状态反馈极点配置基本理论与方法

第2章 状态反馈极点配置设计基本理论

2.1引言

大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：

图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图

其中受控系统的状态空间表达式为：

x Ax Bu

y Cx

=+= (2.1)

由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：

u Fx v =+ (2.2)

其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：

()x A BF x Bv y Cx

=++= (2.3)

闭环系统的传递函数矩阵：

()()1

s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)

由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。 2.2极点配置方法的选择

对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。 （2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。 （3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程

AX X BG -Λ= (2.5a)

FX G = (2.5b)

（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。

方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。

本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程(2.5)的得到最佳的状态反馈矩阵。 2.3状态方程的规范形

将线性时不变多变量完全能控系统记为：

x Ax Bu =+ (2.6)

其中x 和u 分别是n 维和m 维的实向量，A 和B 是合适阶次的恒定实矩阵。 极点配置是要求找到一个实反馈矩阵F ，使闭环系统矩阵A+BF 的特征值等于L ={λ1,…,λn }，L 是一个复共轭的集合。已知如果方程(2.6)定义的系统是完全能控的，就可以进行极点配置。

极点配置问题转化为寻找矩阵X 和G ，使等式(2.5a)中的矩阵Λ满足ρ(Λ)=L 。如果X 是可逆的，根据方程(2.5b)求解F 。方程(2.5a)可以转化为等价的形式：

T T T T T P AP P XQ P XQ Q Q P B GQ ⋅-⋅Λ=⋅ (2.7)

其中P 和Q 是正交矩阵，(⋅)T 表示转置，使用正交矩阵可以保证方程(2.5a)的数值稳定性不变。

选择P 使(A ，B)可以转换为：

()11

12

1,11,21,11,,1

,2

,1,0000

0T T

k k k k k k k k k k k k

k A A P AP P B A A A A A A A A B ------⎛⎫ ⎪

⎪

⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

(2.8) 此外，非对角线上的块A i,i+1选择满秩的下三角型：

(),1000

0*00

*

***

*0

0i i A +⨯⎛⎫

⎪⨯ ⎪

⎪

⨯=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝

⎭

(2.9) 假定方程(2.6)表示的系统为完全能控型，×表示非零的数，∗表示任意值。

对于任意给定矩阵Λ，找到Q 使它转化成Schur 型，在上三角矩阵Q T ΛQ 的对角线上存在2*2的块，表示L 的特征值中复共轭的部分。如果L 中所有的特征值都是实数，Q T ΛQ 将是严格的上三角矩阵，而且特征值λi 都在对角线上。

因此如果期望的特征值全为实数，那么Λ是实Schur 矩阵，就不需要寻找矩阵Q 。

已知在方程(2.7)中的T X P X =和G ，特征向量矩阵X 可以从下面式子得到：

X PX = (2.10)

F 可以由(2.5b)得到，或者：

FPX G = (2.11)

2.4实数极点的配置

对于方程(2.5)，如果假设矩阵A 和B 已经转换成为标准形式，并且期望的闭环特征值全为实数，即Λ是实Schur 矩阵。需要寻找非奇异矩阵X ，使方程(2.5a)满足矩阵G 。

假设X 的形式如下：

1

00*1*

1***

*

1X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

(2.12) 显然矩阵X 满秩，而且满足下三角是标准的最小化。

假设所有的特征值λi 都是实数，将第j 列的X 、Λ、G 表示为：

01,,0j j j j z g x λ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭ (2.13) M j1:j2表示矩阵M 的第j 1到j 2列，M j 表示M 的第j 列。 利用(2.13)可以证明，存在矩阵X 满足等式(2.12)。 j 为不同值时，等式(2.5a)可以表示为不同形式： 当1j =时：

()()1112:11n

x A B A g λλ⎛⎫

⎡⎤-=- ⎪⎣⎦⎝⎭

(2.14a) 当1j n <<时：