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微分方阵。程中不包含输入量的导 数项(6/9) ◦ 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要
的矩阵,这在后面的章节中可以看到。
◦ 上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
u b
xn
xn
◦ 由不含输入量导数项和 ◦ 由含输入量导数项的
由高阶微常分微方分程方建程立建状立状态态空空间间模模型型。(1/1)
◦ 本节关键问题:
◦ 如何选择状态变量 ◦ 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
关键喔!
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
◦ 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时 的线性定系数常微分方程为
五十年代后期，多变量、时变系统在航空航天、 过程控制、计量经济学等的应用中已经变得日益重要， 特别是航空航天控制中对时变系统以及相关的时域分 析的研究，促使以美国科学家Bellman和Kalman为 代表的研究人员对有限维线性系统的状态空间描述方 法进行了深入的研究，导致了可控性、可观测性等概 念
的提出。此后，又进一步在极点配置、二次型调节 器设计、状态观测器和估计器、等价系统、解耦、 实现等方面先后取得了进展。
由于在大多数情形下，数学模型并不完全真实反 映对象的行为，故基于模型的设计可能仍不能应用于 实际系统，以上三个步骤可能会反复地进行——这种 矛盾还导致了上个世纪80年代以来的鲁棒控制器 （Robust Controller) 设计问题，以及更早的如自适 应控制等的提出。
可以说，模型与真实系统的这种不一致导致了许 多控制理论分支的发展，如自适应控制、H-infinity鲁 棒控制方法、智能控制方法等等。
2. 基于模型的系统分析。系统分析一般包括两个方面： 定性分析和定量分析。定性分析主要是指系统的稳定 性、可控性、可观测性等等；定量分析则要求借助于 数字计算机和模拟计算机准确计算出系统在实际信号 作用下的响应。
3. 系统设计。若系统不能满足给定的性能指标，则需 要通过设计控制器或改变控制律等来改善。一般说来， 系统控制器的设计是一个复杂的问题。
回顾线性系统几十年的发展历程可以看到，它的 每一个 进步几乎都 反映了航 空航天等尖端技术 对控 制的 更高 要求， “它 是 那样的基本和 如此的深刻，
所以毫无疑问，在今后一个可以预见的长时间内， 线性系统仍将是人们继续研究的对象”（Kailath： 线性系统)。
五、线性系统理论的几个流行学派
x1 x2
......
微分方程中不包含输入量的导
xn1
xn
xn a1xn ... an x1 bu
数和项输出(3方/程9)
y=x1
◦ 将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有
0 1
0
0 0
0
0
1
0
0
x
x u
微分方程中 不0 包0含输0 入0量的1 导0
数项(4/9) an an1` an2
二、线性系统及其研究的对象
一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可 以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是 由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的， 它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的 本质。因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型 系统，不是物理系统。
控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最 优控制，鲁棒控制，自适应控制等。但可以毫不夸张 地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支 的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。
型信号，并观察其响应，例如：
u
yc
t
t
tu
yc
t
尽管这个物理系统可能非常复杂，但通过若干典型响 应的分析却可以猜测，系统或许可以近似地用一个惯 性环节来描述。
若系统的响应不满足要求，传统的设计方法是根 据 经验调整系统参数或者增加补偿器和反馈， 即试 凑方法——这种方法过去和现在都有许多成功的例子， 是广大工程技术人员所常用的方法。
y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu
微分方程中不包含输入量的导 其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。 数项(1/9) ◦ 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型--状态
空间模型
x Ax Bu
y
Cx
Du
➢ 本节问题的关键是如何选择状态变量。
◦ 由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n-1)(t0)已知,则对给定的 输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确 定。
线性系统理论
LINEAR SYSTEM THEORY
课程的目的与地位
本课程是控制理论与控制工程专业硕士研究 生的公共学位课，属于控制学科的专业基础课。
通过本课程学习，要求学生掌握线性系统的 一般概念和分析研究线性系统的一般方法，为进一 步学习其它控制理论奠定坚实的基础。
本课程理论性强，用到较多的数学工具，因此 本课程对培养学生的抽象思维、逻辑思维，提高学 生运用数学知识耒处理控制问题的能力起到重要的 作用。
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空 间模型
◦ 本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递
根据系统的输入输出关系建 函数,通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型。 ◦ 这样的问题称为系统的实现问题。
立状态空间模型(1/2) ◦ 这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持系统输入输出间的动态和 静态关系不变。
要求做一些必要的习题，难点和典型习题的讲 解与讨论。利用MATLAB进行计算机仿真等
考核方式
闭卷笔试。
绪
论
一、系统研究的方法
传统的系统研究方法基于经验。考虑一个例子：
给定一个物理系统（电子或机械的等等）：
u
yc
我们假定对系统的内部结构一无所知。为了描述这
个系统的行为，可以在系统的输入端施以一系列典
a1 b
y 1 0
0 0 x
其中x [x1 x2 ... xn ] , u [u]和y [ y]。
◦ 该状态空间模型可简记为:
x Ax Bu
y
Cx
其中
微分方程中不 包0 含1 输.入.. 量0 的导0
数Fra Baidu bibliotek(5/9)
A
...
...
...
...
B ...
0 0 ... 1
0
A Geometric Apporach (1978) (84年有中译 本).
六、线性系统学习中应注意的几个问题
1. 注意与矩阵论的学习相结合；
2. 学习中注意与经典控制论相结合，特别要注意与 经典控制论中的不同之处和相同之处；
3. 要充分认识到本课程在后续各门课程学习中的基 础地位。
Ch.2 控制系统的状态空间模型
课程主要章节的计划学时分配
第一章 线性系统的基本概念
8学时
第二章 线性系统的可控性、可观测性
10学时
第三章 线性时不变系统的标准形和实现 10学时
第四章 状态反馈设计
8学
时
第五章 输出反馈、观测器和动态补偿器
8学时
第六章 时变线性系统
2学
时
第七章 系统稳定性分析
8学
时
讲授及学习方法
以课堂讲授为主，也可指定某些章节自学后再 总结。学习中要注意与自动控制原理、矩阵理论等 有关课程的联系。
主要著作：
1. H.H.Rosenbrock: State-Space and Multivariable Theory, Nelson, London.
2. W.A.Wolovich: Linear Multivariable Systems (1974).
3. M. Vidyasagar: Control System Synthesis：A
三、研究线性系统的基本工具
研究有限维线性系统的基本工具是线性代数 或矩阵论。用线性代数的基本理论来处理系统与 控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心 而得到理论上深刻的结果。例如：
• 系统的可控性、可观测性可反映在线性代数中线 性变换的循环不变子空间及其生成元的概念中；
• 在观测器理论中，矩阵方程扮演重要角色；
目录(1/1)
目录
◦ 概述 ◦ 2.1 状态和状态空间模型 ◦ 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 ◦ 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 ◦ 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 ◦ 2.5 传递函数阵 ◦ 2.6 线性离散系统的状态空间描述 ◦ 2.7 Matlab问题 ◦ 本章小结
◦ 本节的内容为：
◦ 由高阶常微分方程建立状态空间模型 ◦ 由传递函数建立状态空间模型 ◦ 多输入多输出线性系统 ◦ 非线性系统
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)
2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
◦ 本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型, 分别讨论
- an
- an1
...
-
a1
b
C [1 0 ... 0]
◦ 上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程(2-6)中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中系数b之间的对应关系。
◦ 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。
◦ 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征 多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩
进入70年代以后，深入的工程实践凸显出了基于 模型的线性系统的局限性，即系统缺乏对参数不确定 性、干扰及未建模动态等的鲁棒性（Robustness)。众 多的科学工作者在这个领域进行了长时间、艰苦的研 究，到80年代初，在若干领域取得了一系列激动人心 的突破，最典型的是加拿大学者 Zames 提出的Hinfinity鲁棒控制理论，以及以前苏联数学家 Kharitonov在微分方程上的贡献为基础发展起来的区 间系统理论。这些都极大丰富了人们对线性系统的认 识。
• 系统的稳定性往往归结为对线性矩阵微分方程的 讨论；
• ………
四、线性系统研究的历史回顾
从上个世纪三十年代以来，人们就对线性系统 进行了广泛的研究，起初主要是频域方法；而且，几 乎所有的工作都是针对单输入单输出系统的。这种经 典的控制方法一旦推广到多输入多输出系统立即显现 出一系列重大缺陷，所设计出的系统甚至不能保证系 统的稳定性。
◦ 因此,选择状态变量为如下相变量 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t)
可完全刻划系统的动态特性。
微分方程中不包含输入量的导 ◦ 取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。 数项(2/9)
◦ 将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程
Factorization Approach (1985), MIT Press.
3几何状态空间理论
把矩阵看成向量空间的线性映射，系统理论 和空间座标选取无关，这样往往给出一些比较本 质的结果，在解耦及跟踪器取得较好进展。
代表著作：
W.M. Wonhan：Linear Multivariable Control：
1 代数系统理论： 以抽象代数为工具。 主要在实现、反馈问题上取得一些成果。 代表著作： R.E.Kalman: Topics In Mathmatical System Theory (1969)
2 多项式矩阵—— (稳定)分式分解方法
在复数域进行。充分应用了经典控制理论的 优点。多变量频率域方法属于这一范畴。是最活 跃的研究领域之一。
1968年左右，人们发现这一领域的工作没有协调 起来，很零散，一些重要的问题被忽视，于是要求 对线性系统各方面工作进行统一处理。这就形成了 “线性系统”这门学科。此后，线性系统理论不断 得到发展，成为系统科学的基础。它的方法、概念 体系己为许多学科领域所运用，是控制理论、网络 理论、通讯理论以及一般系统理论的基础。现在， 线性系统已成为任何与系统有关学科研究生和本科 生所必修的课程。
但是，若被控对象很复杂，控制精度要求很高， 则传统的设计方法往往不能得到满意的效果。此时就 需要用到现代控制理论中所提供的方法——这种方法 由于计算机的出现以及航空航天工业的发展在上个世 纪50年代后得到了极大的发展。其主要步骤是：
1. 建立描述物理系统状态的数学模型。这可以通过 物理定律和数学方程等来得到。一般由微分方程、偏 微分方程或代数方程等构成。
的矩阵,这在后面的章节中可以看到。
◦ 上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
u b
xn
xn
◦ 由不含输入量导数项和 ◦ 由含输入量导数项的
由高阶微常分微方分程方建程立建状立状态态空空间间模模型型。(1/1)
◦ 本节关键问题:
◦ 如何选择状态变量 ◦ 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
关键喔!
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
◦ 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时 的线性定系数常微分方程为
五十年代后期，多变量、时变系统在航空航天、 过程控制、计量经济学等的应用中已经变得日益重要， 特别是航空航天控制中对时变系统以及相关的时域分 析的研究，促使以美国科学家Bellman和Kalman为 代表的研究人员对有限维线性系统的状态空间描述方 法进行了深入的研究，导致了可控性、可观测性等概 念
的提出。此后，又进一步在极点配置、二次型调节 器设计、状态观测器和估计器、等价系统、解耦、 实现等方面先后取得了进展。
由于在大多数情形下，数学模型并不完全真实反 映对象的行为，故基于模型的设计可能仍不能应用于 实际系统，以上三个步骤可能会反复地进行——这种 矛盾还导致了上个世纪80年代以来的鲁棒控制器 （Robust Controller) 设计问题，以及更早的如自适 应控制等的提出。
可以说，模型与真实系统的这种不一致导致了许 多控制理论分支的发展，如自适应控制、H-infinity鲁 棒控制方法、智能控制方法等等。
2. 基于模型的系统分析。系统分析一般包括两个方面： 定性分析和定量分析。定性分析主要是指系统的稳定 性、可控性、可观测性等等；定量分析则要求借助于 数字计算机和模拟计算机准确计算出系统在实际信号 作用下的响应。
3. 系统设计。若系统不能满足给定的性能指标，则需 要通过设计控制器或改变控制律等来改善。一般说来， 系统控制器的设计是一个复杂的问题。
回顾线性系统几十年的发展历程可以看到，它的 每一个 进步几乎都 反映了航 空航天等尖端技术 对控 制的 更高 要求， “它 是 那样的基本和 如此的深刻，
所以毫无疑问，在今后一个可以预见的长时间内， 线性系统仍将是人们继续研究的对象”（Kailath： 线性系统)。
五、线性系统理论的几个流行学派
x1 x2
......
微分方程中不包含输入量的导
xn1
xn
xn a1xn ... an x1 bu
数和项输出(3方/程9)
y=x1
◦ 将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有
0 1
0
0 0
0
0
1
0
0
x
x u
微分方程中 不0 包0含输0 入0量的1 导0
数项(4/9) an an1` an2
二、线性系统及其研究的对象
一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可 以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是 由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的， 它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的 本质。因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型 系统，不是物理系统。
控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最 优控制，鲁棒控制，自适应控制等。但可以毫不夸张 地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支 的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。
型信号，并观察其响应，例如：
u
yc
t
t
tu
yc
t
尽管这个物理系统可能非常复杂，但通过若干典型响 应的分析却可以猜测，系统或许可以近似地用一个惯 性环节来描述。
若系统的响应不满足要求，传统的设计方法是根 据 经验调整系统参数或者增加补偿器和反馈， 即试 凑方法——这种方法过去和现在都有许多成功的例子， 是广大工程技术人员所常用的方法。
y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu
微分方程中不包含输入量的导 其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。 数项(1/9) ◦ 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型--状态
空间模型
x Ax Bu
y
Cx
Du
➢ 本节问题的关键是如何选择状态变量。
◦ 由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n-1)(t0)已知,则对给定的 输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确 定。
线性系统理论
LINEAR SYSTEM THEORY
课程的目的与地位
本课程是控制理论与控制工程专业硕士研究 生的公共学位课，属于控制学科的专业基础课。
通过本课程学习，要求学生掌握线性系统的 一般概念和分析研究线性系统的一般方法，为进一 步学习其它控制理论奠定坚实的基础。
本课程理论性强，用到较多的数学工具，因此 本课程对培养学生的抽象思维、逻辑思维，提高学 生运用数学知识耒处理控制问题的能力起到重要的 作用。
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空 间模型
◦ 本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递
根据系统的输入输出关系建 函数,通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型。 ◦ 这样的问题称为系统的实现问题。
立状态空间模型(1/2) ◦ 这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持系统输入输出间的动态和 静态关系不变。
要求做一些必要的习题，难点和典型习题的讲 解与讨论。利用MATLAB进行计算机仿真等
考核方式
闭卷笔试。
绪
论
一、系统研究的方法
传统的系统研究方法基于经验。考虑一个例子：
给定一个物理系统（电子或机械的等等）：
u
yc
我们假定对系统的内部结构一无所知。为了描述这
个系统的行为，可以在系统的输入端施以一系列典
a1 b
y 1 0
0 0 x
其中x [x1 x2 ... xn ] , u [u]和y [ y]。
◦ 该状态空间模型可简记为:
x Ax Bu
y
Cx
其中
微分方程中不 包0 含1 输.入.. 量0 的导0
数Fra Baidu bibliotek(5/9)
A
...
...
...
...
B ...
0 0 ... 1
0
A Geometric Apporach (1978) (84年有中译 本).
六、线性系统学习中应注意的几个问题
1. 注意与矩阵论的学习相结合；
2. 学习中注意与经典控制论相结合，特别要注意与 经典控制论中的不同之处和相同之处；
3. 要充分认识到本课程在后续各门课程学习中的基 础地位。
Ch.2 控制系统的状态空间模型
课程主要章节的计划学时分配
第一章 线性系统的基本概念
8学时
第二章 线性系统的可控性、可观测性
10学时
第三章 线性时不变系统的标准形和实现 10学时
第四章 状态反馈设计
8学
时
第五章 输出反馈、观测器和动态补偿器
8学时
第六章 时变线性系统
2学
时
第七章 系统稳定性分析
8学
时
讲授及学习方法
以课堂讲授为主，也可指定某些章节自学后再 总结。学习中要注意与自动控制原理、矩阵理论等 有关课程的联系。
主要著作：
1. H.H.Rosenbrock: State-Space and Multivariable Theory, Nelson, London.
2. W.A.Wolovich: Linear Multivariable Systems (1974).
3. M. Vidyasagar: Control System Synthesis：A
三、研究线性系统的基本工具
研究有限维线性系统的基本工具是线性代数 或矩阵论。用线性代数的基本理论来处理系统与 控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心 而得到理论上深刻的结果。例如：
• 系统的可控性、可观测性可反映在线性代数中线 性变换的循环不变子空间及其生成元的概念中；
• 在观测器理论中，矩阵方程扮演重要角色；
目录(1/1)
目录
◦ 概述 ◦ 2.1 状态和状态空间模型 ◦ 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 ◦ 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 ◦ 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 ◦ 2.5 传递函数阵 ◦ 2.6 线性离散系统的状态空间描述 ◦ 2.7 Matlab问题 ◦ 本章小结
◦ 本节的内容为：
◦ 由高阶常微分方程建立状态空间模型 ◦ 由传递函数建立状态空间模型 ◦ 多输入多输出线性系统 ◦ 非线性系统
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)
2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
◦ 本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型, 分别讨论
- an
- an1
...
-
a1
b
C [1 0 ... 0]
◦ 上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程(2-6)中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中系数b之间的对应关系。
◦ 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。
◦ 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征 多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩
进入70年代以后，深入的工程实践凸显出了基于 模型的线性系统的局限性，即系统缺乏对参数不确定 性、干扰及未建模动态等的鲁棒性（Robustness)。众 多的科学工作者在这个领域进行了长时间、艰苦的研 究，到80年代初，在若干领域取得了一系列激动人心 的突破，最典型的是加拿大学者 Zames 提出的Hinfinity鲁棒控制理论，以及以前苏联数学家 Kharitonov在微分方程上的贡献为基础发展起来的区 间系统理论。这些都极大丰富了人们对线性系统的认 识。
• 系统的稳定性往往归结为对线性矩阵微分方程的 讨论；
• ………
四、线性系统研究的历史回顾
从上个世纪三十年代以来，人们就对线性系统 进行了广泛的研究，起初主要是频域方法；而且，几 乎所有的工作都是针对单输入单输出系统的。这种经 典的控制方法一旦推广到多输入多输出系统立即显现 出一系列重大缺陷，所设计出的系统甚至不能保证系 统的稳定性。
◦ 因此,选择状态变量为如下相变量 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t)
可完全刻划系统的动态特性。
微分方程中不包含输入量的导 ◦ 取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。 数项(2/9)
◦ 将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程
Factorization Approach (1985), MIT Press.
3几何状态空间理论
把矩阵看成向量空间的线性映射，系统理论 和空间座标选取无关，这样往往给出一些比较本 质的结果，在解耦及跟踪器取得较好进展。
代表著作：
W.M. Wonhan：Linear Multivariable Control：
1 代数系统理论： 以抽象代数为工具。 主要在实现、反馈问题上取得一些成果。 代表著作： R.E.Kalman: Topics In Mathmatical System Theory (1969)
2 多项式矩阵—— (稳定)分式分解方法
在复数域进行。充分应用了经典控制理论的 优点。多变量频率域方法属于这一范畴。是最活 跃的研究领域之一。
1968年左右，人们发现这一领域的工作没有协调 起来，很零散，一些重要的问题被忽视，于是要求 对线性系统各方面工作进行统一处理。这就形成了 “线性系统”这门学科。此后，线性系统理论不断 得到发展，成为系统科学的基础。它的方法、概念 体系己为许多学科领域所运用，是控制理论、网络 理论、通讯理论以及一般系统理论的基础。现在， 线性系统已成为任何与系统有关学科研究生和本科 生所必修的课程。
但是，若被控对象很复杂，控制精度要求很高， 则传统的设计方法往往不能得到满意的效果。此时就 需要用到现代控制理论中所提供的方法——这种方法 由于计算机的出现以及航空航天工业的发展在上个世 纪50年代后得到了极大的发展。其主要步骤是：
1. 建立描述物理系统状态的数学模型。这可以通过 物理定律和数学方程等来得到。一般由微分方程、偏 微分方程或代数方程等构成。