最新江苏省历届高等数学竞赛试卷(-)
江苏省高等数学竞赛试题[1]2
![江苏省高等数学竞赛试题[1]2](https://img.taocdn.com/s3/m/2e3cf257168884868762d651.png)
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=⎰ 6.214arctan 1x x dx x =+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四. （12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分）1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2. ()2301lim 1xt x e dt x -→-=⎰ 3. ()2lim320x x x ax b →+∞++++=，则,a b =4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()211,x e exdx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则221Ddxdy x y=+⎰⎰二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x cx f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五（8分）求()12arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,22f x y x xy y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos Dx y dxdy +⎰⎰.2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式.2. 0x →时，sin cos x x x -⋅与k cx 为等价无穷小，则c =3.()2tan 2lim sin xx x π→=4. 2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =6.()()21x x e x dx x e -=-⎰7. ()1,1arctan ,x z dzy-== .8. 设()()01x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212baf x dx b a =-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）设()f x 在(),-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有()()()1212f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(),-∞+∞上处处连续。
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是_____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=?_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ?'=+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。
8.直线21x zy =??=?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。
10.=?????????? ??+???? ?+???? ??+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使?=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏省专科第十届高等数学竞赛题
第十届专科竞赛题与评分标准一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()3sin sin sin limx x x x→- =16.2）()2arctan e tan ,x y x x y '=+=则()242etan sec 1xx x x x +++.3） 设由yxx y =确定(),y y x =d d y x=则()()()()22ln ln 1ln ln 1.y x y y yx x y x x x y ----或4）()2cos ,n y x y==则 12cos 22n n x π-⎛⎫+⎪⎝⎭5） 21e d xx x x-=⎰exC x-+6) ()214arctan d 1x xx x =+⎰264π.7） 圆 222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩，的面积为 16π8) 级数 ()111!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 4e .3-二、（10分）设a 为正常数，使得 2e axx ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。
22ln e2ln ,axx x x ax a x≤⇔≤⇔≥解（3分）要求a 的最小值，只要求 ()2ln x f x x=的最大值。
（2分）令()()221ln 0x f x x-'== 得e,x = （2分）由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时()2e ef =所以为其最大值， （2分）故a 的最小值为 2e。
（1分）三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰证法1：令()()()0d ,xF x x t f t t =-⎰ （3分） 则()()()()()()1110=0,11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分） ()()()()()0d d ,xxF x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而于是 ()()()0d d 0.F f t t f x x ξξξ'===⎰⎰（3分）证法2 ()()()()()0d ,00,,xF x fx x F F x fx '===⎰令则 （3分）()()()()()1110011d d d 0F fx x x F x x x F x F x x'∴===-⎰⎰⎰()()()1101d ,d 0,F F x x F x x =-⇒=⎰⎰（3分）应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1d 10,F x x F F ξξ=-=⎰于是 ()()0d 0.F f x x ξξ==⎰（4分）四、（12分）求广义积分 421d .1x x+∞-⎰22221111d d 2121x x xx+∞+∞=++-⎰⎰解原式 （4分）111arctan ln22241x x x+∞+∞+=+- （4分）11arctan 2ln 3.424π=-- （4分）五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。
江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分
解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。
解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。
令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。
2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。
证 问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。
20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。
江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。
10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.21y x=+/y=3.2c o s y x=，()()n yx =4.21xx ed x x-=⎰ 5.4211d x x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为7.(2,)x z f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==8.级数11(1)!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 .二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b baab f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x d x ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111A B C D A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11B C CB 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面A B C D 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22co ssinDx y d xd y+⎰⎰，其中22:1,0,0D x yx y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e d x x y d y Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y xx ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}na 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n=记1nnx a =，判别级数1nn x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.2a rc ta n ta n xy xe x=+，/y=3.设由yxx y=确定()y y x =，则d y d x=4.2c o s y x=，()()n yx =5.21xx ed x x-=⎰6.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z++=确定(),z z x y =，则z z xy∂∂+=∂∂8.设22:2,0D xyx y +≤≥，则Dx d y =⎰⎰二.（10分）设a 为正常数，使得2a xxe≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x d x ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211d xx+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D 的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏高等数学竞赛试题汇总
本科一级考生做
本科二级考生做
七(１0分）本科一级考生做1）设幂级数 的收敛域为 ，求证幂级数 的收敛域也为 ;2)试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明;若不正确举一反例说明.
本科二级考生做:求幂级数 的收敛域与和函数
２006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科）
8.级数 条件收敛时,常数 的取值范围是
二.（１0分)某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时,求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于 公里/小时
三.(10分)曲线 的极坐标方程为 ,求该曲线在 所对应的点的切线 的直角坐标方程,并求切线 与 轴围成图形的面积.求其极限
三.(8分)设 在 上具有连续的导数，求证
四.（8分）１)证明曲面
为旋转曲面
2)求旋转曲面 所围成立体的体积
五．（10分)函数 具有连续的二阶偏导数，算子 定义为
1)求 ；2）利用结论1）以 为新的自变量改变方程 的形式
六．（8分)求
七．(9分)设 的外侧,连续函数
七（9分)本科一级考生做:用拉格朗日乘数法求函数 在区域 上的最大值与最小值.
八(9分)设 为 所围成的平面图形，求 ．
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一．填空(每题５分,共4０分)
１． 是周期为 的奇函数，且在 处有定义,当 时， ,求当 时, 的表达式.
２．
3．
4. 时
５.
６． .
7.设 可微， ， ，
8.级数 的和为．
二.（10分）
设 在 上连续，且 ,求证:存在点 ，使得 ．
江苏高等数学竞赛试题汇总定稿版
江苏高等数学竞赛试题汇总HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。
（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。
（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。
五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。
（1）求切线L 的方程。
(完整版),江苏省高校历届专科类数学竞赛试题汇总,推荐文档
江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知，则 ．21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦()f x '=2． ．1ln 0lim (tan )xx x +→=3． ．=⎰4．若级数收敛，则的取值为 ．11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑a 5．．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数的可去间断点为（）．21()(1)x e f x x x -=-A ． B ．C ．D ． 无可去间断点0,1x =1x =0x =2．设，则当时，是的（ ）．21()sin,()sin f x x g x x x==0x →()f x ()g x A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小C ．高阶无穷小D ．等价无穷小3．设常数，函数在内零点个数为（ ）．0k >()ln xf x x k e=-+(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 32104．设对一切满足，若且，则函数()y f x =x 240y y y '''--=0()0f x >0()0f x '=在点（）．()f x 0x A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少5．过点且与直线 垂直的平面方程是（）．(2,0,3)-2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩A ． B ．16(2)1411(3)0x y z --+++=(2)24(3)0x y z --++=C ．D ．3(2)52(3)0x y z -+-+=16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设，求常数．2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dxx x x +∞→+-+=⎰,a b 四、（6分）已知函数由方程组 确定，求．()y y x =(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩220t d y dx =五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有(),()f x g x [,]a b (,)a b (,)a b x ，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之()()()()0f x g x f x g x ''-≠()f x (,)a b 间，至少有一个零点．()g x 六、（6分）设，其中是实数，且12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++ 12,,,n a a a ，试证：|()||sin |f x x ≤12|2|1n a a na +++≤ 七、（6分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线2y x =2(,)a a a 所围成的图形面积最小？241y x x =-+-八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，0x →220()()()xF x x t f t dt '=-⎰2x 求．(0)f '九、（8分）求级数的收敛域及和函数.21(21)n n n x∞+=+∑十、（8分）将展为的幂级数，并指明收敛域．1()arctan1xf x x+=-x 十一、（6分）求．581x xdx x -+⎰十二、（8分）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足()f x 0x >()g x，试求．3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰()f x 第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ．40ln(1)lim 1cos(1cos )x x x →-=--2．设，则 ， ．0lim(0)x c c +→=≠k =c =3．设在上可导，下列结论中成立的是 ．()f x [1,)+∞A ．若，则在上有界lim ()0x f x →+∞'=()f x [1,)+∞B ．若，则在上无界lim ()0x f x →+∞'≠()f x [1,)+∞C ．若，则在上无界lim ()1x f x →+∞'=()f x [1,)+∞4．设，则 ．2ln(1),arctan x t y t t =+=+22d ydx=5．设由确定，则 ．()1yex y x x -+-=+()y y x =(0)y ''=6． ．(arcsin arccos )x x dx -=⎰7．．4+∞=⎰8． 幂级数的收敛域为 ．11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ 二、（8分）设在上连续且单调减少，，求证：()f x [0,)+∞0a b <<．()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰三、（9分）设．()sin f x kx x =+（1）若，求证：在上恰有一个零点；1k ≥()f x (,)-∞+∞（2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围．01k <<()f x (,)-∞+∞k 四、（8分）求．2201tan 2x x e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当为何值时为一圆？（2）当时，求的圆心和半径．k Γ6k =Γ六、（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与1211x y z-==-y 所包围的立体的体积．0,2y y ==七、（9分）求．2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 八、（9分）设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时k 221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．是周期为的奇函数，当时，，则当()f x π0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin cos 2f x x x =-+时， ．,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =2．当时，与为等价无穷小，则 ， 0x →sin cos x x x -kcx k =c =．3． ．2tan2lim(sin )xx x π→=4． ．2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ 5．已知，则当时， ．2()ln(1)f x x x =-2n >()(0)n f=6． ．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰7．以直线为对称轴，且半径的圆柱面方程为 ．x y z ==1R =8． ．1(1)2nn nn ∞==+∑二、（10分）设在上连续，在内可导，，()f x [,]a b (,)a b ()f a a =，求证：在内至少有一点，使得．221()()2baf x dx b a =-⎰(,)a b ξ()()1f f ξξξ'=-+三、（10分）设．在的边界上22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤D y x =任取一点，设到原点的距离为，作垂直于，交的边界P P t PQ y x =D 于．224y x -=Q （1）试将的距离表示为的函数；（2）求绕旋转一周的旋转体体,P Q ||PQ t D y x =积．四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数()f x (,)-∞+∞()f x 0x =有，求证：在上处处连续．12,x x 1212()()()f x x f x f x +=+()f x (,)-∞+∞五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围．k 110kx x-+=(0,)+∞k 六、（10分）已知点与，在平面上求一点，使得(1,0,1)P -(3,1,2)Q 212x y z -+=M 最小．||||PM MQ +七、（10分）求幂级数收敛域11(32)n n nn x n ∞=+∑ 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2． ．23001lim(1)xt x e dt x-→-=⎰3．若，则 ， ．lim )0x ax b →+∞++=a =b =4．设，则 ．2sin ()(1)xf x x x e=++(0)f ''=5．设，则 ．2ln(1),arctan x t y t =+=221t d ydx =-=6． ．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰7．为空间的4个定点，与的中点分别为，（为常,,,A B C D AB CD ,E F ||EF a =0a >数），为空间的任一点，则的最小值为 ．P ()()PA PB PC PD ++A 8． 已知点为原点，则四面体的外接球面的方(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),ABC O --OABC 程为．二、（8分）设，试问：为何值时，在2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩,,a b c ()f x处一阶导数连续，但二阶导数不存在．0x =三、（9分）过点作曲线的切线．(1,5)3:y x Γ=L （1）求的方程；（2）求与所围平面图形的面积；L ΓL D （3）求图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积．D 0x ≥x 四、（8分）设在区间上是导数连续的函数，，()f x [0,)+∞(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤求证：．|()|1,[0,)xf x e x ≤-∈+∞五、（8分）求．120arctan (1)xdx x +⎰六、（9分）设圆柱面被柱面截下的（有限）部分221(0)x y z +=≥222z x z =++为．为计算曲面的面积，我们用薄铁片制作的模型，其中∑∑∑为上三点，将沿线段剪开并展成平面图形．建(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --∑∑BC D 立平面直角坐标系，使位于轴正上方，点的坐标为．试写出的边界的方程，D x A (0,5)D 并求的面积．D 七、（9分）对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？p 11(1)n n ∞+=-∑何时发散？八、（9分）求幂级数的收敛域与和函数．212nnn n ∞=∑第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ， 时，．a =b =2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--2． ．11lim(2)nn k k k →∞==+∑3．设，则 ．()(1)(2)(100)f x x x x x =--- (100)f '=4．当 ， 时，在时关于的无a =b =2()1xf x ax x bx=+++0x →x 穷小的阶数最高．5． ．2221(1)x dx x +∞=+⎰6．点关于平面的对称点的坐标为 ．(2,1,1)-25x y z -+=7．通过点与直线：的平面方程为 ．(1,1,1)-,2,2x t y z t ===+8． 幂级数的和函数为 ，收敛域为 ．1nn nx∞=∑二、（8分）设数列为，求证数列收敛，并求其{}nx 111,(1,2,)n x x n +=== {}n x 极限．三、（8分）设函数在上连续，求证：存在，()f x [,]a b (0),()0baa f x dx >=⎰(,)a b ξ∈使得．()()af x dx f ξξξ=⎰四、（8分）将平面上的曲线绕直线旋转一周得xOy 222()(0)x b y a a b -+=<<3x b =到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求．200lim sin()tt tx dx +→⎰六、（10分）在平面内作一条直线，使该直线经过另一直线:220x y z ∏+-=Γ与平面的交点，且与垂直，求直线的参数方程．221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩∏ΓL Γ七、（8分）判别级数的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．)11(1)1n n ∞+=--∑八、（10分）求函数的幂级数展开式，并指出其收敛域．222()(1)(12)x f x x x +=-+第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． ．30sin sin(sin )lim x x x x →-=2．，则 ．2arctan()tan x y x e x =+y '=3．设由确定，则 ．y x x y =()y y x =dy dx=4．，则 ．2cos y x =()n y =5． ．21x x e dx x -=⎰6． ．2140arctan()1x x dx x =+⎰7．圆的面积为 ．2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩8． 级数的和为 ．11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑二、（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值．a 2axx e ≤x a三、（10分）设函数在上连续，且，求证：存在()f x [0,1]1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，使得．(0,1)ξ∈()0a f x dx ξ=⎰四、（12分）求反常积分．4211dx x +∞-⎰五、（12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围(0,0)ln y x =-ln y x =-x 的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积．x 六、（12分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正1111ABCD A B C D -E 11D C F 方形的中心．（1）试求过点的平面与底面所成的二面角的值；11BCC B 1,,A E F ABCD （2）试求点到过点的平面的距离．D 1,,AEF 七、（12分）已知数列单调增加，满足{}n a 123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ，记，判别级数的敛散性．(2,3,)n = 1n n x a =1n n x ∞=∑第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． ．0x →=2． ．333412lim x n n →∞+++= 3． ．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰4．，则 ．ln(1)y x =-()n y =5． ．2arctan x xdx =⎰6． ．11arccos x dx x=7．点到直线的距离为 ．(2,1,3)-13122x y z -+==-8． 级数为条件收敛，则常数的取值范围是 ．2(1)1kn n n n ∞=--∑k 二、（每小题6分，共12分）（1）求．3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑（2）设在处可导，且，求．()f x 0x =(0)1,(0)2f f '==20(cos 1)1lim x f x x →--三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数在上有定义（），当时，严格增加，当()f x (,)δδ-0δ>0x δ-<<()f x 时，严格减少，存在，且是的极小值．0x δ<<()f x 0lim ()x f x →(0)f ()f x （2）函数在上一阶可导（），为极值，且为曲线()f x (,)δδ-0δ>(0)f (0,(0))f 的拐点．()y f x =四、（10分）求一个次数最低的多项式，使得它在时取极大值，在时()P x 1x =134x =取极小值．14-五、（12分）过原点作曲线的切线，设是以曲线、切线及轴为(0,0):x y e -Γ=L D Γx 边界的无界区域．（1）求切线的方程；（2）求区域的面积；（3）求区域绕轴旋L D D x 转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点在平面的两侧，过点作球面(1,2,1),(5,2,3)A B --:223x y z ∏--=,A B 使其在平面上截得的圆最小．∑∏Γ（1）求直线与平面的交点的坐标；AB ∏M （2）若点是圆的圆心，求球面的球心坐标与该球面方程；M Γ∑（3）证明：点确是圆的圆心．M Γ七、（12分）求级数的和．1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑。
江苏省数学竞赛试题及答案
江苏省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的余数是多少？A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1004. 下列哪个表达式等于 \( \frac{1}{2} \)？A. \( \frac{3}{6} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \frac{3}{8} \)5. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？B. 300C. 400D. 5006. 一个班级有40名学生，其中3/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 8B. 12C. 16D. 207. 一个数的1/3加上它的1/4等于这个数的多少？A. 7/12B. 1/2C. 5/12D. 1/38. 下列哪个数是最小的正整数？A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 1610. 一个数的3倍加上15等于这个数的5倍，这个数是多少？B. 10C. 15D. 20二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的2倍减去8等于36，这个数是_________。
12. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是_________元。
13. 一个长方形的长是15厘米，宽是长的2/3，那么宽是_________厘米。
14. 一个数的1/4加上它的1/2等于这个数的_________。
15. 一个数的倒数是1/5，这个数是_________。
16. 一个数的75%加上25等于这个数本身，这个数是_________。
17. 一本书的总页数是360页，小明第一天读了总页数的1/4，第二天读了总页数的1/6，小明两天共读了_________页。
最新江苏省高等数学竞赛试题集合
2
1 dx 1 x4
2x 2 y z 2 0 6.圆 2 的面积为 2 2 x y z 4x 2 y 2z 19 x 7. z f (2 x y , ) ， f 可微， f1/ (3, 2) 2, f 2 / (3, 2) 3 ，则 dz y
0
四. （12 分）求广义积分
2
1 dx 1 x4
五． （12 分）过原点 0,0 作曲线 y ln x 的切线，求该切线、曲线 y ln x 与 x
5
轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 六.（12 分）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的边长为 2， E 为 D1C1 的中点， F 为侧 面正方形 BCC1B1 的中点， （1）试求过点 A1 , E , F 的平面与底面 ABCD 所成二面角 的值。 （2）试求过点 A1 , E , F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 七（12 分）已知数列 an 单调增加， a1 1, a2 2, a3 5, , a n 1 3a n a n 1
D
2010 年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）
一 填空题（每题 4 分，共 32 分） 1. lim
sin x sin(sin x) x 0 sin x dy dx
2. y arctan x 2 e x tan x ， y / 3.设由 x y y x 确定 y y x ，则 4. y cos 2 x ， y ( n ) ( x ) 5. 6.
三． （10 分）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的边长为 2， E 为 D1C1 的中点， F 为侧 面正方形 BCC1B1 的中点， （1）试求过点 A1 , E , F 的平面与底面 ABCD 所成二面角 的值。 （2）试求过点 A1 , E , F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四 （12 分） 已知 ABCD 是等腰梯形，BC // AD, AB BC CD 8 ,求 AB, BC , AD 的 长，使得梯形绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12 分）求二重积分 cos 2 x sin 2 y dxdy ，其中 D : x 2 y 2 1 六． （12 分）应用高斯公式计算 ax 2 by 2 cz 2 dS ， （ a, b, c 为常数）
江苏省高校历届专科类数学竞赛试题
江苏省高校历届专科类数学竞赛试题江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知21()d f x dx x ??=?，则()f x '= ． 2．1ln 0lim (tan )x x x +→= ．3．=? ． 4．若级数11(2)66n n n n n a n -∞=-+∑收敛，则a 的取值为． 5． [()()]sin aa f x f x xdx -+-=? ．二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点为（）． A ．0,1x = B ．1x = C ．0x = D ．无可去间断点2．设21()sin ,()sin f x x g x x x==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小3．设常数0k >，函数()ln x f x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0 4．设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （）．A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少5．过点(2,0,3)-且及直线2470,35210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程是（）． A ．16(2)1411(3)0x y z --+++= B ．(2)24(3)0x y z --++=C ．3(2)52(3)0x y z -+-+=D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=?，求常数,a b ．四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=??++=? 确定，求220t d y dx =．五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点．六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12,,,n a a a 是实数，且|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na ++ +≤七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线及抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？八、（6分）当0x →时，220()()()x F x x t f t dt '=-?的导数及2x 为等价无穷小，求(0)f '．九、（8分）求级数210(21)n n n x∞+=+∑的收敛域及和函数.十、（8分）将1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域．十一、（6分）求581x x dx x -+?．十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满足3()211()(8)3f xg x dxx x =-?，试求()f x ．第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．40ln(1)lim 1cos(1cos )x x x →-=-- ． 2．设0lim (0)x k x e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是．A ．若lim ()0x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上有界 B ．若lim ()0x f x →+∞'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界 C ．若lim ()1x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上无界 4．设2ln(1),arctan x t y t t =+=+，则22d y dx = ． 5．设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ．6．(arcsin arccos )x x dx -=? ．7．4+∞=? ． 8．幂级数11112n n x n ∞=??+++∑的收敛域为．二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调减少，0a b <<，求证：00()()b aa f x dxb f x dx ≤??．三、（9分）设()sin f x kx x =+．（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．四、（8分）求2201tan 2x x e dx π??+ ．五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ?+++-+=Γ?+-=?（1）当k 为何值时Γ为一圆？（2）当6k =时，求Γ的圆心和半径．六、（8分）求直线1211x y z -==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面及0,2y y ==所包围的立体的体积．七、（9分）求2222123123lim 2222n n n →∞??++++ ．八、（9分）设k 为常数，试判别级数221(1)(ln )n k n n x ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．()f x 是周期为π的奇函数，当0,2x π?∈ 时，()sin cos 2f x x x =-+，则当,2x ππ??∈时，()f x = ．2．当0x →时，sin cos x x x -及k cx 为等价无穷小，则k = ，c = ．3．2tan2lim(sin )x x x π→= ．4．2222lim 14n n n n n n n n →∞??+++= ?+++??． 5．已知2()ln(1)f x x x =-，则当2n >时，()(0)n f = ．6．2(1)(1)x x e x dx xe +=-? ． 7．以直线x y z ==为对称轴，且半径1R =的圆柱面方程为．8．1(1)2n n n n ∞==+∑ ．二、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，221()()2b a f x dx b a =-?，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()1f f ξξξ'=-+．三、（10分）设22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤．在D 的边界y x =上任取一点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q ．（1）试将,P Q 的距离||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =旋转一周的旋转体体积．四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(,)-∞+∞上处处连续．五、（10分）设k 为常数，方程110kx x -+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围．六、（10分）已知点(1,0,1)P -及(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得||||PM MQ +最小．七、（10分）求幂级数11(32)n n n n x n ∞=+∑收敛域第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．22232323212lim 12n n n n n n →∞??+++= ?+++?．2．23001lim(1)x t x e dt x-→-=? ． 3．若lim )0x ax b →+∞+=，则a = ，b = ．4．设2sin ()(1)x f x x x e =++，则(0)f ''= ．5．设2ln(1),arctan x t y t =+=，则221t d y dx =-= ．6．1ln[()()]()()x b x a x a x b dx x a x b +++?+=++? ．7．,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 及CD 的中点分别为,E F ，||EF a =（0a >为常数），P 为空间的任一点，则()()PA PB PC PD ++的最小值为．8．已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A B C O --为原点，则四面体OABC 的外接球面的方程为．二、（8分）设2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ?++≤=?+>? ，试问：,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在．。
江苏高等数学竞赛(民办本科)历年试题1996-2012年
2010年江苏省普通高等学校非理科专业第十届高等数学（独立学院）竞赛题一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰ 6.214arctan 1x x dx x=+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四. （12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2008年江苏省普通高等学校非理科专业第九届高等数学（独立学院）竞赛题一、填空题（每小题5分，共40分） 1）___,____a b ==时，2limarctan .2x ax x x bx xπ→∞+=--2）11lim__________.(3)nn k k k →∞==+∑ 3）设()(1)(2)(100),f x x x x x =--- 则(100)_______.f '= 4）___,____a b ==时，2()1xf x ax x bx=+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高. 5）2320sin cos _______.x xdx π⋅=⎰ 6）2221_______.(1)x dx x +∞=+⎰7）设,xz x y=-则(2,1)_________.n nz y ∂=∂8）设D 为,0,1y x x y ===所围区域，则arctan _________.Dydxdy =⎰⎰二、（8分） 设数列{}n x为：111,(1,2)n x x n +=== ，求证：数列{}n x 收敛，并求其极限三、（8分） 设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0,baa f x dx >=⎰求证：存在(,),a b ξ∈使得()().af x dx f ξξξ=⎰四、（8分） 将xy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.五、（8分）设242,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0).x y x y f x y x y x y ≠=+⎪=⎩讨论(,)f x y 在(0,0)处的连续性、可偏导性、可微性.六、（10分） 已知曲面 222441x y z +-= 与平面 0x y z +-=的交线在xy 平面上的投影为一椭圆，求此椭圆面积.七、（8分） 求241lim sin().ttxt dx y dy t +→⎰⎰八、（10分） 求1,Ddxdy 这里 22:,0.D x y y x +≤≤≤。
2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题
2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题费马到成功江苏省高等数学竞赛试题(专科考生)2004~2012年2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题(专科考生)目录2012年江苏省高等数学竞赛试题(专科)2010年江苏省高等数学竞赛试题(专科)2008年江苏省高等数学竞赛题(专科)2006年江苏省高等数学竞赛试题(专科) 162004年江苏省高等数学竞赛试题(专科) 21 ~7 ~11 9~15 ~20 ~26 1 / 263 82012年江苏省高等数学第十一届竞赛试题(专科考生)f(y) eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f 1，则1( 设函数y y(x)由方程xed2y ________________. 2dxx2lim(,ax,b) 0x x,12( ，则a ，b ;e1,Inxdx=________ 3( 定积分 1xx3122x,1x1,xlim(1,)lim() limxx 2x,1x x 1x4( 极限:;______________.3x,y,2z,7 0 A(2,3,,5)5( 通过且平行于直线 x,3y,2z,3 0的直线方程为_________________t 2 x esintdy t y e(sint,cost)确定,则dx2=____________________ 6( 设y y(x)由方程组2 / 26lncosx7( 不定积分 cos2x=________8( 若f(x) (x,1)(x,2) (x,2008)(x,1)(x,2) (x,2008)，则f’(1) __________(9( 设函数y y,x,由参数方程 x 1,2t2,ud2,2lntey 1udu,,t 1,所确定，求y1dx2x 9。
x23ln(1,x),ln(1,x) 210( lim0tdtx 0sin2x ; limx 0e,13 / 2611(设常数k ln2,1，证明:当x > 0且x ? 1时，,x,1,x,ln2x,2klnx,1 0 ,,12.设f(x)在[a,b]上存在连续导数，在(a,b)内存在二阶导数，f(a) f(b) 0，ba求证:1)至少存在互异的两点 1, 2 (a,b)，使得f ( i) f( i),i 1,2;f(x)dx 0，2)至少存在一点 (a,b), i,i 1,2，使得f ( ) f( )。
江苏省高等数学竞赛试题
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n = 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏省高等数学竞赛历年真题专科
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim 4x x x 2. =+++∞→433321lim n n n 3. =⎰→x x tdtt x x 32030sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=⎰xdx x arctan 2 6.⎰=211arccos dx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是 二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim xx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。
（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<x 0时，)(x f 严格减少，)(lim 0x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。
（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。
五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。
（1）求切线L 的方程。
（2）求区域D 的面积。
（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
六．（12分）点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧，过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。
江苏省高等数学竞赛试题-三重积分部分
椭球面1S 是椭圆22
143
x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是由过点(4,0)且与椭圆22
143
x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成。
求 （1）1S 及2S 的方程；
（2）1S 与2S 之间的立体体积
解 （1）椭圆22
:143
x y Γ+=绕x 轴旋转而成的椭球面1S 的方程为 222
143
x y z ++= 为求2S 的方程，先求Γ上过点(4,0)的切线L 。
Γ上任意点00(,)x y 的切线的斜率是00'
0(,)0
34x y x y y =-，相应的切线方程是 00000
3()4x x y x x y y =-- 将4,0x y ==代入上式得2200043
x y x +=。
又因为00(,)x y 在Γ上，故满足Γ的方程2200143
x y +=， 总和以上条件有0031,2
x y ==±。
只需考虑00y >，于是得到切线L 的方程为1(4)2y x =-
-。
于是2S 的方程为2221(4)4
y z x +=-。
（2）1S 与2S 之间的区域Ω的体积为V ，它由椎体的一部分1Ω除去椭球体的一部分2Ω组
成，而与x 轴垂直的2Ω的截面区域()D x 为222
214x y z ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭。
于是2Ω的体积为222
211()53144D x x V dx dydz dx ππ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰。
按锥体的体积公式，得1Ω的体积211393324
V ππ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭。
因此，12V V V π=-=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a v 为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。
10.=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c的值，使⎰=++bacxcx0)cos()(，其中ab>。
四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b+=-=±=±和0z=所围区域的体积（其中,,a b c为正实数）。
五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动aq m（其中01q<<），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明201()3f x dx M≤⎰，其中 [0,2]()max x M f x ∈''=.江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛本科一级竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1. 111414242lim n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L ________________. 2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z =+⎧⎨=⎩确定的隐函数，则z x ∂=∂____________________。
3.设22()(32)cos16nx f x x x π=-+，则()(2)n f =________________。
4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为1cos 2x y xe x=，则通解为_______________。
5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面22221x y a b +=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。
6.已知,a b r r 是非零常向量2b =r ，(,)3a b π∧=r r ，则0lim x a xb ax→+-=r r r___________________。
7.2311(cot )dx x π=+⎰_______________________。
8.椭球面222241x y z ++=与平面0x y z ++=之间的最短距离为______________。
二、（8分）试比较e π与e π的大小。
三、（10分）已知,a b 满足12b ax dx =⎰，（0a b ≤≤），求曲线2y x ax =+与直线y bx =所围区域的面积的最大值与最小值。
四、（10分）设区域D ：)0(,222>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。
求证： )0,0(),(1lim2f dxdy y x f t Dt =⎰⎰→。
五、（10分）求不定积分dxxe x x x x ⎰++)1(cos 1sin 。
六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程04622222=∂∂+∂∂∂+∂∂y uy x u x u 化简成02=∂∂∂ηξu，求b a ,的值。
七、（12分）已知()f x 在[0,1]上具有二阶连续导数，且(0)(1)0,()0f f f x ==≠,证明：10[0,1]()4()max x f x dx f x ∈''≥⎰。
江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛 本科三级、专科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共40分）1.若0a >，20061lim lim[sin()tan 3]sin 6xx x x x x x ππ→→=-- ，则a =____________.2.若()(21)(32)(10099),f x x x x x =--⋯⋯-则(0)f '=________________.3.已知当x 大于12且趋向于12时，-3arccos x π与1()2ba x -为等价无穷小，则 a =_____________,b =_______________.4.2||1x xe dx --=⎰___________________________.5.直线23223x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L 的距离为____________.6.++παβα2β3αβ设与均为单位向量，其夹角为，则以与为邻边的平行四边形的6面积为______________.27.x 0(sin )(sin ),(0)0(0)_______.d d f x f x f f dx dx '==≠=设当时，则8.设函数)(x y y =是由0333=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞→x yx lim。
二、（10分）设,0()0,0x y f x x >===⎪⎩；讨论()f x 的连续性，求单调区间、极值与渐近线。
三、（10分）22(1)(3).x x --2设f(x)=x(1)(y ()f x =本科三级考生做）试问曲线有几个拐点，证明你的结论.(2)(f ()0x "=专科考生做）试问在区间（0,3）上有几个实根，证明你的结论.四、（10分）220x sin u x (sin ),.3sin 4cos xxf x dx dx x ππππ+⎰⎰⎰若f （）是连续函数，证明f(sinx)dx=并求2五、（10分）10()[0,1]0x<y 1|f(x)-f(y)||arctanx-arctany|,f(1)=0,1|f ()|ln 2.2f x x dx ≤≤≤≤⎰设在区间上可积，当时，又求证：六、(10分)求过点)0,9,11(，而与两直线⎩⎨⎧=++-=+4:1zyxyxL、⎩⎨⎧=-+=-+213:2zyyxL相交的直线方程。
七、（10分）设)(tf连续函数，求证2,2:,))(()(AyAxDdttAtfdxdyyxfDAA≤≤-=-⎰⎰⎰-。
江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)一、填空题（每小题5分，共40分）1.____________x →=2. 函数f(x)=()2232xx x x++-的不可导点的个数为___________.3.设f(x)=0 0x x ⎧≤⎪f ,则31(2)f x dx -⎰=_______________.4.(本三考生做)设变量x,y,t 满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f ，F 的一阶偏导数连续，则dydx=_______________.(专科考生做)设f(x)的导数连续，且f （0）=0，则101lim()________x f xt dt x →=⎰5（本三考生做）已知直线l 过点M （1，-1，0）且与两条直线1l ：2135x z x y z +=⎧⎨-+=⎩和22,:14,3x t l y t z =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩垂直，则l 的参数方程为_______________________.6.ln x dx =⎰_____________________.7. 设)(1lim)(2212N n xbxax x x f nn n ∈+++=-∞→， 极限与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.，则a =______________________、b =___________________________.8. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)0(3)(,2)(≠='='a a g a f ，那么 =-'+-')()(a g a f 。
二、（9分）求lim sin(n →∞.三、（9分）α为正常数，使得不等式xx e α≤对任意正数x 成立，求α的最大值.四、设函数f (x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x ，''()()0f x f x ≥,且在[a,b]的子区间上()f x 不恒等于零.试证()f x 在[a,b]中至多有一个零点.五、（9分）设连续函数()f x满足()f x=122300()(),().x x f x dx x f x dx f x++⎰⎰求六、（9分）设][)(xxxf-=（][x表示不超过x的最大整数），求极限⎰+∞→xxdxxfx0)(1lim。
七、（9分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度(,)(12),0,0,120,kf x y k x y x y x y=--≥≥--≥为常数.今从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。
八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A，B，C，D为正方形四个顶点。
江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题3分，共15分）1.已知31[()]()______________. df x f xdx x'==，则2.1lnlim(tan)______________.xxx+→=3._______________. =4. 设),(y x z z =由方程()0,,=---x z z y y x F 所确定，F 为可微函数，则=∂∂+∂∂y z x z ；5. [()()]sin ________________.aaf x f x xdx +-+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点为( ) A 、0,1x = B 、1x = C 、0x = D 、无可去间断点 2. 改变积分次序21101(,)yy dy f x y dx --=⎰⎰( )A、11(,)dx f x y dy -⎰ B、011100(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰C、1(,)dx f x y dy⎰ D、111(,)x dx f x y dy--⎰3.设()f x 可导, ()()(1sin )F x f x x =+，欲使()F x 在0x =处可导，则必有( )A 、(0)0f '=B 、 (0)0f =C 、 (0)(0)0f f '+=D 、 (0)(0)0f f '-=4.若0000(,)(,),x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(,)f x y 在()00,x y 是( )A 、连续且可微B 、连续但不一定可微C 、可微但不一定连续D 、不一定可微也不一定连续5. 22(,)(2)x f x y e x y y =++在点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处取( ) A 、极大值2e -B 、极小值2e-C 、不取得极值D 、极小值e三、（8分）设2222ln(1)()lim(ln )xex t x ax bx dx x x e dt+∞→+-+=⎰⎰，求常数,a b 。