系统，因此：
功率谱估计
--参数估计方法
周期图法的不足
估计方法的方差性能差
在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算
分辨率低
样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据 中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)
参数模型功率谱估计
MA模型 AR模型 ARMA模型
平稳随机信号的参数模型
如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不 变系统(LSI)h(n)，则系统输出y(n)也是宽平稳随 机过程，并且y(n)的功率谱密度和x(n)的功率谱 密度满足下式：
Pyy (w) Pxx (w) | Hh (w) |2
其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密 度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。
a1
0
rxx ( p
2)
a2
0
rxx (0) ap 0
这就是AR模型的正则方程，也称为YuleWalker方程。
AR模型估计功率谱密度
得到AR模型的参数，就可以估计功率谱密度：
PˆAR (w)
Pxx (w) 2 | H(w) |2
功率谱估计
E [ x ( n ) x ( k ) x ( p ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( k ) ] E [ x ( p ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( p ) ] E [ x ( k ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( q ) ] E [ x ( k ) x ( p ) ]
✓ 这里由于对信号作了实白噪声的假设，才有无偏估计的结果。
➢ 周期图的均方值
E[IN(1)IN(2)]EN12 XN(ej1)2 XN(ej2)2
N12 n
k
p
RN(n)RN(k)RN(p)RN(q)
q
E[x(n)x(k)x(p)x(q)]e-j1(nk)e-j2(pq)
利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有
Ii()M 1 M n01xi(n)ejn 2
将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计， 公式如下：
Pˆxx(ej)L1 iL1 Ii()
估计效果分析：
➢ 偏移分析：
E[Pˆxx(ej)]
1 L
L i1
EIi()EIi()
1 2π
-ππWB(ej)Pxx(ej(-))d
式中
P x(xej)F[T rx(xm )]
W B(ej)F[T w B(m ) ]N 1 ssiiN n n /(/2 (2 )) 2
✓ 周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当N→∞时，wB(m)→1， 三角谱窗函数趋近于δ函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。
P ( je ) xx
2
2
1
00Βιβλιοθήκη 123/
功率谱估计
2 var[ I N (ω )] = E[ I N (ω )] − E 2 [ I N (ω )]
下面先求周期图的均值，再求其均方值：
1 1 ∞ ∞ jω 2 E[ I N (ω )] = X (e ) = ∑ ∑ E[ x(k ) x(n)]RN (k ) RN (n)e− jω ( n −k ) N N n =−∞ k =−∞
经典谱估计
BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出， 先估计自相关函数，再计算功率谱。 周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数 去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但 直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。 这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方， 除以N得到功率谱。
11
将 ω = ω1 = ω2 代入上式，得 sin( N ω ) 2 2 E[ I N (ω )]=σ x4 2 + N sin(ω )
sin( N ω ) 2 2 var[ I N (ω )]=E[I N (ω )]-E 2 [I N (ω )]=σ x4 1 + N sin(ω ) 显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋 于功率谱真值的平方，即
N −1 1 N −1 − jω k = ∑ x(k )e ∑ x* (n)e jω n n =0 N k =0
1 N −1 N −1 = ∑ ∑ x(k ) x* (n)e − jω ( k − n ) N k =0 n =0 令 m = k − n，即 k = m + n，则
第五章谱估计
2 ( 2k )..( 5 30 )
lim E[ I N ( )] ( )...(5 31) 渐进无偏差
2 sin N 4 估计方差: Var[ I N ( )] x 1 ..( 5 32 ) N sin
E
x(t ) dt (5 1)
2
则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：
X( f )
E
x (t ) exp( j 2ft )dt (5 2)
2
根据Parseval能量定理，有：
14:56
x(t ) dt
X ( f ) df (5 3)
d (n) x(n)d (n k ) x(n k ) (5 15 )
功率谱的估计可写成：
jn j ( n k ) d (n) x(n)e d (n k ) x(n k )e n n
关(协方差)函数为： ( k )
若有：
k
E x(n ) x(n k ) (5 8)
( k )
(5 9 )
jk ( ) ( k ) e (5 10 ) 则功率谱密度为： k ( ) 是以0对称，周期为2。反变换为：
定义：长度为N的实平稳随机信号序列
x N ,0 n N 1
的周期图为： I ( ) 1 X ( ) 2 , (5 26) N N
式中
X N ( )
jn x ( n ) e DFT n 0
N 1
功率谱估计浅谈讲解
功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。
关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。
由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。
现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。
周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。
以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。
在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。
下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。
经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。
本文主要介绍一种方法：周期图法。
周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。
下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。
连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。
功率谱功率谱估计
(3)去非平稳 为了进行频谱分析，可以构造出平稳随机信号， 方法是减去系统的变化趋势。对于线性或近似线性 增长的趋势项，可用多项式拟合的办法来去，对于 其它类型的趋势项可用滤波的方法来去除。
四、估计质量的评价
设a是广义平稳随机过程 x ( n) 的一个数字特征 ˆ 是a的一个估计 a 1、偏倚 ˆ ] E{a a ˆ } a E{a ˆ} b[a 它表示了估计值与实际值的接近程度。 ˆ ] 0, 叫无偏估计 b[a ˆ ] 0, 叫有偏估计 b[a 2、方差 2 ˆ ˆ var[a] E{[a E{a}] } 它表示了估计值相对估计均值的分散程度。
k 1
p q
h(n)
x(n)
若u(n)是一个方差为 的白噪声,则x(n)的功率谱 j 2 j 2 S x (e ) | H ( e ) |
2
B( z ) B (1 / z ) 或 S x ( z ) H ( z ) H (1 / z ) A( z ) A* (1 / z * )
最大熵 参数化 最小交叉熵 ……
三、随机信号分析的预处理
要讨论问题通常是零均值信号的谱估计问题， 一般信号都很少满足要求，所有需作预处理 (1)取样： 若信号未经取样，则在满足取样定理的 前提下取样可根据信号带宽的物理限制，粗略估计 取样间隔。 ~ (2)去均值 x ( n) x ( n) m x
H (z)
1 1 ak z k
k 1 p
称为AR模型
（ 3 ）若ak 和br均不为 0,
x( n) a k x( n k ) br u( n r ) H ( z )
k 1 r 0 p q
q
称为ARMA模型
功率谱估计模型法
i
此模型只有零点，没有极点，对应幅度谱结构中存 在谱谷点。
平稳随机信号的参数模型
ARMA模型：
H ( z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
q
此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在 谱峰、谱谷
系统模型
对于一阶全极点传递函数
1 1 ai z
i 1 p i
因此有h(0)=1
AR模型估计功率谱密度
rxx (m) ak rxx (m k ) rxu (m)
k 1 p
根据上式以及rxu(m)的求解：
p ak rxx (m k ) k 1 rxx (m) p a r (k ) 2 k xx k 1
i 1
p
s( n ) (1 ai z i ) e(n )
i 1
p
G ( z ) 1 ai z i
i 1
p
AR模型与线性预测的关系
这里我们发现线性预测过程是AR模型估计功率 谱的逆过程。
x(n)
h(n)
e(n)
当预测器的阶数和AR模型的阶数相同时，对应 的预测器系数h和AR模型参数ai才有一一对应的 关系。
Pxx (w) | H (w) |
2
性系统传递函数H(z)的特性 去表征随机信号x(n)的功率谱密度，称为参数模 型功率谱估计。 参数模型功率谱估计的步骤：
对H(z)选择合适的模型：MA模型、AR模型、ARMA 模型 根据已知样本数据x(n)，或者x(n)的自相关函数，确 定H(z)的参数 利用H(z)估计x(n)的功率谱。
AR模型阶数p的选择
第五章功率谱估计1-2节
经FFT变换,得:
ˆ ˆ ˆ Pxx (k ) FFT xx (m) xx (m)e
m0 L -1 -j 2 km L
k 0,1, 2, L -1
29/113
三、相关图法功率谱估计质量
用x(n)的N 个有限值得到 ˆ 自相关函数的估计 ( m)，
13/113
（a）间接法（BT法）
BT法又称为相关图法 对信号序列估计求其自相关函数值 对自相关函数的估计进行加权 对加权的自相关函数做傅里叶变换 获得功率谱估计。
直到1965年快速傅里叶变换算法（FFT） 问世以前，是最流行的谱估计方法。
14/113
（b）直接法（又称周期图 （periodogram)法）
对观测到的数据样本直接进行傅里叶变换 取模的平方，再除以N 得到功率谱估计。 不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算， 在FFT出现以后，周期图法才得到了广泛的应 用。
15/113
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。 主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
N
2 xx (l ) xx (l m)xx (l - m) (N - m - l )
N - m -1 2 l -( N - m -1) N - m -1 2 l -( N - m -1)
N - m
N
所以在实际中必须兼顾分辨率与方差的要求来适当选择信号仍然是均值为方差为的白噪声观察数据长度为了利用平均周期法估计其功率谱将它分成段分别按照平均周期图法估计其功率谱得到功率谱曲线如图从图中可以看出随着分段数的增加功率谱估计值在附近的幅度愈来愈小显示出分段平均对周期图方差减少有明显效果
2019-第五章功率谱估计第4节-文档资料
w (n)
H (z) 1
x (n )
A(z)
图a AR(p)模型
x (n )
w (n)
H-1(z)A(z)
图b 预测误差模型
从 上 看 出 ： 可 用 自 适 应 滤 波 原 理
求 各 加 权 系 数 的 方 法
求 得 自 回 归 模 型 的 各 a k 参 数 。
x ( n ) 只 与 w ( n ) 相 关 而 与 w ( n m ) 无 关 （ m 1 ) , 故 ：
E x (n )w (n m )= E w (n )w (n m )= w 2 m 0 0 m 0
可得：xx(m)
p
- akxx(m-k)
系 统 函 数 为 ： H(z)A1 (z)1p1akz-k k1
模型输出的功率谱为：
Pxx(w)
w2
A(ejw)2
1
w2
p
ake-jwk
2
k1
若已经参数a1,a2, ,ap及w2，就可得到信号的功率谱估计。
研 究 参 数 a 1 ,a 2 ,,a p 及 w 2 与 自 相 关 函 数 的 关 系 。
线性预测器是在过去p个样本 x(n-1), x(n-2), x(n- p)的 基础上预测当前值x(n)。
p
线性预测器为：xˆ(n)- apkx(n-k) k1
预测系数ap（ k k1,2, ,p)
按 预 测 误 差 功 率 最 小 化 的 准 则 来 选 取 ， 即 ：
Ee2(n)Ex(n)-x ˆ(n)2 m in
将 A R 模 型 的 差 分 方 程 代 入 x ( n ) 的 自 相 关 函 数 表 达 式 ：
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B z B 1 z 2
S xx e
j
2
H e
j
2
2
B e
Ae
j j
2
1 1 If h n is real , then H H z : z 1 j j 1 z re z e r j z re hn is real 1 1 j e z r 1 j 1 1 j H H e H e H z 1 z r r
矩形窗幅频特性
分辨率损失
x(m) cos0.35 m cos0.4 m 0.25cos0.8 m X (k ) x(m) w(m)e j (2 / N ) mk
m0 N 1
可以看出频率分辨率决 定于数据窗的持续时间 （采样点数-1）
窗口函数对分辨率和泄漏的影响
频率分辨率：窗口函数频 谱的主瓣宽度。
Blackman -Tukey 法
方法理论和实践的比较
对功率谱加窗平滑等价于对估计的自相关序列进行加窗。对窗 口有一定要求：三角窗(Bartlett)和Parzen窗可以，但不适用于汉 明，汉宁或凯瑟窗。
5.3 参数功率谱密度估计
估计步骤： (1) 信号建模 (2) 估计模型参数 (3) 计算功率谱
功率谱密度:
2
A z A z 1
2
1
1 Ae
j
2
模型参数
AR p 模型:
MAq 模型:
a1, , a p ,
2
ARMA p, q 模型:
b1, , bq ,
2
a1, , a p , b1, , bq ,
(1) 周期图法
• Periodogram – Sir Arthur Schuster in 1899
1 ˆ Pxx ( f ) N
m 0 N 1 2 j 2fm
x(m)e
1 j 2 fm 2 ˆ ˆ P ( f ) r ( m ) e | X ( f ) | xx xx N m ( N 1)
泄漏：旁瓣谱峰的水平（导 致虚假谱峰出现）
因此要根据实际情况选择不 同的窗口。矩形窗具有最窄 的主瓣宽度。旁瓣振幅的减 小只能以降低分辨率为代价。 利用矩形窗口分辨两个频率， 应当使两个频率的绝对差值 大于矩形窗频谱的主瓣宽度： |w1-w2|>mainWin
各种不同窗口的属性比较和实域频域特性
m
2
2
rxx (m) Ex(n) x(n m) x(n) x(n m)
n
m
rxx (m)e
j 2 fm
m n
x(n) x(n m)e j 2 fm
n
x(n)e j 2 fn
n
m 0 M 1
(3) 能量泄漏，分辨率损失和加窗操作
可用数据=完整数据※矩形窗
j j j
xN (n) x(n)wR (n)
1 傅利叶变换：X N (e ) X (e ) W (e ) 2 j - j ( N 1) / 2 WR (e ) A( )e
X (e j )WR (e j ( ) )d
[ P ( f )]
Variance:
BT XX
1 2
1 2
PXX (v)Wc ( f v)dv
相关窗谱为单位面积时，为渐进无偏估计
Uw 2 Var[ P ( f )] PXX ( f ) N Uw/k of the variance of the periodogram
Uw相关窗口的能量
j 2fm
sin 2fN 2 VarPxx ( f ) Pxx ( f ) 1 N sin 2f
2
一个无偏但不一致的估计 An unbiased but not a consistent estimate
(2) Bartlett 法
B
(i )
1 N
An asymptotically unbiased
Variance:
sin 2fN 1 2 B Var[ PXX ( f )] PXX ( f ) 1 N sin 2f K
2
1/k of the variance of the periodogram
(2) Moving Average 模型
输入输出关系: 全零点模型
ห้องสมุดไป่ตู้
x n
系统方程:
b u n k
k 0 k q
q
H MA z B z bk z k
k 0
功率谱密度:
S xx z 2 B z B z 1 S xx e
N 1
– Mean
N 1 1 2 j 2fm | m| EPxx ( f ) E X ( f ) 1 rxx (m) e N N m ( N 1)
lim
– Variance
N
EPxx ( f )
m
rxx (m) e
– Yule-Walker 方程 – AR 模型特性 – 参数估计方法
• 5.3.4 MA模型的功率谱估计 • 5.3.5 ARMA模型的功率谱估计
5.3.1 信号模型及其功率谱
有理函数模型:
白噪声
线性移不变系统
平稳随机信号
(1) Autoregressive-Moving Average (ARMA) 模型
(1)时域采样 和抗混叠滤 波
FTDTFT：
X ( f ) x(t )e j 2 ft dt
X (e j )
m
x(m)e j m
(2) 频域采样和时域添零操作
频域采样: DTFT-->DFT
X (e j )
m
x(m)e j m
X (k ) x(m)e j (2 / N ) mk
平均多个不同数据块的周期图估计结果
1 ( f ) Pxx K
B
P
i 1
K
(i ) XX
(f)
sin ( f v) N ( v ) dv P XX sin ( f v) 1/ 2
1/ 2 2
Mean:
E[ P XX ( f )] E[ P XX ( f )]
• Autoregressive (AR) Model（自回归） • Moving-Averatge (MA) Model（移动平均） • Autoregressive Moving-Average (ARMA) Model（自回归移动平均）
本节内容
• 5.3.1 信号模型及其功率谱 • 5.3.2 AR,MA,ARMA 模型与 他们的功率谱 • 5.3.3 AR 模型的功率谱估计
5.2 平稳随机信号的谱估计
• 功率谱为自相关函数的Fourier变换
– Wiener-Khintchine 定理
Pxx ( f )
m
j 2fm r ( m ) e xx
• 自相关的估计值
– 估计值的均值与方差
(1)Wiener-Khintchine 定理
1936年
Pxx ( f ) X ( f ) X ( f ) X * ( f ) x(m)e j 2fm
m0
N 1
补零操作
通过对采样信号后 面补零来得到更高密 度的频谱。低密度离 散频谱，在使用线性 内插重建连续频谱时 会产生误差。提高频 谱密度可以减少这个 误差。
x(m), 0 m N xe (m) 0, N m M X (k ) x(m)e j ( 2 / M ) mk
| m| E[ x(k ) x(k m)] 1 rxx (m) N k 0
1 ˆ Var[rxx (m)] N
k
r
2 xx
(k ) rxx (k m)rxx (k m)
是一个渐进无偏
5.2.2 非参数功率谱密度估计方 法
• • • • 周期图法 Bartlett法（平均多个周期图, 采用不同数据块） Welch 法 (平均多个周期图, 采用重叠的数据块) Blackman-Tukey 法 (周期图平滑)
unbiased Biased
估计2：
1 ˆxx (m) r N
N | m| 1
k 0
x( k ) x( k m)
Nonnegative definite
Smaller variance
估计量的均值和方差
Mean:
1 ˆxx (m)] E[r N
Variance:
N |m|1
Variance:
sin 2fN 1 2 B Var[ P XX ( f )] P XX ( f ) 1 N sin 2f K
2
1/k of the variance of the periodogram
Welch-Bartlett 方法
j
2
B e
j
2
(3) Autoregressive 模型
输入输出关系:
全极点模型
x n ak x n k u n