高考数学一轮总复习第八章立体几何8.1空间几何体的三视图表面积和体积课件理新人教B版
高中数学《空间几何体的三视图、表面积和体积》课件
A.158 C.182
B.162 D.324
27
(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该 圆柱的体积为________. 解析 (1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱 的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个 上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高 为3.
6
所以 PA⊥PC，即 PA，PB，PC 两两垂直，以 PA，PB，PC 为从同一顶点出发的三条棱 补成正方体.因为 AB＝2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6， 故三棱锥 P－ABC 的外接球的半径 R＝ 26，所以球 O 的体积 V＝43πR3＝43π 263＝ 6π， 故选 D.
答案
(1)40
1 (2)3
34
热点三 多面体与球的切、接问题
【例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，
BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A.4π
B.92π
C.6π
D.323π
(2)(多填题)(2019·湖南师大附中调研)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与
(2)因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故 该几何体为三棱锥.故选A. 答案 (1)C (2)A
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——空间几何体的表面积和体积
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
索引
训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第一节 空间几何体
答案 B B不正确,反例见下图:
“等腰四棱锥”S-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=4,BC=2,O为S在平面 ABCD上的射影, OE⊥AB于E,OF⊥BC于F. ∵OE≠OF,
∴θ1≠θ2,又易知θ1与θ2不互补, ∴“等腰四棱锥”S-ABCD的侧面SAB与底面所成的二面角和侧面SBC 与底面所成的二面角既不相等,也不互补.
其中正确命题的个数为 ( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 命题①错,这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题② 错,这条腰必须是垂直于两底边的腰;命题③对;命题④错,用平行于圆锥 底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台.
方法技巧 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全方面地去分析,多 观察实物,提高空间想象能力; (2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件 构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加 线、面等基本元素,然后依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举 出一个反例即可.
1-2 给出下列四个命题: ①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱; ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; ④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为 ①②③ .
答案 ①②③ 解析 对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错;对于 ②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故②错;对于③,若底 面不是矩形,则③错;④由线面垂直的判定,可知侧棱垂直于底面,故④正 确. 综上,命题①②③不正确.
第一节 空间几何体及其三视图、直观 图、表面积与体积
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.1空间几何体的结构、三视图和直观图
3.简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一 种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、 多面体与旋 转体、旋转体与旋转体的组合体.
4. 三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图 , 分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
考纲解读
空间几何体的结构 和三视图部分 重点考 查柱、锥、台、球 的定义和以三 视图为 载体考查柱、锥、 台、球的表面 积和体 积, 难度 不大. 空间几 何体的 性质是 基础, 以它们为载体考查 线线、线面、 面面间 的 关 系 是 重点 . 三 视图 的 还 原在 各 地 高 考 试 题 中 频繁 出 现 , 已 经 成 为高 考 的 热 点 问 题, 题型 多以 选择 题和 填空 题为 主 , 有时也会作为解答题的背景出现.
三视图的长度特征: “ 长对正, 宽相等, 高平齐” , 即正视图和侧 视图一样高, 正视图和俯视图一样长, 侧视图和俯视图一样宽. 若相邻两物 体的表面相交, 表面的交线是它们的分界线, 在三视图中, 要注意实、 虚线的 画法 .
5. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画, 其规则是: (1) 原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直, 直观图中, x' 轴、 y' 轴的夹角为 45° , z' 轴与 x' 轴和 y' 轴所在平面垂直. (2) 原图形中平行于坐标轴的线段, 在直观图中仍分别平行于坐标轴. 平 行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y轴的线段长度 在直观图中变为原来的一半. 6. 中心投影与平行投影 (1) 平行投影的投影线互相平行, 而中心投影的投影线相交于一点. (2) 从投影的角度看, 三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行 投影下画出来的图形.
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——空间几何体的结构、三视图和直观图
考点二 空间几何体的三视图
例1 (1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视 图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次 为__③__④__(_或__②__⑤__，__答__案__不__唯__一__)_____(写出符合要求的一组答案即可).
_平__行__且__相__等___
相交于_一__点___，但 不一定相等
延长线交于___一__点_
_平__行__四__边__形___
_三__角__形___
__梯__形__
索引
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
图形
互相平行且相等，
母线
__垂__直__于底面
相交于__一__点__
轴截面 侧面展开图
索引
2.(易错题)在如图所示的几何体中，是棱柱的为___③__⑤___(填写所有正确的序号). 解析 由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.
索引
3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体
是( C )
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
索引
训练1 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画
出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( B )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可 知该几何体为三棱柱.
索引
(2)(2022·成都检测)一个几何体的三视图如图所示，
索引
解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧 视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯 视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则三棱锥如图1所示；若是②⑤， 则三棱锥如图2所示.
全国版高考数学一轮复习第8章立体几何第1讲空间几何体的结构三视图表面积和体积课件理
图的宽相等,正视图和侧视图的高平齐.
2.三视图的长度特征
“长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图的长对正,侧视图和俯视
图的宽相等,正视图和侧视图的高平齐.
3.直观图
(1)用斜二测画法画直观图的步骤
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它
们画成对应的x ’轴 与y’轴 ,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),
它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x ’轴
或y’轴 的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的
线段,长度为原来的一半.
④擦去作为辅助线的坐标轴,就得到原图形的直观图.
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=S底h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
球
S=4πR2
规律总结
1.关于几何体的表面积和侧面积
1.三视图的定义
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.
三视图中的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、
正上方观察几何体画出的轮廓线.
注意 (1)画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.
(2)同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同.
2.三视图的长度特征
互相平行且全等
侧棱
平行且相等
高考数学 专题八 立体几何 1 空间几何体的三视图、表面积和体积课件 文
专题八 立体几何
§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
12/10/2021
考点清单
考点一 空间几何体的结构及其三视图和直观图
考向基础 一、空间几何体的结构 1.多面体的结构特征
12/10/2021
12/10/2021
2.旋转体的结构特征
12/10/2021
【知识拓展】 1.特殊的四棱柱
ABCD, 底面四边形ABCD是正方形,且PA=AB=BC=CD=DA=4,
∴S△PAB=S△PAD= 1 ×4×4=8,S△PBC=S△PCD=1 ×4×42 =842 ,S正方2形ABCD=42=16,
2
2
∴四棱锥P-ABCD的表面积S=2×8+2×8 2+16=32+16 .故2 选D.
答案 D
考向基础
考点二 空间几何体的表面积
1.多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是表面展开图的面积.
2.旋转体的表面积
圆柱(底面半径为 r,母线长为l)
圆锥(底面半径 圆台(上、下底面半 为r,母线长为l) 径为r‘,r,母线长为l)
球(半径 为R)
侧பைடு நூலகம்展 开图
底面积 侧面积 表面积
12/10/2021
的表面积为
.
12/10/2021
解析 如图,设E为AB的中点,O为底面正方形对角线的交点,连接SO,SE, OE,∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,各侧面都是全等的正三角形,∴SE⊥
AB,则SE= S=A2-A=E2 .∴2 5S-侧2=45 4S5△S2A3B=4×
×AB×SE=21 ×5×
2
2
设△ABC外接圆的半径为r,则2r= 6,解得r=2 , 3
8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件
的半球体,其中圆柱的高等于半球的半径r,所以该几何体的体积V=πr2×r- 1
2
× 4 πr3=1 πr3=9 π,∴r3=27 ,又知r>0,∴r=3 ,∴该几何体的表面积S=πr2+2πr×r
338
8
2
+ 1 ×4πr2=5πr2=5π×9 =45 π,故选C.
2
44
答案 (1)D (2)C
方法2 与球有关的切、接问题的求解方法
2.求空间几何体体积的方法 (1)求简单几何体的体积,若所给的几何体为柱体、锥体、台体或球,则可 以直接利用公式求解. (2)求组合体的体积,若所给的几何体是组合体,则不能直接利用公式求解, 常用转换法、分割法、补形法等进行求解. (3)三棱锥的体积常用等体积法求解. (4)求以三视图为背景的几何体的体积,应根据三视图得到几何体的直观 图,然后根据条件求解.
积的 2 .
4
考向突破 考向一 由空间几何体的直观图识别三视图 例1 (2018课标Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的 凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若 如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼 的木构件的俯视图可以是( )
台体
球
V柱体=Sh,V圆柱=πr2h
1
V锥体= 3Sh,V圆锥= 1πr2h
3
1
V台体= 3(S+
SS'
+S')h,V圆台=
1π(r2+rr'+r'2)h
3
4
V球= 3πR3(R为球的半径)
注意 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已 知体积公式的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体和数据还原的准确性.
2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档 理
§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5， 因此V ＝43πR 3＝500π3. 4． 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5． 假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一 空间几何体的结构特点 例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等． 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发 从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点． 答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等． 思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系． 答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点． 易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中， 应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形． 题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发 先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积． 答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华 解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿 棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好． 标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得． 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同， 故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4． 如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析 由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5． 某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7． 已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 3π 解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解 那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组 专项能力提升(时刻：30分钟)1． 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2． 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解 当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等， 得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体及其表面积与体积课件 理
中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1，P-ABC 的体积为 V2，
则VV12＝________. 解析 设 A 到平面 PBC 距离为 h，则 V1＝VA－BDE＝13S△BDE·h
＝13·14S△PBC·h＝14V2.所以VV12＝14.
答案
1 4
考点一 空间几何体的结构特征 【例1】 给出下列四个命题：
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱 柱.( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱 锥.( × ) (3)棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高.( × ) (4)圆柱的侧面展开图是矩形.(√ )
2.以长方体的各顶点为顶点，能构建四棱锥的个数是________. 解析 设长方体ABCD－A1B1C1D1，若点A为四棱锥的顶点， 则底面可以为不过点A的矩形A1B1C1D1，矩形BCC1B1，矩形 CDD1C1，矩形BB1D1D，矩形BCD1A1，矩形CDA1B1，共有6 个不同的四棱锥，8个顶点可以分别作为四棱锥的顶点，共 6×8＝48(个)不同的四棱锥.
答案 ①②③
规律方法 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正 把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析， 即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.
【训练1】 (1)给出以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数是________. (2)一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可 能图形为________(填正确答案的序号).
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§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
知识清单
1.棱柱的结构特征 (1)棱柱的主要结构特征:有 两个 面互相平行,其余各面都是 四边形 ,并且每相邻 两个 四边形 的公共边都互相平行.棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的底面,其余各面叫棱柱的侧 面,两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.棱柱的高指两底面之间的距离,即从一底面上任一点向另 一底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. (2)棱柱的分类:按侧棱与底面的关系可分为 斜棱柱 、 直棱柱 ; 按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等; 底面是正多边形的 直棱柱 又称为正棱柱. 2.棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个 公共顶点 的三角形,这些面围成的几 何体叫做棱锥. (2)正棱锥的定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样
体画出的轮廓线.画三视图的基本要求: 正俯一样长 、 俯侧一样宽 、 正侧一样高 . (3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则. 8.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点,画直观图时,把它们画成对应的x'轴与 y'轴,两轴相交于O'且使∠x'O'y'=45°(或135°),用它们确定的平面表示水平面; (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x'轴或y'轴的线段; (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来 的一半.
(1)一个 半圆 围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,球面所围成的几 何体叫做球. 形成;连结球面上两点且通 过球心的线段叫球的直径. (2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆,被经过球心的平面截得的圆叫做球的大 圆.
注:平面图形的原始面积和直观图面积有以下关系: S 原 始=2 . 2
S直观
【知识拓展】 1.空间几何体的数量关系体现在三视图中,正视图和侧视图的“高平齐”,正视图和俯视图的 “长对正”,侧视图和俯视图的“宽相等”.其中,正视图、侧视图的高就是空间几何体的高,正 视图、俯视图的长就是空间几何体的最大长度,侧视图、俯视图的宽就是空间几何体的最大宽 度.要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图. 2.要注意领会和掌握两种数学思想方法:割补法与等积法. 割补法是割法与补法的总称.补法是把不规则的(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的 (熟悉的或简单的)几何体,把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的(不规则的)几何体 切割成简单的(规则的)几何体.割与补是对立统一的. 等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已 知条件可以得到,利用等积法可以求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三 棱锥的高时,这一方法可以提高解题效率.
的棱锥叫做正棱锥. (3)正棱锥的性质: a.各侧棱长度相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥 的斜高. b.棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面 内的射影也组成一个直角三角形. 3.圆柱、圆锥、圆台的结构特征 以矩形一边、直角三角形一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将其余 各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台. 其中旋转轴叫做所围成的几何体的轴;在轴上的这条边叫做这个几何体的高;垂直于轴的边旋转 而成的圆面叫做这个几何体的底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面,无 论旋转到什么位置,这条边都叫做侧面的母线. 4.用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥,截面与底面间的部分分别叫棱台、圆台. 5.球的结构特征
()
答案 D 解析 A图是两个圆柱的组合体的俯视图;B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图;C 图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图,采用排除法,故选D.
方法2 几何体表面积的求解方法
1.表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积时,只需将它们沿着棱剪开后展成平面图 形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从旋转体的生成过 程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图 中的边长关系. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本 的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积. 3.正棱锥、正棱台、正棱柱的侧面积公式间的联系:
突破方法
方法1 几何体的三视图
1.三视图的画法要坚持以下原则: (1)长对正,即正视图和俯视图的长相等; (2)高平齐,即正视图和侧视图的高相等; (3)宽相等,即侧视图和俯视图的宽相等; (4)看不见的轮廓线要用虚线表示. 2.由三视图判断几何体的形状主要结合常见几何体的三视图来确定. 例1 (2013课标全国Ⅱ,7,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0, 1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图 可以为 ( )
球的截面性质: r= R2 ,d其2 中r为截面圆的半径,R为球的半径,d为球心O到截面圆的圆心 的距离. 6.三视图 几何体的三视图是指: 正视图 、 侧视图 、 俯视图 .又称为主视图、左视图、俯视 图. 7.三视图的画法要求 (1)在画三视图时,重叠的线只画一条,被挡住的线要画成虚线. (2)三视图中的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何
解析 设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后, 由于OA⊥BC,所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A. 答案 A 1-1 (2012湖南,3,5分)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是