《数学史》古希腊数学 ppt课件

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2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为 希腊数学的“亚历山大后期”。
亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。这一时期开 始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪公元1世纪间），代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面 积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公 式
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总评
▪ 《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成 就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解 析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。
▪ 另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年 间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到 17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后， 才得以来临。
▪ 此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内赫莫斯 （公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证 明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、 椭圆、双曲线、正焦弦等名称。
▪ 书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的 垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解 释太阳系内5大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密 的地心说提供了工具。
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《圆锥曲线论》中包含了许多即使是按今天的 眼光看也是很深奥的结果，尤其突出的是第5卷关于 从定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，其中 实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念， 它们是近代微分几何的课题。
第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极限的调和 性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想。
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亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 第二卷 讨论双曲线渐近线的作法和性质，共轭双曲线的 性质；圆锥曲线的直径和轴的求法；有心圆锥曲线的中心 的概念；怎样作满足某种条件的圆锥曲线的切线。
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亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 第三卷 讨论了切线与直径所围成的图形的面积；论述了 极点和极线的调和性质，讨论了椭圆和双曲线的焦点的性 质。
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▪ 梅内赫莫斯从倍立方问题的研究中受到启发。他 取三种圆锥（即圆锥顶角为直角、锐角和钝角的 圆锥），用垂直于锥面一母线的平面截每种锥面， 分别得到了拋物线、椭圆和双曲线的一支。
（见课本第43面）
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故事
▪

梅内赫莫斯曾当过当时亚历山大大帝的老
师，亚历山大问梅内赫莫斯，是否可以专门为他
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亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 《圆锥曲线》 ▪ 《圆锥曲线》分8卷，共487个命题。现存前7卷，共382个命题。 ▪ 第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质。 ▪ 从一个对顶（直圆或斜圆）锥得到3种圆锥曲线。双曲线有两个分支，
也是他首先发现的。
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亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 构造圆锥曲线的方法 ▪ 第一步定义轴三角形ABC。 ▪ 第二步利用截面定义圆锥曲线。
▪ 人们将欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯为亚历山大数学三大师,时间约 当公元前300年到前200年，这是希腊数学的全盛时期或“黄金时代”．
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阿波罗尼奥斯（pp约t课件公元前262－前190）
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阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学，但他最 重要的数学成就是在前人的基础上创立了相当完美的圆 锥曲线理论。《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结。 这部以欧几里得严谨风格(至今仍用来教不会的初学者的 风格)写成的巨著，对圆锥曲线研究所达到的高度，直到 17世纪笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
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圆锥曲线的第一个人
▪ 梅内赫莫斯（Menaechmus） ▪ 约公元前380-前320，古希腊时代,属于柏拉图学
派。为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。
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▪ 他是古希腊数学家，为欧多克斯（Eudoxus）的学生， 又是柏拉图学园中的成员。他是系统地研究圆锥曲线 的第一个人，建立最早圆锥取线的概念，并分为三类 来研究它，所以后来的学者称为梅内赫莫斯 （Menaechmus）三曲线。
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在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面 导出圆锥曲线。阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶锥 得到所有的圆锥曲线（只要用一个平面曲截对顶锥即 可，圆锥曲线有五种可能的类型—椭圆、双曲线、抛 物线、圆和直线），并给它们以正式的命名，现在通 用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。
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s(s a)(s b)(s c)
（ 为三角形面积，a,b, c 为边长，s a b c ），其实这一公式最
把几何搞得简单一些。
梅内赫莫斯则回答说："在大王的国家里有 老百姓走的小路，也有国王您走的大道，然而在 几何里却只有一条道路。"这个广为流传的故事 出自古希腊晚期作家斯托比亚斯的著作之中。
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2.2.3 阿波罗尼奥斯
阿波罗尼奥斯
（Apollonius，公元前262－前190）生于小亚细亚的珀尔加，就学于亚历山大 城。后在Pergamum创建大学及图书馆。后返回亚历山大城执教。他所写数学 专著极为丰富，至今有《圆锥曲线》、《相切》、《轨迹》、《斜线》等七 部书传世。
▪ 第四卷 讲极点和极线的其它性质，并讨论了圆锥曲线相 交的各种情况，证明了两条圆锥曲线至多相交于4点。
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亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 第五卷 讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线段。 ▪ 第六卷 讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的性质及作图。 ▪ 第七卷 讨论有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质。
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圆锥概念:
从与圆不在同一平面上的一点作与圆相交的直 线，如果该点固定，把所作直线沿圆周旋转，……， 那么生成的曲面是一圆锥面，固定点是顶点，顶点 到圆心的直线是轴，圆称作圆锥的底。
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圆锥曲线 A
B
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《圆锥曲线论》
▪ 《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最 高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。直到17世纪的B. 帕斯卡和R.笛卡儿才有新的突破 。