传函与能控和能观性之间的关系

以上定理对单输入-单输出系统同样适用，证明从略。
谢谢！
零极点对消 • 类似得到能观充 分必要条件
有一个公因子s+0.8零极相消导致能控能观性的缺失
能控性； 若在c(sI-A)-1和c(sI-A)-1b的计算均有零极点对消发生，即同时发生在输出
方程和状态方程中，则影响能观性和能控性； 若零极点对消发生在预解矩阵 (sI-A)-1中， A的最小多项式阶次小于其特
征多项式阶次，表明约当标准型中等特征值对应多个约当块，可以证明，系 统必是不能控、不能观的。
定理2 如果在传递矩阵中，sI-A与Cadj(sI-A)B之间没有零极点对消，
则该系统是能控且能观测的，仅为充分条件。 定理3 如果多输入-多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵 (sI-A)-1B的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的，是充分必要条 件。 定理4 如果多输入-多输出系统的输出向量与初始状态向量x(0)之间的传 递矩阵C(sI-A)-1的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的，是充 分必要条件。
1
1
0 ( s ) 1 1 1 1 ( s )( s ) s

零极点对消发生在c(sI-A)-1中，系统不能观但能控。
4.9.2 多输入多输出系统的能控性、能观性与传递函数阵之 间的关系 Cadj (sI A) B 1 W (s) C ( sI A) B sI A
X2(s)
1 s
Y(s) X1(s)
为串联关系
W ( s)
s 1 s s
W (s) 1 s
若α=γ，出现零极点对消。
系统状态结构图为
u
s 1 s s
-

x

2
∫
x2
-

x

1
∫
x1 y
u
x

2
∫
源自文库
x2
-
x

1
∫
x1
y
x 0
1 1 x+ u；y 1
0 x
M b
1 Ab
c 1 ；N ( ) cA
0 1
1 M ( ) rankM 1 2，rankN 2
以第一种联结为例：
x 0

1 1 x+ u；y 1
1
0 x
1
1 1 s W ( s ) c ( sI A) b = 1 0 0 s 1 1 s 1 1 0 s 1 0 s ( s )( s ) ( s )( s ) (s ) 1 ( s )( s ) s
系统是不能控但能观的
串联次序互换 U(s)
1 s
x2
X2(s)
s s
Y(s)
X1(s)
u
-

x

2
∫
-

x

1
∫
x1

y
0 x x+ u 0 1 y 1 1 x
能控不能观
•

0 M b Ab ；rankM 2 1 1 c 1 N ；rankN 1 cA
可见把单输入单输出系统两个串联子系统的位置次序互换，在传递函数发生零极点 相消时，其能控性与能观性的结论也将互换。
能控、能观性和传递函数的关系
同一个系统 的不同状态空间模型会带来能控性和能观性的差 异
利用零极点对消判断单-单系统的能控性、能观性
W (s) c(sI A)1 b
若零极点对消发生在 c(sI-A)-1 的计算中，即发生在输出方程中，则影响 能观性； 若零极点对消发生在 c(sI-A)-1b的计算中，即发生在状态方程中，则影响
4.9 传递函数与能控性和 能观性之间的关系
胡绪权 52160762121
4.9.1 单输入单输出系统能控性、能观性与传递函数之间的关系
单输入-单输出系统：可通过零极点对消情况判断能控性、能观性。 对于一个单输入-单输出系统：∑（A，b，c）
Ax + bu x y cx
其能控能观的充要条件是传递函数
零极点对消发生在c(sI-A)-1b中，系统不能控但能观。
以第二种联结为例：
0 x x + u 0 1 y 1 1 x

0 s W ( s ) c ( sI A) b = 1 1 1 0 s 0 s 0 1 1 s s 0 s 1 1 ( s )( s ) ( s )( s )
W (s) c(sI A)1 b
的分子分母无零极点对消。 若W(s)出现零极点对消，辅以传递函数实现的具体结构， 可
以判断不能控或不能观的具体情况。
中的零极点对消
若传递函数存在零极点对消,则 传递函数的部分分式中缺少 相应项.
例4.33 分析α=γ时系统的能控性与能观性。
U(s)
s s