数学物理方程(很好的学习教材)
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导出的步骤 1. 确定研究对象（物理量） 2. 分析物理过程，提炼物理模型 3. 建立方程，化简整理，推广
波动方程
均匀弦的微小横振动
问题：一根长为L的均匀弹弦， 不计重力，不受外力。其张力 为T，线密度为ρ。求弦的微小 横振动的规律。
分析：设弦平衡时沿x轴，考虑 弦上从x到x+dx的一段，其质 量为ρdx。设弦的横振动位移 为u(x,t)，则
扩散和输运方程具有共同的形式：
对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热）， 则方程的形式变化为：
源的强度
稳定场方程
概念
产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳 定状态，对应的方程称为稳定场方程。
形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为 零。
分类 无外界作用情况 拉普拉斯方程： Δu = uxx + uyy + uzz = 0 有外界作用情况
0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L;
初始速度
处于静止状态： ut|t=0 = 0 在c点受冲量I： ut|t=0 = Iδ(x-c)/ρ
三、边界条件
意义 反映特定环境对系统的影响
分类 按条件中未知函数及其导数的次数： 线性边界条件和非线性边界条件； 线性边界条件中 按给出的是函数值或导数值： 第一、二、三类边界条件； 按所给数值是否为零： 齐次边界条件和非齐次边界条件。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
扩散方程和输运方程
三类线性边界条件
初始条件 边界条件
t)
Tu
utt
(r ,
t)
a
2 u
扩散方程
问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的 变化。 分析：扩散现象遵循扩散定律，即q= - D▽ u，q是扩散流强 度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题， 考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。
z
dz
y
dy
dx
x
o
扩散方程
方程 uxx(x) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
由此可归纳出
数学物理方程的通解含有任意常数，要完全 确定这些常数需要附加条件。
二、初始条件
意义 反映系统的特定历史
分类 初始状态（位置），用 u |t=0 = φ(x,y,x)表示； 初始变化（速度），用 ut|t=0 = ψ(x,y,z)表示。
典型例子 一维热传导 未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件 一端温度为a，均匀增加到另一端温度为b u |t=0 = a+(b-a)x/L
初始条件
一维弦振动
未知函数对时间为二阶，需要两个初始条 件
初始位移
处于平衡位置： u|t=0 = 0 两端固定，在c点拉开距离h：
u|t=0 = hx/c，
泊松方程：Δu = uxx + uyy + uzz = f(x,y,z) 典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
小结
波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：
作业：P152 3,4
§7.2 定解条件
一、定解问题的提出
方程 ut(t) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
Part Ⅱ 数学物理方程
教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社 第三版） 参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）
授课内容
数学物理定解问题 （Chap.7） 分离变数（傅里叶级数）法 （Chap.8） 球函数（Chap.10） 柱函数（Chap.11）
Chap. 7 数学物理定解问题
推广2
情况：均匀杆的纵振动问题
分析：张力T变成杨氏模量Y
源自文库
方程： ρutt = Y uxx+ F
utt = a2 uxx+ f
推广3
情况：三维情况
分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数
方程： utt (x, y, z，t) T (uxx u yy uzz )
utt
(r ,
数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类 达朗贝尔公式 定解问题 本章小结
物理量 u (Y,E,B,P…)
空间分布（x,y,z） 时间演化（t）
边界条件 初始条件
分析问题
定界条件
物理规律 u(x,y,z,t)
定解问题 （确定系数）
§7.1 数学物理方程的导出
常见的数学物理方程 1. 波动方程 2. 输运方程 3. 稳定场方程
α1
B
A
α2
C
由牛顿第二定律
ρdxutt=T2sinα2- T1sinα1 0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
于是有
T2 =T1=T ρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx utt = a2 uxx
uxxdx a2 = T/ρ
波动方程
推广1
情况：受迫振动（考虑重力或外力）
分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，则dx段的受力为Fdx
方程：ρutt = T uxx+ F
utt = a2 uxx+ f，f = F/ρ
波动方程
在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为
如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单 位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数
u t
dxdydz
D(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)dxdydz
ut a2u 0 (a2 D)
输运方程
一维热传导
问题：一根长为L的均匀导热细杆， 侧面绝热，内部无热源。其热传导 系数为k，比热为c，线密度为ρ。 求杆内温度变化的规律。 分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上 从x到x+dx的一段，其质量为ρdx， 热容量为cρdx 。设杆中的热流沿x 轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则
波动方程
均匀弦的微小横振动
问题：一根长为L的均匀弹弦， 不计重力，不受外力。其张力 为T，线密度为ρ。求弦的微小 横振动的规律。
分析：设弦平衡时沿x轴，考虑 弦上从x到x+dx的一段，其质 量为ρdx。设弦的横振动位移 为u(x,t)，则
扩散和输运方程具有共同的形式：
对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热）， 则方程的形式变化为：
源的强度
稳定场方程
概念
产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳 定状态，对应的方程称为稳定场方程。
形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为 零。
分类 无外界作用情况 拉普拉斯方程： Δu = uxx + uyy + uzz = 0 有外界作用情况
0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L;
初始速度
处于静止状态： ut|t=0 = 0 在c点受冲量I： ut|t=0 = Iδ(x-c)/ρ
三、边界条件
意义 反映特定环境对系统的影响
分类 按条件中未知函数及其导数的次数： 线性边界条件和非线性边界条件； 线性边界条件中 按给出的是函数值或导数值： 第一、二、三类边界条件； 按所给数值是否为零： 齐次边界条件和非齐次边界条件。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
扩散方程和输运方程
三类线性边界条件
初始条件 边界条件
t)
Tu
utt
(r ,
t)
a
2 u
扩散方程
问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的 变化。 分析：扩散现象遵循扩散定律，即q= - D▽ u，q是扩散流强 度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题， 考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。
z
dz
y
dy
dx
x
o
扩散方程
方程 uxx(x) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
由此可归纳出
数学物理方程的通解含有任意常数，要完全 确定这些常数需要附加条件。
二、初始条件
意义 反映系统的特定历史
分类 初始状态（位置），用 u |t=0 = φ(x,y,x)表示； 初始变化（速度），用 ut|t=0 = ψ(x,y,z)表示。
典型例子 一维热传导 未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件 一端温度为a，均匀增加到另一端温度为b u |t=0 = a+(b-a)x/L
初始条件
一维弦振动
未知函数对时间为二阶，需要两个初始条 件
初始位移
处于平衡位置： u|t=0 = 0 两端固定，在c点拉开距离h：
u|t=0 = hx/c，
泊松方程：Δu = uxx + uyy + uzz = f(x,y,z) 典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
小结
波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：
作业：P152 3,4
§7.2 定解条件
一、定解问题的提出
方程 ut(t) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
Part Ⅱ 数学物理方程
教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社 第三版） 参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）
授课内容
数学物理定解问题 （Chap.7） 分离变数（傅里叶级数）法 （Chap.8） 球函数（Chap.10） 柱函数（Chap.11）
Chap. 7 数学物理定解问题
推广2
情况：均匀杆的纵振动问题
分析：张力T变成杨氏模量Y
源自文库
方程： ρutt = Y uxx+ F
utt = a2 uxx+ f
推广3
情况：三维情况
分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数
方程： utt (x, y, z，t) T (uxx u yy uzz )
utt
(r ,
数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类 达朗贝尔公式 定解问题 本章小结
物理量 u (Y,E,B,P…)
空间分布（x,y,z） 时间演化（t）
边界条件 初始条件
分析问题
定界条件
物理规律 u(x,y,z,t)
定解问题 （确定系数）
§7.1 数学物理方程的导出
常见的数学物理方程 1. 波动方程 2. 输运方程 3. 稳定场方程
α1
B
A
α2
C
由牛顿第二定律
ρdxutt=T2sinα2- T1sinα1 0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
于是有
T2 =T1=T ρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx utt = a2 uxx
uxxdx a2 = T/ρ
波动方程
推广1
情况：受迫振动（考虑重力或外力）
分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，则dx段的受力为Fdx
方程：ρutt = T uxx+ F
utt = a2 uxx+ f，f = F/ρ
波动方程
在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为
如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单 位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数
u t
dxdydz
D(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)dxdydz
ut a2u 0 (a2 D)
输运方程
一维热传导
问题：一根长为L的均匀导热细杆， 侧面绝热，内部无热源。其热传导 系数为k，比热为c，线密度为ρ。 求杆内温度变化的规律。 分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上 从x到x+dx的一段，其质量为ρdx， 热容量为cρdx 。设杆中的热流沿x 轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则