最新江苏省历届高等数学竞赛试卷(-)

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛

本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）

1.函数

sin sin y x x

=（其中

2x π

≤

）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n

x 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m n

n d x p x dx -=

，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.

2

22

[cos()]sin x x xdx π

π-+=

⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由

⎰=--x

t dt e t 1

2

所确定的隐函数，则

==0

2

2t dt x

d 。

7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x z

y =⎧⎨

=⎩

绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v 为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖ

ϖ、的夹

角为____________。

10.

=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n

n n n n n 1

2222

2212111lim Λ 。

二、（7分）

设数列{}n a 满足1

,2,

21≥+=->+n a a a n n n

，求n

n a ∞

→lim 。

三、（7分）求c的值，使⎰=

+

+

b

a

c

x

c

x0

)

cos(

)

(

，其中a

b>。

四、（12分）求由曲面

222222

,,

x y cz x y a xy b

+=-=±=±和0

z=所围区域的体积（其中

,,

a b c为正实数）。

五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动aq m（其中01

q

<<），如此不断重复

左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的

q倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？

六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明20

1

()3f x dx M

≤⎰

，

其中 [0,2]

()

max x M f x ∈''=.

江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛

本科一级竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）

1. 111414242lim n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝

⎭L ________________. 2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z =+⎧⎨=⎩确定的隐函数，则z x ∂=∂____________________。

3.设

2

2

()(32)cos

16n

x f x x x π=-+，则()

(2)n f =________________。

4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为

1cos 2x y xe x

=，则通解为_______________。

5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面22

221x y a b +=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。 6.已知,a b r r 是非零常向量2b =r ，(,)3a b π∧=r r ，则0

lim x a xb a

x

→+-=

r r r

___________________。

7.

2

3

1

1(cot )dx x π

=

+⎰

_______________________。

8.椭球面

222241x y z ++=

与平面0x y z ++=之间的最短距离为______________。 二、（8分）试比较e π与e π

的大小。

三、（10分）已知,a b 满足

1

2b a

x dx =

⎰

，（0a b ≤≤），求曲线

2

y x ax =+与直线y bx =所围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D ：

)0(,222>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。求证： )

0,0(),(1

lim

2

f dxdy y x f t D

t =

⎰⎰→。

五、（10分）求不定积分dx

xe x x x x ⎰++)1(cos 1sin 。

六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程0462222

2=∂∂+∂∂∂+∂∂y u

y x u x u 化简成