双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
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双曲线焦点三角形面积
公式在高考中的妙用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
双曲线焦点三角形面积公式的应用
广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）
定理 在双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲
线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2
cot 221θ
⋅=∆b S PF F .
证明：记2211||,||r PF r PF ==在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212
22
1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ 由任意三角形的面积公式得：
2cot 2
sin 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=-⋅==
∆b b b r r S PF F .
同理可证，在双曲线122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.
典题妙解
例1 设1F 和2F 为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B.
2
5
C. 2
D. 5 解：,145cot 2
cot
221=︒=⋅=∆θ
b S PF F ∴选A.
例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF ⋅的值是___________.
解: ,12
cot
2
cot
221==⋅=∆θ
θ
b S PF F ︒=∴
452
θ
,即.90︒=θ
∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF PF
例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△
21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程.
解：由31230cot 2
cot
2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ
得：.122=b
又,2122
=+=a
b e
.41212
=+
∴a
从而.42
=a ∴所求的双曲线的标准方程为
112422=-y x ，或112
42
2=-x y . 金指点睛
1. 已知双曲线14
22
=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则
21PF PF •的值为( )
A. 2
B. 3
C. 2-
D. 3-
2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）
A. 13222=-y x
B. 12322=-y x
C. 1422=-y x
D. 1422
=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线12
2
2
=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ）
A. 34
B. 3
5
C. 332
D. 3
4. 双曲线
116
92
2=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3
π
则
△F 1PF 2面积为( ) A ．163
B ．323
C ．32
D ．42
5. 双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且
32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.
6. 已知双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且
021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.
参考答案
1. 解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302
θθ
.
又3sin ||||2
1
2121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF .
∴21PF PF •=22
1
4cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF .
故答案选A.
2. 解： ,21PF PF ⊥∴122
1
||||212121=⨯=⋅=
∆PF PF S PF F . 又145cot 2
cot 22221==︒==∆b b b S PF F θ
，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .
故答案选C.
3. 解： 021=⋅MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22
cot
2
21=︒==∆θ
b S MF F .
点M 到x 轴的距离为h ，则23||2
1
2121===⋅⋅=∆h ch h F F S MF F ，∴332=h .
故答案选C.
4. 解：设θ=∠21PF F ，则3
π
θ=
. ∴3166
cot
162
cot
221===∆π
θ
b S PF F .
故答案选A.