应力张量例题
应力张量例题
= −ab
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特 、 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向， 此定义了应力的状态。 此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应 、判断两个应力的状态是否相同， 的三个主不变量是否相同来实现。 的三个主不变量是否相同来实现。
2 2
2
=±
5 14 3
二、几种重要应力的计算
等效应力
σ=
3 3 1 τ8 = ± 350 = 5 7 2 2 3
MPa
几种重要应力计算问题小 结
要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、 要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八 面体应力、等效应力的计算方法。 面体应力、等效应力的计算方法。
n3 = 0
τ max =
八面体应力
1 (σ max − σ min ) = 1 (10 − (−5) ) = 7.5 MPa 2 2
1 3
σ 8 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = (10 + 0 − 5) = 1.67 MPa
τ8 = ±
1 3
1 3
(σ 1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
一、应力张量不变量及其应用
知识要点回顾 二阶张量的定义: 二阶张量的定义
Pkr = Pij lki lrj
( i, j =1,2,3; k,r =1′ ,2′,3′)
P 11 P 21 P31 P 12 P22 P32 P 13 P23 P33
弹性与塑性力学第2,3章习题答案
第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000（应力单位） 求出：（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。
解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nT i ，得n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 nT 3=σ3j n j =157.31所以，应力矢量nT 的大小为=nT [(nT 1 )2+(nT 2 )2+(nT 3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。
从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。
将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， 0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。
(d ）由式（2.96），可算σotc =1/3（0+100+300）=133.3τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。
弹性与塑性力学第2,3章习题答案
第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000（应力单位） 求出：（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。
解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nT i ，得n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 nT 3=σ3j n j =157.31所以，应力矢量nT 的大小为=nT [(nT 1 )2+(nT 2 )2+(nT 3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。
从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。
将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， μ0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。
(d ）由式（2.96），可算σotc =1/3（0+100+300）=133.3τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。
张量分析与材料应力张量习题解答
练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。
5. 证明ijkmik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
应力张量例题
2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
？ 2
12l 2
2 2
m2
32n2
1l2 2m2 3n2
2
最大切应力计算公式
max
1 2
max min
二、几种重要应力的计算
2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。
应力状态特征方程 齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
3 J1 2 J2 2 J3 0
x l yxm zxn 0
xyl y m zyn 0
二、几种重要应力的计算
例题解答 1) 画出该点的应力单元体 z
O x
5 -5 -5 5
-5 y
二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
计算应力张量的三个主不变量
J1 x y z 55 5 5
J2
x yx
xy y y zy
216m21 32n22
2 2
3
2
3
1
2
1 3
1
2
1 3
2
2
1 3
3
2
1 3
1
2
参考答案(第5章)
第二组的应变分量为：
ε x = a2 + 2a4 x + a5 y, γ xy = γ yx = ε y = a9 , γ yz = γ zy = 0 ε z = 0, γ zx = γ xz = 0
1 ( a3 + a5 x + 2a6 y + a8 + 2a10 x + a11 y )⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
−6
( ) = ( −320 − 32 5 ) × 10
10. 根据柯西方程，得到第一组的应变分量为：
1 ( a3 + a5 )⎫ ⎪ 2 ⎪ ε y = a6 , γ yz = γ zy = 0 ⎬ ⎪ ε z = 0, γ zx = γ xz = 0 ⎪ ⎭
ε x = a2 , γ xy = γ yx =
1.
该斜面的方向余弦为： l =
1 3 1 ,m = ,n = 11 11 11 50 70 30 , Sy = , Sz = 11 11 11
根据公式得到该斜面的应力分量为： S x = 正应力为： σ = S N = S xl + S y m + S z n = 切应力为：τ = 2.
290 ≈ 26.3MPa 11
11. 根据应变定义，得到应变张量为：
⎡εx 0 ε ij = ⎢ 0 ε y ⎢ ⎢ ⎣γ zx 0
得到三个应变不变量为：
γ xz ⎤
0⎥ ⎥ εz ⎥ ⎦
I1 = ε x + ε y + ε z
2 I 2 = ε xε y + ε y ε z + ε z ε x − γ x z 2 I 3 = ε xε yε z − ε yγ xz
第二章-应力分析-例题-东北大学课件
2019年固体力学与岩石力学基础例题第二章 应力分析例题2.1 设某点的应力张量为012120201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭σ试求过该点平面12331x x x ++=上的应力矢量，并求正应力矢量和切应力矢量。
解：设该平面的法线矢量为：v =(l ，m ，n)由几何关系知：l 1=m 3=n 1联立方程：l 2+m 2+n 2=1于是解得：l =√1111，m =3√1111，n =√1111所以，该平面上的应力矢量的三个分量分别为：T x =σx l +τyx m +τzx n =0×√1111+1×3√1111+2×√1111=5√1111 T y =τyx l +σy m +τzy n =1×√1111+2×3√1111+0×√1111=7√1111 T z =τzx l +τzy m +σz n =2×√1111+0×3√1111+1×√1111=3√1111该平面的法向应力和切向应力为：σv =T x l +T y m +T z n =5√1111×√1111+7√1111×3√1111+3√1111×√1111=2911τv 2=T v 2−σv 2=8311−841121=72121τv =6√211解答完毕。
例题2.2 设有图2.1示三角形水坝，试列出OP 面（光滑面）的应力边界条件。
图2.1解：在OP 面上有应力边界条件：(σx1x2)x1=0=γx 2 (τx1x2)x1=0=0式中，γ为水的比重。
解答完毕。
例题2.3 已知一点的应力张量为2201211210σ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭过该点的一个作用面，作用面上的应力矢量=N 0，求： 1）22σ；2）作用面法线与坐标系的夹角余弦(,,)l m n 。
解：由于具有一个平面，使得在过改点的一个平面上，应力矢量为0，即：0×l +1×m +2×n =0 1×l +σ22×m +1×n =0 2×l +1×m +0×n =0又根据几何关系：l 2+m 2+n 2=1解得：σ22=12l =√66 m =−√63n =√66解答完毕。
塑性力学习题
习题及思考题 7-1． 接触摩擦对塑性变形过程有哪些影响？压力加工中摩擦可分为哪几种类型？各类型有什么特点？ ７-２．简述轧制过程的基本滑动摩擦机理。 ７-３．试分析热轧时和冷轧时各种因素对摩擦系数的影响？ ７-４．确定摩擦系数的方法有哪几种？
习题
500
1-1Leabharlann 已知一点的应力状态为
300
800
300 0
300
800 300 105 Pa 1100
力 Pn 和正应力 n 。
500
1-2
已知一点的应力张量为
300
800
300 1000 3
300
800 300 105 Pa 1100
求方向余弦为 l1 l2 l3 的斜面的全应 求方向余弦为 l1 l2 l3 平面上的总
应力和正应力。
3 1 1 1-5 已知一点的应力张量 ij 1 0 2 ，试求主应力。
1 2 0
1-6 已知某点的应力分量： x a, y a, z a, yz a, xy zx 0 试求主应力及最大剪应力值。
力状态系数 ）
3-22 证明当1 2 3 时八面体平面上的剪应力 8 max
2(3 2 ) 。 3
习 题（复习提纲） 4-1 分别简述平面镦粗和轧制时单位摩擦力沿接表面的分布规律。 4-2 全滑动摩擦平面镦粗的近似平衡微分方程式和卡尔曼近似平衡微分方程式分别采用了哪些假设条件？并尝试推
1 0 0
５．已知一点的应变张量为 ij
一-一点的应力状态与应力张量
一 一点的应力状态与应力张量二 主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示,如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示.在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系.通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量.式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量.因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。
已知物体内某点P 的九个应力分量,则可求过该点的任意倾斜面上的应力。
在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x ，y ，z 三个轴相垂直。
另一方面即任意斜面,它的法线N,其方向余弦为l ，m ，n 。
分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。
x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1。
2)在三个垂直于坐标的平面上有应力分量,在倾斜面abc 上有合应力N P ，它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ，N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ,N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1—5而剪应力则由式1—5得 2N τ=2N P —2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。
张量分析与材料应力张量习题解答
练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。
5. 证明ijkmik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案
第二章知识点： （1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。
可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。
（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量 （6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。
应力张量不变量计算例题
一、选择题1.在应力分析中，第一应力不变量（I1）表示什么？A.应力张量的迹的一半B.应力张量的行列式C.应力张量的最大特征值D.应力张量的迹（正确答案）2.第二应力不变量（I2）与以下哪个量有关？A.应力张量的迹的平方B.应力张量的主对角线元素的乘积C.应力张量的迹和行列式的组合D.应力张量的主对角线元素乘积的一半再减去迹的平方的一半（正确答案）3.第三应力不变量（I3）等于什么？A.应力张量的迹的立方B.应力张量的行列式的一半C.应力张量的行列式（正确答案）D.应力张量的主对角线元素之和4.在计算应力张量的不变量时，哪个公式用于计算第一不变量I1？A.I1 = σ1 + σ2 + σ3（正确答案）B.I1 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1C.I1 = σ1σ2σ3D.I1 = (σ1 + σ2 + σ3)/25.下列哪个表达式代表第二应力不变量I2的正确计算方式？A.I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 - σ12 - σ22 - σ32B.I2 = σ12 + σ22 + σ32 - σ1σ2 - σ2σ3 - σ3σ1C.I2 = (σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1) - (σ1 + σ2 + σ3)2/2（正确答案）D.I2 = σ1σ2σ3/26.第三应力不变量I3的计算公式是？A.I3 = σ13 + σ23 + σ33 - 3σ1σ2σ3B.I3 = σ1σ2σ3（正确答案）C.I3 = (σ1 + σ2 + σ3)3D.I3 = σ12 + σ22 + σ32 - 2(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)7.在主应力空间中，第一应力不变量I1等于什么几何量的三倍？A.应力椭球体的体积B.应力椭球体的表面积C.应力椭球体的平均半径D.应力椭球体的半径和（即三轴长度之和）（正确答案）8.应力张量的不变量在坐标变换下会如何变化？A.会发生变化B.不会发生变化（正确答案）C.只有在特定条件下不变D.无法确定。
第05讲 应力张量
主应力
3、应力不变量
( a b ) / 2 ( a b ) / 2 ij (a b) / 2 (a b) / 2 0 0
2 2 S 2 2 S12 S 2 S32 2 2 2 12l 2 2 m 2 3 n 2 ( 1 l 2 2 m 2 3 n 2 ) 2
应力椭球体
1、应力椭球体
S1 1l , S2 2m, S3 3n
2 2 2 2 ( 12 3 )l 2 ( 2 3 )m 2 3 [( 1 3 )l 2 ( 2 3 )m 2 3 ]2
2 * l 2l (12 32 ) 2[(1 3 )l 2 ( 2 3 )m2 3 ] 2l (1 3 ) 0
应力椭球体
2、应力状态的分类
d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
( x )l yx m zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 l m ( )n 0 yz z xz l 2 m2 n2 1
（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=--T，
则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和 一个反对称张量之和。
1 1 1 pij pij ( p ji p ji ) ( pij p ji ) ( pij p ji ) 2 2 2
应力张量例题
ab
J3 0 b 0 0 0 0 0
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特
征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由
（2）
齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
l 2 m2 n 2 1
（3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
l 2 m 3 n 1l 2 m 3n
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。 2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
数。 等效应力定义式
3 8 2
3 2 J2 3 2
3J 2
二、几种重要应力的计算
例 题 对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为
5 0 5 (Mpa) ij 0 5 0 5 0 5
1) 2)
画出该点的应力单元体； 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
例题解答
对于 ij
1
同理，对于
J1
2 ij
J1 a b 0 a b
a 0 b 0 0 0 J2 ab 0 b 0 0 0 a
a 0 0
ab ab 0 ab 2 2 a b a b ab 0 0 2 0 2 J2 2 ab 0 a b a b 0 0 2 2 2
塑性加工力学 试 题
塑性加工力学 试 题一、应力分析（总分20分）在 o-xyz 直角坐标系中，已知受力物体内的一点的应力张量（应力单位MPa ）为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=505050505ij σ 试求：（1）画出该点的应力单元体；（2）求出该点的应力张量不变量，主应力及主方向、主切应力、最大切应力、应力偏张量、应力球张量和等效应力。
二、应变分析（总分15分）在o-xyz 直角坐标系中，已知受力物体内的一点的应变张量为： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x ij εγγγεγγγεε试求：（1）该点的主应变，最大球应变；（2）应变球张量、应变偏张量、八面体应变和等效应变。
三、屈服准则计算 （15分）某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为：σy =75MPa ,求σx=15MPa ，σz=0,τxy=15 MPa,若该应力状态足以产生屈服{a ）满足Mises 屈服准则;b)满足Tresca 屈服准则;}，试问该材料的屈服应力分别是多少？.四、本构方程计算 （总分15分）1）在o-xyz 直角坐标系中，已知受力物体内的一点的应变张量为： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz yyx xz xy x ij εγγγεγγγεε 已知材料的弹性模量为E ，切变模量为G ，泊松比为γ，试求：（1）广义胡克定律的张量形式；（2）等效应力σ和弹性应变强度i ε；五、主应力法计算（20）采用主应力法计算收敛式流动，见右图所示，其中 近似屈服：Y x y 32=-σσ，其中m 为摩擦因子，3/,Y K mK ==τ试推导y σ和p 的计算公式。
六、 滑移线法计算（15）应用滑移线法求光滑冲头压入两边为斜面的半无限高的坯料时的单位流动压力p 和极限压力P 。
设刚性平冲头的宽度为2b ，长度l 远大于宽度，属于平面变形状态，不计冲头与接触面的摩擦，接触面上仅作用均匀分布的法向应力，σy =σ3=-p ，p 为所求的单位流动压力。
(4-6)部分习题及其解答
1本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0yσ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ=试求法线方向余弦为112n =，122n =，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和剪应力n τ。
解：应力矢量T 的三个分量为11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-总应力111.8T a 。
正应力26.04n i i T n a σ==。
剪应力108.7n a τ。
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。
证：利用应力张量的对称性，可得12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。
证毕。
4.3某点的应力张量为01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。
解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=即2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=上式有两个解：20n =或1yσ=。
若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得1n =30n =，这是不可能的。
所以必有1y σ=。
将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，可求得=n4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 22(arctg )x y xyA C x x yσ=--++ 22(arctg )yy xyA B x x yσ=-+++0z yz xz σττ===，222xy y A x y τ=-+满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。
材料成型原理——应力张量与主应力
变形： 形状的改变 + 体积的改变
应力偏张量
应力球张量
+ σ ij = ⎡⎢⎢τσxxyx
τ yx σ yy
τ τ
zx zy
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡σ ⎢
xx
−
σm
τ yx
⎢τ xy σ yy − σ m
τ
zx
⎤ ⎥
τ zy ⎥
⎢⎣τ xz
τ yz
σ
zz
⎥ ⎦
⎢⎣τ xz
τ yz
σ zz
−σm
⎥ ⎦
⎡σ m 0 0⎤ ⎢⎢0 σ m 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 σ m ⎥⎦
⎢⎣1 1 5⎥⎦ ⎢⎣1 1 4⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
z 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 z 存在张量不变量（张量分量的函数）
二、主应力和应力张量不变量
z 主平面： τ = 0 的微分面 z 主应力：主平面上作用的正应力 z 主平面上的法线方向则称为应力主方向或应力主轴
**任意一点的应力状态一定存在相互垂直的三个主方向、三个主平 面和三个主应力。这是应力张量的重要特征**
二、主应力和应力张量不变量
Sx = σl Sy =σm Sz = σn
Sx = σNl Sy =σNm Sz = σNn
代入
⎧S ⎪
x
= σ xl
+τ yxm
+τ zxn
⎨Sy = τ xyl + σ ym +τ zyn
⎪⎩Sz = τ xzl +τ yzm + σ zn
得到
⎧(σ ⎪
x
−σ
N
)l
二、主应力和应力张量不变量
σ x − σ N τ yx τ zx τ xy σ y − σ N τ zy = 0 τ xz τ yz σ z − σ N
已知应力张量求主应力
已知应力张量求主应力1. 引言应力张量是描述固体内部受力状态的一个重要工具，它可以用来计算材料在不同方向上的应力大小和方向。
在实际工程中，我们经常需要根据已知的应力张量来求解主应力，以评估材料的强度和稳定性。
本文将介绍已知应力张量求解主应力的方法和步骤。
2. 应力张量的定义与表示在三维空间中，应力可以沿着三个坐标轴方向产生。
为了描述这种多方向受力状态，我们引入了一个二阶对称张量——应力张量。
应力张量可以用一个3x3矩阵表示，其中每个元素代表了在某个方向上的受力大小。
通常使用下面的矩阵形式表示：其中，、、分别代表了沿着x轴、y轴和z轴方向的正应力，%20)、和分别代表了xy平面、xz平面和yz平面上的剪应力。
3. 求解主应力的方法已知应力张量后，我们可以通过求解特征值问题来得到主应力。
特征值问题可以用下面的方程表示：%3D0)其中，A是已知的应力张量，是待求的特征值，I是单位矩阵。
解这个方程可以得到三个特征值、和。
特征值的物理意义是主应力的大小，通过比较三个特征值的大小，我们可以确定主应力的顺序。
一般来说，最大的特征值对应着最大的主应力，最小的特征值对应着最小的主应力。
4. 求解步骤已知应力张量后，我们可以按照以下步骤来求解主应力：步骤1：构造矩阵将已知的应力张量构造成一个3x3矩阵 A。
步骤2：计算特征值解特征值问题 %3D0)，求解方程得到特征值、和。
步骤3：确定主应力的顺序比较三个特征值的大小，确定主应力的顺序。
一般来说，最大的特征值对应着最大的主应力，最小的特征值对应着最小的主应力。
步骤4：计算主应力根据特征值求解出来后，我们可以得到三个主应力、和。
5. 实例演算下面通过一个实例演算来说明已知应力张量求解主应力的方法和步骤。
已知一个材料在某点处的应力张量为：步骤1：构造矩阵将已知的应力张量构造成一个3x3矩阵 A：A = [[10, 3, 2], [3, -4.2+1.8j, -0.6+1.2j], [2, -0.6-1.2j, -8+10j]]步骤2：计算特征值解特征值问题 %3D0)，求解方程得到特征值、和。
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三、应变连续方程问题
知识要点回顾
2 x yz
x
zx y
xy z
yz x
2 y zx
y
xy z
yz x
zx y
2 z xy
x
yz x
zx y
xy z
在三维空间内三个切应变分量一经 确定，则线应变分量也就被确定！
三、应变连续方程问题
例题
设 x a x2 y2 ; y axy; xy 2bxy; 其中a、b为常数，
criterion 3. 米塞斯屈服准则★ ★ ★ Mises yield
criterion 4. 屈服准则的几何描述★ ★ Geometrical
representation of yield criterion 5. 屈服准则的实验验证与比较★ Tests &
comparison of yield criterions
max
1
2
max min
1 10 (5) 7.5
2
MPa
八面体应力
8
1 3
1
2
3
1 10 0 5 1.67
3
MPa
8
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
5 14 3
二、几种重要应力的计算
等效应力
3 2
8
3 1 350 5 7 23
MPa
几种重要应力计算问题小 结
2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
？ 2
12l 2
2 2
m2
32n2
1l2 2m2 3n2
2
最大切应力计算公式
max
1 2
max min
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾
3、八面体应力
1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应 力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空 间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面 体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
计算应力张量的三个主不变量
J1 x y z 55 5 5
J2
x yx
xy y y zy
yz z z xz
zx x
5 0 5 0 5 5
0
5 0
5 5
5
50
x xy xz
5 0 5
J3 yx y yz 0 5 0 0
2、掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力 的计算方法;掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计 算方法。
3、掌握应变连续方程。
第四节 屈服准则 Part 4. Yield Criterion
本节主要内容 Contents
1. 基本概念★ ★Concepts 2. 屈雷斯加屈服准则★ ★ ★ Tresca yield
2）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究
一个应力状态有重要作用。
3
Q
2
1
arccos 1 54o44
3
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力
S1 S2
l1 m
2
S3 n3
8 =S1 S2
l
S3 m l 21 m2 2 n23
n
八面体平面的方向余弦 l m n 1
xzl yzm z n 0
l2 m2 n2 1
（1） （2） （3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
2 12l2 22m2 32n2 1l2 2m2 3n2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。
1、要求掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、 等效应变的计算方法，由于与应力问题的计算方法相 似，此处不再重复。 2、注意应变连续方程：由位移求应变，连续方程自 动满足；由应变求位移则对边连续方程进行验证。
应力应变分析问题小结
1、掌握应力张量与应变张量的三个主不变量的计算，利用主不变量判断 应力、应变状态的异同；
三、应变连续方程问题
知识要点回顾
小应变几何方程
2 x y2
2 y2
u x
2 xy
u
y
(1)
2 y x2
2 x2
v y
2 v xy x
(2)
(1)式加(2)式
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
u y
2 xy
v x
2 u v
xy
y
x
2 2 xy
xy
2 xy xy
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 1、主应力
P11 P12 P13
P21
P22
P23
P31 P32 P33
P1•1 0
0 P2•2
0
0
0 0 P3•3
1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时 的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准 形的问题相同。(主应力就是法应力，不在矩阵主轴上的分量都是切应力。）
xyl y m zyn 0
xzl yzm z n 0
方向余弦条件
l2 m2 n2 1
5 l 0m 5n 0
代 入 数
据
0l
5
m
0n
0
5l
0m
5
n
0
（1）
l2 m2 n2 1
将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向
对于 1 :
5 10l 0m 5n 0
屈服准则
在一定的变形条件下，当各应力分量之间满足一定关 系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服 准则，又称为塑性条件。
f ij = C
屈服函数
1.2 有关屈服函数的讨论 1.2 Discussion on yield function
? f ij C
弹性状态
? f ij C ? f ij C
5 0 5
ij
0
5
0
(Mpa)
5 0 5
1) 画出该点的应力单元体；
2) 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
3) 求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。
二、几种重要应力的计算
例题解答 1) 画出该点的应力单元体 z
O x
5 -5 -5 5
-5 y
二、几种重要应力的计算
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
b 2
ab 2
0
0
0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于
1 ij
J1 a b0 a b
J2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
0l
5
10
m
0n
0
解
5l
0m
5
10
n
0
之
l2 m2 n2 1
的主方向
1
l1
1; 2
m1 0;
n1
1 2
二、几种重要应力的计算
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
对于 2 : 对于 3 :
l2
1; 2
m2 0;
n2
1 2
l3 0; m3 1; n3 0
3) 最大切应力
P23 P33 P33 P13
P31 P11
P11 P12 P13
P21
P22
P23
P31 P32 P33
一、应力张量不变量及其应用
应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。 利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。
例题
试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
8
1 3
1
2
3
m
1 3
J1
3
8
J 2
1J22l2
1 m
022m2
0
0
232nm 2
0
0
01l2
3 m
216m21 32n22
2 2
3
2
3
1
2
1 3
1
2
1 3
2
2
1 3
3
2
1 3
1
2
3
2
3
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
2 3
J
2
Q
2
1
arccos 1 54o44
zx zy z 5 0 5
应力状态特征方程
3 J1 2 J2 J3 0 3 5 2 50 0 0
( 10)( 5) 0
1 10 2 0 3 5 MPa
二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
齐次线性应力 平衡方程组
x l yxm zxn 0
试问上述应变场在什么情况下成立？