人教A版高中数学选修1-2第三章3.1 数系的扩充和复数的概念课件
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人 教 A 版 高中 数学选 修1-2 第三章 3.1 数 系 的 扩 充和复 数的概 念课件 【精品 】
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[变式训练]
1．满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为
A．x＝0且y＝3
B．x＝0且y＝－3
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复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
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3．[变条件]已知z＝log2(1＋m)＋ilog 1 (3－m)(m∈R )，若z是虚
2
数，求m的取值范围．
解：∵z是虚数，∴log1 (3－m)≠0，且1＋m>0，
2
3－m>0， 即3－m≠1，
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[变式训练]
1．[变设问]本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 解：当mm＋2－32≠m0－，15＝0， 即m＝5时，z是实数．
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答案：－1
[系统归纳]
1．数系扩充的脉络 自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集． 2．复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈ R )的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则 不是．
m2－m－6 m＋3
＋(m2－2m－
15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．
[解] (1)当mm＋ 2－32≠m0－，15≠0， 即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当m2m－＋m3－6＝0， m2－2m－15≠0，
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
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1＋m>0，
∴－1<m<2或2<m<3.
∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．
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复数相等及其应用
7 ．1复数的概念
7 ．1.1数系的扩充和复数的概念
新课程标准 1.通过方程的解，认识复数． 2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 新学法解读
1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性． 2.本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键.
[思考发现]
1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是
3．两个复数相等的条件 (1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，
c，d∈R ，即当a，b，c，d∈R 时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b
＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到
“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来 求解．
复数的有关概念
[解] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11， 或xy＝＝－－11.， (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
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[例3] (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－
a 2
x－1＝(10－x－2x2)i有实根，
求实数a的值．
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是0，③为真命题．故选B.
[答案] B
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R 时，a才是z的
实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数
是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所
以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否 定，后肯定”的方法进行解答．
[变式训练]
1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为______． 解析：由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3. 答案：1或－3
2．下列命题正确的是________． ①复数－i＋1的虚部为－1. ②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2. ③任意两个复数都不能比较大小．
[例1] 给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1
虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D来自百度文库3
[解析] 对于①，当z∈R 时，z2≥0成立，否则不成立，如z
＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，
其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部
2．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}， A∩B＝{3}，求实数a的值． 解：由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3， ∴aa22－ －53aa－ －61＝ ＝03， ， 解得a＝－1.
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复数分类解题策略 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应 首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准， 列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
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解析：①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1， z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复 数都是实数，可以比较大小，错误． 答案：①
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复数的分类
[例2]
当m为何实数时，复数z＝
C．x＝5且y＝3
D．x＝3且y＝0
()
解析：依题意得x－＝30＝，8x－y， 解得xy＝＝30.， 故选A.
答案：A
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2．[变设问]本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
解：因为z>0，所以z为实数，需满足
m2m－＋m3－6>0， m2－2m－15＝0，
解得m＝5.
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①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：易知①正确，②③错误，故选A.
答案：A
()
2．在2＋
7
，
2 7
i,8＋5i，(1－
3 )i,0.68这几个数中，纯虚数的
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由纯虚数的定义可知27i, (1－ 3)i是纯虚数．故选C.
答案：C
3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R ，则a2＋b2＝________. 解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋ b2＝5. 答案：5
4．3i2＋7i的实部为________，虚部为________． 解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7. 答案：－3 7
5．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R )满足z<0，则m＝________. 解析：∵z<0，∴z为实数且小于0，∴mm2<－0，1＝0， 解得m＝－1.
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[变式训练]
1．满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为
A．x＝0且y＝3
B．x＝0且y＝－3
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复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
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3．[变条件]已知z＝log2(1＋m)＋ilog 1 (3－m)(m∈R )，若z是虚
2
数，求m的取值范围．
解：∵z是虚数，∴log1 (3－m)≠0，且1＋m>0，
2
3－m>0， 即3－m≠1，
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[变式训练]
1．[变设问]本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 解：当mm＋2－32≠m0－，15＝0， 即m＝5时，z是实数．
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答案：－1
[系统归纳]
1．数系扩充的脉络 自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集． 2．复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈ R )的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则 不是．
m2－m－6 m＋3
＋(m2－2m－
15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．
[解] (1)当mm＋ 2－32≠m0－，15≠0， 即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当m2m－＋m3－6＝0， m2－2m－15≠0，
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
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1＋m>0，
∴－1<m<2或2<m<3.
∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．
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复数相等及其应用
7 ．1复数的概念
7 ．1.1数系的扩充和复数的概念
新课程标准 1.通过方程的解，认识复数． 2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 新学法解读
1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性． 2.本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键.
[思考发现]
1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是
3．两个复数相等的条件 (1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，
c，d∈R ，即当a，b，c，d∈R 时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b
＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到
“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来 求解．
复数的有关概念
[解] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11， 或xy＝＝－－11.， (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
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[例3] (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－
a 2
x－1＝(10－x－2x2)i有实根，
求实数a的值．
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是0，③为真命题．故选B.
[答案] B
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R 时，a才是z的
实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数
是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所
以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否 定，后肯定”的方法进行解答．
[变式训练]
1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为______． 解析：由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3. 答案：1或－3
2．下列命题正确的是________． ①复数－i＋1的虚部为－1. ②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2. ③任意两个复数都不能比较大小．
[例1] 给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1
虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D来自百度文库3
[解析] 对于①，当z∈R 时，z2≥0成立，否则不成立，如z
＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，
其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部
2．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}， A∩B＝{3}，求实数a的值． 解：由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3， ∴aa22－ －53aa－ －61＝ ＝03， ， 解得a＝－1.
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人 教 A 版 高中 数学选 修1-2 第三章 3.1 数 系 的 扩 充和复 数的概 念课件 【精品 】
复数分类解题策略 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应 首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准， 列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
人 教 A 版 高中 数学选 修1-2 第三章 3.1 数 系 的 扩 充和复 数的概 念课件 【精品 】
解析：①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1， z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复 数都是实数，可以比较大小，错误． 答案：①
人 教 A 版 高中 数学选 修1-2 第三章 3.1 数 系 的 扩 充和复 数的概 念课件 【精品 】
复数的分类
[例2]
当m为何实数时，复数z＝
C．x＝5且y＝3
D．x＝3且y＝0
()
解析：依题意得x－＝30＝，8x－y， 解得xy＝＝30.， 故选A.
答案：A
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2．[变设问]本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
解：因为z>0，所以z为实数，需满足
m2m－＋m3－6>0， m2－2m－15＝0，
解得m＝5.
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①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：易知①正确，②③错误，故选A.
答案：A
()
2．在2＋
7
，
2 7
i,8＋5i，(1－
3 )i,0.68这几个数中，纯虚数的
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由纯虚数的定义可知27i, (1－ 3)i是纯虚数．故选C.
答案：C
3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R ，则a2＋b2＝________. 解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋ b2＝5. 答案：5
4．3i2＋7i的实部为________，虚部为________． 解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7. 答案：－3 7
5．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R )满足z<0，则m＝________. 解析：∵z<0，∴z为实数且小于0，∴mm2<－0，1＝0， 解得m＝－1.