数值分析幂法求矩阵特征值
幂法求矩阵最大特征值
幂法求矩阵最大特征值摘要在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。
幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。
对于稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。
用java来编写算法。
这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。
其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。
关键词：幂法；矩阵最大特征值；j ava；迭代POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUMEIGENV ALUE MATRIXABSTRACTIn physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem.Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed.Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results.Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration目录1幂法 (1)1.1 幂法基本思想 (1)1.2规范化 (2)2概要设计 (3)2.1 设计背景………………..…………………………………………………………. .32.2 运行流程 (3)2.3运行环境 (3)3 程序详细设计 (4)3.1 第一部分：矩阵转化为线性方程组……..………………………………………. .43.2 第二部分：特征向量的极大值 (4)3.3 第三部分：求幂法函数块 (5)4 运行过程及结果 (6)4.1 运行过程.........................................................………………………………………. .64.2 运行结果 (6)4.3 结果分析 (6)5 心得体会 (7)参考文献 (8)附录：源程序 (9)1 幂法设A n 有n 个线性相关的特征向量v 1，v 2，…，v n ，对应的特征值λ1，λ2，…，λn ，满足|λ1| > |λ2| ≥ …≥ |λn |1.1 基本思想因为{v 1，v 2，…，v n }为C n的一组基，所以任给x (0)≠ 0，∑==ni i i v a x 1)0( —— 线性表示所以有])([)(21111111)0(∑∑∑∑====+====ni ii ki kni k k i i ni ik i n i i i kk v a v a v a v A a v a A xA λλλλ若a 1 ≠ 0，则因11<λλi 知，当k 充分大时 A (k )x (0) ≈ λ1ka 1v 1 = cv 1 属λ1的特征向量,另一方面，记max(x ) = x i ，其中|x i | = ||x ||∞，则当k 充分大时，111111*********)0(1)0()max()max()max()max()max()max(λλλλλ==≈---v a v a v a v a x A x A k kk k k k若a 1 = 0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v 1方向上的分量不为0，迭代下去可求得λ1及对应特征向量的近似值。
数值分析幂法和反幂法
k=k+1;
end
在matlab输入面板，输入
A=rand（4）；%产生一个4维随机矩阵
B=A+A’；
u=[1 1 1 1]’;%设立初始向量
[m,u,index,k]=pow(B，u,ep,it_max)%最多可省略2个参数
程序结束。
在M文件中可以通过改变m0的值改变原点位移，从而达到原点位移加速。
m =
2.6814
u =
0.8576
0.6934
0.5623
1.0000
index =
0
k =
1001
修改M0=0
m =
2.6820
u =
0.8577
0.6937
0.5624
1.0000
index =
1
k =
7
总结以上,幂法如下：
U
m0
m
u
index
k
[1 1 1 1]
0.0001
2.6813
[0.8576 0.6934 0.5623 1.0000]
2、对于幂法的定理
按式（1）计算出m 和u 满足
m = , u =
（二）反幂法算法的理论依据及推导
反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对幂法的修改，可以给出更快的收敛性。
1、反幂法的迭代格式与收敛性质
设A是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为
| |≥| |≥…≥| |>| |
反幂法程序设计代码：
在matlab中建立一个M文件并保存。
%pow_inv.m
function[m,u,index,k]=pow_inv(A,u,ep,it_max)
数值分析QR方法求矩阵特征值和特征向量
四.实验代码: function [H,B]=Hessenberg(A) n=length(A);B=eye(n);for k=1:n-2X=zeros(n-k,1);H=eye(n);for i=1:n-kX(i)=A(i+k,k);enda=max(abs(X));if a==0.0breakendX=X/a;c=X(1);b1=sqrt(sum(X.^2));if X(1)>=0b1=-b1;endX(1)=X(1)-b1;b=b1^2-b1*c;H0=eye(n-k)-X*X'/b;for i=1:n-kfor j=1:n-kH(i+k,j+k)=H0(i,j);end endA=H*A*H;B=B*H;endH=A;一.实验题目:QR方法求矩阵的特征和特征向量二.设计目的:学会利用镜面变换进行矩阵的QR分解及利用将幂法求特征值和特征向量,熟悉Matlab编程环境。
三.设计原理:利用镜像变换将A相似变换为Hessenberg B矩阵。
记录变换矩阵。
运用Householder矩阵进行QR分解,QR方法为:B1=BB1=Q1R1B2=R1Q1....Bm=QmRmBm+1=RmQmBm+1与Bm相似,从而特征值相等。
再利用原点位移的反幂法求B(或A)的特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量,也可用来计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。
设A∈R n×n为非奇异矩阵,A 的特征值依次记为|λ1|≥|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |,相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n,则A-1的特征值为|1/λn|≥|1/λn-1|≥…≥|1/λ1 | ,相应的特征向量为x n ,x.所以计算A的按模最小的特征值λn的问题就是计算n-1,…,x1A-1的按模最大的特征值问题。
对于A-1应用幂法迭代(称为反幂法),可求得矩阵A-1的主特征值1/λn,从而求得A的按模最小的特征值λn。
特征值和特征向量计算的数值方法
特征值和特征向量计算的数值方法在数学和计算机科学领域中，特征值和特征向量是非常重要的概念。
特征值和特征向量的计算有许多不同的数值方法，本文将介绍其中一些常见的数值方法，并分析它们的优劣和适用范围。
一、特征值和特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，那么称v为矩阵A的特征向量，λ为矩阵A的特征值。
特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的性质以及解决一些实际问题。
二、幂法幂法是计算特征值和特征向量的常用数值方法之一。
幂法的基本思想是通过多次迭代，逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
具体操作如下：1. 初始化一个非零向量b0；2. 进行迭代计算：bi+1 = A * bi / ||A * bi||；3. 取出近似特征向量的最后一列：v = bn；4. 进行迭代计算特征值：λ = (Av)T * v / (vT * v)。
幂法的主要优点是简单易懂，且只需要进行矩阵向量乘法和内积计算。
然而，幂法仅能求取具有最大特征值的特征向量，而且对于存在多个特征值相等的情况并不适用。
三、反幂法反幂法是幂法的一种改进方法，用于求取矩阵A的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的基本步骤如下：1. 初始化一个非零向量b0；2. 进行迭代计算：bi+1 = (A - μI)^-1 * bi / ||(A - μI)^-1 * bi||；3. 取出近似特征向量的最后一列：v = bn；4. 进行迭代计算特征值：λ = (Av)T * v / (vT * v)。
反幂法的改进之处在于引入了矩阵的逆运算，通过使用矩阵A减去一个合适的常数μ乘以单位矩阵来实现。
反幂法适用于矩阵A的特征值接近于μ的情况。
四、QR方法QR方法也是一种常用的特征值计算方法，它适用于求解所有特征值以及对应的特征向量。
QR方法的基本思想是将一个矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，然后迭代地将矩阵A转化为更接近上三角形的形式。
幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,211.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈?+++======∑∑Λ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ===+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。
2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<="">t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<n< p="">k=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。
幂法求矩阵主特征值
幂法求矩阵主特征值幂法是一种用于求解矩阵的主特征值的迭代方法，它基于以下原理：对于一个矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数值λ，使得Ax=λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应的特征向量。
幂法的基本思想是通过不断迭代，找到一个与特征值最接近的数值和向量对。
算法步骤如下：1.随机选择一个与A的列数相同的初始向量x(0)，并对其进行归一化。
2.计算x(k+1)=Ax(k)，得到下一轮的向量。
3.归一化x(k+1)，得到新的归一化向量y(k+1)。
4.利用归一化向量y(k+1)和x(k)的比值，计算相应的数值s(k+1)，即s(k+1)=(y(k+1)Tx(k))/(x(k)Tx(k))。
5.重复步骤2-4，直到迭代收敛，即当s(k+1)-s(k)小于一个给定的收敛值时停止。
6.返回最终的向量x(k)和数值s(k)。
幂法的收敛性和精确性与矩阵A的特征值和特征向量的相对大小有关。
在理论上，当迭代次数足够多时，幂法可以找到矩阵A的绝对值最大的特征值，并得到一个与之对应的特征向量。
在实际应用中，幂法有一些限制和局限性。
首先，幂法只能求解具有主特征值的矩阵，即矩阵A必须具有一个特征值的绝对值大于其他特征值的情况。
其次，幂法可能无法收敛，或者得到的结果可能并不是矩阵的主特征值。
为了克服这些限制，可以使用改进的幂法，如反幂法或位移幂法。
反幂法使用矩阵的倒数作为迭代的基础，可以求解矩阵的最小特征值。
位移幂法通过对矩阵进行平移或缩放，可以使得矩阵A的主特征值接近一些预先给定的值。
总结起来，幂法是一种简单而有效的方法，用于求解矩阵的主特征值。
尽管幂法存在一些限制，但在实践中，它仍然是一种常用的迭代方法，用于估计矩阵的特征值和特征向量。
北航数值分析计算实习题目一 幂法 反幂法 求矩阵特征值
《数值分析》计算实习题目第一题：1. 算法设计方案（1）1λ，501λ和s λ的值。
1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。
2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。
因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。
（2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。
通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。
（3）2cond(A)和det A 。
1）1=nλλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。
2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。
由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。
2.全部源程序#include <stdio.h>#include <math.h>void init_a();//初始化Adouble get_an_element(int,int);//取A 中的元素函数double powermethod(double);//原点平移的幂法double inversepowermethod(double);//原点平移的反幂法int presolve(double);//三角LU 分解int solve(double [],double []);//解方程组int max(int,int);int min(int,int);double (*u)[502]=new double[502][502];//上三角U 数组double (*l)[502]=new double[502][502];//单位下三角L 数组double a[6][502];//矩阵Aint main(){int i,k;double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;double lambda[40];init_a();//初始化Alambdat1=powermethod(0);lambdat2=powermethod(lambdat1);lambda1=lambdat1<lambdat2?lambdat1:lambdat2;lambda501=lambdat1>lambdat2?lambdat1:lambdat2;presolve(0);lambdas=inversepowermethod(0);det=1;for(i=1;i<=501;i++)det=det*u[i][i];for (k=1;k<=39;k++){mu[k]=lambda1+k*(lambda501-lambda1)/40;presolve(mu[k]);lambda[k]=inversepowermethod(mu[k]);}printf("------------所有特征值如下------------\n");printf("λ=%1.11e λ=%1.11e\n",lambda1,lambda501);printf("λs=%1.11e\n",lambdas);printf("cond(A)=%1.11e\n",fabs(lambdat1/lambdas));printf("detA=%1.11e \n",det);for (k=1;k<=39;k++){printf("λi%d=%1.11e ",k,lambda[k]);if(k % 3==0) printf("\n");} delete []u;delete []l;//释放堆内存return 0;}void init_a()//初始化A{int i;for (i=3;i<=501;i++) a[1][i]=a[5][502-i]=-0.064;for (i=2;i<=501;i++) a[2][i]=a[4][502-i]=0.16;for (i=1;i<=501;i++) a[3][i]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i); }double get_an_element(int i,int j)//从A中节省存储量的提取元素方法{if (fabs(i-j)<=2) return a[i-j+3][j];else return 0;}double powermethod(double offset)//幂法{int i,x1;double u[502],y[502];double beta=0,prebeta=-1000,yita=0;for (i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0;//设置初始向量u[]for (int k=1;k<=10000;k++){yita=0;for (i=1;i<=501;i++) yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u[i]);for (i=1;i<=501;i++) y[i]=u[i]/yita;for (x1=1;x1<=501;x1++){u[x1]=0;for (int x2=1;x2<=501;x2++)u[x1]=u[x1]+((x1==x2)?(get_an_element(x1,x2)-offset):get_an_element(x1,x2))*y[x2] ;}prebeta=beta;beta=0;for (i=1;i<=501;i++) beta=beta+ y[i]*u[i];if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) {printf("offset=%f lambda=%f err=%e k=%d\n",offset,(beta+offset),fabs((prebeta-beta)/beta),k);break;};//输出中间过程,包括偏移量,误差,迭代次数}return (beta+offset);}double inversepowermethod(double offset)//反幂法{int i;double u[502],y[502];double beta=0,prebeta=0,yita=0;for (i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0; //设置初始向量u[]for (int k=1;k<=10000;k++){yita=0;for (i=1;i<=501;i++) yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u[i]);for (i=1;i<=501;i++) y[i]=u[i]/yita;solve(u,y);prebeta=beta;beta=0;for (i=1;i<=501;i++) beta=beta+ y[i]*u[i];beta=1/beta;if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) {printf("offset=%f lambda=%f err=%e k=%d\n",offset,(beta+offset),fabs((prebeta-beta)/beta),k);break;};//输出中间过程,包括偏移量,误差,迭代次数}return (beta+offset);int presolve(double offset)//三角LU分解{int i,k,j,t;double sum;for (k=1;k<=501;k++)for (j=1;j<=501;j++){u[k][j]=l[k][j]=0;if (k==j) l[k][j]=1;} //初始化LU矩阵for (k=1;k<=501;k++){for (j=k;j<=min(k+2,501);j++){sum=0;for (t=max(1,max(k-2,j-2)) ; t<=(k-1) ; t++)sum=sum+l[k][t]*u[t][j];u[k][j]=((k==j)?(get_an_element(k,j)-offset):get_an_element(k,j))-sum;}if (k==501) continue;for (i=k+1;i<=min(k+2,501);i++){sum=0;for (t=max(1,max(i-2,k-2));t<=(k-1);t++)sum=sum+l[i][t]*u[t][k];l[i][k]=(((i==k)?(get_an_element(i,k)-offset):get_an_element(i,k))-sum)/u[k][k];}}return 0;}int solve(double x[],double b[])//解方程组{int i,t;double y[502];double sum;y[1]=b[1];for (i=2;i<=501;i++){sum=0;for (t=max(1,i-2);t<=i-1;t++)sum=sum+l[i][t]*y[t];y[i]=b[i]-sum;}x[501]=y[501]/u[501][501];for (i=500;i>=1;i--){sum=0;for (t=i+1;t<=min(i+2,501);t++)sum=sum+u[i][t]*x[t];x[i]=(y[i]-sum)/u[i][i];}return 0;}int max(int x,int y){return (x>y?x:y);}int min(int x,int y){return (x<y?x:y);}3.计算结果结果如下图所示:部分中间结果：给出了偏移量(offset)，误差(err)，迭代次数(k)4.讨论迭代初始向量的选取对计算结果的影响,并说明原因使用u[i]=1（i=1,2,...,501）作为初始向量进行迭代，可得出以上结果。
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中，幂法（Power method）和反幂法（Inverse Power method）是求解矩阵的特征值和特征向量的两种常用方法。
它们都是通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
1.幂法：幂法是求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。
幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵相乘，使其逼近对应最大特征值的特征向量。
幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{Ax^{(k)}}{\，Ax^{(k)}\，}$幂法的迭代过程是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最大特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最大特征值的估计。
2.反幂法：反幂法是幂法的一种变形，用于求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵的逆相乘，使其逼近对应最小特征值的特征向量。
反幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{A^{-1}x^{(k)}}{\，A^{-1}x^{(k)}\，}$反幂法的迭代过程同样是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最小特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最小特征值的估计。
3.收敛性分析：幂法和反幂法的收敛性分析与矩阵的特征值分布有关。
对于幂法而言，如果矩阵$A$的最大特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值小于最大特征值的绝对值，那么幂法是收敛的，而且收敛速度是指数级的。
对于反幂法而言，如果矩阵$A$的最小特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值大于最小特征值的绝对值，那么反幂法是收敛的，而且同样是指数级的收敛速度。
4.实际应用：幂法和反幂法在实际中广泛应用于各个领域，例如物理、工程、计算机科学等。
比如在结构力学中，幂法可以用来求解结构的自振频率和相应的振型；在电力系统中，反幂法可以用来求解电力系统决定性特征值，例如功率稳定性的最小特征值。
数值分析矩阵特征值特征向量计算
vk1 Auk
lim
k
uk
x1 x1
11
幂法
1 的计算
uk
vk Akv0
vk vk 1
Akv0
Auk
Ak 1v0 Akv0
k1 1
1 x1
n i2
i
i 1
k 1
xi
1k
1 x1
n
i
i2
i 1
k
xi
lim
k
vk
1
12
改进的幂法
改进的幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
2 jn 1 p 1
用幂法计算矩阵 B 的主特征值：1 - p
保持主特征值 加快收敛速度
15
举例
例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取 p=0.75
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
16
反幂法
反幂法
计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量
0.5 0.25 2.0
14
幂法的加速
幂法的收敛速度取决于
r的大小2 1
当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！
幂法的加速：原点平移法
带位移的幂法
令 B = A – pI，则 B 的特征值为：i - p
选择适当的 p 满足：
(1) | 1 p || j (pj |= 2, ... , n ) (2) max j p 2
数值分析
第八章 矩阵特征值计算
—— 幂法与反幂法
1
本章内容
数值分析课件第8章 矩阵特征值问题计算
特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
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证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即 Ax=λx，其中x=(x1,x2,, xn)T0.
记 xk max xi x 1 i n 方程，即
0 ，考虑Ax=λx的第k个
i 1
i 1 i 1
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定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵
P使B=P-1AP），则 ⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量.
定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶
Rii是A的实特征值，每个二阶对角块Rii的两个特征值
是 A的两个共轭复特征值.
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我们转向实Schur型的实际计算. 定义4 设A∈Rn×n为对称矩阵，对于任一非零 向量x，称 ( Ax, x ) R( x ) , ( x, x ) 为对应于向量x的瑞利(Rayleigh)商. 定理11 设A∈Rn×n为对称矩阵(其特征值次序记 为λ1≥λ2≥≥λn)，则 ( Ax , x ) 1. n 1 (对任何非零x∈Rn)； ( x, x ) 2. 3.
x0为Rn中任一向量，则有
x i xi ,
i 1 n
x2
n
i 1
n
2 i
0.
于是
( Ax, x ) n ( x, x )
2 i i i 1 n 2 i i 1
用幂法求矩阵a的按模最大特征值的方法
幂法是一种特征值问题的迭代方法，主要用于求矩阵的按模最大的特征值以及对应的特征向量。
以下是使用幂法求解矩阵 A 的按模最大特征值的步骤：
步骤 1: 选择一个初始向量 x0 （一般为非零向量）。
步骤 2: 对于k的每一个正整数值，重复以下步骤：
(a) 计算 yk = Axk.
(b) 计算λk = yk / xk （这是yn的一个比例因子，λk可能就是特征值）。
对应的λk是按模最大的特征值的估计值。
(c) 更新 xk+1 = yk / ||yk|| （这是将向量yk归一化得到的结果）。
步骤 3: 一直迭代，直到满足某个终止条件，如λk 或 xk 的连续两次估计之间的差值小于前记设定的阈值，则停止迭代。
注意幂法并不能求出所有的特征值和特征向量，只能求出按模最大的特征值以及对应的特征向量。
以上算法中，每一次迭代都计算一次矩阵-向量积，所以时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是矩阵的维度。
这就是应用幂法求解矩阵按模最大特征值的基本方法。
对于不同的矩阵和初值，其收敛性会有所不同，可能需要应用一些变种，如反幂法、加速幂法等。
数值分析(29)代数特征值问题(幂法)
（2）1 2 , 1 3 , 且矩阵A有n个线性无关的特征向量。 y
(k )
数值分析
[1 x
k 1
(1)
( 1) 2 x
k
(2)
由上式可知， y ( k ) 是个摆动序列，当k 充分大时，有 x (2k 1) 12 k 1 (1 x (1) 2 x (2) ) yi ( k 2) 12 ( k ) yi 又由
由 2.9996973 2.9990924 0.0006049 103 . 故1 2.9996973. x (1) (2.8436517, 2.9993946, 2.9996973)。 事实上，A的特征值1 3, 2 2, 3 1， 与1 对应的特征向量为（，1,1 1 - ）。
n i k i k (i ) lim( ) i x 0 lim ( ) i x ( i ) 0 k k i 2 1 1
故只要k充分大，就有 y
(k )
[1 x
k 1
(1)
i k ( ) i x ( i ) ] 1k1 x (1) i 2 1
数值分析
数值分析
2 1 0 例：用幂法求矩阵A 0 2 1 的按模 0 1 2 最大的特征值和相应的特征向量。 取y ( 0 ) ( 0, 0,1)T , 10 3. 解： Z ( 0 ) y ( 0 ) ( 0, 0,1)T , y (1) AZ ( 0 ) ( 0, 1, 2)T , C 2, y (1) Z (1) ( 0, 0.5,1)T , C y ( 2 ) AZ (1) ( 0.5, 2, 2.5)T ,
1 yi( k 1) / yi( k ) , 相应的特征向量为y ( k＋1)。
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序
矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。
矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。
其基本思想是任取一个非零的初始向量。
由所求矩阵构造一向量序列。
再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。
本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。
计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。
然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。
关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximumc haracteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix ；Eigenvalue ；Eigenvector ；Iteration methods;目录1引言 (1)2相关定理。
用幂法求解矩阵特征值和特征向量
x= -0.3930 -0.9774 0.2921 1.0000 第五题 A=[-1 2 1; 2 -4 1; 1 1 -6 ]; v0=[1 1 1]'; tol=1e-4; [lda,x]=mifa(A,v0,tol) lda = -6.4209
第4页
数值分析实验指导
x= -0.0463 -0.3746 000
( 1, 0, 1, 0, 0, 1 )T 105
1 21.30525 6 1.62139 x1 0.8724,0.5401,0.9973,0.5644,0.4972,1.0 T
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数值分析实验指导
2 1 1 2 1 （3） A= 1 2 1 1 2 1 1 2 T 0 104 取 =( 1, 1, 1, 1, 1 ) 参考结果： 3.7321 3 4 2 1 1 3 1 5 （4） A= 3 1 6 2 4 5 2 1 T 2 取 0 =( 1, 1, 1, 1 ) ， 10 。
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数值分析实验指导
x= 0.5000 -0.8660 1.0000 -0.8660 0.5000 第四题 A=[2 1 3 4; 1 -3 1 5; 3 1 6 -2; 4 5 -2 -1 ]; v0=[1 1 1 1]'; tol=1e-2; [lda,x]=mifa(A,v0,tol) lda = -8.0136
下面再考虑主特征值 1 的的计算，用 (vk )i 表示 vk 的第 i 个分量，则
( x ) ( k 1 )i (vk 1 )i 1 1 1 i , (vk )i 1 ( x1 )i ( k )i
故
幂法求矩阵A按模最大的特征值及其特征向量
幂法求矩阵A按模最大的特征值及其特征向量幂法（Power Method）是一种求解矩阵特征值的迭代算法，在数值线性代数中被广泛使用。
它利用矩阵的特征向量的特性，通过迭代过程逼近矩阵按模最大的特征值及其对应的特征向量。
假设我们要求解一个n阶矩阵A的按模最大的特征值及其特征向量，其中特征值的绝对值最大，特征向量对应的是这个特征值。
我们设矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为x。
幂法的基本思想是：通过连续的矩阵向量乘法，不断迭代一个向量，使其逼近于x。
迭代过程中，向量的每个元素都会趋近于特征向量对应的分量，最终收敛到x。
下面是幂法的具体步骤：1.选择一个初始向量b0，可以是任意向量，但最好与特征向量接近。
2.进行迭代过程，直到满足终止条件：a) 计算向量bn（第n次迭代）：bn = Abn-1b) 计算归一化因子：cn = ，bn，（向量bn的欧几里得范数）c) 归一化向量：xn = bn / cn（将向量bn除以归一化因子，得到归一化向量）3. 判断是否满足收敛要求，如果满足，算法终止，特征值λ的近似值为λ≈cn，特征向量x的近似值为x≈xn。
接下来，我们通过一个数值示例来说明幂法的计算过程。
假设有以下3x3矩阵A：A=[0.80.30.2]0.10.70.40.10.00.5我们将使用幂法来计算矩阵的按模最大的特征值及其特征向量。
步骤1：选择初始向量b0。
我们选择初始向量为b0=[1,1,1]，即x 的两个分量值为1步骤2：进行迭代过程。
a)计算向量b1：b1=Ab0b1=[0.8*1+0.3*1+0.2*1,0.1*1+0.7*1+0.4*1,0.1*1+0.0*1+0.5*1] =[1.3,1.9,0.6]b)计算归一化因子c1：c1=，b1，=√(1.3^2+1.9^2+0.6^2)≈2.498c)归一化向量：x1=b1/c1x1=[1.3/2.498,1.9/2.498,0.6/2.498]=[0.520,0.760,0.240]步骤3：判断是否满足收敛要求。
matlab幂法求特征值和特征向量方法实现和函数表示
matlab幂法求特征值和特征向量方法实现和函数表示1. 引言在数值分析中，求解特征值和特征向量是一项重要而且经常出现的任务。
特征值和特征向量在矩阵和线性代数中有着广泛的应用，涉及到许多领域，如机器学习、信号处理、结构动力学等。
在matlab中，幂法是一种常用的求解特征值和特征向量的方法，同时也有对应的函数可以实现这一过程。
2. 幂法的原理幂法是一种迭代方法，它利用矩阵的特征值和特征向量的性质，通过不断地迭代计算，逼近矩阵的主特征值和对应的特征向量。
具体来说，假设A是一个n阶矩阵，它的特征值λ1>λ2≥...≥λn，并且对应着线性无关的特征向量v1,v2,...,vn。
如果选择一个任意的非零初始向量x0，并进行以下迭代计算：```x(k+1) = Ax(k) / ||Ax(k)||```其中，||.||表示向量的模长。
不断迭代计算后，x(k)将收敛到矩阵A的主特征向量v1上，并且相应的特征值即为A的主特征值λ1。
3. matlab实现幂法求解特征值和特征向量在matlab中，幂法的实现也非常简单。
可以使用自带的eig函数，该函数可以直接求解矩阵的特征值和特征向量。
使用方法如下：```[V,D] = eig(A)```其中，A为待求解的矩阵，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。
利用eig函数，即可一步到位地求解矩阵的特征值和特征向量，非常简单方便。
4. 函数表示幂法求解特征值和特征向量的过程可以表示为一个matlab函数。
通过封装相关的迭代算法和收敛判据，可以方便地实现幂法的函数表示。
可以定义一个名为powerMethod的函数：```matlabfunction [lambda, v] = powerMethod(A, x0, maxIter, tol)% 初始化k = 1;x = x0;% 迭代计算while k <= maxItery = A * x;lambda = norm(y, inf);x = y / lambda;% 检查收敛性if norm(A * x - lambda * x) < tolbreak;endk = k + 1;endv = x;end```利用这个函数，就可以自己实现幂法求解特征值和特征向量的过程。
[数值算法]求矩阵的最大特征值的幂法
![[数值算法]求矩阵的最大特征值的幂法](https://img.taocdn.com/s3/m/b703469e915f804d2a16c172.png)
{
assertF(listNotZero(listU,size),"in the core of powerMethodForLamda list U is NULL\n");
assertF(listNotZero(listV,size),"in the core of powerMethodForLamda list V is NULL\n");
preMax=maxAbsValInList(listU,size);
matirxBy2DWith1DCol(matrixA,listV,listU,size,size);
tmpData=1/maxAbsValInList(listU,size);
numByList(tmpData,listU,listV,size);
[数值算法]求矩阵的最大特征值的幂法.
对于工程计算而言，矩阵的特征值和特征向量都是相当重要和常见的数据，这里给出的幂法是一种常见的求解方法，用的是迭代的思想。
符号说明:
1A为待求的矩阵，
2Uk，Vk为迭代用的列向量。
3最后的最大特征值maxLamda由最后一次的max(Uk)-----求Uk中的绝对值最大的元素的绝对值.所决定。
?
?
还有，我在写一些程序段的时候对待外部传进的指针采用如下处理手段(纯C条件下)
除非这个函数有特殊的作用，如申请内存，或要读入外部文本内容到二维指针等。其余的情况，一律不对外部指针进行任何申请或释放内存的处理。
对于要保护数据的外部传入指针，则在函数内部再做一个局部指针，在函数结尾释放.
对局部指针的操作，也仅限于赋值，而绝对不要用外部传入针指去指向它（即赋一个临时区的地址给外部的指针变量），这当然是错误的。
数值分析-第四章矩阵特征值与特征向量的计算2017秋
1 9 2.9996952.
12
幂法的加速—Aitken加速法
若 {ak} 线性收敛于a, 即
lim ak1 a C 0 k ak a 当 k 充分大时，有
ak1 a ak2 a ak a ak1 a
a
ak
(ak1 ak ak2 2ak1
涉及知识：乘幂法
22
上机作业
• 第121页第2题.
23
如果x(0)的选取恰恰使得t1=0, 幂法仍能进行. 因为 计算过程中会有舍入误差, 迭代若干次后, 必然会产 生一个向量x(k), 它在u1方向上的分量不为零, 这样以 后的计算就满足所设条件.
因为 x(k) 1kt1u1, 计算过程中可能会出现上溢 (|1|>1)或下溢成为0 (|1|<1). 为避免出现这一情形, 实
Ak1 x(0)
在一定条件下, 当k充分大时:
1
x ( k 1) i xi(k )
相应的特征向量为: x(k1) 4
幂法的理论依据
n
对任意向量x(0), 有 x(0) tiui ,
i 1
x(k1) Ax(k ) Ak1 x(0)
设t1不为零.
n
)2 ak
13
把上式右端记为 aˆk
aˆk
ak
(ak1 ak )2 ak2 2ak1 ak
可以证明
lim k
aˆk
a,
klim
aˆk ak
a a
0.
即 aˆk a 比 ak a 快.
用 aˆk 逼近a, 这就是Aitken加速法.