大一数学分析(1)试卷分析与讲评

求出切线斜率： 在点t π , 有斜率k 1 2
28；10
求出对应点：
当t
π 时, 2
有
x0
a( π 2
1),
y0 a
5.设f ( x) x x ,则 lim f ( x) 1 , f ( x) x x (ln x 1) . x0
幂指函数求极限：化对数，求指数的极限
lim x ln x
xD
xD
xD
(C)
若
lim
n
an
sup{an}, 则{an}为递增的有界数列.
×
单调有界定理： 递增、有上界 有极限=上确界
(D) 若函数f ( x)在Uo( x0 )上单调递增且有界，函数单调有界定理(Th3.10)
则右极限 lim f ( x) inf f ( x).
x x0
xUo ( x0 )
lim x x e x0
x0
其中 lim x ln x lim ln x lim( x) 0
x0
1 x0
x0
x
幂指函数求导数：化对数，求复合函数的导数
( x x ) (e x ln x ) e x ln x ( x ln x) x x (ln x 1)
36；1
6.试写出（至少两个）闭区间上连续函数所具有的基本性质.
(A) 任意区间[a, b]
(B) [0, 8]
(C) [1, 8]
(D) [8, 0]
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判别法：由罗尔中值定理的三个条件
（1）在闭区间连续； （2）在开区间可导； （3）在端点函数值相等.
45∶5（A3、C1、D1）
4.下列结论中错误的是( C ).
(A) 若f ( x)在x0可导,则在x0连续 √ (B) 若f ( x)在x0连续,则在x0有极限 √ (C) 若f ( x)在x0左右可导,则在x0可导 × (D) 若f ( x)在x0左右连续,则在x0连续 √
x
间断点分类：用左右极限判别
lim sin x 1 x x0
lim sin x 1 x x0
41；1
3.
曲线f ( x)
2x3 3 的斜渐近线是 x2 2x
y 2x 4,
垂直渐近线是 x 0, x 2 .
20；13
求垂直渐近线，一般考虑分式中分母为0的点： lim f ( x) x x0
6.下列叙述正确的是( B ).
× (A) 若x0为f ( x)在区间[a, b]上的最值点，则x0亦为f ( x)的极值点
(B) 若x0为f ( x)在区间(a, b)上的最值点，则x0亦为f ( x)的极值点 × (C) 若x0为f ( x)的极值点且x0 (a, b)，
则x0亦为f ( x)在(a, b)上的最值点
斜渐近线的求法： 先求 lim f (x) k, x x
再求 lim [ f (x) kx] b. x
4.
摆线
x y
a(t a(1
sin t) 在t cos t)
π 2
处的斜率是
1
,
y a x a( π 1)
切线方程是
2
.
根据参数方程的求导公式： dy sin t , dx 1 cos t
n
n
1
lim(1 x) x e (1型)
x0
1
不定式极限： lim (1 x) x (0型) x
方法：用洛必达法则
1
lim 1 ln(1 x )
lim (1 x) x e x x
x
其中 lim x
ln(1 x
x)
lim 1 x 1 x
0，
所以 lim (1 x
1
x)x
e0
1
31；6
2. 函数y sin x 的间断点是 0 ,属于第 一 类间断点.
n
lim (n2 an b) (n2 1) n n2 an b n2 1
lim n
a (b 1) n
1
a n
b n2
1
1 n2
lim n
an (b 1) n2 an b n2 1
a 2
1
36∶14（A5、B3、C6）
3.设f ( x) 3 8x x2 , 则f ( x)满足罗尔中值定理条件的区间是( B ).
判别法：由极限存在、连续、左右连续、可导、左右可导关系
可导 连续 极限存在
左右可导 左右连续
39∶11（A4、B1、D6）
5.设f ( x) 2x 3x 2, 则当x 0时，有( A ).
(A) f ( x)与x是同阶无穷小 lim f ( x) k 0
x0 x
(B) f ( x)是比x低阶无穷小
判别法：由上、下确界的定义及性质
22∶28（A8、B10、C10）
2.若 lim( n2 an b n2 1) 1, 则a, b的值分别是( D ). n
(A) a 1, b 2
(B) a 0, b 2
(C) a 1, b任意
(D) a 2, b任意
判别法：由数列极限计算
lim( n2 an b n2 1)
(C)
f ( x)是比x高阶无穷小
lim
x0
f (x) x
0
(D) f ( x)与x是等价无穷小 lim f ( x) 1
x0 x
判别法：由无穷小的比较，用极限判别
lim 2x 3x 2 lim(2x ln 2 3x ln 3)
x0
x
x0
ln 2 ln 3
31∶19（B2、C14、D3）
数学分析（1） 试卷分析与讲评
2014.2.26
一、选择题
1．下列叙述正确的是 （ D ）．
(A)设S是一个数集，若M 0, x S, 有 x M ,则
sup S M , inf S M .
(B)设f ( x), g( x)为D上有界函数,则
M是最小上界？ × M 是最大下界?
inf{ f ( x) g( x)} inf f ( x) inf g( x). 下确界满足四则运算? ×
× (D) 若f ( x0 ) 0,则x0为f ( x)的极值点 判别法：由最值点、极值点的定义及关系
可能在端点
可导时
最值点 在内部
极值点 f ( x0 ) 0
30∶20（A2、C11、D7）
二、填空题
1
1. lim(1 x) x
e
1
; lim (1 x) x 1
.
x0
x
基本极限： lim(1 1 )n e
有界性、 最值性、 介值性、 一致连续性 单调性 可导 局部保号，保不等式 迫敛
20；12
三、解答题
1.
求极限 lim n
3n 4n
3n1 4n1
L L
32n 42n
.
3n 3n1 L 32n 3n 1 3n1 , 13