中北大学概率统计习题册参考答案

1 (1 − e −1 ) ； 2 8 16 ⎞ ⎛ −8 0 ⎟ ⎝ 0.2 0.3 0.1 0.4 ⎠
P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P( B | A2 )
1 6 1 8 41 × + × = 2 10 2 14 70 14 7 (2) P ( B ) = = 24 12
6、 （1） f ( x) = ⎨
5 2
P ( B) = ∑ P ( Ai ) P( B | Ai )
i =1
4
⎛ 3 ⎞ P ( B) = 1 − P ⎜ ∩ Ai ⎟ = 1 − P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ⎝ i =1 ⎠
2 1 1 1 8 = 1− × × = 1− = 3 2 3 9 9.
12．解
p=
10 × 9 × 90 81 9 = = . 100 × 99 × 98 99 × 98 1078
2012-2013-1
2012-2013-1
-2-
概率统计习题册参考答案 13 ． 解
概率统计习题册参考答案 18．解 记 Ai = { A 在第 i 次试验中出现}，
B = { 迟 到 } ， A1 = { 坐 火 车 } ，
5. (1) k = 1 ;
当 y ≤ 0 时 FY ( y ) = 0 ， 当 y ≥ 1 时， FY ( y ) = 1 ， 当 0 < y < 1 时，
1/ 9 = P( A) P( B ) = (1 − P( A))(1 − P( B))
F ( y) = P{Y ≤ y} = P{X 2 ≤ y} = P{ y ≤ X ≤ y} Y
P( A B ) = P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − 0.6 = 0.4
(3) P ( A B ) = P ( B − A) = 0.6 − 0.4 = 0.2. ； 10．解 注意到
记求概率的事件为 A ，样本点总数为
(3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小 时） ，则 Ω = { X ∈ (0, + ∞)} ，
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概率统计习题册参考答案
概率统计习题册参考答案
= FX ( y ) − FX (− y )
将 FY ( y ) 关于 y 求导数得到 Y 的概率密度为
13、 （1） a + b = 14、
fZ (z) =
3 1 7 ,b = ； （2） a = 8 12 24
由全概率公式有：
B = ∪ Ai ，因而
i =1
3
8 ， 此即 p = 1 / 3 . 27
第二章 随机变量及其概率分布 1、 A = 1 ；0.4
⎧ 0, ⎪ 1/15, ⎪ ⎪ 3 / 15 2、是； F ( x) = ⎨ ⎪ 6 /15 ⎪10 /15 ⎪ ⎩ 1
x <1 1≤ x < 2 2≤ x<3 ;否 3≤ x < 4 4≤ x<5 x≥5
∫ =∫
+∞ −∞ +∞
f X ( x ) f Y ( z − x ) dx 3 e − 3 x f Y ( z − x ) dx
7、 ⎜ X ⎜
⎛Y
−1 X >0 2/3
0 X =0 0
0
10、 15、
X Y
z≤0 ⎧ 0, ⎪ = ⎨ z −3 x −(z−x) dx , z > 0 ⎪ ∫0 3 e ⋅ 2 e ⎩ 0 z≤0 ⎧ = ⎨ −2 z −z ⎩ 6 e (1 − e ) z > 0
(ⅲ) 有利于 C 的样本点数 k C = 2 × 5 × 2 ， 故
(1) P ( A ) = 1 − P ( A) = 1 − 0.4 = 0.6 ，
A = {( +,+ ), (−,−)} .
(2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数，则
P(C ) =
20 49
P ( B ) = 1 − P( B) = 1 − 0.6 = 0.4 ；
=
x < −1 ⎧0 ⎪ 0.3 −1 ≤ x < 0 ⎪ 3、 （1） F ( x) = ⎨ ； （2）1 ⎪0.7 0 ≤ x < 1 ⎪1 x ≥1 ⎩
8、(1) ⎜
(2) ⎜
Ai = {元件 i 通达}， i = 1,2,3,4,5,6
则 A = A1 A2 ∪ A3 A4 ∪ A5 A6 ， 所以
O
A ⊂ B ，所以 AB = φ ；
(4)
1/3 8 题图
1
x
11．解
P ( AB) = P( A) P( B | A) = 0.5 × 0.8 = 0.4 P ( AB ) = P ( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − P( A) − P( B) + P( AB)
n = 7 2 . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分
自 甲 袋 } ， A2 = { 取 自 乙 袋 } ， 已 知
⎧ 1 x e ⎪ 1 7、 c = ; F ( x) = ⎪ 2 （1） （2） ⎨ 2 ⎪1 − 1 e− x ⎪ 2 ⎩
（3）
x<0
；
x≥0
P ( B | A1 ) = 6 / 10 ， P ( B | A2 ) = 8 / 14 ，所以
17 1 3 5 2 4 6 17 题图 解 记 A = {通达}， ．
others ⎧ 0 ； 1/ x 1 < x ≤ e ⎩
(2) F ( ) − F (2) = ln 5 − 2 ln 2
= 0.3 × 0.25 + 0.2 × 0.3 + 0.1 × 0.1 = 0.145
14．解 (1) 记 B = {该球是红球}， A1 = {取
所以， (1 − p ) =
3
0 x≤0 ⎧ ⎪ x2 ⎪ 0 < x ≤1 ⎪ 2 （2） F ( x) = ⎨ 2 ⎪2 x − x − 1 1 < x ≤ 2 ⎪ 2 ⎪ x>2 1 ⎩
1 3 3 （3） P{ < X < } = 。 2 2 4
P ( B | A3 ) = 0.1 ， P ( B | A4 ) = 0 .
5 3 ，而有利 A 的样本点数为 5 × 4 × 3 ，所以 P( A) =
8．
A = { X ∈ (2000, 2500)} .
2. 解 (2) (1) A ∪ B = ⎨ x
5 × 4 × 3 12 = . 25 53
P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( AB) ，因而 P ( AB) = P( A) + P( B) − P( A ∪ B) = 0.5 + 0.7 − 0.8 = 0.4 . 于是， P ( A − B) = P( A − AB) = P ( A) − P ( AB)
P ( A) =
9． 解
P( B) =
5 × 2 10 = 49 72
| S A | 5 / 18 5 = = . |Ω| 1/ 2 9
(6) E 6 = A B C ∪ AB C ∪ A BC ∪ A B C ； (7) E 7 = ABC = A ∪ B ∪ C ； (8) E8 = AB ∪ AC ∪ BC . 4. 解 (1) A1 ∪ A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ；(4) A1 ∪ A2 ∪ A3 ； (5) A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 . 5．解 这是不放回抽取，样本点总数
= (1 − P( A)) 2 ,所以 1 − P ( A) = 1 / 3 。 最后得
到
A2 = {坐船}， A3 = {坐汽车}， A4 = {乘飞
机}，则 B =
P ( B) = P ( A) = 2 / 3.
记 B = {命中目标}，A1 = {甲命中}，
i = 1,2,3.
p = P( A) ，依假设
(2)
P ( B A) = P( A − B) = P(φ ) = 0
；
Ω = { X = k | k = 0,1,2, A = { X = k | k = 0,1,2,3} .
(ⅳ) 有利于 D 的样本点数 k D = 7 × 5 ，故
}，
P( D) =
7．解
7 × 5 35 5 = = . 49 7 72
3. 解 (1) E1 = AB C ；
-1-
为图中阴影部分，而 | Ω |= 1 / 2 ，
25 ⎛5⎞ P ( A) = ⎜ ⎟ = 49 ⎝7⎠
2
1 1 ⎛ 2⎞ 1 5 5 | S A |= − ⎜ ⎟ = × = 2 2⎝ 3⎠ 2 9 18
最后由几何概型的概率计算公式可得
2
= 1 − 0 .5 − 0 .6 + 0 .4 = 0 .3
别为 A, B, C , D . ( ⅰ ) 有 利 于 A 的 样 本 点 数 kA = 5 ， 故
2
记求概率的事件为 A ，则 S A
⎧ ⎫ 1 3 A ∪ B = A ∪ ⎨ x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 2⎬ = 4 2 ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ 1 1 3 ⎨ x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 1或 < x ≤ 2⎬ 4 2 2 ⎩ ⎭
2 5 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎝ 0.3 0.3 0.4 ⎠
4、
X p
1 2 3
15．解
因 P ( AB ) = P ( A B ) ，由独立性有
n
9、先来求 Y 的分布函数 FY ( y ) ，
因0 < Y = X <1
2
来自百度文库
P ( A) P( B ) = P( A ) P( B) ,从而 P ( A) − P( A) P( B) = P( B) − P( A) P( B)
⎛ 45 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ k ⎜ 2 ⎟⎜ 1 ⎟ 45 × 44 × 5 × 3! 99 P ( A) = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ = = n 50 × 49 × 48 × 2! 392 ⎛ 50 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
6．解 本题是有放回抽取模式，样本点总数 解
Ω
h
P ( B − A) = P ( B − AB) = P( B) − P( AB) = 0.7 − 0.4 = 0.3 .
∪ BA
i =1
4
i
，且按题意
16． 解
P ( B | A1 ) = 0.25 ，
P ( B | A2 ) = 0.3 ，
A2 = { 乙 命 中 } ， A3 = { 丙 命 中 } ， 则
⎛3 ⎞ 19 = P⎜ ∪ Ai ⎟ = 1 − P( A1 A2 A3 ) = 1 − (1 − p)3 ⎟ ⎜ 27 ⎝ i=1 ⎠
⎜p ⎝
1 ⎞ ⎟ X < 0 ⎟ ，所以 1/ 3 ⎟ ⎠
EY = −1/ 3 , EY 2 = 1 ， DY = 1 − 1/ 9 = 8 / 9
有 导致 P ( A) = P( B) ,再由 P ( A B ) = 1 / 9 ，
P ( A) = P( A1 A2 ) + P( A3 A4 ) + P( A5 A6 )
p qp
q2 p
q n −1 p
− P( A1 A2 A3 A4 ) − P( A3 A4 A5 A6 ) − P( A1 A2 A5 A6 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = 3(1 − p) 2 − 3(1 − p) 4 + (1 − p) 6
5、 EX = 0; DX =
1 6
于是
1 6、 k = , a = −1, b = 1 2
EY = E ( g ( X )) = ∫
+∞
−∞
g ( x) f ( x)dx
⎧ 1 [ f X ( y ) + f X (− y )], 0 < y < 1 ⎪ fY ( y) = ⎨2 y ⎪ 0, 其他 ⎩ ⎧ 1 , 0 < y <1 ⎪ = ⎨2 y ⎪ 0, 其他 ⎩
概率统计习题册参考答案
概率统计习题册参考答案 (3) E 3 = ABC ； (5) E 5 = A B C ； (ⅱ) 有利于 B 的样本点数 k B = 5 × 2 ，故
第一章 随机事件与概率
1. 解 (1) Ω = {( +,+ ), ( +,−), ( −,+), ( −,−)} ，
(2) E 2 = ABC ； (4) E 4 = A ∪ B ∪ C ；
= 0 .5 − 0 .4 = 0 .1 ；
⎧ 1 3⎫ ≤ x ≤ ⎬; 2⎭ ⎩ 4
⎛ 50 ⎞ n = ⎜ ⎟， 则有利于 A ⎜ 3 ⎟ 记求概率的事件为 A ， ⎝ ⎠
的样本点数 k = ⎜ ⎟⎜ ⎟ . 于是 ⎜ 2 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
y
1
SA
⎛ 45 ⎞⎛ 5 ⎞
⎧ ⎫ 1 A B = ⎨ x 0 ≤ x ≤ 或 1 < x ≤ 2⎬ ∩ B = 2 ⎩ ⎭ ⎧ 1 ⎨x ≤ x ≤ ⎩ 4 1⎫ ⎧ ⎬ ∪ ⎨x1 < x ≤ 2⎭ ⎩ 3⎫ ⎬ ; (3) 因 为 2⎭