初中数学：利用二次函数解决距离、利润最值问题练习(含答案)

初中数学：利用二次函数解决距离、利润最值问题练习（含答案）
一、选择题
1．向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最大的是( )
A．第8秒 B．第10秒
C．第12秒 D．第15秒
2．某民俗旅游村为解决游客的住宿需求,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元,则租出床位相应地减少10张．如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且所获租金高,那么每张床位每天最合适的收费是链接学习手册例3归纳总结( )
A．140元 B．150元 C．160元 D．180元
二、填空题
3．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t＝________．4．某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是________元时,才能在半月内获得最大利润.
5．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表：
科学家经过猜想,推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.
三、解答题
6．小明同学在一次社会实践活动中,通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：
①该蔬菜的销售价P(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P＝9－x；
②该蔬菜的平均成本y(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足二次函数关系y＝ax2＋bx＋10.已知4月份的平均成本为2元/千克,6月份的平均成本为1元/千克．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)请运用小明统计的结论,求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位：元/千克)最大,最大平均利润是多少．(注：平均利润＝销售价－平均成本)
7．如图K－7－1所示,甲船从A处起以15海里/时的速度向正北方向航行,这时乙船从A 的正东方20海里的B处以20海里/时的速度向正西方向航行,多长时间后,两船的距离最小？
最小距离是多少？
图K－7－1
8．某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个．若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x 元(x为偶数),每周销售量为y个．
(1)直接写出销售量y(个)与降价x(元)之间的函数表达式；
(2)设商户每周获得的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元？
(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本？
9．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,经过统计得到此商品单价在第x(x为正整数)天销售的相关信息,如下表所示：
(1)请计算第几天该商品的单价为25元/件；
(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数表达式；
(3)这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
实际探究如图K－7－2,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为2.44 m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门？
图K－7－2
[课堂达标]
1．[解析] B 利用抛物线的轴对称性,当x ＝7＋14
2
＝10.5时,炮弹达到最大高度,与对称轴最接近的应是第10秒,故选B.
2．[解析] C 设每张床位提高x 个20元,每天收入为y 元． 则y ＝(100＋20x)(100－10x)＝－200x 2＋1000x ＋10000. 当x ＝－b
2a ＝2.5时,y 有最大值．
又x 为整数,当x ＝2时,y ＝11200； 当x ＝3时,y ＝11200.
故为使租出的床位少且所获租金高,每张床应收费100＋3×20＝160(元)． 3．[答案] 1.6 4．[答案] 35 5．[答案] －1
6．解：(1)依题意,得⎩⎨⎧16a ＋4b ＋10＝2，
36a ＋6b ＋10＝1，
解得⎩⎨⎧a ＝14，
b ＝－3.
∴该二次函数的表达式为y ＝1
4
x 2－3x ＋10.
(2)依题意,得平均利润L ＝P －y ＝9－x －(1
4
x 2－3x ＋10),
化简,得L ＝－14x 2
＋2x －1(1≤x≤7且x 为整数),
∴L ＝－1
4
(x －4)2＋3,
∴当x ＝4时,L 的最大值为3(单位：元/千克)．
答：该蔬菜在4月份的平均利润L 最大,最大平均利润为3元/千克． 7．解：设x 小时后,两船相距y 海里．
根据题意,得y ＝（15x ）2＋（20－20x ）2＝625x 2－800x ＋400＝（25x －16）2＋144, 所以,当x ＝
16
25
时,y 有最小值,为12. 答：16
25小时后,两船的距离最小,最小距离是12海里．
8．解：(1)根据题意,得y ＝160＋x
2×20,即y ＝10x ＋160.
(2)w ＝(30－x)(10x ＋160)＝－10(x －7)2＋5290. ∵x 为偶数,∴当x ＝6或8时,w 取最大值5280.
当x ＝6时,销售单价为80－6＝74(元/个)；当x ＝8时,销售单价为80－8＝72(元/个)． ∴当销售单价定为74元/个或72元/个时,每周销售利润最大,最大利润是5280元． (3)∵w＝－10(x －7)2＋5290,
∴当w ＝5200元时,－10(x －7)2＋5290＝5200.解得x 1＝10,x 2＝4. ∵销售量y ＝10x ＋160随x 的增大而增大, ∴当x ＝4时,进货成本最小．
当x ＝4时,销售量y ＝10x ＋160＝200,此时进货成本为200×50＝10000(元)．
答：他至少要准备10000元进货成本． 9．解：(1)分两种情况：
①当1≤x≤20时,将m ＝25代入m ＝20＋1
2
x,解得x ＝10；
②当21≤x≤30时,将m ＝25代入m ＝10＋
420x ,得25＝10＋420
x
,解得x ＝28. 经检验,x ＝28是原分式方程的根,且符合题意, ∴x ＝28.
答：第10天或第28天时该商品的单价为25元/件． (2)分两种情况：
①当1≤x≤20时,y ＝(m －10)n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
20＋12x －10(50－x)＝－12x 2＋15x ＋500；
②当21≤x≤30时,y ＝(m －10)n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
10＋420x －10(50－x)＝21000x －420. 综上所述,
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1
2x 2
＋15x ＋500（1≤x≤20），21000x －420（21≤x≤30）.
(3)①当1≤x≤20时,y ＝－12x 2＋15x ＋500＝－12(x －15)2＋12252.
∵a ＝－12＜0,∴当x ＝15时,y 最大值＝1225
2
；
②当21≤x≤30时,由y ＝
21000
x
－420,可知y 随x 的增大而减小,
∴当x ＝21时,y 最大值＝
21000
21
－420＝580. ∵580＜
1225
2
, ∴第15天时获得的利润最大,最大利润为1225
2元．
[素养提升]
解：(1)由题意,得函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图象经过点(0,0.5),(0.8,3.5), ∴⎩⎨⎧0.5＝c ，3.5＝0.82
a ＋5×0.8＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－25
16，c ＝12
，
∴抛物线的函数表达式为y ＝－2516t 2＋5t ＋12.
∵－b
2a
＝－
5
2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2516＝1.6, 4ac －b 2
4a ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2516×12
－524×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2516＝4.5, ∴当t ＝1.6时,y 最大＝4.5.
答：足球飞行的时间为1.6 s 时,足球离地面最高,最大高度是4.5 m. (2)把x ＝28代入x ＝10t,得t ＝2.8, ∴当t ＝2.8时,y ＝－
2516×2.82＋5×2.8＋1
2
＝2.25<2.44.
∴他能将球直接射入球门．。