传函与能控和能观性之间的关系

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控制系统的能控性和能观性课件

唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
，而不计较
的轨迹如何。
2. 线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统:
3. 离散时间系统这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统:
3
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
导能观性条件。从式(1)，有:
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式:
16
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于。这个系数矩阵称为能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
17
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别 1.有关线性时变系统能控性的几点说明 1)定义中的允许控制，在数学上要求其元在绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的，是系统在允许控制作用下，由初始状态目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义, 可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。 4)非奇异变换不改变系统的能控性。

3-3 能控性、能观性与传递函数

B PO B
CO
y [1 0
C CPO 1
线性变换后
0 xO 2 xO 2
0 0 x O 1 u 0 x O 1 1
xO 0 ] xO
即：
s n y ( s ) a n 1 s n 1 y ( s ) a1 sy ( s ) a0 y ( s ) β0 u ( s ) y ( n ) a n 1 y ( n 1) a1 y a0 y β0 u
进行拉普拉斯反变换选择系统的状态变量
（51）
3.9
实现问题
在基于状态空间方法分析和设计控制系统时，要知道系统的状态空间表达式。然而在有的情况下，只知道系统的传递函数（矩阵），这时就要将给定的传递函数（矩阵）描述变成与之输入输出特性等价的状态空间表达式描述。这个问题称为系统实现问题。这里只讨论SISO系统的实现问题。
如果给定一个传递函数 g (s ) ，求得一个系统方程
（37）
y β0
a1
β1
β n 1 x du
3.7
能控性、能观性与传递函数的关系
x Ax B u y Cx
1
考察SISO线性定常系统（40）
其传递函数为
g ( s ) C [ sI A] b
C adj[ sI A] b det[ sI A]
x Ax B u y Cx

（52）（53）
或者
x Ax bu y Cx du
注：当传递函数分子的阶次小于分母的阶次时，有（52）式形式；当传递函数分子的阶次等于分母的阶次时，有（53）式形式。

3第三章能控性和能观测性

rank[λiI − A B] = rank[sI − A B], i = 1,2,Ln
充分性的证明类似，大家自己证明。
15
例：给定线性定常系统的状态方程为
⎡0 1 0 0⎤ ⎡ 0 1⎤
x&
=
⎢⎢0 ⎢0
0 0
−1 0
0⎥⎥ 1⎥
x
+
⎢ ⎢ ⎢
1 0
10⎥⎥⎥u
⎢⎣0 0 5 0⎥⎦ ⎢⎣− 2 0⎥⎦
第三章线性系统的能控性和能观测性
1
3.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性概念线性连续系统的能控性判据线性连续系统的能控性指数
2
3.1.1 线性连续系统能控性的概念
1、状态能控
x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
对于系统{A(t)，B(t)} 及某一个特定的初始状态xi(t0)。若对每一个tf＞t0，总有定义在时间域[t0，tf]上的控制函数u(·)，能把系统{A(t)，B(t)}从初始状态xi (t0)，转移到状态xi (tf)=0，则称该系统的这一特定状态xi (t0)在t0时刻是能控的。若xi (t0)对所有初始时刻都是能控的，则称xi (t)为一致能控的。
0
=0
∫ ∫ x0
= −e− At1
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
0
= − t1 e−Aτ Bu(τ )dτ 0
∫ x0
2
=
x0T x0
= [−
t1 0
e−
Aτ
Bu
(τ
)dτ
]T
x0
∫ =
−
t1 0
u

现代控制理论试卷及答案-总结

、〔10分,每小题1分〕试判断以下结论的正确性,若结论是正确的, 一〔√〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数.〔√〕2. 若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现.〔×〕 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的.〔√〕4. 对线性定常系统x = Ax ,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的.〔√〕5.一个不稳定的系统,若其状态彻底能控,则一定可以通过状态反馈使其稳定.〔×〕 6. 对一个系统,只能选取一组状态变量；〔√〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输入和输出无关；〔×〕 8. 若传递函数G(s) = C(sI 一A)一1 B 存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；〔×〕9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；〔×〕 10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性.二、已知下图电路,以电源电压 u<t>为输入量,求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R2 上的电压为输出量的输出方程.〔10 分〕解：〔1〕由电路原理得：二．〔10 分〕图为 R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和电容 C 上的电压x 为状态变量,电容 C 上的电压x 为输出量,试求：网2 2络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图.解：此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件, 故有独立变量.以电感 L 上的电流和电容两端的电压为状态变量 , 即令：i L = x 1 , u c = x 2,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： • •y y21 =-x x21+ u三、〔每小题 10 分共 40 分〕基础题〔1〕试求 y - 3y - 2y = u + u 的一个对角规 X 型的最小实现.〔10 分〕Y(s) = s 3 + 1 = (s +1)(s 2 - s +1) = s 2 - s +1 = 1+ 1+ -1 …………4 分不妨令X (s)1 = 1 ,X (s)2 = - 1 …………2 分于是有又Y(s)U(s)= 1+ X (s)1U(s)+ X (s)2U(s),所以Y(s) = U (s) + X 1 (s) + X 2 (s) , 即有y = u + x + x …………2 分1 2最终的对角规 X 型实现为则系统的一个最小实现为：=「|2 0 ]+「| 1 ]|u, y = [1 1…………2 分 U (s) s 3 - 3s - 2 (s +1)(s 2 - s - 2) s 2 - s - 2 s - 2 s + 1 L 0 -1-1」U (s) s - 2 U (s) s + 1从上述两式可解出x 1 ,x 2 ,即可得到状态空间表达式如下：〔2〕已知系统 =「| 0 1]| +「|1]|u, y = [1 -2] ,写出其对偶系统,判断该系统的能控性与其对偶系统的能观性.〔10 分〕解答：= 10 3-2+ -12 u…………………………2 分y = [1 2] ……………………………………2 分〔3〕设系统为试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应〔10 分〕 .解(t )=「|e-t 0 ]|L 0 e -2t 」……………………………..…….……..3 分(t) = (t )(0) + j 0t (t )u(t )d τ……….….……….……..3 分=11+ j 0t11d τ ….……..2 分=「| e-t ]| + j t 「| e -(t -t ) ]|d τL e -2t 」 0 |L e -2(t -t )」| .................................................................................... 1 分=(1- e1(1-2= 21 (1 e -2t )………………..1 分〔4〕已知系统 x =01 01x + 11u 试将其化为能控标准型.〔10 分〕「0 1 ]解： u c = 11 02 , u -c 1 =|L 21 - 21 」| ............2 分 p 1= [0 1]u -c1 = [0 1]-121= [21 - 21].…….1 分 p 2= p 1A = [21- 21]01 01= [21 21].……..1 分 L -2 3」 L 2」「 1 - 1 ] 「 1 1]P = |L 212」| ,P -1 = |L -1 1」| ....................2 分能控标准型为x =「|0 1]|x +「|0]|u........ 4 分四、设系统为试对系统进行能控性与能观测性分解,并求系统的传递函数.〔10 分〕解：能控性分解：能观测性分解：传递函数为g(s) ==(2分)五、试用李雅普诺夫第二法,判断系统 x •=「| 0 1 ]| x 的稳定性.〔10分〕方法一：解： x 1= x 2原点 x =0是系统的惟一平衡状态 .选取标准二次型函数为李雅e普诺夫函数,即当x 1 = 0 ,x 2 = 0 时, v(x) = 0 ；当x 1 丰 0 ,x 2 = 0 时,v(x) = 0 ,因此v(x) 为负半定.根据判断,可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的. 另选一个李雅普诺夫函数,例如：为正定,而为负定的,且当 x ) w ,有V (x)) w .即该系统在原点处是大 X 围渐进稳定. 方法二：• • ••L -1 -1」L 0 1」 L 1」解：或者设P =则由 A T P + PA = -I 得+=可知 P 是正定的.因此系统在原点处是大 X 围渐近稳定的六、〔20 分〕线性定常系统的传函为 Y (s) = s +4U (s) (s + 2)(s +1)〔1〕实现状态反馈,将系统闭环的希翼极点配置为(-4,-3),求反馈阵K .〔5 分〕〔2〕试设计极点为(-10,-10) 全维状态观测器〔5 分〕 . 〔3〕绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图〔4 分〕〔4〕分析闭环先后系统的能控性和能观性〔4 分〕注明：由于实现是不惟一的,本题的答案不惟一！其中一种答案为：解：〔1〕 Y (s) = s + 4 = s + 4U (s) (s + 2)(s +1) s 2 + 3s + 2系统的能控标准型实现为： X =「| 0 1 ]| X +「|0]| u, y = [4 1]X ……1 分系统彻底可控,则可以任意配置极点……1 分令状态反馈增益阵为K = [k k ]……1 分1 2则有A - BK =「| 0 1 ]|,则状态反馈闭环特征多项式为又期望的闭环极点给出的特征多项式为： (s + 4)(s + 3) = s 2+ 7s +12由入2 + (k + 3)入 + (k + 2) = s 2 + 7s +12 可得到K = [4 10]……3 分1 2〔2〕观测器的设计：L -k 2 - 2 -k 1- 3」 L -2 -3」 L 1」由传递函数可知,原系统不存在零极点相消,系统状态彻底能观,可以任意配置观测器的极点.……1 分令E = [e e ]T ……1 分1 2由观测器 = (A - EC)+ Bu + Ey 可得其期望的特征多项式为:f * (s) = f (s) 亭 E = - 311 395T ……4 分〔3〕绘制闭环系统的摹拟结构图第一种绘制方法：……4 分〔注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思, 刚发现！！〕第二种绘制方法：〔4〕闭环前系统状态彻底能控且能观,闭环后系统能控但不能观〔因为状态反馈不改变系统的能控性 ,但闭环后存在零极点对消 ,所以系统状体不彻底可观测〕……4 分A 卷-+-41 s32x 21 sx1x14+ + y10++22 - 3+ +1 s 222 - 358 -34 322 - 3 + ++1+ + - s1 4 43v u +-++++一、判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ , 错误的打×〔每小题1 分,共10 分〕1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动,输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程〔√〕2、对于给定的系统,状态变量个数和选择都不是惟一的〔×〕3、连续系统离散化都没有精确离散化,但近似离散化方法比普通离散化方法的精度高〔×〕4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数〔×〕5、若系统的传递函数存在零极点相消,则系统状态不彻底能控〔×〕6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构, 与系统的参数和控制变量作用的位置有关〔√〕7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系〔×〕8、一个传递函数化为状态方程后,系统的能控能观性与所选择状态变量有关〔√ 〕9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,与输入无关〔√〕10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数,那末表明该系统是不稳定的〔×〕二、已知系统的传递函数为试分别用以下方法写出系统的实现：(1) 串联分解(2) 并联分解(3) 直接分解(4) 能观测性规X 型〔20 分〕解：2对于s3 +10s2 + 31s + 30 有(1) 串联分解串联分解有多种,如果不将 2 分解为两个有理数的乘积,如2 = 1 8 ,绘制该系统串联分解的结4构图,然后每一个惯性环节的输出设为状态变量,则可得到系统四种典型的实现为：则对应的状态空间表达式为：需要说明的是, 当交换环节相乘的顺序时,对应地交换对应行之间对角线的元素. . 的实现为：〈0 0一311]XX + u则. .的实现为：〈0一311]XX + u挨次类推！！ (2) 并联分解实现有无数种,若实现为〈X = X + 21u只要满足y = [c L 1 c 2 c 3]2 1〔3〕直接分解〔4〕能观测规 X 型三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统 = A , t > 0 .现知,对应于两个不同初态的状态响应分别为试据此定出系统矩阵A.〔10 分〕解： x(t) = e At x(0) 可得四、已知系统的传递函数为〔1〕试确定 a 的取值,使系统成为不能控,或者为不能观测；〔2〕在上述 a 的取值下,写出使系统为能控的状态空间表达式,判断系统的能观测性；〔3〕若a = 3 ,写出系统的一个最小实现.〔15 分〕解：〔1〕因为因此当a = 1 或者a = 2 或者a = 3 时, 浮现零极点对消现象,系统就成为不能控或者不能观测的系统〔2〕可写系统的能控标准形实现为此问答案不惟一存在零极相消,系统不能观〔3〕 a = 3 ,则有G(s) =2 3 一1 3 如例如： s 3 + 10s 2 + 31s +30 = (s + 2) + (s + 3) + (s + 5),则其实现可以为：可写出能控标准形最小实现为此问答案不惟一,可有多种解五、已知系统的状态空间表达式为〔1〕判断系统的能控性与能观测性；〔2〕若不能控,试问能控的状态变量数为多少？〔3〕试将系统按能控性进行分解；〔4〕求系统的传递函数.〔15 分〕解：〔1〕系统的能控性矩阵为U C = [b Ab ]= 10 -20, det U C = 0, rankU C = 1 < 2故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为「 c ] 「 2 5 ]故系统的状态不能观测 4 分〔2〕 rankU = 1 , 因此能控的状态变量数为 1C〔3〕由状态方程式可知是x 能控的, x 是不能控的2 1〔4〕系统的传递函数为1 分2 分G(s) = c (sI - A )-1 b = c (sI - A )-1 b = 5 只与能控子系统有关六、给定系统解李雅普诺夫方程,求使得系统渐近稳定的 a 值 X 围.〔10 分〕七、伺服机电的输入为电枢电压,输出是轴转角,其传递函数为〔1〕设计状态反馈控制器u = -Kx + v ,使得闭环系统的极点为-5 士 j5 ；〔2〕设计全维状态观测器,观测器具有二重极点－15；〔3〕将上述设计的反馈控制器和观测器结合,构成带观测器的反馈控制器,画出闭环系统的状态变量图；〔4〕求整个闭环系统的传递函数.〔20 分〕第二章题 A 卷第一题：判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ ,错误的打× 〔每小题 1 分,共 10 分〕 11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动,输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程〔 √〕12、对于给定的系统,状态变量个数和选择都不是惟一的〔×〕13、连续系统离散化都没有精确离散化,但近似离散化方法比普通离散化方法的精度高〔×〕3 分2 2 2s + 2U O= |L cA 」| = |L 19 -10」| , det U C = -115 丰 0, rankU O = 214、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数〔×〕15、若系统的传递函数存在零极点相消,则系统状态不彻底能控〔×〕16、状态的能空性是系统的一种结构特性 ,依赖于系统的结构, 与系统的参数和控制变量作用的位置有关〔 √〕17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系〔×〕18、一个传递函数化为状态方程后,系统的能控能观性与所选择状态变量有关〔√〕 19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,与输入无关〔 √〕20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数,那末表明该系统是不稳定的〔×〕第二题：已知系统的传递函数为G(s) == ,试分别用以下方法写出系统的实现：(5) 串联分解〔4 分〕 (6) 并联分解〔4 分〕 (7) 直接分解〔4 分〕 (8) 能观测性规 X 型〔4 分〕(9) 绘制串联分解实现时系统的结构图〔4 分〕解：s对于有s 3 +10s 2 + 31s + 30(3) 串联分解串联分解有三种s = s . 1 . 1 = 1 . s . 1 = 1 . 1 . s s 3 +10s 2 + 31s + 30 (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 1) (s + 2) (s + 3) = (1)..=.(1).=.(1)对应的状态方程为：(4) 并联分解实现有无数种,其中之三为：〔3〕直接分解〔4〕能观测规 X 型 (10) 结构图第二章题 B 卷第一题：判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ ,错误的打× 〔每小题 1 分,共 10 分〕 1、状态空间模型描述了输入-输出之间的行为,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部行为〔 √〕2、状态空间描述是对系统的一种彻底的描述,而传递函数则只是对系统的一种外部描述〔√〕3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化〔×〕4、对于一个线性系统来说,经过线性非奇妙状态变换后,其状态能控性不变〔 √〕5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动〔×〕6、能观〔能控〕性问题可以转化为能控〔能观〕性问题来处理〔√〕7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统〔√〕8、一个系统的传递函数若有零、极点对消现象,则视状态变量的选择不同,系统或者是不能控的Y(s) s 3 +10s 2 + 31s + 32U (s) (s 2 + 5s + 6)(s + 1)或者是不能观的〔 √〕9、对于一个给定的系统,李雅普诺夫函数是惟一的〔 ×〕 10、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的,则称该系统是外部稳定的〔√〕第二题：求以下 RLC 网络系统的状态空间模型, 并绘制其结构图.取电压 e_i 为输入,e_o 为输出.其中 R 1 、R 2 、C 和 L 为常数.第二题图答案:解：〔状态变量可以另取〕定义状态变量： x 1 为电阻两端电压 v,x 2 为通过电感的电流 i.输入 u 为 e_i ,输出 y 为e_o .使用基尔霍夫电流定理列 R 1 和 R 2 间节点的电流方程：使用基尔霍夫电压定理列出包含 C 、R 2 、L 回路的电压方程：最后,输出电压的表达式为：得到状态空间模型：结构图为：第三题：如图所示,系统的输入量为 u 1 和 u 2、输出量为 y 和请选择适当的状态变量,并写出系统的状态空间表达式,根据状态空间表达式求系统的闭环传递函数：第三题图解：状态变量如下图所示〔3 分〕从方框图中可以写出状态方程和输出方程〔4〕状态方程的矩阵向量形式：系统的传递函数为〔3 分〕：. 解：由电路图可知：图1 ：RC 无源网络可得：选,,=所以可以得到：解：运用公式可得：可得传递函数为：解：先求出系统的.可得：令,X<k>+解：计算算式为：所以：解：由于 A 无特定形式,用秩判据简单.因此,不管 a 去何值都不能够联合彻底能控和彻底能观测解：〔1〕选取李雅普若夫函数V<x>,取,可知：V<0>=0,即〔2〕计算基此可知：即：〔3〕判断和出：为正定.并判断其定号性.对取定和系统状态方程,计算得到：为负半定..对此, 只需判断的不为系统状态方程的解.为此,将带入状态方程, 导表明,状态方程的解只为, 不是系统状态方程的解.通过类似分析也可以得证不是系统状态方程的解. 基此, 可知判断.〔4〕综合可知,对于给定非线性时不变系统,可构造李雅普若夫函数判断满足：V<x>为正定, 为负定；对任意,当,有基此,并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态为大X 围渐近稳定.解：可知,系统彻底可控,可以用状态反馈进行任意极点配置. 由于状态维数为 3 维.所以设.系统期望的特征多项式为：而令,二者相应系数相等.得：5 3 ]即：验证：A 卷二、基础题〔每题 10 分〕1、给定一个二维连续时间线性定常自治系统 = A , t > 0 .现知,对应于两个不同初态的状态响应分别为试据此定出系统矩阵 A .解： x(t) = e At x(0) 2 分可得e At = 4 4「| 1 (e -t + e 3t )4 分4 e -t + 4 e 3t |「 1 -5 e -t + 3 e 3t |L -1 1 1 ] 21 (e -t + e 3t )」2 ]-1 「| 43 e -t + 41 e 3t -1」| = - 23 e -t + 21e 3t45 e -t + 43e 3t ]|「-1 - 25 e -t + 23e 3t 」 |L 1-2] 1 」| A ==-te3t14-43t =0 = 41 11 2、设线性定常连续时间系统的状态方程为取采样周期T = 1s ,试将该连续系统的状态方程离散化. 解：① 首先计算矩阵指数.采用拉氏变换法：e t = L -1 (s -)-1 = L -1〈-1= L -122)=3 分② 进而计算离散时间系统的系数矩阵.= e T =「|1 0.5 (1- e -2T )] T 「14 分0.4323] 0.1353」|2 分「3 e -t + 1 e 3t |L 0 e -2T 」|| 将T = 1s 代入得 = e = |L 0 - 4 e -t + 4 e 3t| |- 3 e -t + 1 e 3t |L 2 2 = | 2||L -e -t + e 3t2 2 」|=(j T)B =〈(|j T「|10 |l 0 |L00.5(1- e-2t)] )|「0]「0.5T + 0.25e-2T - 0.25]=|L -0.5e-2T + 0.5 」|「1.0789]= | |③故系统离散化状态方程为xx21 = xx21kk+ u (k ) 2 分3、已知系统的传递函数为〔1〕试确定a 的取值,使系统成为不能控,或者为不能观测；〔2〕在上述a 的取值下,写出使系统为能控的状态空间表达式,判断系统的能观测性；〔3〕若a = 3 ,写出系统的一个最小实现.〔10 分〕解：〔1〕因为因此当a = 1 或者a = 2 或者a = 3 时, 浮现零极点对消现象,系统就成为不能控或者不能观测的系统 3 分〔2〕可写系统的能控标准形实现为此问答案不惟一x =-x + u y =[2a 2 0]x3 分存在零极相消,系统不能观 1 分〔3〕a = 3 ,则有G(s) =可写出能控标准形最小实现为此问答案不惟一,可有多种解三、已知系统的状态空间表达式为3 分〔1〕判断系统的能控性与能观测性；〔2〕若不能控,试问能控的状态变量数为多少？〔3〕试将系统按能控性进行分解；〔4〕求系统的传递函数.〔10 分〕解：〔1〕系统的能控性矩阵为UC= [b Ab]=1-2, det UC= 0, rankUC= 1 < 23 分L0.4323」|dt卜||e-2t 」| J|L 1」故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为「 c ] 「 2 5 ] U O= | | = | | ,detU = -115 丰 0, rankU = 2 C O4 分〔2〕 rankU = 1 , 因此能控的状态变量数为 1 1 分 C〔3〕由状态方程式可知是x 能控的, x 是不能控的 2 分3 分B 卷二、基础题〔每题 10 分〕1、给定一个连续时间线性定常系统, 已知状态转移矩阵个(t) 为试据此定出系统矩阵 A .解：A =〈dt d(t) 卜Jt =0=t =0「 0 2 ] = | |2、设线性定常连续时间系统的状态方程为取采样周期T = 1s ,试将该连续系统的状态方程离散化.解：① 首先计算矩阵指数.采用拉氏变换法： ② 进而计算离散时间系统的系数矩阵.「 1 T ] 「1 1]= e T = |L 0 1」|将T = 1s 代入得 = e T = |L 0 1」| ③ 故系统离散化状态方程为 3、已知系统的传递函数为试写出系统的能控标准形实现.〔10 分〕解：系统的能控标准形实现为三、试确定下列系统当 p 与 q 如何取值系统既能控又能观.〔10 分〕解：系统的能控性矩阵为其行列式为 det [b Ab ]= p 2 + p - 12根据判定能控性的定理 , 若系统能控 , 则系统能控性矩阵的秩为 2,亦即行列式值不为2 1〔4〕系统的传递函数为G(s) = c (sI - A )-1 b = c (sI - A )-1 b = 5 只与能控子系统有关2 2 2s + 2L -1 -3」L cA 」 L 19 -10」故系统的状态不能观测[b Ab]= p2+ p - 12 丰00 , det因此当p 丰3,-4 时系统能控系统能观测性矩阵为其行列式为根据判定能观性的定理, 若系统能观, 则系统能观性矩阵的秩为2, 亦即「c ]det | | = 12q2 - q - 1 丰0L cA」1 1因此当q 丰, - 时系统能观3 41 1综上可知, 当p 丰3, -4 , q 丰, - 时系统既能控又能观3 4。

现代控制理论复习题库

现代控制理论复习题库一、填空题1. 对任意传递函数00()mnjj j j j j G s b sa s ===∑∑，其物理实现存在的条件是。

2. 系统的状态方程为齐次微分方程=x Ax ，若初始时刻为0，x (0)=x 0则其解为___）（）（0x x e t x t A =________。

其中， ___t e A __称为系统状态转移矩阵。

3. 对线性连续定常系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定，原因是___整个状态空间中只有一个平衡状态______________。

4. 系统1111(,,)∑=A B C 和2222(,,)∑=A B C 是互为对偶的两个系统，若1∑使完全能控的，则2∑是___完全能控_______的。

5. 能控性与能观性的概念是由__卡尔曼kalman ________提出的，基于能量的稳定性理论是由___lyapunov_______构建的6. 线性定常连续系统=+x Ax Bu ，系统矩阵是_____A______，控制矩阵是_____B_____。

7. 系统状态的可观测性表征的是状态可由输出反映初始状态完全反映的能力。

8. 线性系统的状态观测器有两个输入，即_________和__________。

9. 状态空间描述包括两部分，一部分是_状态_方程_______，另一部分是____输出方程______。

10. 系统状态的可控性表征的是状态可由任意初始状态到零状态完全控制的能力。

11. 由系统的输入-输出的动态关系建立系统的____传递函数___________，这样的问题叫实现问题。

12.某系统有两个平衡点，在其中一个平衡点稳定，另一个平衡点不稳定，这样的系统是否存在？___不存在_______。

13. 对线性定常系统，状态观测器的设计和状态反馈控制器的设计可以分开进行，互不影响，称为___分离___原理。

14. 对线性定常系统基于观测器构成的状态反馈系统和状态直接反馈系统，它们的传递函数矩阵是否相同？__不相同___。

第五章能控性、能观性与传递函数

故
⎡ A22 (⎢ ⎣ 0
A24 ⎤ , [ C2 ⎥ A44 ⎦
C4 ]) 能观。
(5.1.15)
17
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解最后证明 ( A22 , B2 , C2 ) 能控能观。根据
得
⎡ sI n1 − A11 rank ⎢ ⎢ ⎣ 0
− A12 sI n2 − A22
2
ˆ ˆ n −1 , , CA 0 C4 ]
0 C2 A24 + C4 A44 ] ⎡ A22 A24 ⎤ [C2 A22 C2 A24 + C4 A44 ] = [C2 C4 ] ⎢ 0 A ⎥ ⎣ 44 ⎦ ˆ ˆ 2 = CA ˆˆ⋅A ˆ = ⎡0 C A 2 0 C A A + (C A + C A ) A ⎤ CA 2 22 2 22 24 2 24 4 44 44 ⎦ ⎣
n −1
⎡ A11 ⎢0 ⎣
⎡ A11 ⎢0 ⎣
A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢B ⎥ A22 ⎥ ⎦⎣ 2⎦
A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢B ⎥ A22 ⎥ ⎦⎣ 2⎦
⎡ A11 ⎢0 ⎣
⎡ A11 ⎢0 ⎣
A12 ⎤ ⎥ A13 ⎦
A12 ⎤ 1 ⎥ A13 ⎦
⎡ B1 ⎤ ⎤ ⎢B ⎥⎥ ⎣ 2 ⎦⎥ ⎦
n1 + n2 = rank ⎡ ⎣B
AB
An −1 B ⎤ ⎦
⎡ ⎡ B1 ⎤ ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 A ⎥ ⎢B ⎥ = rank ⎢ ⎢ B 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎢ 0 0 ⎣
ˆ B = rank ⎡ ⎣
ˆˆ AB
ˆ n −1 B ˆ⎤ A ⎦

第三章能控性与能观性

(3-11) Ax Bu x 式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量, A、B分别为 n n、 n r 常数阵。式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵
Qc B AB A2 B An1 B
满秩,即
(3-12)
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
24
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
25
【例3-5】动态系统的状态方程如下，试判断其能控性。
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 0 u 1 x a2 1
解
2
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义，在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后，讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中的应用。
13
2.系统能观测对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 t f > t0 ，定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t [t 0 , t f ] 对于所有，系统的输出 y(t)能惟一确定 t 0 时 t0 时 x0 刻的任意非零的初始状态向量，则称系统在刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对于任意均是能观测的（即系统的能观测性与初 t0 Td t0 Td 始时刻的选取无关），则称系统是一致完全能观测。

能控性与能观性

通过以上分析的一下几点结论： 1. 系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。 2.在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态，从状态空间上说，xT=[x1 x2 ....xn]T是不完全能控的。 3.在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，与其相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。
根据能控性定义，对任意的初始状态矢量x(t0)，应能找到u(t)，使之在有限时间 tf>t0内转移到零状态[x(tf)=0]。令t=tf，x(tf)=0，得
Φ (t f t0 ) x (t0 ) Φ (t f )bu( ) d
即
x (t0 ) Φ (t0 )bu( ) d
x (t0 ) [b
Ab
0 1 A2b An 1b] n 1
要使系统能控，则对任意给定的初始状态x(t0)，应能从式(3-21)解出ɤj来，因此，必须保证
M [b
Ab
A2b An 1b]
其秩必须等于n。判据得证。在单输入系统中，其传递函数阵为
转换成约旦标准型的判别方法
线性时不变系统的A为对角线矩阵
x (t0 ) x0 c11 c12 c c22 21 C c m1 cm 2 c1n c2 n cmn
y Cx
0 1 2 A Λ 0 n
2.2 直接从A与B判别系统的能控性单输入系统

现代控制工程题目及解答.答案

1.简述现代控制理论和经典控制理论的区别.答：经典控制理论是以传递函数为基础的一种控制理论，控制系统的分析与设计是建立在某种近似的和试探的基础上，控制对象一般是单输入单输出、线性定常系统；对多输入多输出系统、时变系统、非线性系统等则无能为力。

主要的分析方法有频率特性分析法、根轨迹分析法、描述函数法、相平面法、波波夫法等。

控制策略仅限于反馈控制、PID控制等。

这种控制不能实现最优控制。

现代控制理论是建立在状态空间上的一种分析方法，它的数学模型主要是状态方程，控制系统的分析与设计是精确的。

控制对象可以是单输入单输出控制系统也可以是多输入多输出控制系统，可以是线性定常控制系统也可以是非线性时变控制系统，可以是连续控制系统也可以是离散和数字控制系统。

主要的控制策略有极点配置、状态反馈、输出反馈等。

现代控制可以得到最优控制。

2.简述用经典控制理论方法分析与设计控制系统的方法,并说明每一种方法的主要思想。

答：1：建立数学模型2：写出传递函数3：用时域分析和频域分析的方法来判断系统的稳定性等。

以及对其进行系统的校正和反馈。

频域响应法、根轨迹法根轨迹法的主要思想为：通过使开环传函数等于-1的s值必须满足系统的特征方程来控制开环零点和极点的变化，使系统的响应满足系统的性能指标。

频域响应法的主要思想为：通过计算相位裕量、增益裕量、谐振峰值、增益交界频率、谐振频率、带宽和静态误差常数来描述瞬态响应特性，首先调整开环增益，以满足稳态精度的要求；然后画出开环系统的幅值曲线和相角曲线。

如果相位裕量和增益裕量提出的性能指标不能满足，则改变开环传递函数的适当的校正装置便可以确定下来。

最后还需要满足其他要求，则在彼此不产生矛盾的条件下应力图满足这些要求。

3.什么是传递函数？什么是状态方程答：传递函数：在零起始条件下，线型定常系统输出象函数X0（s）与输入象函数X i（s）之比。

描述系统状态变量间或状态变量与输入变量间关系的一个一阶微分方程组（连续系统）或一阶差分方程组（离散系统）称为状态方程。

第四章+能控性和能观测性-1讲

状态能达性：对于给定的线性定常系统，如果
存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由零初始状态转移到任一指定的非零终端状态，则称此系统是状态完全能达的，
简称系统是能达的。
注意： 1、在线性定常系统中，能控性与能达性是可逆的，即：
能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。 2、在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一。
15
4.1 线性定常连续系统的能控性
2、输出能控性－－控制输入影响输出的能力
在分析和设计控制中，系统的被控量往往不是系统的状态，而是系统的输出，必须研究系统的输出是否能控。
对于系统 x Ax Bu
y Cx Du
在有限时间区间 t[t0, tf ]，存在一个无约束的分段连续的控制输入 u (t ) ，能使任
即，如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到终点，则系统能控(状态能控)。
6
引言—问题的提出
② 在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的各个状态？
指系统的输出量（或观测量）对系统状态的识别能力，称之为状态的能观性问题。
即，如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态能观测的。
2
引言—问题的提出
• 状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。
• 状态方程反映控制输入对状态的影响；
• 输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。
• 运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响。
3
引言—问题的提出
❖ 研究系统的最终目的：更好地了解系统和控制系统。
经典控制理论：传递函数（输入输出特性）

能控性能观测与传递函数的关系

第六节能控性、能观测性与传递函数的关系
Monday, October 12,
1
2020
用数学模型描述系统，通常有两种描述方法：外部描
述（使用传递函数阵）和内部描述（动态方程，状态空间描
述）。这两种描述是否等价呢？应该说，内部描述比外部描述
更深刻。Kalman指出：两种描述的等价是有条件的，不是绝对
y 1
1
x1 x2
u
其特征值为1，-5，所以A 阵可以转化为对角阵。
1 A 0
0 5,
e
At
et
P
0
0 e5t
P
1
状态方程的解为：x eAt x(0)
有项t，则随x着1(t)或x2 (t)，
t 0
e
A(t
)
Bu
(
)d
e At
e。t 中
，即在系统中间
存在、隐藏着不稳定的因素。
1 3 9 27
2 2 2
2
0 0 0 0
0 0 0
0
rank
P 2 Monday,
20c20
Oct4ob,e所 r 12以, 系统状态不完全可控。
6
可观测性矩阵：Po CT AT CT ( AT )2 CT ( AT )3CT
0 0 0 0 1 1 1 1
1 2 4 8 0 0 0 0
下面我们用内部描述来分析。选择状态变量如下图：
u(t)
5
x1
-
s 1
x1
+ y(t)
-
4
+
x2
s 1
x2
-
1
状态方程M2o0为n2d0ay：, Octxxob12er12,y5(ux2

6第六节能控性能观测与传递函数的关系

s 1 1
1 2 2 0 s 1

s 2 1 0

s 4
其特征根为-1，对应的状态变量是x2 ，构成了可控可观测子
空间。所以说，当且仅当系统的状态完全可控可观测时，系统
的外部描述等价于内部描述。
2019年8月22日
10
应当指出：①当传递函数有零极点相消时，由于选择状态变量的不同，它们可以分解为可控可观测子空间和不可控可观测子空间；也可分解为可控可观测子空间和可控不可观测子空间。
0 0 0
0

rankPc 2 4,所以系统状态不完全可控。
2019年8月22日
6
可观测性矩阵：Po CT AT CT ( AT )2 CT ( AT )3CT
0 0 0 0 1 1 1 1
1 2 4 8 0 0 0 0
rankPo 2 4,所以系统状态不完全可观测。
②当传递函数无零极点相消时，线性满秩变换不影响系统的可控可观测性。
[例7-6-2]系统为：G(s)
sa
，当a 1,2,3 时，写成
(s 1)(s 2)(s 3)
的动态方程一定是可控可观测的；当 a 1,2,3 时，有零极点相
消，动态方程可以写成可控不可观测或不可控可观测两种形式。
3
试判断可控及可观测性。
x

1
2
1

x

2u
0

4 0
y 0 1 1 0x
[解]：可控性矩阵：Pc B AB A41 B
1 3 9 27
2 2 2

现代控制理论第3章能观测性及其判据讲义资料

A
对A的每一个特征值λi之秩为n。（PBH判别法）
非奇异变换不改变系统的能观测性
定理三：线性定常连续系统，若A 的特征值互异，经非奇异变换后为
1
x
2
x Bu
n
y Cx
系统能观测的充分必要条件是 C 阵中不包含全为零的列
定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换后为：
设系统能观测,但 W (t0 , t1 ) 是奇异的,即存在非零初态,使
W(t0,t1)x0 0
x0TW(t0,t1)x00
xTt1 0 t0
T (t,t0 )C T (t)C (t)(t,t0 )d tx 0 0
t1 yT(t)y(t)dt 0 t0
y(t) 0
2：线性定常系统定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是
观测的，简称不能观测。
定x 由(t义)于：( 设t nt0 维)x 系(t0 ) 统的tt0 动(t态方)B 程(为) u d u (xty) C A((tt))xx11s x1(B D 0)((ttx)1)uu
x2 (0) 1
x2
y(t)
s
2
若可对见状系态统空的间状中态的x(t任)的一能状观态测x(t0)，存在一有限时间t1-t0，使得由控制输入 u性(t与0,tx1)(和t0)输的出能y观(t测0,t1性)的是信等息价足的以确定x(该t0)系，统则是称不系能统观在测t0时的刻是完全能观测的。
1 0 0 4 1 10
ranckQ 3
系统是能控的
1 2
令x(1)=0 x(0)G1Hu(0)0 2
1 2 1 2 x1(0)

3-1能控能观

所以系统状态不完全能控。
9
定理3-2：设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件，是系统经线性变换后的对角线矩阵 1 2 ~ ~(t ) ~(t ) Bu(t ) x x n 中,
~ B 不包含元素全为零的行。
5
3.2.2 线性定常系统的状态能控性定理3-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵 Qc = [ B AB A2B … An 1B ] 的秩为n，即 rankQc = n 证明已知状态方程的解为
x(t f ) e
A( t f t0 )
x(t0 ) e
13
定理3-3 若线性连续系统(A，B)有相重的特征值时，即A为约当形时，则系统能控的充要条件是：（1）输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零；（2）输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。上述结论的证明与具有两两相异特征值的证明类同，故省略。

P 1 APP 1 B AB
P 1 APP 1 APP 1 B

A2 B An1 B
P是非奇异阵
∴
~ rankQc rankQc
其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B) 状态完全能控的充要条件。
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将对角标准形的每一行写成如下展开形式 ~ ~ ~ ~ ~ (b u b u b u ) xi i xi i1 1 i2 2 ir r 显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，
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y (t1 ) 0 (t1 ) I m 1 (t1 ) I m n 1 (t1 ) I m C y (t ） (t ) I 1 (t2 ) I m n 1 (t2 ) I m CA 2 0 2 m x (0) n 1 y (t f ) 0 (t f ) I m 1 (t f ) I m n 1 (t f ) I m CA