第三章 非稳态热传导
传热学-第三章 非稳态热传导
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
第三章 非稳态导热传热学
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
第3章 非稳态热传导
Bi
其中:
hlc
≤0.1
(3-12)
hL 或BiV ≤0.1, 0.05, 0.033
其中: 厚2δ的大平板：
厚2δ的大平板：lc 半径R的长柱体： lc
L
R 半径R的球体： lc R
R/2 半径R的球体： L R / 3
半径R的长柱体： L
满足上述条件时, 用集总参数法求解所得过余温度之差 ≤5%
(量纲：S)
热容量 表面换热条件 当τ = τc 时，θ/θ0 = e-1 = 36.8% 意义：(1)表明物体对流体温度变化响应的快慢程度。
时间常数常数不是时间, 但具有时间的量纲。
当 4 c 4
Vc
hA
时，
1.83% 0
工程上认为,此时导热体已达到热平衡状态
试： 确定板内温度分布。 给出导热微分方程及定解条 件,了解所得解的结构。 要求：掌握其基本求解思路——能
(1)导热微分方程及定解条件(即问题的数学描述):
t 2t a 2 x
2 a 2 x
(3-14) (3-15) (3-16a)
x
(3-18) (3-19) (3-20a)
hA cV
hA 0 e
hA cV
d
2 1
Q1 2 d
注意：当物体被加热时，以上各式中的(t0-t∞)应改为 (t∞-t0) ，以保证热流量Q 或Φ为正值。
hA exp( ) 0 cV
2、时间常数
定义：cV
/ hA c 为时间常数
3、Bi与Fo的物理意义
Bi : 表示固体内部单位导热面积上的导热热阻与单 位表面积上的换热热阻之比。Bi数越小，采用
3-非稳态热传导3
f (x) (x b)dx f (b)
格林函数法在非稳态导热中的应用
空间变量的三维δ函数 (r r)在直角坐标系 中等同于三个坐标变量的δ函数的乘积，即 (x x) ( y y) (z z)
时刻作用在空间某一点 r 强度在数量上等于ρc[J]的 瞬时点热源可写作
qv c (r r) ( ) =c (x x) ( y y) (z z) ( )
大平壁中的非稳态导热
内热源： 在τ时刻内热源引起的温度分布tl 应为在此前所有的瞬 时点热源, cg(x, ) (x x) ( )dxd 的作用的叠加
L
t1(x, )
d g(x, )G(x, ; x, )dx
0
0
1 L
d
L g(x, )dx 2
cos m x
0
0
L m1
无限大物体中的非稳态导热
再考察一个的例子。用熔融的钢水注入两根长钢轨之 间预留的空隙使之焊接为一体。假设不考虑由于相变 引起的潜热和物性变化等复杂因素，且忽略钢轨表面 的散热，则该问题可简化为无限大物体中的一维导热。 取空隙的中心平面为坐标原点，初始温度分布可简化 为
t t0, x b, 0 t 0, x b, 0
t3 ( x,
)
1 c
f ( )G(x, ; x 0, )d
0
1
cL
0
f ( )d 2
m x cos •
cL m1
L0
f
(
)
exp
m2
2a( L2
)
d
大平壁中的非稳态导热
总的热源=内热源+初始温度分布+边界热流：
L
L
t1(x, ) t1 t2 t3
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一 类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
稳态与非稳态热传导问题的数值模拟
稳态与非稳态热传导问题的数值模拟热传导是物体中热量传输的过程，它在生产和生活中都具有非常重要的作用。
热传导的过程中，热量从高温区向低温区传播，同时产生热流。
在工程领域中，热传导的过程常常需要进行数值模拟，以便更好地预测材料的热传导过程。
在本文中，我们将探讨稳态与非稳态热传导问题的数值模拟方法及其应用。
1. 稳态热传导问题稳态热传导问题是指物体中温度分布随时间不发生变化，也就是说，热量在物体内部没有积累或损失。
这类问题通常使用拉普拉斯方程来描述，即：∇·(k∇T) = 0其中，T 是温度分布，k 是热传导系数。
由于热传导系数一般取决于温度，因此需要使用一定的迭代方法，如高斯-赛德尔迭代法、雅可比迭代法等等，来求解该方程。
在实际的工程领域中，稳态热传导的数值模拟运用非常广泛。
例如，汽车发动机的温度控制和机械零件的热稳定性分析等都需要进行稳态热传导模拟，以保证工艺和质量。
2. 非稳态热传导问题非稳态热传导问题是指物体中温度分布随时间发生变化的情况。
这类问题与时间和空间有关，需要使用偏微分方程来描述。
例如，常见的热传导方程为：∂T/∂t = α∇²T + Q其中，α 为热扩散系数，Q 为热源。
解决该方程需要使用数值方法，如有限元方法、有限差分法等等。
非稳态热传导问题的数值模拟应用广泛，例如，液体储罐中液体的温度变化、电子设备散热分析等。
在高温环境下，热量的传递通常是非稳态的，因此该类问题的数值模拟更为常见。
3. 数值模拟方法无论是稳态还是非稳态热传导问题，数值模拟都需要使用适当的方法来求解热传导方程。
下面介绍两种常用的数值模拟方法。
（1）有限元方法有限元方法是一种非常常用的数值计算方法，在热传导问题中也得到了广泛应用。
该方法将连续的物理量离散成一组有限的基函数，再用这些基函数对问题进行近似求解，从而得到数值解。
有限元方法的基本思想是将区域分割成有限数量的小元素，每个小元素可以用一组简单的函数来描述，这些函数称为形函数。
传热学3-7章问答题及答案
第三章 非稳态热传导一、名词解释非稳态导热：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。
数Bi ：Bi 数是物体内部导热热阻λδ与表面上换热热阻h 1之比的相对值，即：λδh Bi =o F 数：傅里叶准则数2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。
二、解答题和分析题1、数Bi 、o F 数、时间常数c τ的公式及物理意义。
答：数Bi ：λδh Bi =，表示固体内部导热热阻与界面上换热热阻之比。
2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。
hA cVc ρτ=， c τ数值上等于过余温度为初始过余温度的36.8%时所经历的时间。
2、0→Bi 和∞→Bi 各代表什么样的换热条件？有人认为0→Bi 代表了绝热工况，是否正确，为什么？答：1）0→Bi 时，物体表面的换热热阻远大于物体内部导热热阻。
说明换热热阻主要在边界，物 体内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻物体内部的温度分布趋于均匀，并随时间的推移整体地下降。
可以用集总参数法进行分析求解。
2）∞→Bi 时，物体表面的换热热阻远小于物体内部导热热阻。
在这种情况下，非稳态导热过程刚开始进行的一瞬间，物体的表面温度就等于周围介质的温度。
但是，因为物体内部导热热阻较大，所以物体内部各处的温度相差较大，随着时间的推移，物体内部各点的温度逐渐下降。
在这种情况下，物体的冷却或加热过程的强度只决定于物体的性质和几何尺寸。
3）认为0→Bi 代表绝热工况是不正确的，0→Bi 的工况是指边界热阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。
3、厚度为δ2，导热系数为λ，初始温度均匀并为0t 的无限大平板，两侧突然暴露在温度为∞t ，表面换热系数为h 的流体中。
试从热阻的角度分析0→Bi 、∞→Bi 平板内部温度如何变化，并定性画出此时平板内部的温度随时间的变化示意曲线。
答：1）0→Bi 时，平板表面的换热热阻远大于其内部导热热阻。
第3章 非稳态热传导-1
e 1 0.368 36.8% 0
即物体的过余温度达到初始过余温度的36.8%。这说明，时间常数反 映物体对周围环境温度变化响应的快慢，时间常数越小，物体的温度 变化越快，越迅速地接近周围流体的温度，如图3-2所示。
工程上，对于非稳态导热过程往往要求解决下列问题： （1）物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时 间，或经某一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值； （2）物体在非稳态导热过程中的温度分布，为求材料中的热应力和热 变形提供必要的资料； （3）物体在非稳态导热过程中的温升速率； （4）某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传 递的总热量。
物体内各点过余温度之间的偏差就小于5%，就可以使用集总参数法计算。
M是与物体形状有关的无量纲数： 对于无限大平板，M = 1； 对于无限长圆柱，M = 1/2； 对于球，M = 1/3。
cV cV 具有时间的量纲，令 式(3-3)指数部分中的 ，c称为时间 c hA hA 常数，单位是s。
图3-1 集总参数法 分析示意图
假设该问题满足 Bi 01 . 的条件，根据能量守恒，单位时间物体热 力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流传热量，即
dt cV hAt t d
引进过余温度 t t ，上式可改写为：
(3-1)
d cV hA d
求解非稳态导热过程中物体的温度场，通常可采用分析解法、数值解 法、图解法和热电模拟法。
§3.2 零维问题的分析解法
当 Bi 01 . 时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对流传热热 阻，该导热热阻可以忽略不计，此时，物体内部各点的温度在任一时刻 都趋于均匀，物体的温度只是时间的函数，与坐标无关。
《传热学》课程教学大纲-蔡琦琳
《传热学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标(-)总体目标：《传热学》是研究由温差引起的热能传递规律的科学，是建筑环境与能源应用工程专业的一门基础课程和学位课程。
在制冷、热能动力、机械制造、航空航天、化工、材料加工、冶金、电子与电气和建筑工程等生产技术领域中存在大量的传热问题，课程旨在使学生掌握传热的基本概念、基本原理和计算方法，使学生对热量传递这一普遍存在的现象有理性的认识，并能熟练运用基础知识来思考、分析和解决实际传热问题。
(二)课程目标：本课程旨在使学生掌握热量传递的三种基本方式及其物理机制，掌握传热基础理论与计算方法；掌握传热学的基本实验，具备分析工程传热问题的能力，能够解决增强传热、削弱传热和温度控制等工程传热问题；了解传热学的前沿知识及其在科学技术领域的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及团队合作意识。
课程目标1：系统深入学习，掌握传热基础理论与计算方法。
1.1 掌握传热的基本概念、理论、机理及影响因素；1.2 掌握热传导、热对流和热辐射三种传热模式的基本公式，能够进行各种工况下传热量的计算，并能对工程传热问题进行描述和分析。
课程目标2：掌握传热实验，应用传热学知识，解决工程传热问题。
2.1 掌握传热学中的实验研究方法，使学生对热量传递这一普遍存在的现象有理性的认识。
2.2 根据所学传热理论和实验知识，熟练掌握增强或削弱热能传递过程的方法，能够在工程应用中对热能有效利用、热力设备效率的提高、节能降耗技术等问题从传热学角度进行思考、分析和解决问题。
课程目标3：培养学生的自主学习意识、团队合作能力、口头和书面表达能力，探索传热学前沿科学知识。
3.1 通过课堂分组讨论等方式培养团队合作意识、沟通交流能力和对工程问题进行清清晰表达的能力；3.2 通过课外文献调研并撰写课程报告，提升文献查阅能力和书面表达能力。
(H)课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第一章结论1 .教学目标（1）了解传热的定义；了解传热学的研究内容及其在生活和工程中的应用；（2）掌握热量传递的三种基本方式及其物理机理；（3）掌握傅里叶定律、牛顿冷却定律及斯忒藩定律，并能应用这三个定律分析基础传热问题；（4）了解传热过程的特点以及电.热模拟的作用和意义；（5）掌握热流密度、热阻和综合传热系数的计算方法。
《传热学》第3章_非稳态热传导分析
《传热学》第3章_非稳态热传导分析非稳态热传导分析是传热学中一个重要的研究内容。
在真实的物理系统中，尤其是工程实际中，非稳态热传导过程往往更为常见。
非稳态热传导分析主要研究物体内部温度分布随时间的变化规律，以及热传导过程中的能量交换。
本文将重点介绍非稳态热传导分析的基本原理和方法。
非稳态热传导分析需要考虑时间因素以及物质的热传导性质。
在非稳态热传导过程中，物体内部的温度分布随时间的变化满足热传导方程。
传热方程的一般形式为：∂(ρcT)/∂t=k∇²T+Q其中ρ是物质密度，c是比热容，T是温度，k是热传导系数，∇²是拉普拉斯算子，Q是热源项，即热传导过程中的能量增减。
解决非稳态热传导分析的一般步骤如下：1.建立热传导方程。
根据实际情况，确定适当的坐标系，并根据系统的几何形状和边界条件，建立热传导方程。
2.确定边界条件。
边界条件包括物体表面的温度、热通量以及对流边界等。
根据具体情况，选择适当的边界条件。
3.选择合适的数值方法。
非稳态热传导问题通常需要借助数值方法进行求解。
有限差分法、有限元法、迭代法等都可以应用于非稳态热传导分析，具体选择哪种方法需要根据具体问题的特点进行判断。
4.数值求解。
根据使用的数值方法，将热传导方程离散化，并进行数值求解。
通常需要在计算过程中进行迭代，直到得到满足要求的结果。
5.结果分析和验证。
得到物体内部温度随时间的变化规律后，可以通过实验进行验证。
比较模拟结果与实验结果，判断模拟的准确性。
非稳态热传导分析的典型应用包括热处理过程中的温度变化分析、电子元器件的散热分析、建筑物内部温度分布分析等。
通过对非稳态热传导问题的分析，可以更好地理解和控制物体内部温度分布的变化规律，为实际工程提供指导。
然而，非稳态热传导分析也存在一些挑战和限制。
首先，非稳态热传导分析通常需要考虑物质性质的非线性以及边界条件的复杂性，这增加了问题的难度。
其次，非稳态热传导问题的求解往往需要较长的计算时间和大量的计算资源。
热传导的非稳态过程
热传导的非稳态过程热传导是物质内部由高温区向低温区传递热量的过程。
在许多应用和实际情况中，我们常常需要研究非稳态热传导过程，了解物质内部温度的变化规律以及与时间的关系。
热传导的非稳态过程表现出许多有趣和复杂的现象。
在开始时，温度梯度较大，物质内部的热量迅速传递。
随着时间的推移，温度梯度逐渐减小，热量传递的速率也随之减小。
当达到稳态时，温度在整个物质中保持恒定，不再有热量传递。
研究非稳态热传导过程需要考虑物质的热传导特性。
常见的物质热导率不是恒定的，而是与温度和时间有关。
物质导热性质的这种时变特性使非稳态热传导过程更加复杂。
让我们以一个热杆为例，来探讨非稳态热传导过程的一些现象。
假设我们有一个长短适中的金属热杆，一端接触着高温热源，另一端则置于低温环境中。
热杆的开始温度均匀且高于周围环境温度。
当与高温热源接触的一端处于非稳态热传导过程时，我们可以观察到以下现象。
首先，当我们开始实验时，热杆的末端温度是相对较低的，因为热量尚未传递到这一端。
但是随着时间的流逝，热杆末端的温度会逐渐上升。
这是因为从高温区向低温区传递的热量会逐渐填满整个热杆。
其次，热杆中心位置的温度变化也是非常有趣的。
在刚开始时，热杆中心位置的温度随时间的增加而迅速增加。
然后，在经过一段时间后，热杆中心位置的温度开始下降，直到最后稳定在与周围环境温度相等的温度。
这种非稳态热传导过程中的温度变化不仅仅取决于时间，还与热杆的长度、热导率等因素有关。
较长的热杆需要更长的时间才能达到稳态，而较高的热导率会加速热量传递过程。
另一个有趣的现象是热杆中的温度梯度。
在非稳态热传导过程中，由高温向低温传递的热量会引起温度梯度的形成。
在热杆的初期，温度梯度非常陡峭，因为热量尚未充分传递。
随着时间的推移，温度梯度逐渐减小，直到最后稳态时完全消失。
了解热传导的非稳态过程对于许多实际应用至关重要。
例如，我们可以应用这种知识来设计更有效的热交换设备，提高能源利用效率。
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章 非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解） 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章 非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件 理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。 在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱 对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3
热传导的稳态与非稳态
热传导的稳态与非稳态热传导是物体内部热量传递的过程，它可以分为稳态和非稳态两种状态。
本文将详细介绍热传导的稳态和非稳态，并探讨它们的特点、原理和应用。
一、热传导的稳态稳态热传导是指物体内部温度分布保持不变的状态，即各点之间温度差保持不变。
在稳态下，物体内部的热量传导是平衡的，整个系统达到了热平衡状态。
1. 特点稳态热传导的主要特点如下：首先，稳态热传导过程中的温度分布是均匀且稳定的。
不论物体的形状和性质如何，温度分布都能保持相对稳定，各点之间的温度差保持不变。
其次，稳态热传导是一个持续的过程。
在稳态下，热量的传导是持续进行的，但整个系统的温度分布不会发生明显的变化。
最后，稳态热传导中的热流是定值且均匀的。
在稳态下，热流从高温区传导到低温区，并且在整个物体内部是均匀的，保持一定的传导速率。
2. 原理稳态热传导的原理可以通过热传导定律来解释。
热传导定律表明，热量的传导速率正比于导热系数和温度梯度，与物体的厚度无关。
因此，在稳态下，温度梯度保持不变，热量的传导速率也将始终保持不变。
3. 应用稳态热传导在工程领域有着广泛的应用。
例如，建筑物中的保温材料能够有效阻止热量的传导，维持室内的稳定温度；电子器件中的散热器能够将产生的热量迅速散发，防止过热导致设备损坏。
二、热传导的非稳态非稳态热传导是指物体内部温度分布随时间变化的过程。
在非稳态下，物体的温度分布会随着时间的推移发生变化。
1. 特点非稳态热传导的主要特点如下：首先，非稳态热传导过程中的温度分布是不均匀的。
由于物体内部温度分布不均匀，热量会从高温区向低温区传导，进一步改变温度分布。
其次，非稳态热传导是一个动态的过程。
随着时间的推移，整个系统的温度分布会发生变化，不再保持稳定。
最后，非稳态热传导中的热流是变化的。
在非稳态下，热量的传导速率随着时间的推移而变化，热流强度不再保持恒定。
2. 原理非稳态热传导的原理可以通过热传导方程来描述。
热传导方程描述了温度在空间和时间上的变化规律，能够准确模拟非稳态热传导过程。
第3章 非稳态热传导
两个阶段： 两个阶段： 非正规状况阶段： ① 非正规状况阶段： 温度分布受初始温度 正规状况阶段： ② 正规状况阶段： 影响已不存在，
温度分布取决于边界条件及物性 。 非稳态导热特点：各处温度以及热流量处处不同，都随时间变化。 非稳态导热特点：各处温度以及热流量处处不同，都随时间变化。
3. 傅里叶数
aτ τ Fo = 2 = 2 lc lc a
式中， 式中， 热量穿过一定厚度的固体层， 热量穿过一定厚度的固体层 lc2 a ——热量穿过一定厚度的固体层， 扩散到 面积上所需的时间。 lc2 面积上所需的时间。
物理意义： 两时间相除，得到无量纲时间） 物理意义： （两时间相除，得到无量纲时间） 表明非稳态过程进行深度的无量纲时间。 表明非稳态过程进行深度的无量纲时间。
V πR 2 l lc = = = 0.953 × 10− 3 m A 2πRl + πR 2
Bi =
hlc
λ
= 1.07 × 10− 3 < 0.05
可用集中参数法求解。 可用集中参数法求解。
采用集中参数法： ② 采用集中参数法：
τc =
ρcV
hA
==
ρclc
h
= 148s
aτ λ τ Fo = 2 = ⋅ 2 = 1.89 × 103 lc ρc lc
温度变化三种情形： 温度变化三种情形： 开始时，左侧升温，右侧保持原来温度不变（HBD)； ① 开始时，左侧升温，右侧保持原来温度不变（HBD)； 热量传到D 右侧开始升温， ② 热量传到D处，右侧开始升温，原来温度 消失（HE)； t 0 消失（HE)； 右侧表面不断升温，最终恒定，到达稳态（HE)。 ③ 右侧表面不断升温，最终恒定，到达稳态（HE)。
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3-1a）
13
式中div(grad t)是温度的拉普拉斯（Laplace）算子 2t
非稳态导热的基本概念
引入热扩散率 a c p
，于是有：
t 2 a t cp
初始条件的一般形式是：
t x, y, z, 0 f x, y, z
（3-1b）
几种典型非稳态导热过程的温度变化率
7
非稳态导热的基本概念
二、特点：
物体中各点的温度随时间发生变化； 物体中各点的热流密度随时间发生变化； 不宜用热阻法定量分析非稳态导热；
t t t t c x x 导热过程的特点及类型
一、定义： 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热 （unsteady heat conduction） 非周期性：物体温度随时间趋近于恒值
（动力机械启动、停止）
周期性：物体温度随时间做周期性变化 （地球表面温度随四季更替周期变化）
6
非稳态导热的基本概念
23
零维问题的分析法——集中参数法
非稳态、有内热源的导热问题
t t t t c x x y y z z
式中： 是广义热源。界面上交换的热量应折算成整个 物体的体积热源。
讨论如左图所示的一块厚度为2δ 的金属平板，初始温度为 ，突然 t0
将它置于温度为
系数为λ。
却，表面传热系数为h，平板的导热
t的流体中进行冷
根据平板的导热热阻δ/λ与对流
传热热阻1/h的相对大小的不同，平 板中温度场的变化会出现以下三种情
形。
16
非稳态导热的基本概念
1、首先讨论 Bi 毕渥数 Bi 趋近于无穷，即导热热阻
规定的温度。
3
引题
本章内容
基本概念 本章重点： 掌握基本概念； 零维 一维
确定物体瞬时温度场的方法；
在一段时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
4
目录
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析方法——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
5
非稳态导热的基本概念
25
零维问题的分析法——集中参数法
将导热微分方程分离变量
两边积分得：
d
hA d cV
0
d
0
hA d cV
hA ln 0 cV
t t hA exp 0 t0 t cV
注意到V/A具有长度的量纲，并定义：
换热量是恒为正的，因此对物体被加热的场合应将式中的
t0-t∞改为t∞-t0。物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有 时又称牛顿加热或牛顿冷却。
29
零维问题的分析法——集中参数法
2、时间常数
采用集中参数法分析时，物体中过余温度随时间成指数曲线 关系变化，在开始阶段温度变化得很快，随后逐渐减慢。
30
Φ1
导热过程中两者不相等，且随
着过程的进行，其差别逐渐减 小，直到进入稳态阶段两者平 衡。阴影部分代表了复合壁在 升温过程中积蓄的能量。
0
Φ2
τ
Φ1为从左侧导入金属壁的热流量 Φ2为从右侧导出保温层的热流量
12
非稳态导热的基本概念
3.1.2导热微分方程解的唯一性定律
初始条件
非稳态导热问题的求解
动势，这种现象称为热电效应。
34
扩展· 热电偶
热电偶分度号 正极 S R B 铂铑 10 铂铑 13 铂铑 30 热电极材料 负极 纯铂 纯铂 铂铑 6
K
T J N E
镍铬
纯铜 铁 镍铬硅 镍铬
镍硅
铜镍 铜镍 镍硅 铜镍
35
零维问题的分析法——集中参数法
3、傅里叶数的物理意义
从边界上开始发生热扰动的时 刻起到所计算时刻为止的时间 间隔
28
零维问题的分析法——集中参数法
从τ =0到τ时刻之间所交换的总热量为
hA d t0 t hA exp d 0 0 cV
hA t0 t cV 1 exp cV
22
零维问题的分析法——集中参数法
3.2.1 集中参数法温度场的分析解
设有任意形状的固体，其体积为V， t∞
表面积为A，初始温度t0，突然将其
置于温度恒为t∞的流体中，设t0>t∞，
固体与流体间的表面传热系数h及固 体的物性参数均保持常数，求解物体 温度随时间的依变关系。 此问题可应用集中参数法分析。
边界上发生的有限大小的热扰 动穿过一定厚度的固体层扩散 到lc2的面积上所需的时间
FO
2 l c a
傅里叶数可以理解为两个时间间隔相除所得的无量纲时间。
故Fo可以看成是表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。
（3-2a）
一个实用上经常遇到的简单特例是初始温度均匀，即
t x , y , z , 0 t0
（3-2b）
14
非稳态导热的基本概念
第三类边界条件较为常见，本章将着重讨论物体处于恒温
介质中的第三类边界条件的非稳态导热，即：
t h tw t f n w
t c
V Ah t t
24
零维问题的分析法——集中参数法
两式合并有：
dt cV Ah t t d
引入过余温度
t t，则有：
导热微分方程
初始条件：
d cV Ah d
0 t0 t
零维问题的分析法——集中参数法
在指数函数中 hA cV 具有与 1 相同的量纲。如果
cV hA
则有：
t t exp 1 0.386 38.6% 0 t0 t
cV hA
称为时间常数（time constant）,记为 τc 。
t0
t
t0
t
t
t0
t
t
t
x
x
x
Bi有限大小
Bi
h Bi 1h
Bi 0
特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲 数。又称为准则数。出现在特征数定义式中的几何尺度称为 特征长度，用 l 表示。
20
目录
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析方法——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
t0 A
L
t0
B
L x
t0
C
L x
9
xx
不同时刻平壁温度场示意图（一）
非稳态导热的基本概念
P 金 属 壁 E J x 保 温 层
t1
P 金 属 壁 D 保 温 层
t1
t1
P 金 F 保 属 温 壁 层 K
t0 A
I
t0 A
x
t0 A
x
不同时刻平壁温度场示意图（二）
10
非稳态导热的基本概念
加热或冷却过程的两个重要阶段
21
零维问题的分析法——集中参数法
当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻 固体内部的温度够趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬 间均处于同一温度下。即，固体的质量和热容量都汇总到一点 上。 这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中参数法。 （lumped parameter method） 条件：物体的导热系数相当大，或几何尺寸很小，或表面传热 系数极低。
（3-3）
数学上可以证明，如果某一函数 t（x , y, z,τ）满足方程（31a）或（3-1b）以及一定的初始条件和边界条件。则此函数就是 这一特定导热问题的唯一解。 换言之，不可能同时存在两个都满足导热微分方程及同一定 解条件的不同的解。
15
非稳态导热的基本概念
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
边界条件
导热微分方程 假定物体的热物理特性参数均为常数
t t t t c x x y y z z
t cp div gradt
c cV
hA
以热电偶为例，时间常数越小，热电偶越能迅速地反 映流体的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小。 当τ= 4.6τc 时， 态。
33
0 exp 4.6 0.01
工程上认为τ= 4.6τc 时导热物体已经达到热平衡状
扩展· 热电偶
热电偶（thermocouple）是常用 的测温元件，它直接测量温度，并把 温度信号转换成热电动势信号，通过 电气仪表（二次仪表）转换成被测介 质的温度。 测温原理：两种不同成份的导体两 端接合组成回路， 当两个接合点的 温度不同时，在回路中就会产生电
上章回顾
能量守恒定律 傅里叶定律 求解得到 热流密度矢量 求解得到 温度场
导热微分方程
导热问题的 数学描写 定解条件
典型一维 稳态导热
通过肋片 的导热
具有内热源 的导热
多维稳态导 热
1
第三章 非稳态热传导
主讲人：郭智群
2
引题
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工 件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素。 金属在加热炉中加热时需要确定其停留时间，以保证达到