函数的幂级数展开式的应用54568
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2
f'xd xfxc
fx d ' x F x c ' F 'x fx
dfxfxc
d f x d d F x x c F ' x d 0 x f x dx
习题 : 1．求极限
lx i m n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 n 2 n n n
x 0
2 n
li(fm (x 0 n ) f(x 0 ) f(x 0 n ) f(x 0 ))
x 0
2 n
2 n
12f(x0)12f(x0)
f (x0)
3. y f (x2), 求 y
yf(x2)2x
y 2 x f(x2)2 x 2 f(x2)
设y = ln(1+x) , x0 1 △x=0.02 , 求dy的值
解：由夹逼定理
1 2 n 12 n 1 2 n n nn 2 n 1 n 2 n 2 n 2 2 nn 2 n 1
1原 式 1 lim 1
2
2 x 2
2．已知函数
f
(x0
)
存在，求：lim f(x0n)f(x0n)
x
2n
原式=
li(m f(x 0 n ) f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 n ))
例：1)
x3
2x3
x2
dx 2x
(
x
A
a
型)
x3 x2 2 xx (x 2 )x ( 1 )
2x3 ABC x3x22x x x2 x1
2)
x2 2x 3
(x 1)(x 1)2
dx
(( A (x a)k
)型)
x22x3A B C (x1)x (1)2 x1 (x1) (x1)2
3)
3x2 2x2 x3 1 dx
（4）
x4 4
dx
x(x4 5)(x5 5x1)
原式 =
[x(55x1)(x55x)](x41) dx
(x55x)x(55x1)
xx54 5 1 xd xx5x 45 x11d xc
二、三角函数有理式的积分
令 u tan x 用万能公式
2
2 tan x
tan x
2
1 tan 2 x
F(x,
y,
z)
0,
z x
Fx Fz
分段函数在分段点求偏导,须用定义
求全微分dz
z x
dx
z y
dy
2、
几何上的应用 面 线、 、面 线、 、线 面
应用:
方向导数、梯度 求法:
z z cos z cos
l x
y
g
radz(x,
y)
z
i
z
i
x y
关系:
z
l
Max
gradz
(z)2 (z )2 x y
11 1
4
(u21u21)du
1 4((u1)1u (1))du arcxtacn
8 1(u1 1u1 1)d uarcxtacn
（3） (xx13)100dx ((xx11)110)30dx
(x1)33(x1)23(x1)1dx
(x1)100
1
3
3
((x1)97 (x1)98 (x1)99 1)dx
( MxN 型) x2 pxq
x31(x1 )x (2x1 )
3x22x2 A MxN
x31 x1 x2x1
4)
x1 (x1)(x2 1)2
dx
(
MxN (x2 pxq)k
型)
x 1 AB 1xC 1B 2xC 2 (x 1 )x (2 1 )2 x 1 x2 1 (x2 1 )2
四种简单分式的积分：
x AadxAlnx(a)c
A d xA 1(xa)1kc
(xa)k
1k
(k≠1)
M x2
xN px q
dx
∵ (x2p xq)2xp
∴ x M 2 x p N x qd x M 2d ( x x 2 2 p p x q x q )x2 kpd x qx
M 2ln x2 (p x q )a2 k x d x 2
f x
ft
t x
dx
Gy
1
ft
t y
分子次数恰好比分母次数少一次
个数 Q p ( (x x ) ) x M 2 1 x p N q x (x 2 M 2 p N 2 q x )2 . .( .x 2 M p N q x )
分子为一次多项式
四种类型简单分式：
A....A ......M .. .N .x....M . .a .x .N x a (x a )k (x 2 q x p ) (x 2 p x q )k
1
dy = 1 x
dx =
1 1 x0
x
=
0.01
有理函数的分解：
（1）QP
( (
x x
) )
将分母进行因式分解
Q(x) = (x a )a (x2p x q )为质因式
（2）
P Q
( (
x x
) )
分解成简单分式之和
个数：
简单分式：
Q p ((X x))x A a(x A 2 a)2....(x . A . a)
高等数学
（习题课上、下）
重庆交通学院 冯春
目录
习题课（一） 习题课（二）
综合练习题
详细讲解内容： 2、重积分 4、无穷级数
源自文库
1、多元函数微分法及其应用 3、曲线积分 曲面积分 5、微分方程
习题课（一）
一、1
2
sin
2
x
，
1 4
cos2x
，
1 cos2 2
x
是同一函数
1 sin 2 x 的原函数吗？
2
x
2 tan
sin x
2
1 tan 2 x
2
1 tan 2 x
cos x
2
1 tan 2 x
2
f(x)d xf(x)c [f(x)d]xf(x)
d(fx)f(x)c d[f(x)d]xf(x)dx
习题课（二）多元函数微分学
重点：
多元复合函数求一阶二阶偏导具 抽体 象
1、求偏导数隐函数求偏导:
梯度的方向是 z
l
Max
的方向
极值条 普件 通极 极值 值
x
P44
11、yf(x,t)
t:F(x,y,t)0 求
dy dx
y
t
x y
令G (x,y,t)yf(x ,t)得：G(x,y,t)0t:F(x,y,t)0
G x0[f(x,t)]xfx ft x t Gy
1
ft
t y
dy
Gx
M xN
(x2 pxq)k dx
视具体情况而定
有理函数分解的技巧：
例：（1）
x2 d xx2 1 1 d x[ 1 1 ]d x
(x2 1 ) (x2 1 )2
x2 1(1 x2)2
令 x = tant
1 se2tcdt co2tsdt se4tc
原式
1c2os2t dt
（2） x x 8 1 d 1 2 x(x2 d )4 2 x 1令 x 2 u1 2(u 2 1 d )u ( 2 u 1 )
f'xd xfxc
fx d ' x F x c ' F 'x fx
dfxfxc
d f x d d F x x c F ' x d 0 x f x dx
习题 : 1．求极限
lx i m n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 n 2 n n n
x 0
2 n
li(fm (x 0 n ) f(x 0 ) f(x 0 n ) f(x 0 ))
x 0
2 n
2 n
12f(x0)12f(x0)
f (x0)
3. y f (x2), 求 y
yf(x2)2x
y 2 x f(x2)2 x 2 f(x2)
设y = ln(1+x) , x0 1 △x=0.02 , 求dy的值
解：由夹逼定理
1 2 n 12 n 1 2 n n nn 2 n 1 n 2 n 2 n 2 2 nn 2 n 1
1原 式 1 lim 1
2
2 x 2
2．已知函数
f
(x0
)
存在，求：lim f(x0n)f(x0n)
x
2n
原式=
li(m f(x 0 n ) f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 n ))
例：1)
x3
2x3
x2
dx 2x
(
x
A
a
型)
x3 x2 2 xx (x 2 )x ( 1 )
2x3 ABC x3x22x x x2 x1
2)
x2 2x 3
(x 1)(x 1)2
dx
(( A (x a)k
)型)
x22x3A B C (x1)x (1)2 x1 (x1) (x1)2
3)
3x2 2x2 x3 1 dx
（4）
x4 4
dx
x(x4 5)(x5 5x1)
原式 =
[x(55x1)(x55x)](x41) dx
(x55x)x(55x1)
xx54 5 1 xd xx5x 45 x11d xc
二、三角函数有理式的积分
令 u tan x 用万能公式
2
2 tan x
tan x
2
1 tan 2 x
F(x,
y,
z)
0,
z x
Fx Fz
分段函数在分段点求偏导,须用定义
求全微分dz
z x
dx
z y
dy
2、
几何上的应用 面 线、 、面 线、 、线 面
应用:
方向导数、梯度 求法:
z z cos z cos
l x
y
g
radz(x,
y)
z
i
z
i
x y
关系:
z
l
Max
gradz
(z)2 (z )2 x y
11 1
4
(u21u21)du
1 4((u1)1u (1))du arcxtacn
8 1(u1 1u1 1)d uarcxtacn
（3） (xx13)100dx ((xx11)110)30dx
(x1)33(x1)23(x1)1dx
(x1)100
1
3
3
((x1)97 (x1)98 (x1)99 1)dx
( MxN 型) x2 pxq
x31(x1 )x (2x1 )
3x22x2 A MxN
x31 x1 x2x1
4)
x1 (x1)(x2 1)2
dx
(
MxN (x2 pxq)k
型)
x 1 AB 1xC 1B 2xC 2 (x 1 )x (2 1 )2 x 1 x2 1 (x2 1 )2
四种简单分式的积分：
x AadxAlnx(a)c
A d xA 1(xa)1kc
(xa)k
1k
(k≠1)
M x2
xN px q
dx
∵ (x2p xq)2xp
∴ x M 2 x p N x qd x M 2d ( x x 2 2 p p x q x q )x2 kpd x qx
M 2ln x2 (p x q )a2 k x d x 2
f x
ft
t x
dx
Gy
1
ft
t y
分子次数恰好比分母次数少一次
个数 Q p ( (x x ) ) x M 2 1 x p N q x (x 2 M 2 p N 2 q x )2 . .( .x 2 M p N q x )
分子为一次多项式
四种类型简单分式：
A....A ......M .. .N .x....M . .a .x .N x a (x a )k (x 2 q x p ) (x 2 p x q )k
1
dy = 1 x
dx =
1 1 x0
x
=
0.01
有理函数的分解：
（1）QP
( (
x x
) )
将分母进行因式分解
Q(x) = (x a )a (x2p x q )为质因式
（2）
P Q
( (
x x
) )
分解成简单分式之和
个数：
简单分式：
Q p ((X x))x A a(x A 2 a)2....(x . A . a)
高等数学
（习题课上、下）
重庆交通学院 冯春
目录
习题课（一） 习题课（二）
综合练习题
详细讲解内容： 2、重积分 4、无穷级数
源自文库
1、多元函数微分法及其应用 3、曲线积分 曲面积分 5、微分方程
习题课（一）
一、1
2
sin
2
x
，
1 4
cos2x
，
1 cos2 2
x
是同一函数
1 sin 2 x 的原函数吗？
2
x
2 tan
sin x
2
1 tan 2 x
2
1 tan 2 x
cos x
2
1 tan 2 x
2
f(x)d xf(x)c [f(x)d]xf(x)
d(fx)f(x)c d[f(x)d]xf(x)dx
习题课（二）多元函数微分学
重点：
多元复合函数求一阶二阶偏导具 抽体 象
1、求偏导数隐函数求偏导:
梯度的方向是 z
l
Max
的方向
极值条 普件 通极 极值 值
x
P44
11、yf(x,t)
t:F(x,y,t)0 求
dy dx
y
t
x y
令G (x,y,t)yf(x ,t)得：G(x,y,t)0t:F(x,y,t)0
G x0[f(x,t)]xfx ft x t Gy
1
ft
t y
dy
Gx
M xN
(x2 pxq)k dx
视具体情况而定
有理函数分解的技巧：
例：（1）
x2 d xx2 1 1 d x[ 1 1 ]d x
(x2 1 ) (x2 1 )2
x2 1(1 x2)2
令 x = tant
1 se2tcdt co2tsdt se4tc
原式
1c2os2t dt
（2） x x 8 1 d 1 2 x(x2 d )4 2 x 1令 x 2 u1 2(u 2 1 d )u ( 2 u 1 )