矢量与张量分析初步
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章 矢量代数与矢量分析
（2.1-3）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
o 0 i1 0 i2 0 i3
同时长度为1的矢量称为单位矢量。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。
例2 ： 图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中 矢量a、 b。试求 2a +1.5b在{o；i1， i2 }中的表示。 a (3 1) i 1 (1 0) i 2 2 i 1 i 2 解：
a b ( ai i i ) (b j i j ) ai b j ij ai bi b a ; a , b V
（2.1-4） （2.1-5）
1 ; i j i i i j ij 0 ; i j
其中δij称为Kronecker符号。 定义矢量积
例6 ：
证明e—δ恒等式： eijk eimn jm kn jn km 证： 由（2.1-12）式有：i j ik e jkiii eijkii
im in emne ie eemn ie
eijkeemn ii ie (i j ik ) (im in ) (eijkii ) (eemnie ) (i j ik ) (im in ) eijkeemn ie (i j ik ) (im in )
X2
x2
x r2 o r1 x1 (a ) X1
x2 i2 x i1 x1 X1
X2
(b )
图2－3
设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与 数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y ∈ V；α，β ∈F有 x y xi yi
i i i i
( xi yi ) ii
电动力学——矢量和张量课件
矢量和张量vectors and tensors中山大学理工学院黄迺本教授(2005级,2007年3月)如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.——Galileo经典电动力学的研究对象——电磁相互作用的经典场论——狭义相对论——电动力学的相对论协变性主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.教材和参考书教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997参考书：[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004[2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978[3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005[4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003[6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005[7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和张量目录(contens)1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors)3.δ函数(δ function)4.球坐标系和柱坐标系1 矢量和张量代数在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是空间转动下的不变量.例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集合.例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量.2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序集合.例如，刚体的转动惯量→→I ,电四极矩→→D ,等.3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合.矢量表示印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r ,正交坐标系的基矢量正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为⎩⎨⎧≠===⋅ji j i ij 01δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成∑==++=31332211i i i A A A A ee e e A (1.2)矢量的乘积两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足A B B A ⋅=⋅ (1.3)A B B A ⨯-=⨯ (1.4))()()(B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ (1.5))()()(B A C A C B C B A ⋅⋅=⨯⨯- (1.6)并矢量与二阶张量两个矢量A 和B 并置构成并矢量j i e e e e e e e e AB j j i i B A B B B A A A ∑==++++=31,332211332211))(( (1.7)它有9个分量j i B A 和9个基j i e e ，一般地BA AB ≠.三维空间二阶张量也有9个分量ij T ，它的并矢量形式与矩阵形式分别为j i e e ∑=→→=31,j i ij T T (1.8)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (1.9) 张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：332211tr T T T T ++= (1.10)单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是332211e e e e e e ++=→→I (1.11)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I (1.12)因此(Ⅰ.1)式中的符号ij δ实际上是单位张量的分量.对称张量与反对称张量 若ij ji T T =，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若ij ji T T -=，称之为反对称张量，由于0332211===T T T ，反对称张量只有3个独立分量.任何张量ij T 均可写成一个对称张量ij S 与一个反对称张量ij A 之和，即ij ij ij A S T +=，只需使)/2(ji ij ij T T S +=，)/2(ji ij ij T T A -=.二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij j ij i j ki ij ji k k k ij ij k k T A e T A T A T e e e e A ji δ,, (1.13) ∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij i ij j i ij k j i k k k k ij ij T A e T A A T T e e e e A jk j i δ,, (1.14)一般地A A ⋅≠⋅→→→→T T . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：A A A =⋅=⋅→→→→I I (1.15) 并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：))(()()(D A C B CD AB ⋅⋅=: (1.16)2 矢量和张量分析（1）算符∇和2∇物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:温度T 、静电势ϕ的分布都构成标量场；电流密度J 、电场强度E 、磁感应强度B 、磁场矢势A 的分布都构成矢量场.∇是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，2∇=∇⋅∇是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ，2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 三个基矢量z y x e ,e ,e 均是常矢量.（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场ϕ在某点的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e (2.2)是一个矢量，它在数值上等于ϕ沿其等值面的法向导数，方向沿ϕ增加的方向，即n dnd ϕϕ=∇ (2.3) 例如静电势ϕ的分布是一个标量场,E =-∇ϕ即变成矢量场——静电场.（3）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场A 通过某曲面S 通量(flux)定义为⎰⋅=ΦSd S A (2.4) 其中n S dS d =是曲面S 某点附近的面积元矢量，方向沿曲面的法向n .对于闭合曲面(closed surface)，规定S d 的方向沿曲面的外法向.对于矢量场A 中包含任一点)(z y x ,,的小体积V ∆，其闭合曲面为S ，定义极限A S A ⋅∇=∆⋅⎰→∆Vd SV 0lim (2.5) 为矢量场A 在该点的散度，它是标量.在直角坐标系中zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (2.6) 若0≠⋅=Φ⎰S d S A , 则该点散度0≠⋅∇A ，该点就是矢量场A 的一个源点； 若0=⋅=Φ⎰Sd S A ，则该点散度0=⋅∇A ，该点不是矢量场A 的源点. 若处处均有0=⋅∇A ，A 就称为无散场(或无源场)，它的场线必定是连续而闭合的曲线.磁场B 就是无散场(solenoidal field ).高斯定理(Gaussl theorem ) 对任意闭合曲面S 及其包围的体积V ，下述积分变换定理成立⎰⎰⋅∇=⋅S V A S A dV d (2.7) 由此推知，若A 是无散场，即处处有0=⋅∇A ，则A 场通过任何闭合曲面的净通量均为零.（4）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场A 沿闭合路径(closed contour)L 的积分⎰⋅Ld l A 称为A 沿L 的环量(circulateon)，其中l d 是路径L 的线元矢量.若对任意闭合路径L ，均有0=⋅⎰Ld l A (2.8) 则称A 为保守场（conservative field ）.当闭合路径L 所围成的面积元S ∆是某点P 的无限小邻域，我们约定：路径积分的绕行方向即d l 的方向，与其所围成的面积元S ∆的法向n 成右手螺旋关系，并定义极限n LS S d )()(lim 0A n A l A ⨯∇=⋅⨯∇=∆⋅⎰→∆ (2.9)为矢量场A 在该点的旋度A ⨯∇在n 方向的分量.在直角坐标系中z x y y z x x y z yA x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (2.10) 它是矢量.按上述约定若()0>⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成右手涡旋；若()0<⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成左手涡旋；若()0=⨯∇n A ，A 线在该点不形成涡旋.如果所有点上均有0=⨯∇A ,A 就称为无旋场.例如静电场E 就是无旋场(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 对任意的闭合路径L 所围的曲面S ，下述积分变换成立()S A l A Sd d L ⋅⨯∇=⋅⎰⎰ (2.11) （5） 矢量场的几个定理标量场的梯度必为无旋场：0=∇⨯∇ϕ (2.12)【证】对任意标量场ϕ的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e 取旋度，可得[]0)()(=∂∂∂∂-∂∂∂∂=∇⨯∇yx x y x ϕϕϕ， []0=∇⨯∇y ϕ，[]0=∇⨯∇z ϕ 逆定理：无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即若0=⨯∇A ,必可令ϕ∇=A例如对于静电场强度E ，就可用标势ϕ的负梯度描写: ϕ-∇=E .矢量场的旋度必为无散场：0=⨯∇⋅∇A (2.13)【证】0)()()(=∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=⨯∇⋅∇y A x A z x A z A y z A y A x x y z x y z A 逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即若0=⋅∇B , 必可令A B ⨯∇=例如对于磁感应强度B ，就可用矢势A 的旋度描写.（6）算符运算标量函数ϕ的梯度ϕ∇是矢量，矢量函数f 的散度f ⋅∇是标量，旋度f ⨯∇是矢量，而f ∇是二阶张量：∑∑∑===∂∂=∂∂=∇31,3131j i i j j j i i x f f x j i j i e e e e f (2.14)若ϕ和φ是标量函数，f 和g 是矢量函数，有ϕφφϕϕφ)()()(∇+∇=∇ (2.15) ϕϕϕ)()()(f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ (2.16) ϕϕϕ)()()(f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇ (2..17) f g g f g f ⋅⨯∇⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(- (2.18) f g g f g f f g g f )()()()()(⋅∇+∇⋅⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇- (2.19) g f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ (2.20) g f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇ (2.21) f f f 2)()(∇⋅∇∇=⨯∇⨯∇- (2.22)上述运算不必采用化成分量的方法进行，只要抓住算符∇的微分作用及其矢量性质，便可快捷准确地写出结果.当∇作用于两个函数的乘积（或两个函数之和）时，表示它对每一个函数都要作微分运算，可以先考虑∇对第一个量的作用，并将这个量记为∇的下标，以示算符只对此量执行微分运算，第二个量则视为常数，再考虑∇对第二个量的作用，此时亦将第二个量记为∇的下标，第一个量则视为常数；必须注意的是，算符不能与其微分运算对象掉换次序.例如(2.16)式，)(f ϕ⋅∇是对矢量f ϕ求散度，故运算结果的每一项都必须是标量，我们有ϕϕϕϕϕϕ)()()()()(f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇f又如(2.20)式，)(g f ⋅∇是对标量g f ⋅求梯度，结果的每一项都必须是矢量，先把它写成)()()(g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇g f再根据三矢量的矢积公式(1.6)式，但结果中必须体现f ∇对f 的微分作用，以及g ∇对g 的微分作用，故有f g f g g f )()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇fg f g f g f )()()(∇⋅+∇⨯⨯=⋅∇gg f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇右方所得结果中第二项实际上是f g ∇⋅，第四项是g f ∇⋅.（7）积分变换⎰⎰⋅=⋅∇SV d dV S A A )( （高斯定理） (2.23.) →→→→⋅=⋅∇⎰⎰T d dV T SV S )( (2.24) ⎰⎰⋅=⋅⨯∇LS d d l A S A )( （斯托克斯定理） (2.25) ⎰⎰⋅∇=∇+∇SV d dV S )()(22φϕϕφφϕ（格林公式） (2.26) ⎰⎰⋅∇-∇=∇-∇SV d dV S )()(22ϕφφϕϕφφϕ（格林公式） (2.27) 3 δ函数一维δ函数定义为 ⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.1) 1)(='-⎰b adx x x δ ，当b x a <'< (3.2) 主要性质为：)(x x '-δ为偶函数，其导数是奇函数；又若函数)(x f 在x x '=附近连续，有)()()(x f dx x x x f ba '='-⎰δ，当b x a <'< (3.3) 这一性质由中值定理可以证明.三维δ函数定义为⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.4) 1)(='-⎰VdV x x δ，当x '在V 内 (3.5) 因此，位于x '的单位点电荷的密度可表示为)()(x x x '-=δρ. (4.3)式可推广到三维情形，若函数)(x f 在x x '=附近连续，便有)()()(x x x x '='-⎰f dV f V δ，当x '在V 内 (3.6)4.球坐标系和圆柱坐标系直角坐标系当坐标),,(z y x 变化时，三个基矢z y x e ,e ,e 的方向保持不变.常用的微 分运算表达式为z y x zy x e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.1) zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (4.2) z x y y z x x y z y A x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (4.3) 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.4)曲线正交坐标系任一点的坐标也可用曲线正交坐标系描述，沿三个坐标),,(321u u u 增加方向的基矢量321e ,e ,e 互相正交，随着坐标变化，一般地三个基矢量的取向将会改变.无限小线元矢量l d 、坐标i u 的标度系数i h ，以及微分算符分别为333222111332211e e e e e e l du h du h du h dl dl dl d ++=++= (4.5)21222])()()[(ii i i u z u y u x h ∂∂+∂∂+∂∂= (4.6) 333222111111u h u h u h ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e (4.7) )]()()([13321322132113213212u h h h u u h h h u u h h h u h h h ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇ (4.8) 球坐标系r u =1，θ=2u ，φ=3u ；11=h ，r h =2，θsin 3r h =.三个基矢r e e =1，θe e =2，φe e =3的方向均与坐标θ和φ有关，而与r 无关.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x e e e e e e r 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φφθφθφθθφθφθφθ (4.9) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin z y x (4.10)坐标变换为φθcos sin r x =，φθsin sin r y =，θcos r z = (4.11)常用的微分运算表达式为φϕθθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r re e e (4.12) φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r rr r sin 1)sin (sin 1)(122A (4.13) φθθφθφθφθφθθθe e e A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⨯∇r r r A A r r r A r r A r A A rsin -))-(1(sin 11)sin (1 (4.14) 2222222sin 1)sin (sin 1)(1φϕθθϕθθθϕϕ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r (4.15) 立体角元、球面积元与体积元分别为φθθd d d sin =Ω (4.16) Ω===d r d d r dl dl dS r 2232sin φθθ (4.17) φθθd drd r dl dl dl dV sin 2321== (4.18)柱坐标系r u =1，φ=2u ，z u =3； 11=h ，r h =2，13=h .三个基矢量r e e =1，φe e =2 ，z e e =3中，r e 和φe 的方向均与坐标φ有关，z e 则为常矢量.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z e e e e e e r 1000cos sin 0sin cos φφφφφ (4.19) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z z y x e e e e e e r φφφφφ1000cos sin 0sin cos (4.20)坐标变换为φcos r x =，φsin r y =，z z = (4.21)常用的微分运算表达式为z r zr r e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕφϕϕϕφ1 (4.22) z A A r A r r r z r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φφ1)(1A (4.23)z r z r r z A A r r r rA z A z A A r e e e A ]([1()1(φφφφφ∂∂-∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇))-- (4.24)2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇ϕφϕϕϕ (4.25) 体积元为dz rdrd dl dl dl dV φ==321 (4.26)例1．设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u dudfu f ∇=∇)( (1) dud u u AA ⋅∇=⋅∇)( (2) dud u u AA ⨯∇=⨯∇)( (3) 【证】对于)(u f ∇，注意到du df u f =∂∂，有u drdf z u y u x u du df zf y f x f u f z y x z y x∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)()(e e e e e e在直角坐标系中将矢量A 写成分量形式，便可证明(2)式和(3)式.例2．从源点（即电荷电流分布点）x '到场点x 的距离r 和矢径r 分别为222)()()(z z y x y x x r '-+'-+'-= z y x z z y -y x -x e e e r )-()('+'+'=)(对源变数x '和场变数x 求微商的算符分别为z y x z y x'∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'e e e ,zy x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e 证明下列结果，并体会算符∇'与∇的关系：rr r r=∇'-=∇ (单位矢量) (1) 3=⋅∇'-=⋅∇r r (2) 0=⨯∇'-=⨯∇r r (3)→→=∇'-=∇I r r (单位张量) (4) 311rr r r-=∇'-=∇(5)033=⋅∇'-=⋅∇rrr r ，（0≠r ） (6) 033=⨯∇'-=⨯∇r r r r (7)【证】 将算符∇与∇'分别作用于r 和矢径r 的表达式，可得到(1)至(4)式的结果.利用前面1.2题的第一式和本题(1)至(4)式的结果，得3211)(1rr r r dr r d r rr -=-=∇=∇- 0)(333=⋅∇+⋅∇=⋅∇-r r r -r r r ，（当0≠r ） 0)(333=⨯∇+⨯∇=⨯∇-r r r -r r r同理可证31r r r =∇'；03=⋅∇'rr ，当0≠r ；03=⨯∇'r r.事实上，对任意的标量函数)(r f 和矢量函数r )(r f ，不难证明)()(r f r f ∇'-=∇；])([])([r r r f r f ⋅∇'-=⋅∇ ])([])([r r r f r f ⨯∇'-=⨯∇；])([])([r r r f r f ∇'-=∇即算符∇与∇'存在代换关系∇'-→∇.这种代换将会经常用到.。
张量分析清华大学张量分析你值得拥有
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2
第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步
第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步为了对张量有一个全面的了解，本章对一般曲线坐标系中的张量分析做一个初步的介绍。
3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量在一般曲线坐标系中，由于必须要用两套基矢量，因此指标要分上标和下标，在正交曲线坐标系中经常用的ij δ应分为i j δ和j i δ，ijk ε也常分为ijk ε和ijkε。
设给定曲线坐标(1q ,2q ,3q )，过空间任一点M 沿每一坐标曲线可得一个切矢量，记为i i qr g ∂∂=i g 是线性独立的矢量，在正交曲线坐标系中，选i g /ig为基矢量。
由于i g 的正交性，有ij j i j i g g g g δ =⋅。
而在一般曲线坐标系中，i g 不一定是相互正交，但任选i g为基矢量（不为单位矢量），称为协变基矢量，在协变基矢量i g的基础上，我们还可以选i g ，使得1g 与2g ，3g 正交，且111=⋅g g ，其他类似。
i g 也是一组基矢量，称为逆变基矢量，i g 与i g是正交的，他们称为互逆基矢量。
我们令j i ij g g g ⋅= j i ij g g g ⋅=i i i j j j g g g g g =⋅=⋅分别称为协变度量张量，逆变度量张量及混合度量张量。
由协变基矢量i g 与逆变基矢量i g的正交性，有i j j i i j g g g δ=⋅=逆变基矢量可以用协变基矢量表示，可以推出j ij i g g g =因为j j ik ij k ij k i k ik g g g g g g g g δ==⋅=⋅=同理有j ij i g g g =可以看到协变度量张量和逆变度量张量起着升标和降标的作用。
注意，在这里我们用了约定求和，不过这里求和中的指标应是一个是上标，另一个是下标。
由于jl il l k jl ik l k jl ik l jl k ik j i i j g g g g g g g g g g g g g g ==⋅=⋅=⋅=δδ)()(可知ij g 和ij g 互为逆矩阵。
弹塑性力学第二章 矢量和张量概述
(2.16) （2.17）
矢量方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 条件为
F , F ,..., F
(2)
(1)
(2)
( n)
作用，质点的平衡
F
(1)
F
... F
i y
( n)
0
n i z
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
U V u1v1 u 2 v2 u3 v3 ui vi ui vi u k vk
i 1
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新 矢量，即 (w , w , w ) (u v , u v , u v )
C
X’
D
B x
A
可以表示为
' i
x ij x j
(i, j 1,2)
(a)
11 ij 21
12 cos sin 22 sin cos
Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即 G grad ( , , ) x1 x2 x3 这里 ( , , ) 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面
( x1 , x2 , x3 ) c
则有如下平移公式
x x ' h x ' x h 或 y y ' k y ' y k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转 角得到
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
数学准备矢量分析与张量初步
注意：这里面法向或者面元方向 与线元绕向 成右手螺旋关系。
Gauss 定理和 Stokes 定理是矢量分析中的基本定理，必须熟练掌 握。
前面定义的矢量微分算符
Gw ei wxi 是个特殊的量，既是矢量，
又是算符。因此，在运算过程中，既要遵守微分的运算规则，也要遵 守矢量的运算规则。
因为 是线性算符，当 a, b 为常数时，有
电动力学
1
重视： 1) 重视课堂内容 2) 课后看书、看课件，把概念和知识点理解清楚； 3) 独立推导一些基本的公式，独立完成作业； 4) 阅读参考书和文献，掌握一些与教材内容密切相关的 课外知识； 5) 鼓励围绕课堂学习内容所撰写的问题讨论。
第一章 矢量分析与张量初步
2
第一章 数学准备：矢量分析与张量初步
取正号，在后面的取负号。
矢量的混合积满足
GGG 这是由矢量 A 、 B 、 C 构成的斜立方体的“体积”。
! （1.8）
记住方法： 9 这个混合积是一个标量，因此只可能是两个矢量的叉积与一 个矢量的标积； 9 当最后运算的矢量位于最前位置时，只要保持循环顺序，并 且叉与点积的位置不变。
GGG GGG GGG (B u C) A (A u B) C (C u A) B.
也是无旋场。
常用运算：
电动力学
9
球面上沿着矢径方向的梯度
还有：
G E
=EG0eikGxG
（
与位置矢量 无关）
G GG u E ik u E
易证明：任何标量场的梯度场都是无旋场：
u M { 0
! （1.17）
即标量场的梯度为无旋场。
易证明：矢量场的旋度为无源场
G ( u A) 0.
矢量和张量
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
ch0矢量张量简介
矢量和张量的运算举例
ij ei e j
e1 ´ e2 = e3 = e123e3 , e2 ´ e1 = -e3 = e213e3 ei e j ijk ek
e1 × (e2 ´ e3 ) = e1 × e1 = 1 = e123 , e1 × (e3 ´ e2 ) = e1 × (-e1 ) = -1 = e132 ijk ei e j ek
补充知识
标量、矢量和张量
标量是一维的量，它只需 1 个数及单位来表示，如温度、密 度。 矢量(向量)则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必 需由某一空间坐标系的 3 个坐标轴方向的分量来表示，因 此矢量是三维的量。 三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可 完整的表示，如应力，变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为 一阶张量。
二阶张量的双点积定义为： (流体力学中碰到过?)
A : B aij ei e j : bkl ek el
aij bkl ik jl aij bij
二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
共轭张量
设 P 是一个二阶张量，则 Pc 也为一个二阶张量，称为 P 的共轭张量， 可表示为
(3).e1 v ; (4).e2 v ;
求:
(5).r v , r xi yj zk , 是位置矢量.
解:
v w vi wi v1 w1 v2 w2 v3 w3 1 3 2 1 5 1 4
.
i
j
k
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION4
§4 张量算法一、 张量概念[张量的一般定义] 若一个量有n N 个分量，而每个分量在n 维空间R n 中的坐标变换()n i i x x x x ''⋅⋅⋅=,,1 (i = 1 , ·, n )之下，按下面的规律变化：lm mm l l j l mj j i i i i i i j j j j j i i T x x x x x x x x T⋅⋅⋅⋅⋅⋅'''⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂⋅⋅⋅∂∂='111111 1 1 式中l mj j i i T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11是x i的函数，11l mj j i i T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是x i '的函数，则量lmj j ii T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(共有n N个分量)称为l 阶逆变(或抗变)m 阶协变的N (=l ＋m )阶混合张量(或称为(l ＋m )型混合张量).张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是二阶张量，而三阶张量(例如T jk i)好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达.下面列出n =2时的张量示意图：[张量举例]1可乘张量 设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a , b 是已知的，则由等式i k i k k i ik k i ik k i ik b a T b a T b a T b a T ====⋅,.,,确定的都是二阶张量，称为可乘张量.2克罗内克尔符号克罗内克尔符号δj i 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是因为从ij ji i i xx x x δ=∂∂∂∂'' 可得i j j j i i j i i i i j xx x x x x x x δδ''''''∂∂∂∂=∂∂∂∂= [二阶对称张量与反对称张量] 若张量满足等式k i i k ki ik ki ik T T T T T T ===,,则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式T T T T T T ik ki ik ki k i i k =-=-=-,,则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量. 张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的.在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价.二、 张量代数[指标的置换] 指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量T ki 得到新的张量T ik ，它的矩阵是张量T ki 的矩阵的转置矩阵. [加(减)法] 同类型的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法).任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如()()ki ik ki ik ik T T T T T -++=2121[张量的乘法] 把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算称为张量的乘法.例如khl mk l hm s s tt r r p p s s r r t t p p T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11111111这是一个l ＋k 阶逆变m ＋h 阶协变的混合张量，它的阶数为l ＋m ＋k ＋h . 注意，张量乘法的次序是不可交换的.[张量的缩并] 对一个给定的混合张量，把它的一个逆变指标与一个协变指标相等的相加起来，得出阶数较低(逆变和协变各低一阶)的张量，这种运算称为张量的缩并.例如lml mss s q q s s s q q T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=212122是一个l －1阶逆变m －1阶协变的混合张量.[指标的升降] 在应用中经常用二阶逆变张量()()a a ij ij det ≠0的相乘与缩并来“升高”张量的协变指标，用二阶协变张量()()a a ij ij det ≠0相乘与缩并来“降低”张量的逆变指标.这种运算称为指标的升降.例如T ijk 就可由a ij和a ij 升降：ijkkp jm il lmp ijk jm il k lm ijk il jk l lmp ijk kp jm il lm j ijk km il lm k ijk jm il lij ijk kl l ik ijk jl ljk ijk il T a a a T T a a T T a T T T a a a T T a a T T a a T T a T T a T T a =========,,,,,,[张量的商律] 设T j j i i ml11⋅⋅⋅⋅⋅⋅和Tj j i i ml 11''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅各为一组x i 和x i '的函数，如果对任意逆变矢量λi 与λ'i 及任一指标j k ，j k '使jk i i j j j l m k T λ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11与''⋅⋅⋅''⋅⋅⋅'⋅⋅⋅'kl m k j i i j j j T λ11 成为张量，则T j j i i m l11⋅⋅⋅⋅⋅⋅必为张量.这种判别张量的法则称为张量的商律.例如 T k l m ij 与T k l m i j '''''各为x i ，x i '的函数，而且m mk k j j i i lij klm l j i m l k x x x x x x x x T T ''''''''''∂∂∂∂∂∂∂∂=λλ则m mk k j j i i l l l ij klm l j i m l k xx x x x x x x x x T T ''''''''''''∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=λλ即0'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-''''''''''l m m l l k k j j i i ij klm j i m l k x x x x x x x x x x T T λ 对所有的λ'l 都成立，所以上式括号中的表达式等于零，因此T klm ij是张量.以任意协变矢量代替逆变矢量可得相仿的结果. [张量密度] 按下面规律变化的量⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'''⋅⋅⋅'⋅⋅⋅'⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂=l k wa a k kl l l k T xx x x x x T 称为张量密度，式中w 为一常数，称为张量密度的权.张量就是权为零的张量密度.根据张量的阶数，还可以定义标量密度和矢量密度.两个指标的数目相同，且权相同的张量密度之和是一个同类型的张量密度.两个张量相乘时，权相加.三、 张量分析上述张量都假定它的分量是空间R n 中点M (x i)的函数：()T T xj j i i j j i i im l m l 1111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 当点M (x i )在空间R n中某一区域D 中变动时，则称T j j i i m l11⋅⋅⋅⋅⋅⋅是区域D 中的一个张量场.上面所建立的张量代数的各种运算，都可以应用到张量场上来.对于张量场还有一个不变的运算——绝对微分(也称为协变微分)，这就是张量分析要讨论的内容.一个标量场的普通导数是一个协变矢量场(梯度场)的分量.但是，一般说来，一个张量场的普通导数并不构成新的张量场.[仿射联络空间] 若对空间R n中的每一坐标系(x i)，在一已知点M 给定了一组(n 3个)数k ij Γ，并在坐标变换()x x x i i i ''=下，它们按下列规律变化k ijkk j j i i kk j i k k j i x x x x x x x x x x x Γ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=Γ'''''''''2 (1) 则称在点M 给定了一个联络对象(或联络系数)，其中偏导数是在点M 取值的. 假定在空间R n中给定了联络对象场()()n k ij k ij x x M ,,1⋅⋅⋅=ΓΓ而且这些函数是连续可微的，则称R n为仿射联络空间，记作L n.一般说来，k ji k ij ΓΓ≠[挠率张量] (1)式中k ij Γ的变换规律包括两项：第一项不依赖于旧坐标系中的k ij Γ；第二项依赖于k ij Γ，并和张量的变换规律的形式完全相同.由于第一项对两个下标''i j ,是对称的，它一般不等于零，所以k ij Γ不是一个张量.但是k ji k ij k ij T ΓΓ-=构成一个张量，称为仿射联络空间L n的挠率张量.如果挠率张量k ij Γ等于零，即k ji k ij ΓΓ=则称所给定的空间是无挠率的仿射联络空间，记作L n 0.[矢量的绝对微分与平行移动] 若在空间L n中给定一个逆变矢量{}a i ，则在坐标变换下有iMi i i a x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=''(2) 这构成矢量{}a i 在点M 的变换规律.如果从点M ( x i )移到点N (x i ＋d x i)，则有()i i jM ji i M i i i i a a x x x x x x a a d d d 2+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+''''式中d a i表示矢量{}a i 从M 移到N 时的改变量的分量.在上式中只取一次项就得到ji Mji i iM i i i x a x x x a x x a d d d 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='''(3) 若变换的二阶偏导数在M 不等于零，则一个矢量的改变量决不是一个矢量的分量. 如果R n 为仿射联络空间，可由(1)，(2)，(3)式得到()kj i jk i Mi i k j i k j i x a a x x x a ad d d d ΓΓ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+'''''''这表明k j ijk i i x a a Da d d Γ+=是一个逆变无穷小矢量.称Da i为矢量{}a i 在点M 处关于分量为d x i的位移MN 的绝对微分.如果联络对象()0=MijkΓ，则绝对微分与普通微分一致.若矢量{}Da i 等于零，即k j ijk i i x a a Da d d Γ+==0就称矢量{}a i 关于联络i jk Γ从点M 平行地移动到点N .当()0=MijkΓ，分量a i 保持不变(d a i= 0)时，矢量从点M 平行移动到点N ，就相当于欧氏空间中的平行移动. 如果给定一条曲线Cx i = x i( t )和一个逆变矢量{}a i ，沿这条曲线C 可以作伴随于{}a i 的矢量tx a t a t Da kj i jk i i d d d d d Γ+= 称它为沿曲线C 的导矢量.如果{}a i 的导矢量为零，即0d d d d =+tx a t a kj i jk i Γ (4) 则矢量a i自身沿曲线C 平行地移动，(4)式与坐标系的选择无关，就是说，矢量沿曲线的平行移动在坐标变换下是不变的.同样地可以考虑协变矢量{}a i 的绝对微分与平行移动.称k i ijk j j x a a Da d d Γ-=为协变矢量{}a i 关于位移d x i的绝对微分.平行移动的条件为0d d =-k i i jk j x a a Γ或沿曲线C 平行移动的条件为0d d d d =-tx a t a kiijk j Γ [协变导数] 从逆变矢量与协变矢量的绝对微分的定义公式可以得到量j i jk k i a xa Γ+∂∂和i ijk kja x a Γ-∂∂它们是关于指标k 协变的二阶张量，分别称为矢量{}a i 和{}a j 的协变导数，分别记作a i k ;和a j k ;或∇k i a 和∇k j a .[张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法]由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律. 例如，三阶张量的平行移动规律为()s rik l rs l ir r ks l rk r is l ik x T T T T d d ΓΓΓ-+=四阶张量的平行移动规律为()s lrij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij x T T T T T d d ΓΓΓΓ--+=可以看出,张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记()s lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij lk ij x T T T T T DT d d ΓΓΓΓ--+-=则称DT ij lk 为张量T ij lk 的绝对微分. [张量的协变导数及其运算法则]lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is slkijlk ij s lk s ij T T T T x T T T ΓΓΓΓ++--∂∂=∇≡;称为张量T ij lk 的协变导数，它是一个五阶张量的分量.在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导数，对于逆变指标，这项的形式是⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ri rs s i T T Γ;对于协变指标是⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r ks s k T T Γ;协变导数的运算法则如下：1若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即()∇+=∇+∇⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅s j j i i j j i i s j j i i s j j i i T U T U m l m l m l m l111111112满足积的微分法则，即()()()()∇=∇+∇+∇s s s s ABC A BC A B C AB C[自平行曲线] 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点M 0的每个矢量{}a i0沿这曲线平行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.设曲线的方程为x i=x i(t ), 它的切矢量为tx i d d ，它沿曲线平行移动的条件为0d d d d d d 22=+t x t x tx kj i jk i Γ 这就是联络ijk Γ的自平行曲线的微分方程.设()ikj i jk i jk S ΓΓ+=21 上面的微分方程可写成t x t x S tx kj i jk i d d d d d d 22-= 系数S jk i 显然关于j 和k 是对称的，并构成一个仿射联络.称S jk i 构成伴随于ijk Γ的对称仿射联络，如果i jk Γ关于j , k 也是对称的，则S jk i 与ijk Γ一致.。
第一章 张量初步
1
上式两端同时点乘g1得到
所以 同理
g
2
1 g 1 g c g 1 ( g 2 g 3 ) c[ g 1
1
g2
g3 ] c
g
g
1
1 g
( g2 g3 )
1 g
( g 3 g1 ) ( g1 g 2 )
13
g
3
1 g
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x
1
e 1
x
2
e 2
x
3
e 3
x
k
ek
16
空间点的局部基矢量
下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的
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梯度，即
g x
i i
x x
i k
ek,
i , k 1, 2 , 3 x x
i k
i i ik ik
det( j ) det( g g kj ) 1
i ik
这再次证明(gij)与 (gij)互为逆矩阵。
12
ppt/102
g g j j,
i i
i , j 1, 2 , 3
由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2 、 g3垂直， 可以用协变基矢量g2 、 g3的叉积表示逆变基g1：
dr
g ij g
i
dx g idx
gi g j ,
i , j 1, 2 , 3
称为度量张量G=(gij)的分量。
9
ppt/102
g ij g i g j ,
i , j 1, 2 , 3
张量和矢量
§1 向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。
在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。
设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成(1.1)设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。
从(1.2)可反解出（1.4）向量在新坐标系中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。
这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。
可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。
这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。
1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。
本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。
按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得(1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，(1.13)今引入Kronecker记号，(1.14)例如。
应用，单位向量之间的内积可写成(1.15)向量和向量之间的内积可写成(1.16)上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。
再引入Levi-Civita记号，(1.17)其中 分别取1，2，3中的某一个值。
第1章 矢量与张量
xi
r = r ( x1 , x 2 , x3 )
( ( x i ) 与空间所有点1－1对应，x i )
就是曲线坐标系； 3.
( x i ) 不是 r 在在固定坐标系中的
(X i) ： 投影长度
≠ x1i + x 2 j + x3 k r = X 1 ( xi ) i + X 2 ( xi ) j + X 3 ( xi ) k
a ( u + v ) = au + av
uI 线性相（无）关：是（否）存在一组非全为零的数 aI ，使∑ ai ui = 0
i =1 I
8.叉积 i j k w = u × v = u x u y u z ； u × v = u v sin( u, v ); u, v组成的平行四边形面积 vx v y vz
2
指标升 / 降 ◊ 基矢量指标升 / 降：g i = G ij g j，gi = Gij g j （度量张量的元素实际上就是协、逆基矢量相互线性分解的系数） ◊ 矢量分量指标升 / 降：P = p i gi = p j g j ⇒ p i = G ij p j，p j = G ji p i ◊ 张量分量指标升 / 降：T = T•ij gi g j = T•ij Gim g m G jn gn = T•ij Gim G jn g m gn
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
张量分析01
附录I 张量分析近代力学在电子计算机的辅助下冲破了数学求解上的重重困难，取得了突飞猛进的发展，力求对复杂的物理现象和工程问题做出更为系统和真实的描述和研究。
张量分析能以简洁的表达形式和清晰的推导过程来有效地描述复杂问题的本质，已被近代力学文献和教科书普遍采用。
作为入门，此处着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。
I.1 矢量和张量的记法，求和约定力学中常用的量可以分成三类：只有大小没有方向性的物理量称为标量。
例如温度T 、密度ρ、时间t 等。
既有大小又有方向性的物理量称为矢量，常用黑体（或加箭头）表示，为与课堂讲述一致，此处选择用上加箭头表示矢量。
例如矢径r 、位移u 、速度v 、力f 等。
具有多重方向性的更为复杂的物理量称为张量，常用黑体（或加下横）表示，为与课堂讲述一致，此处选择用下加横线表示矢量。
例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为σ。
矢量可以在参考坐标系中分解。
例如图1 中P 点的位移u 在笛卡儿坐标系()321,,x x x 中分解为∑==++=31332211i i i e u e u e u e u u (I.1)其中1u 、2u 、3u 是位移的三个分量，1e 、2e 、3e是沿坐标轴的三个单位基矢量。
由此引出矢量（可推广至张量）的三种记法： ( l ）实体记法：把矢量或张量的整个物理实体用一个黑体字母或上加箭头来表示。
例如把位移记为u 。
( 2 ）分解式记法：同时写出矢量或张量的分量和相应分解方向的基矢量。
例如用式(I.1)表示位移u 。
( 3 ）分量记法：把矢量或张量用其全部分量的集合来表示，省略相应的基矢量。
例如用三个位移分量()3,2,1=i u i 的集合表示位移u 。
下面详细讨论后两种记法中广泛采用的指标符号。
对于一组性质相关的n 个量可以采用指标符号来表示。
例如，n 维空间中矢量a 的n 个分量1a ，2a ，…，n a 可缩写成()n i a i ,,2,1 =。
矢量和张量
在柱坐标系中，对应(r，θ，z)的拉梅系数h为(1，
r，1)故有
在球坐标系中，对应(r，θ，φ)的拉梅系数h为(1，
r，rsin θ)故有
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
矢量和标量的乘法
用一标量乘一矢量，仍为一矢量，它的大 小改变，但方向不变。下述定律适用；
二矢量的标量积(或点积)
二矢量v和w的标量积为一标量，定义如下：
v w vwcosvw
a31 a32 a33
矢量及其大小的定义：单位矢量
一矢量v可以完全地用其在 座标抽I，2，3上的投影 v1,v2,v3来描述(见左图)。因 此一矢量可以解析地表示为：
3
v 1v1 2v2 3v3 ivi i 1
一矢量的大小如下式所给：
上面介绍过的单位矢量具有了下述几个性质 它们可归纳如下； 式中δij和εijk分别是前边介绍过的克罗内克符号和交错 单位张量。
v v 0
矢量运算的解析表示
克罗内克符号(Kronecker delta)δij和交错单位张量εijk， 可把许多公式表达得更为简单。它们的定义如下：
ij 1 若i j
张量分析
第一篇 张量分析第一章 矢 量 §1—1 矢量表示法物理中的位移、速度、力都是矢量。
利用三维空间中的有向线段ν表示矢量是最直观的表示法，如图1-1所示。
有向线段的长度v 代表矢量的大小。
这种方法不依赖于坐标系的选择。
矢量的分量表示法是另一种表示方法，选定一个坐标系。
比如通常的正交直线坐标系，即卡氏坐标系，然后确定矢量对于该坐标系的分量(,,)x y z v v v ν(1-1a)这一有序数也可视作一个单行矩阵。
矢量也可以用基矢与其对应分量写成x y z iv jv kv ν=++ (1-1b)其中,,x y z iv jv kv 称为分矢量。
而i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1) (1-1c)是单位矢量，它们组成卡氏系中的一组基矢(称为标架)。
§1-2指标符号上面所述用分量(,,)x y z v v v 或用基矢量i,j,k 来表示矢量的方法，在推广到比三维更高的空间时就有困难了。
因此，发展了另一种记法。
把x 、y 、z 分别记为111,,x y z 这样，一个n 维空间的矢量(无法用直观图表示)用分量表示时为123(,,,...,)n v v v v ν= (1-2a)它可视为一个M 维的单行矩阵，且可写为{}i v ν= (1,2,3,...,)i n =同理，基矢i,j,k 可分别写为123,,e e e ，n 维空间的基矢i e (1,2,3,...,)i n =。
而与式(1-1b)对应的写法为112233n n e v e v e v e v ν=++++ (1-2b)相应的分矢量为11,,,i i e v e v ，其中1e =(0,…,0,1,0,…,0) (1-2c)↑ 顺序第i 个这里i 叫做v 的下标，也有记作jv (如本书第三章以后章节所出现)的，这时j 称为上标。
有些量比矢量更复杂，只用一个下(或上)指标还不够，还要采用更多的指标，比如,,,ij ij ijk A B C ，等等。
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章2 矢量函数共46页PPT资料
o
解：v ()vc o si1 vs ini2 (0 .5 c o s 0 .2 5 c o s 2)i1
(0 .5 s in 0 .2 5 s inc o s)i2 ; 0 /2 0 :v 0 .2 5 m / s ; 1 5 :v 0 .2 5 9 m / s
3 0 :v 0 .2 8 3 m / s ; 4 5 :v 0 .3 2 3 m / s
，b]区间的不同取值x (t)位置矢量平面描绘一条曲线。
对矢量函数： x x (t1 ,t2 ) x 1 (t1 ,t2 )i1 x 2 (t1 ,t2 )i2
t2
x2
当t = b 时： 2 2
x x (t1 ,b 2 ) x 1 (t1 ,b 2 )i1 x 2 (t1 ,b 2 )i2
a2
更一般地有：对矢量函数 x(t)的终点所描绘的曲线称为矢
端曲线或称为 x(t)的图形。而（2.3-1）式称为矢量方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例12：
x2
已知小球在四分之一圆弧轨道中运动。圆弧
轨道半径R=50cm，小球运动速度的大小 v φ
0.51cos(m。/s)试求小球速度矢量方程；并在图
4
中画出小球速度的矢端曲线。
程。参数方程在 {o；i1，i2，i3} 中描绘的曲线称为矢端曲 线（面）。
具有一个参数的矢量函数矢端曲线（二维映射分析）：
设x = x (t) , b≤t≤a。在平面坐标系{o；i1，i2}中，矢量x
随t的变化，且： xx1(t)i1x2(t)i2
x2
x完全由x1(t), x2(t)的变化确定。
t*
xx(t1, ,tn)
（2.3-3）
x x 1 ( t 1 ,, t n ) i 1 x 2 ( t 1 ,, t n ) i 2 x 3 ( t 1 ,, t n ) i 3 x i ( t 1 ,, t n ) i i