上海市位育中学2015-2016学年高二3月监控考试数学试题Word版缺答案
上海市位育中学2016届高考数学模拟试卷(文科)(新疆班) Word版含解析
2016年上海市位育中学高考数学模拟试卷（文科）（新疆班）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程的解为．2．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．3．设全集为U实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是．4．若，则cosθ=．5．把三阶行列式中元素7的代数余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，b），则实数a+b=．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是．7．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=﹣2，a2=﹣2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为．8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．9．在平面直角坐标系中A点坐标为（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是．10．已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），若函数的图象经过点（1，2），则函数的图象必过点．11．已知f（x）是R奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2015）等于．12．在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，则公比q等于．13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为．①x+y=5；②x2+y2=9③+=1④x2=16y．14．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f （x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B．C． D．17．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g （x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．下列选项正确的是（）A．①B．②C．①③D．②③18．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．22．给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n ﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．23．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．2016年上海市位育中学高考数学模拟试卷（文科）（新疆班）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程的解为．【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算法则求解方程的解即可．【解答】解：方程，化为：，即：x=．∴．故答案为：．【点评】本题考查函数的零点与方程的解的关系，是基础题．2．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．3．设全集为U实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x＜2}．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；数形结合；定义法；集合．【分析】由题意，阴影部分所表示的集合是（C U M）∩N，化简集合M，N，即可得到结论．【解答】解：由题意可得，M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，图中阴影部分所表示的集合为（C U M）∩N={x}﹣2＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题主要考查了利用维恩图表示集合的基本关系，及绝对值不等式、二次不等式的求解，属于基础试题4．若，则cosθ=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】对三角函数化简可得==，从而可得，再由二倍角的余弦可得，代入可求【解答】解：∵==∴由二倍角的余弦可得，=故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角的正弦及二倍角的余弦公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题5．把三阶行列式中元素7的代数余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，b），则实数a+b=1．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先表示出函数f（x）的关系式，再由f（x）＞0的解集为（﹣1，b）确定a、b的值．【解答】解：由题意知f（x）==﹣[x（x+a）﹣2]=﹣x2﹣ax+2∵f（x）＞0的解集为（﹣1，b）∴f（﹣1）=0 解得a=﹣1代入函数f（x）中∴f（x）=﹣x2+x+2＞0 故b=2 a+b=1故答案为：1．【点评】本题主要考查行列式的表示和一元二次不等式的解法．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据步骤：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=y﹣x，平移可得直线过A或B时z有最值即可解决．【解答】解：画可行域如图，画直线0=y﹣x，平移直线0=y﹣x过点A（0，1）时z有最大值1；平移直线0=y﹣x过点B（2，0）时z有最小值﹣2；则z′=y﹣x的取值范围是[﹣2，1]，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=﹣2，a2=﹣2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为0.5．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据输入的n的值和5个数据，判断循环变量和5的大小，当i＞5不成立时进入循环体依次对S替换，i＞5成立时结束算法，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得赋值S=0，i=1，执行S===﹣2，i=1+1=2；判断2＞5，执行S===﹣2.3，i=2+1=3；判断3＞5，执行S===﹣，i=3+1=4；判断4＞5，执行S===0.275，i=4+1=5；判断5＞5，执行S===0.5，i=5+1=6；判断6＞5，算法结束，输出的结果为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．9．在平面直角坐标系中A点坐标为（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是3．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，所以|+|的最大值=．【解答】解：由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，|+|的最大值===2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．10．已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），若函数的图象经过点（1，2），则函数的图象必过点．【考点】反函数．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】函数的图象经过点（1，2），可知：函数y=f（x）的图象经过（1，3），因此函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）经过点（3，1），即可得出．【解答】解：∵函数的图象经过点（1，2），∴函数y=f（x）的图象经过（1，3），∴函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）经过点（3，1），∴函数的图象必过点．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知f（x）是R奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2015）等于﹣2．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】令x=﹣2，可得f（2）=f（﹣2）+f（2），得出f（2）=0，f（x+4）=f（x），利用周期性求解即可．【解答】解：对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，∴f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=0，f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f（2015）=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．【点评】考查了抽象函数的周期性及奇偶性的综合．属于基础题型，应熟练掌握．12．在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，则公比q等于﹣2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，求出q=1或q=﹣2，根据：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，确定q的值．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=﹣2，∵△OAB（O为原点）中，，，∴=（1，q﹣1），∵∠A为锐角，∴﹣1×1﹣q+1＞0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查等差数列的性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，比较基础．13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为②．①x+y=5；②x2+y2=9③+=1④x2=16y．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；新定义；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定M的轨迹，再研究各选项与M的轨迹的交点情况，即可得到结论．【解答】解：∵M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，∴M的轨迹是以A（﹣5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥4）．①∵直线x+y=5过点（5，0）与（0，5）直线与双曲线=1（x≥4）有交点，满足题意；②∵x2+y2=9的圆心为（0，0），半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；③∵的右顶点为（5，0），与双曲线=1（x≥4）有交点，满足题意；④联立，可得y2﹣9y+9=0，解得，y=3，满足题意．故答案为：②．【点评】本题考查新定义，考查双曲线的定义，考查曲线的位置关系，属于中档题．14．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f （x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，再分类讨论，即可得到结论．【解答】解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9故答案为：﹣5或9．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将的图象向右平移个单位，可得函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，求得x=+，故平移后图象的对称中心为（+，0），k∈Z，令k=0，可得平移后图象的一个对称中心是（，0），故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．17．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g （x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．下列选项正确的是（）A．①B．②C．①③D．②③【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【专题】压轴题；阅读型；新定义．【分析】对于①，若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1），都满足，且有无数个，故正确；对于②，即x=时，②错；对于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想．【解答】解：对于①，若f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1），就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确、对于②，∵当x=时，g=3，f=2=，∴f（x）＜g（x），∴g（x）=2x不是f（x）=2x的一个承托函数，故错误；对于③如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；故选A．【点评】本题是以抽象函数为依托，考查学生的创新能力，属于较难题，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．18．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【考点】一次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用；直线与圆．【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）通过证明CD⊥ED，CD⊥AE，然后证明CD⊥平面AED．（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．【解答】解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以，即CD⊥ED…2分又因为AE垂直于圆面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB与DE所成角为，且CB∥DA，所以，…7分又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，，DA=2…9分在Rt△CDE中，CD=DA=2，，所以…10分所以该几何体的体积…12分．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．【解答】解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos[（A﹣B）+B]=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．【点评】本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线的定义列出方程求解即可．（2）求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，联立方程组，求出M、N的坐标，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解三角形的面积的最小值即可．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，由题意，，p=2．…所以所求抛物线的方程为y2=4x．…（2）F（1，0），由题意，直线l1、l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方向向量为（1，k）（k＞0），则（1，k）也是直线l2的一个法向量，所以直线l1的方程为，即y=k（x﹣1），…直线l2的方程为y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0．…设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0…则=1+．=…同理可得，．…所以，|MF|==，|FN|==，∴△FMN面积：•=2（k+）≥4=4．…所以，当且仅当k=，即k=1时，△FMN的面积取最小值4．…【点评】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．22．给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n ﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当i=1时，A 1=3，B 1=1，从而可求得d 1，同理可求得d 2，d 3的值； （Ⅱ）依题意，可知a n =a 1q n ﹣1（a 1＞0，q ＞1），由d k =a k ﹣a k+1⇒d k ﹣1=a k ﹣1﹣a k （k ≥2），从而可证（k ≥2）为定值．（Ⅲ）依题意，0＜d 1＜d 2＜…＜d n ﹣1，可用反证法证明a 1，a 2，…，a n ﹣1是单调递增数列；再证明a m 为数列{a n }中的最小项，从而可求得是a k =d k +a m ，问题得证．【解答】解：（Ⅰ）当i=1时，A 1=3，B 1=1，故d 1=A 1﹣B 1=2，同理可求d 2=3，d 3=6； （Ⅱ）由a 1，a 2，…，a n ﹣1（n ≥4）是公比q 大于1的等比数列，且a 1＞0，则{a n }的通项为：a n =a 1q n ﹣1，且为单调递增的数列．于是当k=1，2，…n ﹣1时，d k =A k ﹣B k =a k ﹣a k+1，进而当k=2，3，…n ﹣1时，===q 为定值．∴d 1，d 2，…，d n ﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d 为d 1，d 2，…，d n ﹣1的公差，对1≤i ≤n ﹣2，因为B i ≤B i+1，d ＞0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i +d i +d ＞B i +d i =A i ，又因为A i+1=max{A i ，a i+1}，所以a i+1=A i+1＞A i ≥a i ．从而a 1，a 2，…，a n ﹣1为递增数列．因为A i =a i （i=1，2，…n ﹣1），又因为B 1=A 1﹣d 1=a 1﹣d 1＜a 1，所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n ﹣1，因此a n =B 1．所以B 1=B 2=…=B n ﹣1=a n ．所以a i =A i =B i +d i =a n +d i ，因此对i=1，2，…，n ﹣2都有a i+1﹣a i =d i+1﹣d i =d ，即a 1，a 2，…，a n ﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．23．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+，其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1（3）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：即，化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题。
2015-2016年上海市交大附中高二(下)3月月考数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市交大附中高二（下）3月月考数学试卷一、填空题1．（3分）设a∈R，且复数+是纯虚数，则a＝．2．（3分）若是纯虚数，则θ的值为．3．（3分）下列关于复数的命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若|z|≤1，则﹣1≤z≤1：③若z12+z22＝0，则z1＝z2＝0；④z+＝0⇔z为纯虚数：⑤z﹣＝0⇔z∈R；其中正确的命题是（仅填写命题序号）．4．（3分）在复数集中因式分解x4﹣6x2+25＝．5．（3分）已知方程x2+x﹣p＝0的两个虚根为α、β，且|α﹣β|＝3，则实数p＝．6．（3分）复数z满足z+∈R，且|z﹣2|＝2，z＝．7．（3分）若z∈C，|z|＝4，则u＝|z2﹣z+4|的最大值是；最小值是．8．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2+2kx+k2﹣k＝0有一个模为1的虚根，则实数k的取值为．9．（3分）已知|z1|＝，且z1≠z2，求值||＝．10．（3分）已知动点P在复平面上对应的复数为z＝t+3+3i，其中t是使为纯虚数的复数，点P的轨迹方程（以复数形式表示）．11．（3分）斜率为2的直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若弦长|AB|＝，则|y1﹣y2|＝．12．（3分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段F A的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为．13．（3分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x＝﹣1之和为3的动点P 的轨迹，则曲线C与y轴的交点的坐标是．14．（3分）抛物线y2＝8x的动弦AB的长为16，弦AB的中点M到y轴的最短距离为．二.选择题15．（3分）设f（n）＝（）n+（）n（n∈N*），如果A⊆{f（n）}，则满足条件的集合A有（）A．8个B．7个C．3个D．无穷多个16．（3分）复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1+z2|＝|z1﹣z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为1﹣3i，则|z1|2+|z2|2等于（）A．10B．40C．100D．20017．（3分）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|＝1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．518．（3分）已知抛物线M：y2＝4x，圆N：（x﹣1）2+y2＝r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|＝|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1]B．r∈（1，2]C．D．三.解答题19．（1）设z+∈R，且|z﹣2|＝2，求复数z；（2）已知z＝，求|z|．20．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，求点B的横坐标的取值范围．21．如图所示，已知点S（0，3），过点S作直线SM，SN与圆Q：x2+y2﹣2y＝0和抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）都相切．（1）求抛物线C和两切线的方程；（2）设抛物线的焦点为F，过点P（0，﹣2）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C（其中点B靠近点C），且|AF|＝5，求△BCF与△ACF的面积之比．22．.已知抛物线y2＝4x（x＞0），是否存在正数m，对于过点（m，0）且与抛物线有两个交点A，B的任一直线都有•＜0？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由．23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程．（2）设直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1﹣y2|＝a （a＞0），M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到△ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E，F，得到△ADE 和△BDF；按此方法继续下去．解决下列问题：①求证：；②计算△ABD的面积S△ABD；③根据△ABD的面积S△ABD的计算结果，写出△ADE，△BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．2015-2016学年上海市交大附中高二（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）设a∈R，且复数+是纯虚数，则a＝﹣1．【解答】解：∵a∈R，且复数+是纯虚数，又+＝+＝+，∴+是纯虚数，∴＝0，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．2．（3分）若是纯虚数，则θ的值为．【解答】解：由于是纯虚数∴实部为零，虚部不为零，即解得故答案为3．（3分）下列关于复数的命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若|z|≤1，则﹣1≤z≤1：③若z12+z22＝0，则z1＝z2＝0；④z+＝0⇔z为纯虚数：⑤z﹣＝0⇔z∈R；其中正确的命题是⑤（仅填写命题序号）．【解答】解：①任意两个确定的复数不都可以比较大小，只有两个均为实数，才好比较大小，故①错；②若|z|≤1，当z为实数时，﹣1≤z≤1，z为虚数时，没有﹣1≤z≤1，故②错：③若z12+z22＝0，当z1，z2均为实数，可得z1＝z2＝0，若z1＝1，z2＝i时，也满足z12+z22＝0，故③错；④z+＝0⇔a+bi+a﹣bi＝2a＝0，（a，b∈R）可得z为0或z为纯虚数，故④错：⑤z﹣＝0⇔a+bi＝a﹣bi（a，b∈R）⇔b＝0，⇔z∈R，故⑤正确．故答案为：⑤．4．（3分）在复数集中因式分解x4﹣6x2+25＝（x﹣2﹣i）（x+2+i）（x﹣2+i）（x+2﹣i）．【解答】解：在复数集中因式分解，令x4﹣6x2+25＝0，利用求根公式可得：x2＝＝3±4i．∴x4﹣6x2+25＝（x2﹣3﹣4i）（x2﹣3+4i），∵3+4i＝（2+i）2，3﹣4i＝（2﹣i）2．∴原式＝（x﹣2﹣i）（x+2+i）（x﹣2+i）（x+2﹣i）．故答案为：（x﹣2﹣i）（x+2+i）（x﹣2+i）（x+2﹣i）．5．（3分）已知方程x2+x﹣p＝0的两个虚根为α、β，且|α﹣β|＝3，则实数p＝﹣．【解答】解：∵方程x2+x﹣p＝0有两个虚根，∴△＝1+4p＜0．∴x＝．取α＝，β＝．∵|α﹣β|＝3，∴＝3，∴﹣1﹣4p＝9，解得p＝﹣．故答案为：．6．（3分）复数z满足z+∈R，且|z﹣2|＝2，z＝．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由z+＝a+bi+＝a+bi+＝∈R，得a2+b2＝1，①由|z﹣2|＝2，得（a﹣2）2+b2＝4，②联立①②，得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．7．（3分）若z∈C，|z|＝4，则u＝|z2﹣z+4|的最大值是24；最小值是．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由|z|＝4，得a2+b2＝16，∴u2＝|z2﹣z+4|2＝16a2﹣40a+160，由a∈[﹣4，4]，可得u∈[]．∴u＝|z2﹣z+4|的最大值是24；最小值为．故答案为：24；．8．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2+2kx+k2﹣k＝0有一个模为1的虚根，则实数k的取值为．【解答】解：由题意，，即k2﹣k＝1，解得：k＝或k＝．由△＝4k2﹣4（k2﹣k）＜0，得k＜0，∴k＝．故答案为：．9．（3分）已知|z1|＝，且z1≠z2，求值||＝．【解答】解：∵|z1|＝，且z1≠z2，∴||＝||＝＝．故答案为：．10．（3分）已知动点P在复平面上对应的复数为z＝t+3+3i，其中t是使为纯虚数的复数，点P的轨迹方程|z﹣3﹣3i|＝3（以复数形式表示）．【解答】解：∵z＝t+3+3i，为纯虚数，设t＝x+yi（x，y∈R），则＝＝，∴x2+y2＝9，∴|t|＝3，∴点P的轨迹方程为|z﹣3﹣3i|＝3，故答案为：|z﹣3﹣3i|＝311．（3分）斜率为2的直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若弦长|AB|＝，则|y1﹣y2|＝4．【解答】解：根据题意，直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且直线AB的斜率k＝2，即＝2，则有x1﹣x2＝（y1﹣y2）则弦长|AB|＝＝＝|y1﹣y2|＝2，则有|y1﹣y2|＝4；故答案为：412．（3分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段F A的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为．【解答】解：依题意可知F坐标为（，0）∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得＝1，解得p＝，∴抛物线准线方程为x＝﹣所以点B到抛物线准线的距离为+＝，故答案为13．（3分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x＝﹣1之和为3的动点P 的轨迹，则曲线C与y轴的交点的坐标是（0，±）．【解答】解：设P（x，y），由题意有|x+1|＝3，当x≥﹣1时，有x+1＝3，整理得y2＝2x+3；当x＝0时，y＝±．曲线C 与y轴的交点的坐标是（0，±）故答案为：（0，±）．14．（3分）抛物线y2＝8x的动弦AB的长为16，弦AB的中点M到y轴的最短距离为6．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x＝﹣2，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中MH＝，由抛物线的定义可知AC＝AF，BD＝BF（F为抛物线的焦点）MH＝≥＝8，即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为8，∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为8﹣2＝6．故答案为：6．二.选择题15．（3分）设f（n）＝（）n+（）n（n∈N*），如果A⊆{f（n）}，则满足条件的集合A有（）A．8个B．7个C．3个D．无穷多个【解答】解：（1）＝＝＝i，＝＝﹣i，根据虚数单位i的幂运算性质有：f（n）＝（）n+（）n（n∈N*），＝i n+（﹣i）n，＝∴f（n）有三个不同的值，即f（n）＝﹣2，0，2，A是{f（n）}，它的一个子集．∴A＝{﹣2}，{0}，{2}，{﹣2，0}，{0，2}，{﹣2，2}，2，0，2}，{∅}．则满足条件的集合A有8个故选：A．16．（3分）复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1+z2|＝|z1﹣z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为1﹣3i，则|z1|2+|z2|2等于（）A．10B．40C．100D．200【解答】解：以OM1，OM2为邻边的平行四边形OM1CM2为矩形，∴＝（+），||＝＝．∴|z1|2+|z2|2＝（2×）2＝40．故选：B．17．（3分）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|＝1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），满足|z﹣2﹣2i|＝1的点均在以C1（2，2）为圆心，以1为半径的圆上，所以|z+2﹣2i|的最小值是C1，C2连线的长为4与1的差，即为3，故选：B．18．（3分）已知抛物线M：y2＝4x，圆N：（x﹣1）2+y2＝r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|＝|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1]B．r∈（1，2]C．D．【解答】解：x＝1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．设直线l：x＝my+1，（1）代入y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，△＝16（m2+1），把（1）代入（x﹣1）2+y2＝r2得y2＝设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），|AC|＝|BD|即y1﹣y3＝y2﹣y4，即y1﹣y2＝y3﹣y4，即4＝即r＝2（m2+1）＞2，即r＞2时，l仅有三条．考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞）即是直线l只有三条的必要条件故选：D．三.解答题19．（1）设z+∈R，且|z﹣2|＝2，求复数z；（2）已知z＝，求|z|．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），由z+＝a+bi+＝a+bi+＝∈R，得a2+b2＝4，①由|z﹣2|＝2，得（a﹣2）2+b2＝4，②联立①②，解得a＝1，b＝．∴；（2）由z＝，得|z|＝＝．20．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，求点B的横坐标的取值范围．【解答】解：y2＝4x，若直线MN斜率存在，设A（3，），直线MN的方程为y﹣＝k（x﹣3），y＝0时，x B＝3﹣，∵A（3，），在抛物线内，∈（﹣2，2），∴B的横坐标为x∈（﹣3，3），直线的斜率不存在时，x B＝3，点B横坐标的取值范围是（﹣3，3]．21．如图所示，已知点S（0，3），过点S作直线SM，SN与圆Q：x2+y2﹣2y＝0和抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）都相切．（1）求抛物线C和两切线的方程；（2）设抛物线的焦点为F，过点P（0，﹣2）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C（其中点B靠近点C），且|AF|＝5，求△BCF与△ACF的面积之比．【解答】解：（1）设切线方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，圆Q：x2+y2﹣2y＝0的圆心为（0，1），半径为1，圆心到直线的距离为d＝＝1，∴k＝，∴两切线的方程y＝x+3，代入x2＝﹣2py，可得x2±2px+6p＝0，△＝12p2﹣24p＝0，∴p＝2，∴抛物线C的方程x2＝﹣4y；…（7分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由|AF|＝5，可得﹣y2+1＝5，解得y2＝﹣4，代入抛物线方程可得x2＝﹣4．∴A（﹣4，﹣4）．∵A，P，M三点共线，∴B（2，﹣1），∴△BCF与△ACF的面积之比＝＝＝．22．.已知抛物线y2＝4x（x＞0），是否存在正数m，对于过点（m，0）且与抛物线有两个交点A，B的任一直线都有•＜0？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由．【解答】解：设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x＝ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m＝0，△＝16（t2+m）＞0，于是y1+y2＝4t，y1•y2＝﹣4m，①又＝（x1﹣1，y1），＝（x2﹣1，y2），∵•＜0⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又x＝y2，于是不等式②等价于y12•y22+y1y2﹣（y12+y22）+1＜0由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得3﹣2＜m＜3+2由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有有•＜0，且m的取值范围是（3﹣2，3+2）23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程．（2）设直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1﹣y2|＝a （a＞0），M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到△ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E，F，得到△ADE 和△BDF；按此方法继续下去．解决下列问题：①求证：；②计算△ABD的面积S△ABD；③根据△ABD的面积S△ABD的计算结果，写出△ADE，△BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．【解答】解：（1）由抛物线定义，抛物线C：y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0）到焦点的距离等于它到准线的距离，得，∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）由，得ky2﹣4y+4b＝0，（或k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0）当△＝16﹣16kb＞0，即kb＜1且k≠0时，（或）①由|y1﹣y2|＝a，即，得，所以．②由①知，AB中点M的坐标为，点，＝．③由问题②知，△ABD的面积值仅与|y1﹣y2|＝a有关，由于，所以△ADE与△BDF的面积，设．由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{a n}的无穷项和，所以即，因此，所求封闭图形的面积为．。
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷(含参考答案)
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷一、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平方根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平面内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四面体ABCD 的棱AD 与面ABC 所成角的大小为____________．5、从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点， 则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm ，深2 cm 的空穴，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球面上任意一点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意一个非零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是方程10x x+=的一个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的方程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该方程有实数根x 1、x 2且满足-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发生的概率为____________．二、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z z <⇔-<<B ．0z z +=⇔z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥⇔z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n nn n n n ---++++等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )n n C ．2C n nD ．212C n n -三、解答题（本大题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ 的值．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）(1) 两个相交平面M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平面M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(2) 某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题4分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学生人数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为面EB1F内的一点，且∠EBN=45︒，∠FBN=60︒，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1小题8分，第2小题5分，第3小题5分）(1) 已知二项式(x+2)n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；(2) 记(x+2)n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不小于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第二学期高二期终考试数学答案一、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、 5、24； 6； 7、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4；11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625． 二、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ=⎧⎪⎨⎪⎩，∴1sin 2tan θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余无三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平面．6分(2) 设开始有n 个班参加比赛，1︒ 若这两个班级之间比赛过1场，则22584n C -+=，无解，8分2︒ 若这两个班级之间没有过比赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加比赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-⨯+++⨯=3分 所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯= 8分所以，抽样学生成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9，所以从成绩不及格的学生中选两人， 他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分） 解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=︒∠=︒111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=︒==︒= 2222111,BE BF BG BN ++=112BG BN ∴=，即160B BN ∠=，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平面BB 1D 1D ，于是面B 1EF ⊥面BB 1D 1D ，在面BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面B 1EF ．在平面BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，又B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2． 这说明点M 在正方体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最大的项是101102r rr r T C x -+=⋅(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅⋅≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⋅⋅⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩， 5分得223193r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，（r =1,2,…,9），∴ r =7， 7分展开式中系数最大的项是7373810215360T C x x =⋅=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nnn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分 综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大． 15分证明如下：1!!!C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+⋅--⋅-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1． 若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<<，13122C>C>C C n n n nnnn n ++->>， 若n 为偶数，201222C C C C C n n nnnnn-<<<<<，2122C >C>C C n n n nnnn n+->>， 18分。
上海市位育中学2014-2015学年高二下学期零次考试数学试卷
位育中学2014学年第二学期高二零次考试数学卷一、填空题（每题3分，共36分）1、若集合{|||<1}M x x =，20.5{|(43)}N x y x x -==-，则M N =____________． 2、若函数()log (a f x x =+为奇函数，则a =____________． 3、已知x ,y 为实数，且x +y =4,则y x 33+的最小值为____________． 4、方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解集为____________． 5、在三角形ABC 中，已知3sin 5B =，5cos 13A =，则cos C =____________． 6、在等比数列{}n a 中，39196a a =，5735a a +=，则公比q =____________． 7、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121n n a n a n -=-，则2n nSS =____________． 8、已知||1a = ，||2b = ，且()(2)a b a b λλ+⊥- ，a 与b的夹角为60︒，则λ=____________．9、已知直线L 过(2,-1)100y ++=的夹角为60︒，则L 的方程为____________． 10、若关于x1mx =+有且仅有一个实数解，则实数m 的取值范围是________． 11、抛物线22(0)x py p =->上各点到直线34120x y +-=的最短距离为1，则p =____________．12、连接双曲线2221x y -=上任意四个不同点组成的四边形可能的情况是____________． 1) 矩形 2) 菱形 3) 平行四边形4) 等腰梯形5) 正方形二、选择题（每题4分，共16分）13、函数22sin cos y x x x =--的最小正周期和最大值分别( )A．max 2,T y π== B．max ,T y π==C ．max ,3T y π==D ．max ,1T y π==14、直线4x +y =4,mx +y =0和2x -3my =4不能构成三角形，则m 的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．515、设F 为抛物线24y x =的焦点，A ,B ,C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=( ) A ．9B ．6C ．4D ．316、100122100333a a a x =+++ ，其中12100,,,a a a 每一个值都是0或2这两个值中的某一个， 则x 一定不属于( ) A ．[0,1)B ．(0,1]C ．12[,)33D ．12(,]33三、解答题（本大题共五题，满分48分）17、（本题9分）已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--(a >0,且a ≠1)．(1) 讨论()f x 的奇偶性与单调性；(2) 求()f x 的反函数；(3) 若1113f -=（），解关于x 的不等式113f x -<（）．18、（本题9分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售辆为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．(1) 写出本年度的年利润y 与投入成本增加比例x 的函数；(2) 为使本年度的年利润y 比上年有所增加，问投入成本增加的比例应该在什么范围内？19、（本题9分）已知向量(1,1)m =，向量m 与向量n 的夹角为135︒，且1-=⋅n m ．(1) 求n ；(2) 若n 与(1,0)q = 的夹角为2π，2(cos ,2cos )2C p A = ，其中∠A ,∠B ,∠C 为三角形三内角，2B π=，求||p n + ．20.（本题9分）已知12(20),(20)F F -，，，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E ．(1) 求轨迹E 的方程；(2) 若直线L 过2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点．设点M (m ,0)，问是否存在实数m 使得 直线L 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．21.（本题12分）已知数列{}n a 满足条件：121,(0)a a r r ==>，且1{}n n a a +是公比为q (q >0)的等比数列．设212(1,2,)n n n b a a n -=+= ．(1) 求出使不等式*11223()n n n n n n a a a a a a n ++++++>∈N 成立q 的取值范围；(2) 求n b 和1limn nS →∞，（其中n S 为{}n b 的前n 项和）； (3) 设19.221r =-，12q =，求数列212log {}log n nb b +的最大项和最小项的值．位育中学2014学年第二学期高二零次考试数学答案一、填空题1.)1,43()0,1( -2.223.184.5.65166.212±±或 7.4 8.31±- 9.13231--=-=x y y 或 10.),1(}0{)1,(+∞--∞ 11.95612.(1)(2)(3)(4)(5) 二、选择题13.D 14.C 15.B 16.C 三、解答题17、)11(11log )()1(<<--+=x xxx f a,于是)()(x f x f -=-故)(x f 为奇函数 当a>1时，)(x f 单调递增，时，当10<<a )(x f 单调递减。
上海市位育中学2015_2016学年高一数学3月监控考试试题(新疆部,无答案)
上海市位育中学2015-2016学年高一数学3月监控考试试题（新疆部，无答案）班级 学号 姓名一、填空题：（每题4分，共和40分）1、若点A(2,1)，）（5.1-=→AB ，则B 点坐标为2、已知||8a = ，e 为单位向量，当它们的夹角为60°时，a 在e 方向上的投影为__________3、已知向量)1,3(),3,3(-==→→b a ，则向量→→b a ,的夹角大小是__________ 4、已知(2,3),(,6)a b x == ，如果//a b ，x =_________5、已知(1,2)a = ，则向量a 的单位向量为_____________6、若三点)1,1(),,3(),1,2(+--m C m B A 共线，则m 的值为___________7、已知：;;则AB=8、已知：22241111n n a n n-=+，则________lim =∞→n n a 9、已知三个力123,,f f f ，其中()()122,5,3,3f f ==- ，若物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力3f =10、判断下列命题的真假：其中正确的是 （1）若||||→→=b a ，则→→±=b a ； （2）若→→b a ,是非零向量，则||||→→→→-≥+b a b a ；（3）若→→b a ,满足||||||→→→→+=+b a b a ，则||||→→→→⋅=⋅b a b a ；（4）若→→b a ,是非零向量，且)(R k b k a ∈=→→，则→→b a ,方向相同；二、选择题：（每题4分，共16分） 1、若(1,1),(1,1),(1,2),a b c c ==-=-= 则 （ ） A.1322a b -+ B. 1322a b - C. 3122a b - D. 3122a b -+2、已知：错误！未找到引用源。
;则P 分AB 比为 （ ） A ．3 B ．2 C ． D ．3、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3|a b + =（ ）.A B C D ．44、已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,B C A C 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC 为（ ） A. 4233a b + B. 2433a b + C. 2233a b - D. 2233a b -+ 三、解答题：（8+8+9+9+10）1、设点A(-1,6),B(3,0)，P 是直线AB 上一点， 且||31||→→=AB AP ，则点P 的坐标是__________2、讨论方程组：42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩的解的情况，并求方程组的解。
上海市位育中学高二数学3月监控考试试题(无答案)
位育中学2015学年第二学期监控考试试卷高 二 数 学 2016.3.18一、填空题(每题3分，共42分)1． 复数i m m m m z )65()43(22--+--=为纯虚数，则实数m =_______4 2．i 43+的平方根为_______i +2或i --23．如果b a ,是异面直线，c b ,也是异面直线，则直线c a ,的位置关系是_______相交平行异面 4．计算：2013321111i i i i ++++所得的结果为_______i - 5．在复数范围内分解因式：x x x +-232=_______)471)(471(2ix i x x --+- 6．已知z 为虚数，且zz 4+为实数，则||z =_______2 7．若i z z 51||+=-，则z = _______i 512+8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个 209．关于x 的方程04)3(2=++++k x i k x (R k ∈)有实根的充要条件是_______4-=k 10．设1z 、2z 是非零复数，且满足0222121=++z z z z ，则22122211)()(z z z z z z +++= _______1-11．在空间四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，若6=AC ，10=BD ，且BD AC ⊥，则线段EF 的长为_______3412．在复平面内，三点C B A ,,分别对应复数C B A z z z ,,，若i z z z z A C A B 341+=--，则ABC ∆的三边长之比为_______5:4:313．在长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，设AB 的中点为F ，则F A 1与1DC 所成的角为_______33arccos14． 对于非零实数b a ,，下列四个命题都成立：(1)01≠+aa ；(2) 若||||b a =，则b a ±=；(3) 2222)(b ab a b a ++=+；(4)若ab a =2，则b a =，那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的所有序号是_______(3)(4)二、选择题（每题3分，共12分）15．设1z 、2z 是两个复数，则“021>-z z ”是“21z z >”的 ( )B (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2) 三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3) 两两相交的三条直线一定共面；(4) 过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面图形，其中正确命题的个数是 （ ）A(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 317．若b a ,是所成角为60的两条异面直线，点O 为空间一点，则过点O 与b a ,均成60角的直线有 （ ）C(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条18．设非零复数0Z 为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程为||||101Z Z Z =-，Z为复平面上另一个动点满足11-=Z Z ，则Z 在复平面上的轨迹形状是( )B(A)一条直线 (B)以01Z -为圆心，|1|0Z -为半径的圆 (C)焦距为|1|20Z 的双曲线 (D)以上都不对 三、解答题(共46分)19．(8分)已知复数1z 、2z 满足2||1=z ，3||2=z ，62321=+i z z ，求1z 、2z解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i z i z 232333121或⎪⎩⎪⎨⎧--=+=i z i z 23233312120．(8分) 已知21,x x 是实系数方程02=++p x x 的两个根，若3||21=-x x ，求实数p 的值解：由题意得：22213||=-x x ， 9|)(|221=-x x9|4)(|21221=-+x x x x ， 韦达定理代入得9|41|=-p 解得：2-=p 或25=p 21．(9分) 如图，四面体ABCD 中，BD BC AB ,,两两互相垂直，且2==BC AB ，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos，求线段BD 的长 解：取CD 的中点F ，连EF 、BF易得：AD EF //故FEB ∠为异面直线AD 与BE 所成角设x BD =，则42+==x CD AD242+==x EF BF ，而2=BE ，由余弦定理，解得4=x 即线段BD 的长为422．(9分) 如图，平面α与平面β相交于直线a ，直线b 在平面α上，直线c 在平面β上，且P a b = ，a c //，求证：直线c b ,是异面直线证明：假设直线c b ,不是异面直线，即c b ,共面(1)若c b //，因为a c //，所以a b // 这与已知“P a b = ”矛盾 假设不成立(2)若直线b 与c 相交，设Q c b = ，因为b Q ∈，所以α∈Q ； 因为c Q ∈，所以β∈Q 所以a Q ∈，故Q a c = ，这与已知“a c //”矛盾 假设不成立综合(1)(2)得：直线c b ,是异面直线23．(12分) 已知复数mi z -=10(0>m )，其中i 为虚数单位，对于任意复数z ，有z z z ⋅=01，DEBCAbaPc αβ||5||1z z =，(1)求m 的值；(2)若复数z 满足|1|||i z z -+=，求||1z 的取值范围；(3)我们把上述关系式看作复平面上表示复数z 的点P 和表示复数1z 的点Q 之间的一个变换，问是否存在一条直线l ，若点P 在直线l 上，则点Q 仍然在直线l 上？如果存在，求出直线l 的方程；否则，说明理由解：(1) z z z ⋅=01，故||5||||01z z z z =⋅=，故5||0=z ，512=+m ，解得：2=m(2)由|1|||i z z -+=，得复数z 的轨迹是点)1,1(),0,0(-的中垂线故 ),22[||+∞∈z ，所以),210[||5||1+∞∈=z z 即||1z 的取值范围为),210[+∞ (3)设yi x z +=，i y x z 111+=(R y x y x ∈11,,,)由z z z ⋅=01，得⎩⎨⎧-=+=y x y yx x 2211 (1)若存在直线l ，则直线l 一定过原点，故设直线l 的方程为kx y = (2) 把(1)式代入(2)式得：)2(2y x k y x +=- (3)把(2)式代入(3)式得：012=-+k k ，所以251±-=k 故存在直线l ，其方程为x y 251±-=位育中学2015学年第二学期监控考试试卷 高 二 数 学 2016.3.18一、填空题(每题3分，共42分)1． 复数i m m m m z )65()43(22--+--=为纯虚数，则实数m =_______ 2．i 43+的平方根为_______3．如果b a ,是异面直线，c b ,也是异面直线，则直线c a ,的位置关系是_______ 4．计算：2013321111ii i i ++++所得的结果为_______ 5．在复数范围内分解因式：x x x +-232=_______ 6．已知z 为虚数，且zz 4+为实数，则||z =_______ 7．若i z z 51||+=-，则z = _______8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个9．关于x 的方程04)3(2=++++k x i k x (R k ∈)有实根的充要条件是_______ 10．设1z 、2z 是非零复数，且满足0222121=++z z z z ，则22122211)()(z z z z z z +++= _______11．在空间四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，若6=AC ，10=BD ，且BD AC ⊥，则线段EF 的长为_______12．在复平面内，三点C B A ,,分别对应复数C B A z z z ,,，若i z z z z A C A B 341+=--，则ABC ∆的三边长之比为_______13．在长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，设AB 的中点为F ，则F A 1与1DC 所成的角为_______14．对于非零实数b a ,，下列四个命题都成立：(1)01≠+aa ；(2) 若||||b a =，则b a ±=；(3) 2222)(b ab a b a ++=+；(4)若ab a =2，则b a =，那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的所有序号是_______二、选择题（每题3分，共12分）15．设1z 、2z 是两个复数，则“021>-z z ”是“21z z >”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2) 三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3) 两两相交的三条直线一定共面；(4) 过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面baPc α β图形，其中正确命题的个数是 （ ）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 317．若b a ,是所成角为60的两条异面直线，点O 为空间一点，则过点O 与b a ,均成60角的直线有 （ ）(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条18．设非零复数0Z 为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程为||||101Z Z Z =-，Z 为复平面上另一个动点满足11-=Z Z ，则Z 在复平面上的轨迹形状是( )(A)一条直线 (B)以01Z -为圆心，|1|0Z -为半径的圆 (C)焦距为|1|20Z 的双曲线 (D)以上都不对 三、解答题(共46分)19．(8分)已知复数1z 、2z 满足2||1=z ，3||2=z ，62321=+i z z ，求1z 、2z 20．(8分) 已知21,x x 是实系数方程02=++p x x 的两 个根，若3||21=-x x ，求实数p 的值21．(9分) 如图，四面体ABCD 中，BD BC AB ,,两两互相垂直，且2==BC AB ，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求线段BD 的长22．(9分) 如图，平面α与平面β相交于直线a ，直线b 在平面α上，直线c 在平面β上，且P a b = ，a c //，求证：直线c b ,是异面直线DEBCA23．(12分) 已知复数mi z -=10(0>m )，其中i 为虚数单位，对于任意复数z ，有z z z ⋅=01，||5||1z z =，(1)求m 的值；(2)若复数z 满足|1|||i z z -+=，求||1z 的取值范围；(3)我们把上述关系式看作复平面上表示复数z 的点P 和表示复数1z 的点Q 之间的一个变换，问是否存在一条直线l ，若点P 在直线l 上，则点Q 仍然在直线l 上？如果存在，求出直线l 的方程；否则，说明理由。
上海市位育中学高二上学期开学考试数学试题Word版缺答案
位育中学2018-2019 学年第一学期高二年级开学考数学试题卷一、填空题 .1. 计算:lim n2n22__________.n4n12. 函数f x x2 x 1 的反函数是_________.3. 已知a 3k，3，b6，k若, 则实数k的值为 _________.7 ， a b4. 已知向量e1，2 ,则向量 e 的单位向量为________.5. 幂函数f x x m2 2 m 3 m Z 的图像与坐标轴没有公共点, 且对于y轴对称 , 则m的值为___________.6. 已知函数 f x log 2 x m 的图像不经过第四象限, 则实数m的取值范围是 ________.7. 设lim r 1 n a，则实数 r 的取值范围是 _______.n 3 r8. 已知a1， 2 ，b 1，k ，若 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 k 的取值范围是________.9. 若函数y sin 2 x acos2x 的图像对于直线x π对称 , 则 a 的值为 __________. 610.在平行四边形ABCD中,E 和 F 分别是边CD和 BC的中点 ,若AC m AE n AF ，此中m，n R ，则m n_________.11.已知△ ABC是边长为 2 的等比三角形 , 设点 P、Q知足AP AB，AQ1AC ，此中R,若 BQ ?CP 3, 则________. 212.已知数列a n的通项公式为 a n 25 n,数列 b n的通项公式为 b n n k ，设c n b n，a n b n, 若在数列c n中， c5c n对随意 n N *恒建立,则实数 k 的取值范围是a n， a n＞b n___________.二、选择题13. 已知向量a3，4 ,则存在实数 k1、k 2使得 a k1e1k2 e2建立的一组向量e1、e2是A.e0，0 ，e1，2B.e11 3 2 612，，e2，C.e1 1 2 3 1D.e11 ，，，，，e2， 1 e2 1 22π14. 把函数f x cos 2x sin 2x 的图像,这个变化是的图像经过变化可获得函数 g x8A. 向左平移π个单位 B. 向右平移π个单位1616C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位161615. 设s n是无量等差数列a n的前n项和 n N *, 则“lim s n存在”是“该数列公差 d 0”n的A. 充足非必需条件B. 必需非充足条件C. 充要条件D.既非充足又非必需条件16. 已知等比数列a n的前n项和 s n,则以下判断必定正确的选项是A. 若s3＞0，则a2018＞0B.若s3＜0，则a2018＜0C. 若a2＞a1，则a2019＞a2018D.1＞1，则 a2019＜ a2018a2a1三、解答题。
上海市位育中学2015-2016学年高二下学期期末数学试题
………外…………………内…………绝密★启用前上海市位育中学2015-2016学年高二下学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面2．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．175B ．275C ．375D ．4754．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：总体均值为2，总体方差为3 D ．丁地：中位数为2，众数为3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________．6．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_________个个体．7．圆柱的高为1，侧面展开图中母线与对角线的夹角为60°，则此圆柱侧面积是_________．8．若对任意实数x ，都有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a =________9．设地球O 的半径为R ，P 和Q 是地球上两地，P 在北纬45°，东经20°，Q 在北纬45o ，东经110°，则P 与Q 两地的球面距离为__________。
上海市位育中学2013-2014学年高二下学期3月监控考试数学试题 无答案
2013学年第二学期位育中学监控考试试卷高二 数学一、填空题：(12*3=36）1．下列各题中正确的题号为 (1）垂直于两条异面直线的直线有无数条(2）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线; ③ DM与BN 垂直。
以上三个命题中，正确命题的序号是3.空间四条直线，其中任意两条都相交，最多可以确定平面的个数是三个平面把空间最多分成 部分,两异面直线所成的角的范围是4。
空间四点中，有且仅有三点共线是四点共面的 条件5．在复数范围内判断以下命题的真假: (1）22221212z z 0z z +>⇒>-（2）2121212|z z |(z z )4z z -=+- (3）221212zz 0z z 0+=⇔==（4）121212zz C z z z z R ∈⇒+∈其中真命题的序号是_____________EAFB C MND6．当___ _____(t R)∈时，复数（｜t ｜—1）+（t 2-2|t|-3）i 在复平面上对应的点位于第四象限7．已知x ，y 互为共轭复数，且（x+y ）2—3xyi=4—6i ，则｜x ｜+｜y ｜=___________ 8．已知a,b ∈R ，则z=（a —b ）+（a+b ）i 为纯虚数的充要条件是9。
若2121f (z)z ,z34i,z 2i,f (z z )==+=---则的值是10．计算:1+2i+3i 2+4i 3+…+100i 99=_______________ 11．设｜z ｜=1,且21z 2z 0z++<,则复数z=__________________12．已知复数z 满足|z+1—i ｜=1,则|z-2+3i ｜的最大值是______,最小值是_____二、选择题（4＊3=12） 13．若1122122z z ,zC,z z z 0,z ∈=≠1且z 则是----——---—-——————————————-（ ）(A)纯虚数 （B)实数 （C ）虚数 （D ）不能确定14.复数z 满足条件:|z+1+i ｜=|z-i|，那么对应的点的轨迹是———————（ ）（A)圆 （B ）椭圆 （C)双曲线 （D ）直线15。
上海市位育中学2015_2016学年高二数学上学期期中试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 位育中学2015学年第一学期期中考试试卷高 二 数 学 2015.11.5一、填空题(每题3分，共42分)1、若)3,1(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________2、若)4,3(=a ，则a 的负向量的单位向量的坐标是___________3、已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A ，矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21B ，则AB =________ 4、三阶行列式123456789中，5的余子式的值是___________5、已知)2,1(A ，)3,2(B ，且点P 满足2=，则点P 的坐标为___________6、直线023:1=+-y x l 与直线03:2=+-y x l 的夹角的大小是___________7、直线04=-+y x 上的点与坐标原点的距离的最小值是___________8、若实数b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 必过定点的坐标为_________9、若直线042:21=+-y x a l 与直线0436:2=++-a y x l 平行，则实数a =________10、已知)2,1(=a ，)2,4(=b ，m +=(R m ∈)，且与的夹角等于与的夹角，则m =___________11、垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l 的方程为_________12、设P 、Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为_________13、已知O 为ABC ∆的外心，且6||=，2||=，则⋅的值为__________14、已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，实数x 满足关系式022=+⋅+⋅OC OB x OA x ，有下列命题：(1)02≥⋅-OC OA OB ；(2) 02<⋅-OC OA OB ；(3)x 的值有且只有一个；(4)x 的值有两个；(5)点B 是线段AC 的中点，其中所有正确命题的序号是_________二、选择题(每题3分，共12分)15、平面向量a 、b 共线的充要条件是 （ ）(A) a 、b 方向相同 (B) a 、b 两向量中至少有一个是零向量(C)存在实数k ，使得a k b = (D)存在不全为零的实数1k 、2k ，使得021=+b k a k16、有命题：(1)三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；(2) 三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；(3) 如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是 （ ）(A) (1)(2) (B) (1)(3) (C) (2)(3) (D) (1)(2)(3)17、在两坐标轴上截距相等且倾斜角为 45的直线 ( )(A) 不存在 (B) 有且只有一条(C) 有多于一条的有限条 (D) 有无穷多条18、设)1,(a A 、),2(b B 、)5,4(C 为坐标平面上的三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ ）(A)345=-b a (B)354=-b a(C) 1454=+b a (D)1445=+b a三、解答题(共46分) 19、(8分) 已知关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-λλλλ22131，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值O C E D A B20、(8分)已知)2,1(-A 、)3,(m B ，(1)求直线AB 的斜率k 和倾斜角α； (2)已知实数]0,133[--∈m ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围21、(10分)如图，在ABC ∆中，已知顶点)1,3(-A ，B ∠的内角平分线BD 所在直线的方程是0104=+-y x ，过点C 的中线CE 所在直线的方程是059106=-+y x ，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程22、(10分) 已知a 、b 是两个不共线的非零向量， (1)设a OA =，b t OB =(R t ∈)，)(31b a OC +=，当C B A ,,三点共线时，求t 的值；(2)如图，若OD a =，=，、的夹角为32π，且1||||==，点P 是以O 为圆心的圆弧DE 上的一个动点，设y x 2+=(R y x ∈,)，求y x +的最大值O DEP23、(10分) 对于一个向量组n a a a a ,,,,321 (3≥n ，*N n ∈)，令n n a a a a S ++++= 321，如果存在p a (*N p ∈)，使得||||p n p a S a -≥，那么称p a 是该向量组的“长向量”(1)若3a 是向量组321,,a a a 的“长向量”，且),(n x n a n +=，求实数x 的取值范围；(2)已知321,,a a a 均是向量组321,,a a a 的“长向量”，试探究321,,a a a 的等量关系并加以证明位育中学2015学年第一学期期中考试试卷高 二 数 学 2015.11.5一、填空题(每题3分，共42分)1、若)3,1(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________6π 2、若)4,3(=a ，则a 的负向量的单位向量的坐标是___________)54,53(--3、已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A ，矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21B ，则AB =________⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12 4、三阶行列式123456789中，5的余子式的值是___________12-5、已知)2,1(A ，)3,2(B ，且点P 满足2=，则点P 的坐标为___________)38,35(6、直线023:1=+-y x l 与直线03:2=+-y x l 的夹角的大小是___________12π 7、直线04=-+y x 上的点与坐标原点的距离的最小值是___________228、若实数b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 必过定点的坐标为_________)61,21(-9、若直线042:21=+-y x a l 与直线0436:2=++-a y x l 平行，则实数a =________2-10、已知)2,1(=，)2,4(=，m +=(R m ∈)，且与的夹角等于与的夹角，则m =___________211、垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l 的方程为 _________01034=±+y x12、设P 、Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为_________4513、已知O 为ABC ∆的外心，且6||=，2||=，则⋅的值为__________16-14、已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，实数x 满足关系式22=+⋅+⋅x x ，有下列命题：(1)02≥⋅-；(2) 02<⋅-；(3)x 的值有且只有一个；(4)x 的值有两个；(5)点B 是线段AC 的中点，其中所有正确命题的序号是_________(1)(3)(5)二、选择题(每题3分，共12分)15、平面向量a 、b 共线的充要条件是 （ ）D(A) a 、b 方向相同 (B) a 、b 两向量中至少有一个是零向量(C)存在实数k ，使得a k b = (D)存在不全为零的实数1k 、2k ，使得021=+b k a k16、有命题：(1)三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；(2) 三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；(3) 如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是 （ ）C(A) (1)(2) (B) (1)(3) (C) (2)(3) (D) (1)(2)(3)17、在两坐标轴上截距相等且倾斜角为 45的直线 ( )B(A) 不存在 (B) 有且只有一条(C) 有多于一条的有限条 (D) 有无穷多条18、设)1,(a A 、),2(b B 、)5,4(C 为坐标平面上的三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ ）B(A)345=-b a (B)354=-b a(C) 1454=+b a (D)1445=+b a三、解答题(共46分)19、(8分) 已知关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλ22131，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值解：由线性方程组有无穷多组解，得：0===y x D D D由0231=-=λλD ，得：1=λ或2=λ当2=λ时，00≠≠y x D D ，，不合题意当1=λ时，0===y x D D D ，符合题意故：1=λ20、(8分)已知)2,1(-A 、)3,(m B ，(1)求直线AB 的斜率k 和倾斜角α；(2)已知实数]0,133[--∈m ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围 解：(1)当1-=m 时，直线AB 的斜率不存在，倾斜角为2π； 当1-≠m 时，11+=m k ，若1->m ，则11arctan +=m α； 若1-<m ，则11arctan ++=m πα (2) 当1-=m 时，直线AB 的倾斜角为2π；当1-≠m 时，),1[]3,(+∞--∞∈ k ，]32,2()2,4[ππππα ∈，综合得直线AB 的倾斜角α的取值范围为]32,4[ππ21、(10分)如图，在ABC ∆中，已知顶点)1,3(-A ，B ∠的内角平分线BD 所在直线的方程是0104=+-y x ，过点C 的中线CE 所在直线的方程是059106=-+y x ，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程解： )5,10(B ；06592=-+y x22、(10分) 已知a 、b 是两个不共线的非零向量，(1)设a OA =，b t OB =(R t ∈)，)(31b a OC +=，当C B A ,,三点共线时，求t 的值；(2)如图，若OD a =，OE b =，a 、b 的夹角为32π，且1||||==，点P 是以O 为圆心的圆弧DE 上的一个动点，设y x 2+=(R y x ∈,)，求y x +的最大值解：(1) 当C B A ,,三点共线时，有 OB m OA m OC )1(-+=t m m )1(-+=，而)(31+= 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=31)1(31t m m ，解得21=t (2)以O 为原点，OD 为x 轴建立直角坐标系，设α=∠DOP ，则)0,1(D )23,21(-E ，)sin ,(cos ααP (]32,0[πα∈) 由)23,21(2)0,1()sin ,(cos -+=y x αα，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=αααsin 33sin 33cos y x 所以)23arctan sin(321sin 332cos +=+=+αααy x 当23arctan 2-=πα时，y x +的最大值为321 23、(10分) 对于一个向量组n a a a a ,,,,321 (3≥n ，*N n ∈)，令n n a a a a S ++++= 321，如果存在p a (*N p ∈)，使得||||p n p a S a -≥，那么称p a 是该向量组的“长向量”(1)若3a 是向量组321,,a a a 的“长向量”，且),(n x n a n +=，求实数x 的取值范围；(2)已知321,,a a a 均是向量组321,,a a a 的“长向量”，试探究321,,a a a 的等量关系并加以证明 O D EP解：(1)由题意，得：||||213a a a +≥，代入得22)32(9)3(9++≥++x x 解得：02≤≤-x(2)由题意，得：||||321a a a +≥，23221||||a a a +≥，即23221)(a a a +≥ 即322322212a a a a a ⋅++≥，同理312321222a a a a a ⋅++≥，212221232a a a a a ⋅++≥ 三式相加并化简，得：3231212322212220a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+++≥ 即0)(2321≤++a a a ，0||321≤++a a a ，所以321=++a a a。
2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二(下)期中数学试卷
2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）﹣3的平方根是．2．（3分）已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是．3．（3分）如果复数z=a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，那么实数a的值为．4．（3分）若，则|z|=．5．（3分）复数z=的共轭复数是．6．（3分）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为．7．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．8．（3分）已知复数x满足x+=﹣1，则x2013+=．9．（3分）已知球的半径为25，有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49π和400π，则这两个平行平面间的距离为．10．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2﹣|z|x+1=0（z∈C）有实数根，则|z﹣1+i|的最小值为．11．（3分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是．12．（3分）在四棱锥V﹣ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体A﹣B1CD1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列命题中真命题是（）A．若z 1+z2=0，则z1，z2共轭B．若z1+z2=0，则共轭C．若z 1﹣z2=0，则z1，z2共轭D．若z1﹣z2=0，则共轭14．（4分）给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（4分）有下列命题：（1）若z是复数，则|z|2=z2；（2）任意两个复数不能比较大小；（3）b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈C）有两个不等的实数根，其中所有错误命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）16．（4分）下列四个命题中真命题是（）A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个三、解答题（共48分）17．（9分）已知虚数z满足，且|z﹣2|=2，求z．18．（9分）关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0（a∈R）至少有一个模为1的根，求实数a的值．19．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．20．（10分）如图，已知AB是圆柱OO1底面圆O的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π；点C在底面圆O上，且直线A1C与下底面所成的角的大小为60°．（1）求点A到平面A1CB的距离；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的大小（结果用反三角函数值表示）．21．（10分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD 于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）﹣3的平方根是．【解答】解：设（a+bi）2=﹣3，其中a，b∈R．化为a2﹣b2+2abi=﹣3，∴，解得a=0，b=．∴﹣3的平方根为：i．故答案为：．2．（3分）已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是a∥α或a⊂α．【解答】解：直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是：a∥α或a⊂α．如图：故答案为：a∥α或a⊂α．3．（3分）如果复数z=a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，那么实数a的值为﹣1．【解答】解：复数z=a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，则a2﹣a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0 解得a=﹣1故答案为：﹣14．（3分）若，则|z|=8．【解答】解：∵（1+i）4=（2i）2=﹣4，（1﹣i）12=[（1﹣i）2]6=（﹣2i）6=﹣64．==﹣128×=﹣128=﹣64．∴z==﹣4﹣4i．∴|z|==8．故答案为：8．5．（3分）复数z=的共轭复数是﹣1﹣i．【解答】解：z====﹣1+i∴复数z=的共轭复数是﹣1﹣i故答案为：﹣1﹣i6．（3分）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为18．【解答】解：由题意作出图形如图：因为三棱锥P﹣ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角PDF中，∵三角形PDF三边长PD=1，DF=，∴PF=2则这个棱锥的侧面积S=3××6×1=18．侧故答案为：18．7．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．8．（3分）已知复数x满足x+=﹣1，则x2013+=2．【解答】解：∵，∴x2+x+1=0，∴（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1=0，∴x3=1，∵2013能够被3整除，∴x2013=1，∴x2013+=1+1=2，故答案为：29．（3分）已知球的半径为25，有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49π和400π，则这两个平行平面间的距离为9或39．【解答】解：设两个截面圆的半径别为r1，r2．球心到截面的距离分别为d1，d2．球的半径为R．由πr12=49π，得r1=7．由πr22=400π，得r2=20．如图①所示．当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，即d1﹣d2=．如图②所示．当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即d 1+d2=．故答案为：9或39．10．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2﹣|z|x+1=0（z∈C）有实数根，则|z﹣1+i|的最小值为．【解答】解：由题意可得△=|z|2﹣4≥0，解得|z|≥2．再由|z﹣1+i|≥|z|﹣|﹣1+i|=2﹣，可得|z﹣1+i|的最小值为，故答案为．11．（3分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是2．【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2即最大值为：2故答案为2．12．（3分）在四棱锥V﹣ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体A﹣B1CD1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为．【解答】解：∵如图，棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是四棱锥V﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，∵B 1为PB的中点，D1为PD的中点，∴棱锥B1﹣ABC的体积是棱锥V﹣ABC体积的，棱锥D1﹣ACD的体积是棱锥V﹣ACD的体积的，∴棱锥B1﹣ABC的体积与棱锥D1﹣ACD的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的；棱锥B1﹣VAD1的体积是棱锥B﹣VAD体积的，棱锥B1﹣VCD1的体积是棱锥B﹣VCD体积的，∴棱锥B1﹣VAD1的体积与棱锥B1﹣VCD1的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的．则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积V=四棱锥P﹣ABCD的体积﹣个四棱锥P﹣ABCD的体积=个四棱锥P﹣ABCD的体积，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列命题中真命题是（）A．若z 1+z2=0，则z1，z2共轭B．若z1+z2=0，则共轭C．若z 1﹣z2=0，则z1，z2共轭D．若z1﹣z2=0，则共轭【解答】解：设z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，（x i，y i∈R）（i=1，2），对于z 1+z2=0，则x1+x2=0，y1+y2=0，则z1与z2，不一定是共轭复数．对于z 1﹣z2=0，则x1﹣x2=0，y1﹣y2=0，则与z2是共轭复数．故选：D．14．（4分）给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”则由线面垂直的判定定理可得：“直线l与平面α垂直”若“直线l与平面α垂直”则由线面垂直的性质可得：“直线l与平面α内任意直线都垂直”故条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的充要条件故选：C．15．（4分）有下列命题：（1）若z是复数，则|z|2=z2；（2）任意两个复数不能比较大小；（3）b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈C）有两个不等的实数根，其中所有错误命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【解答】解：对于（1）若z是复数，则|z|2是模的平方是非负数，z2是负数的平方，可能为虚数，故错；对于（2），当两个复数是实数时，能比较大小，故错；对于（3），判别式只适用于系数为实数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）的实数根判定，故错，故选：D．16．（4分）下列四个命题中真命题是（）A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个【解答】解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C．三、解答题（共48分）17．（9分）已知虚数z满足，且|z﹣2|=2，求z．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R，b≠0），则，得：，即a2+b2=1 ①又由|z﹣2|=2，得（a﹣2）2+b2=4 ②解①②组成的方程组得：所以18．（9分）关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0（a∈R）至少有一个模为1的根，求实数a的值．【解答】解：①若两根为实根时，不妨设|x1|=1，则x1=±1，当x1=1时，∴a2+2a+2=0，由于△＜0可得a无解．当x1=﹣1时，∴a2﹣4a+2=0，求得a=2±．②若两根为虚根时，则x 1=x1•x2==1，即=1，求得a=2，或a=﹣1．再根据此时△＜0 可得a=﹣1．综上可得，a=2±，或a=﹣1．19．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体． （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【解答】解：（1）连接OM ，则OM ⊥AB设OM=r ，OB=﹣r ，在△BMO 中，sin ∠ABC==⇒r=∴S=4πr 2=π．（2）∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，∴AC=1．∴V=V 圆锥﹣V 球=π×AC 2×BC ﹣πr 3=π×﹣π×=π．20．（10分）如图，已知AB 是圆柱OO 1底面圆O 的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π；点C 在底面圆O 上，且直线A 1C 与下底面所成的角的大小为60°． （1）求点A 到平面A 1CB 的距离；（2）求二面角A ﹣A 1B ﹣C 的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）设AA 1=h ，因为底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，所以2π×12+2πh=8π，解得h=3．因为AA1⊥底面ACB，所以AC是A1C在底面ACB上的射影，所以∠A 1CA是直线A1C与下底面所成的角，即∠A1CA=60°在直角三角形A1CA中，A1A=3，∠A1CA=60°，所以AC=．AB是底面直径，所以∠CAB=．以A为坐标原点，以AB、AA1分别为y、z轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，0，0）、C（，，0）、A1（0，0，3）、B（0，2，0），于是=（，，0），=（0，2，3），=（﹣，，0）设平面A1CB的一个法向量为=（x，y，z），则，不妨令z=1，则=（，，1），所以A到平面A1CB的距离d==所以点A到平面A1CB的距离为．（2）平面A1AB的一个法向量为=（1，0，0）由（1）知平面A1CB的一个法向量=（，，1），二面角A﹣A1B﹣C的大小为θ，则|cosθ|=．由于二面角A﹣A1B﹣C为锐角，所以二面角A﹣A1B﹣C的大小为arccos．21．（10分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD 于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，，在△PMN中，，；（2）当时，PN最小，此时．因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小．。
上海市位育中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷 (word版含答案)
2015-2016学年上海市位育中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=．2．直线关于直线x=1对称的直线方程是．3．直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．4．若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是．5．已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．6．若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=．7．在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．8．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．9．已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．10．椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．13．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）14．直线L： +=1与椭圆E： +=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．16．已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．17．已知椭圆G： +y2=1．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．18．过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年上海市位育中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为直线2x+my﹣6=0的斜率为∵两直线垂直∴解得m=1故答案为：12．直线关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣2=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】本题求对称直线方程，先求斜率，再求对称直线方程上的一点，然后求得答案．【解答】解：直线关于直线x=1对称，可知对称直线的斜率为，且过（2，0）点，所求直线方程为：x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0．3．直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，然后由直线和圆的位置关系求得弦长．【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直线方程为x=，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化为标准方程得（x﹣1）2+y2=1．如图，∴弦AB的长为．故答案为：．4．若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π）．【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而可得斜率的取值范围，由正切函数的性质可得．【解答】解：直线y=sinθ•x+2的斜率为sinθ，设直线的倾斜角为α，则ta nα=sinθ∈[﹣1，1]∴α∈[0，]∪[，π）；故答案为：[0，]∪[，π）．5．已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：6．若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=2．【考点】复数求模．【分析】把|z1+z2|=2两边平方求得2z1z2，进一步求出，开方得答案．【解答】解：由|z1+z2|=2，得，即2z1z2=4，∴，∴|z1﹣z2|=2．故答案为：2．7．在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．【考点】椭圆的参数方程；直线的参数方程．【分析】化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．【解答】解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：8．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为69．已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为[3，6] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆的方程化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A（a，9﹣a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y﹣7=x﹣2，M到它的距离，判断这样点C不在圆M上不成立．【解答】解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A点的横坐标为a．则纵坐标为9﹣a；①当a≠2时，k AB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=，直线AC的方程为y﹣（9﹣a）=（x﹣a）即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81=0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即≤，化简得a2﹣9a+18≤0，解得3≤a≤6；②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y﹣7=x﹣2即x﹣y+5=0，M到它的距离d==＞，这样点C不在圆M上，还有x+y﹣9=0，显然也不满足条件，综上：A点的横坐标范围为[3，6]．故答案为：[3，6]．10．椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin （θ±），由P、Q在椭圆上，即可得出结论．【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin （θ±），由P、Q在椭圆上，得：=+，①=+，②①+②，得+=+，∴当|OP|=|OQ|=时，乘积|OP|•|OQ|最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵==．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．13．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D14．直线L： +=1与椭圆E： +=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设出P1的坐标，表示出四边形P1AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P1AB的最大值，利用6√2﹣6＜3判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P，【解答】解：设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴S max=6．=×4×3=6为定值，∵S△OAB的最大值为6﹣6．∴S△P1AB∵6﹣6＜3，∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B．三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=x+yi，x，y∈R，根据复数及模的运算，建立方程组，求出x，y即可求出z．【解答】解：设z=x+yi，x，y∈R，则z+=z+，∵z+∈R，∴=0，又|z﹣2|=2，∴（x﹣2）2+y2=4，联立解得，当y=0时，x=4或x=0 （舍去x=0，因此时z=0），当y≠0时，，z=1±，∴综上所得z1=4，z2=1+i，z3=1﹣i．16．已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）直接用点斜式求出直线CD的方程；（2）根据条件得知|PA|为圆的半径，点P在直线CD上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆P的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2），…∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0 ①…又直径|CD|=，∴∴（a+1）2+b2=40 ②…由①②解得或∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…17．已知椭圆G： +y2=1．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【考点】圆锥曲线的最值问题；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）利用椭圆G： +y2=1．直接求解即可．（2）由题意推出|m|≥1．通过当m=1时，求出|AB|=；当m=﹣1时，|AB|=；当|m|＞1时，设切线方程为y=k（x﹣m），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理弦长公式以及圆的圆心到直线的距离等于半径，转化求解|AB|，利用基本不等式求出最值即可．【解答】（本题12分）解：（1）由已知椭圆G： +y2=1．得a=2，b=1，∴c=，∴椭圆G的焦点坐标为（），（）．（2）由题意椭圆G： +y2=1．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G 于A，B两点．知，|m|≥1．当m=1时，切线l的方程为x=1，点A、B的坐标分别为（1，）（1，﹣），此时|AB|=；当m=﹣1时，同理可得|AB|=；当|m|＞1时，设切线方程为y=k（x﹣m），由得（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0．设A，B两点两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，又由l于圆x2+y2=1相切，得，即m2k2=k2+1．所以|AB|==，由于当m=±1时，|AB|=，所以|AB|=，m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．因为|AB|==，当且仅当m=时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2．18．过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】（1）当a=时，如图所示，设M，N．则，，．由题意可设直线MN的方程为my+=x，与抛物线方程联立得到根与系数的关系．只要证明=0即可．（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．设M，N．则M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2），不妨设y1＞0．设直线MN：my+a=x，与抛物线方程联立得到根与系数的关系，用坐标分别表示S1，S2，S3．利用S22=λS1⋅S3成立即可得出λ．【解答】解：（1）当a=时，如图所示，设M，N．则，，．则=（﹣p，y1）•（﹣p，y2）=p2+y1y2．（*）设直线MN的方程为my+=x，联立，化为y2﹣2pmx﹣p2=0．∴．代入（*）可得=p2﹣p2=0．∴AM1⊥AN1；（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．设M，N．则M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2），不妨设y1＞0．设直线MN：my+a=x，联立，化为y2﹣2pmy﹣2pa=0．∵△＞0成立，∴y1+y2=2pm，y1y2=﹣2pa．S1==，同理S3=，．∴S1S3====pa2（pm2+2a）．==a2（4p2m2+8pa）=4pa2（pm2+2a），∴4pa2（pm2+2a）=λpa2（pm2+2a），解得λ=4．故存在λ=4，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A 、B 且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率及过点过M （2，），N （，1）列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆E 的方程．（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx +m ，与椭圆联立，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出|AB |的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E ：（a ，b ＞0）过M （2，），N （，1）两点，∵，解得：，∴，椭圆E 的方程为…（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且，设该圆的切线方程为y=kx +m ，解方程组，得x 2+2（kx +m ）2=8，即（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8=0，则△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣8）=8（8k 2﹣m 2+4）＞0，即8k 2﹣m 2+4＞0，…．，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以，又8k2﹣m2+4＞0，∴，∴，即或，∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，…而当切线的斜率不存在时切线为，与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且…..∵，∴，=，…①当k≠0时∵，∴，∴，∴，当且仅当时取”=”…②当k=0时，…．③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，…综上，|AB|的取值范围为，即：…2017年3月21日。
上海市位育中学2015_2016学年高一数学上学期期末考试试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！2015学年位育中学高一第一学期期末考试试卷可能用到的相对原子质量：Na-23、Mg-24、Ag-108、K-39、N-14、 C-12、H-1、O-16、Cl-35.5 Br-80、I-127、S-32、Fe-56 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1、海水中含量最多的卤素是（ ）A. 氟B. 氯C. 溴D. 碘2、表示物质与其所含化学键类型、所属化合物类型完全正确的一组是（ ） 物质MgCl 2SiO 2 NaOHNH 4Cl所含化学键类型 离子键、共价键 共价键 离子键、共价键 离子键、共价键 所属化合物类型 离子化合物共价化合物共价化合物共价化合物选项ABCD3、在3 mL 碘水中，加入1 mL 四氯化碳，振荡静置后，观察到试管里的分层现象是（ ）4、某学生在实验室制备HCl 时可能进行如下操作：①连接好装置，检查气密性；②缓缓加热；③加入NaCl 固体；④把分液漏斗中的浓硫酸滴入烧瓶中；⑤多余的氯化氢用NaOH 溶液吸收；⑥用向上排空气法收集HCl 。
其中正确的操作顺序是（ ）A ．①③④②⑥⑤B ．①②③④⑤⑥C ．③④②①⑥⑤D ．①④③②⑥⑤ 5、在光照条件下，不会引起化学变化的是（ ） ①氢气与氯气混合物 ②氯水 ③氢气与空气 ④溴化银 A. ①②③ B. ③ C. ①④ D. ②③④6、根据世界环保联盟的要求，广谱消毒剂ClO 2将逐渐取代Cl 2成为生产自来水的消毒剂。
工业上ClO 2常用NaClO 3和Na 2SO 3溶液混合反应制得，则反应后Na 2SO 3转化为（ ） A ．Na 2SO 4 B ．SO 2 C ．S D ．Na 2S7、下列属于吸热反应的是（ ）班级________流水号_______学号________姓名_________A. 乙醇燃烧B. 二氧化碳和碳化合C. 氢氧化钠溶液与盐酸反应D. 生石灰与水混合8、卤素单质A、B、C各0.1 mol，在相同状况下跟H2反应，放出热量关系是Q A > Q B > Q C，下列叙述错误的是（）A．单质的氧化性：A>B>C B．气态氢化物稳定性：HA<HB<HCC．原子半径：A<B<C D．元素的非金属性：A>B>C9、鉴别NaCl、NaBr、NaI可以选用的试剂有（）A．碘水、淀粉溶液 B．氯水、四氯化碳C．氯水、碘化钾淀粉溶液 D．硝酸银溶液、稀硫酸10、固体烧碱溶于水明显放热，这是因为（）①在溶解过程中，Na+和OH-与水结合成水合离子，这是个放热过程②Na+和OH-从烧碱固体表面向水中扩散的过程是吸热过程③过程①放热量超过了过程②的吸热量④过程②吸热量超过了过程①的放热量A．① B．①③ C．①②③ D．①③④11、右图是H2和Cl2反应生成HCl的能量变化示意图，由图可知（）A. 反应物的能量总和小于生成物的能量B. 生成1 mol HCl(g)需吸收92.3 KJ的能量C. H2 (g) + Cl2 (g) →2HCl (g) + 184.6 KJD. H2 (g) + Cl2 (g) →2HCl (g) + Q (Q>184.6 KJ)12、关于某温度时的饱和溶液的说法中，正确的是（）A. 溶解的溶质和未溶解的溶质质量相等B. 溶质不再溶解，因此从表面看溶质不再减少，也不再增加C. 升高温度，饱和溶液将变为不饱和溶液D. 溶质的溶解和结晶继续进行，且速率相等13、下列试剂的保存方法正确的是（）A. 少量液溴要保存在细口瓶中，并在液溴上面加水封B. 氢氧化钠溶液保存在带有橡胶塞的滴瓶中C. 次氯酸钙可以敞口保存于空气中D. 溴化银固体应放在棕色瓶内保存14、用N A表示阿伏伽德罗常数，下列说法正确的是（）A. 22.4 L O2的分子数约为N AB. 1 mol OH-所含的电子数为10N AC. 在标准状况下，11.2 L H2O的分子数约为0.5N AD. 0.1 mol铁与足量的盐酸完全反应，铁失去的电子数为0.1N A15、分离苯和水，应选用的装置是（）16、在氧化还原反应中，氧化剂的氧化性强于氧化产物的氧化性，还原剂的的还原性强于还原产物的还原性。
上海市位育中学2015_2016学年高一数学3月监控考试试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！位育中学2015学年第二学期监控考试高一数学试题一、填空题（每题3分，共42分）1, 已知01690,α=若β与α的终边相同，且β(4,2),ππ∈--则β=________. 2，与0496-终边相同的角中,最小正角是__________. 3，“cos 0θ<”,是“θ为第二象限角”的________条件.4，α为正角，β为负角，α，β终边关于原点对称，则αβ-= ________.5，已知0cos 227,m =则0cos 43= ________.6，若1sin 1sin ,1sin cos αααα++=-则α的取值范围是_________.7，已知04sin(540),5α+=-若α为第二象限角，则200sin(180)cos(360)tan(180)ααα⎡⎤-+-⎣⎦=+_____________.8, 已知集合{}2sin 10,A αα=-≥{}2cos 10,B αα=+≥A B I =____________.9,已知3cos ,5α=且(0,),2πα∈则tan 2α=____________. 10,已知tan()3,4πθ+=则2sin 22cos θθ-的值为_____________.11,已知1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=______________. 12,已知8cos()cos 4πα+()1,4πα-=则44sin cos αα+=_____________. 13, 已知11tan(),tan ,27αββ-==-且,(0,),αβπ∈则2βα-=_________.14,,(0,),2παβ∈且sin sin cos(),,2πβααβαβ=•++≠当tan β取最大值时，tan()αβ+的值为__________________.二、选择题（每题3分，共12分）15，已知集合{}45,,M k k z θθ==•∈{}009045,,N k k z αα==•±∈那么集合M 和N 的关系是（ ）A, M N ≠⊂ B, M=N C, M N ≠⊃ D, 不能确定16，一钟表的分钟长10,cm 经过35分钟，分钟的端点所转过的长为（ ） A, 70cm B,706cm C, 35(43)3cm π- D, 35.3cm π17，对任意的锐角,αβ，下列不等关系中正确的是（ ）（A ）sin()sin sin αβαβ+>+ （B ）sin()cos cos αβαβ+>+ （C ） cos()sin sin αβαβ+<+ （D ）cos()cos cos αβαβ+<+ 18，下列四个命题中的假命题是（ ）（A ） 存在这样的,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+ （B ） 不存在无穷多个,αβ 使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+ （C ） 对于任意的,αβ，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （D ） 不存在这样的,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+≠-三，解答题19，（8分）已知角α的终边经过点P （8,6)m m (0),m ≠求2log sec tan αα-的值.20，（8分，每小题4分）已知()()()2sin cos 0παπααπ--+=<<，求下列各式的值： （1）sin cos αα-；（2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21， （10分，（1）、（2）小题各3分，（3）小题4分）已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，（1）求sin β（2）求()cos αβ+（3）求cos α．22, （10分，每小题5分）（1）已知5tan cot ,2αα+=α∈ (,),42ππ求cos2α和sin(2)4πα+的值.（2）已知sin(2)sin 4πα+g 1(2),44πα-=α∈(,),42ππ求22sin tan cot 1ααα+--的值.23,（10分，每小题5分）（1）已知(0,),(,),362πππαβ∈∈且α、β满足53sin 5cos 8,αα+=2sin 6cos 2.ββ+=求cos()αβ+的值；（2）已知221sin(2)4cos tan(),tan(),310cos sin 2πααπααβαα-++=-+=-求tan(),tan αββ+的值.位育中学2015学年第二学期监控考试高一数学试题答案一、填空题（每题3分，共42分） 1、4718π-; 2、0224; 3、必要非充分；4、()2,k k N ππ+∈；5、21m -; 6、22,22k k k Z πππαπ-<<+∈；7、3100-； 8、32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； 9、12；10、45-；11、79-; 12、1732; 13、34π2.二、选择题（每题3分，共12分） 15、C ；16、D ；17、D ；18、B 三，解答题19、解：m>0时，2log sec tan αα-=-1；m<0时，2log sec tan αα-=1 20、解：2sin cos 1,,sin 0,cos 02παααπαα+=<∴<<><. （1）4sin cos 3αα-=（2）()()332222=cos sin cos sin cos cos sin sin 27αααααααα-=-++=-原式 21、解：（1）23（2）35-（3）38215+ 22、解：254321tan cot ,sin 2,cos 2sin 2+sin 2255410παααααα⎛⎫+==∴==-=⎪⎝⎭（）故 ()11112sin 2cos 2sin 4cos 4cos 44422242πππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+==∴=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222554,24,312sin cos 32sin tan cot 1cos 2cos 22cot 2sin cos 2ππαππαααααααααααα∈∴=∴=-+--=-+=-+=Q23、。
上海市位育中学2015-2016学年高二数学上学期零次(9月)考试试题
位育中学2015学年第一学期零次考试试卷 高 二 数 学 2015.9.2一、填空题(每题3分，共36分) 1、若α是第二象限角，且135sin =α，则αtan 的值为__________ 2、已知全集R U =，}1|2||{>-=x x A ，则A C U =_________ 3、函数)25(log )(21x x f -=的定义域是________4、已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f 的最小正周期为23π，则)415(π-f 的值为___________5、若等比数列}{n a 满足nn n a a 91=⋅+，则数列}{n a 的公比=q __________6、若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是___________ 7、若函数)(x f y =的图像经过点)1,0(P ，则函数)4(+=x f y 的反函数的图像经过的定点坐标是___________8、对任意实数x ，)(x f 均取42,2,14+-++x x x 三者中的最小值，则)(x f 的最大值是___________ 9、如果要使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是___________ 10、若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为___________ 11、已知y x ,都为正数，且4=+y x ，若不等式m yx >+41恒成立，则实数m 的取值范围是________ 12、设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*N n ∈，n n a b 21log =，若当且仅当4=n 时，数列}{n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为___________二、选择题(每题3分，共12分) 13、“b c a b -=-”是“c b a ,,成等差数列”的 （ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D) 非充分非必要条件14、函数)(x f y =的图像与直线1=x 的公共点有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)至多1个 (D)至少1个15、有四个命题：（1）对于任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（2）存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（3）不存在无 穷多个βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（4）不存在这样的βα,， 使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，其中假命题的个数是 （ ） (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 416、已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且c b a ≤≤（*,,N c b a ∈），若当n b =(*N n ∈) 时，计满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列}{n a 的通项公式为 （ ）(A)12-=n a n (B) 2)1(+=n n a n (C) 12+=n a n (D) n a n =三、解答题(共52分)17、(10分) 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列， (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}2{n a的前n 项和为n S ，求10S 18、(10分)已知函数)22cos(3sin cos )(22x x x x f +--=π，(1)求)(x f 的周期和值域； (2)求)(x f 的单调区间19、(10分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1102++-=n n S n (*N n ∈)，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T20、(10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ，(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积21、(12分)定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为)(x f 的上界， 已知函数xxa x f )41()21(1)(+⋅+=，（1）当1=a 时，先求函数)(x f 在)0,(-∞上的值域，再判断函数)(x f 在)0,(-∞上是否 为有界函数，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围位育中学2015学年第一学期零次考试试卷 高 二 数 学 2015.9.2一、填空题(每题3分，共36分) 1、若α是第二象限角，且135sin =α，则αtan 的值为__________125- 2、已知全集R U =，}1|2||{>-=x x A ，则A C U =_________]3,1[ 3、函数)25(log )(21x x f -=的定义域是________)25,2[4、已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f 的最小正周期为23π，则)415(π-f 的值为___________225、若等比数列}{n a 满足nn n a a 91=⋅+，则数列}{n a 的公比=q __________36、若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是___________21>a 7、若函数)(x f y =的图像经过点)1,0(P ，则函数)4(+=x f y 的反函数的图像经过的定点坐标是___________)4,1(-8、对任意实数x ，)(x f 均取42,2,14+-++x x x 三者中的最小值，则)(x f 的最大值是___________38 9、如果要使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是___________2197π10、若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为___________215arcsin- 11、已知y x ,都为正数，且4=+y x ，若不等式m yx >+41恒成立，则实数m 的取值范围是________)49,(-∞12、设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*N n ∈，n n a b 21log =，若当且仅当4=n 时，数列}{n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为___________)4,22(二、选择题(每题3分，共12分)13、“b c a b -=-”是“c b a ,,成等差数列”的 （ ）C(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D) 非充分非必要条件14、函数)(x f y =的图像与直线1=x 的公共点有 ( )C (A)0个 (B)1个 (C)至多1个 (D)至少1个15、有四个命题：（1）对于任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+； （2）存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（3）不存在无 穷多个βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（4）不存在这样的βα,， 使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，其中假命题的个数是 （ ）C (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 416、已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且c b a ≤≤（*,,N c b a ∈），若当n b =(*N n ∈) 时，计满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列}{n a 的通项公式为 （ ）B(A)12-=n a n (B) 2)1(+=n n a n (C) 12+=n a n (D) n a n = 三、解答题(共52分)17、(10分) 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}2{n a的前n 项和为n S ，求10S 解：(1)设数列}{n a 的公差为d ，由9123a a a =，得d d 81)21(2+=+得1=d ，所以，n a n =(2)204622210210=+++= S18、(10分)已知函数)22cos(3sin cos )(22x x x x f +--=π，(1)求)(x f 的周期和值域；(2)求)(x f 的单调区间解： )62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f(1)周期π=T ，值域为]2,2[- (2)递增区间为]6,3[ππππ+-k k (Z k ∈)， 递减区间为]32,6[ππππ++k k (Z k ∈) 19、(10分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1102++-=n n S n (*N n ∈)，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T解：(1)⎩⎨⎧≥-==2,2111,10n n n a n ；(2) ⎩⎨⎧≥+-≤++-=6,51105,11022n n n n n n T n20、(10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ，(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆ 的面积解：(1)由面积公式和余弦定理得：2=a ，2=b(2)由题意得：A A B A B 2sin 2)sin()sin =-++（，即 A A A B cos sin 2cos sin =当0cos =A 时，2π=A ，6π=B ，334=a ，332=b 当0cos ≠A 时，A B sin 2sin =，即a b 2=，又abc b a C 2cos 222-+=，故332=a ，334=b ，所以ABC ∆的面积332sin 21==C ab S 21、(12分)定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为)(x f 的上界，已知函数xxa x f )41()21(1)(+⋅+=，（1）当1=a 时，先求函数)(x f 在)0,(-∞上的值域，再判断函数)(x f 在)0,(-∞上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围解：(1) 当1=a 时，)(x f 在)0,(-∞上的值域为），（∞+3 故不存在常数0>M ，使M x f ≤|)(|成立，所以)(x f 在)0,(-∞上不是有界函数(2)由题意得：3|)(|≤x f 在),0[+∞上恒成立，则3)(3≤≤-x f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+⋅+-≥+⋅+3)41()21(13)41()21(1x x x x a a变形得xxx xa )21(22)21(24-⋅≤≤-⋅-在),0[+∞上恒成立 根据函数的单调性，由分离参数法得：实数a 的取值范围为]1,5[-。
【精品】2015年上海市徐汇区位育中学高二上学期期中数学试卷带解析答案
2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）1．（3分）已知矩阵A=，B=，则A﹣2B=．2．（3分）下列关于算法的说法，正确的序号是．（1）一个问题的算法是唯一的；（2）算法的操作步骤是有限的；（3）算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；（4）算法执行后一定产生确定的结果．3．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=．4．（3分）已知直线l的倾斜角为θ，则直线l的一个方向向量为．5．（3分）已知O为平行四边形ABCD内一点，设=，=，=，则=．6．（3分）已知直线l的倾斜角是直线y=2x+3倾斜角的2倍，则直线l的斜率为．7．（3分）在数列{a n}中，a1=2且=0，若S n是{a n}的前n项和，则=．8．（3分）已知，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为．9．（3分）△ABC的AB边中点为D，AC=1，BC=2，则•的值为．10．（3分）直线ax+by=ab（a＞0，b＜0）不经过第象限．11．（3分）点（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则a2+b2的最小值为．12．（3分）已知向量，，x∈[0，π]，则的取值范围为．13．（3分）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=1，|，若（x，y∈R），则（x，y）=．14．（3分）设是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：①方程不可能有两个不同的实数解；②方程有实数解的充要条件是；③方程有唯一的实数解；④方程没有实数解．其中真命题有．（写出所有真命题的序号）二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）15．（3分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC16．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若•=0，则=或=B．若∥，则•=（•）2C．若=•，则=D．若∥，则存在实数k，使=k17．（3分）若直线l1：mx+y﹣1=0，l2：4x+my+m﹣4=0，则“m=2”是“直线l1⊥l2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件18．（3分）已知O是△ABC所在平面上的一点，若=（++）（其中P为平面上任意一点），则O点是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心三、解答题（本大题满分46分）19．（8分）若根据如图的框图，产生数列{a n}．（1）当x 0=时，写出所产生数列的所有项；（2）若要产生一个无穷常数列，求x0的值．20．（8分）已知矩阵P=，Q=，M=，N=，若PQ=M+N．（1）写出PQ=M+N所表示的关于x、y的二元一次方程组；（2）用行列式解上述二元一次方程组．21．（10分）直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（4，3），点C坐标为（1，﹣3），且=t（t∈R）．（1）若CM⊥AB，求t的值；（2）当0≤t≤1时，求直线CM的斜率k和倾斜角θ的取值范围．22．（10分）（1）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；（2）过点P（1，2）作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点，求使•取得最大值时，直线l的方程．23．（10分）已知向量=（x，y）与向量=（x﹣y，x+y）的对应关系用=f（）表示．（1）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有f（m+n）=mf（）+nf（）；（2）证明：对于任意向量，|f（）|=||；（3）证明：对于任意向量、，若⊥，则f（）⊥f（）．2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）1．（3分）已知矩阵A=，B=，则A﹣2B=．【解答】解：∵A=，B=，∴2B=，∴A﹣2B=．故答案为：2．（3分）下列关于算法的说法，正确的序号是（2）、（3）、（4）．（1）一个问题的算法是唯一的；（2）算法的操作步骤是有限的；（3）算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；（4）算法执行后一定产生确定的结果．【解答】解：对于（1），解决某个问题的算法可能有多个，算法是不唯一的，故原命题错误；对于（2），算法是在有限个步骤内解决问题，命题正确；对于（3），算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊，命题正确．对于（4），算法执行后一定产生确定的结果，命题正确．综上，正确的命题是（2），（3），（4）．故答案为：（2）、（3）、（4）．3．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=6．【解答】解：∵三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，∴﹣=10，∴﹣[2×（﹣2）﹣k]=10，∴k=6．故答案为：6．4．（3分）已知直线l的倾斜角为θ，则直线l的一个方向向量为（cosθ，sinθ）．【解答】解：∵直线l的倾斜角为θ，∴直线l的斜率k=tanθ．因此直线l的一个方向向量为（cosθ，sinθ）．故答案为：（cosθ，sinθ）．5．（3分）已知O为平行四边形ABCD内一点，设=，=，=，则=．【解答】解：由题意作出平行四边形ABCD：∵，∴==，∴=，∴=+=，故答案为：．6．（3分）已知直线l的倾斜角是直线y=2x+3倾斜角的2倍，则直线l的斜率为．【解答】解：设直线y=2x+3倾斜角为θ，则tanθ=2，直线l的倾斜角是2θ，则直线l的斜率=tan2θ===，故答案为：．7．（3分）在数列{a n}中，a1=2且=0，若S n是{a n}的前n项和，则=3．【解答】解：∵=0，∴a n=3a n+1，∴=，∵a1=2，∴==3．故答案为：3．8．（3分）已知，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为．【解答】解：与的夹角为钝角⇔且与不共线，可得：，解之故答案为：．9．（3分）△ABC的AB边中点为D，AC=1，BC=2，则•的值为．【解答】解：如图，∵AC=1，BC=2，∴•===．故答案为：．10．（3分）直线ax+by=ab（a＞0，b＜0）不经过第四象限．【解答】解：对于直线ax+by=ab，令x=0，得y=a；令y=0，得x=b，∴直线ax+by=ab交x轴于A（b，0），交y轴于点B（0，a），∵a＞0，b＜0，得点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴，由此可得，直线ax+by=ab经过一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为：四．11．（3分）点（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则a2+b2的最小值为．【解答】解：∵点（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，∴的最小值为原点到直线的距离d=，则a2+b2的最小值为．故答案为：．12．（3分）已知向量，，x∈[0，π]，则的取值范围为[0，2] ．【解答】解：∵，，∴=（cos+cos，sin﹣sin），===，∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]，∴﹣1≤cos2x≤1，即]0≤2+2cos2x≤4，∴的范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．13．（3分）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=1，|，若（x，y∈R），则（x，y）=（4，2）．【解答】解：如图所示，过点C作CD∥OB，交直线OA与点D．∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，∴∠OCD=90°．在Rt△OCD中，||=||tan30°=2×=2．||==4，由=，可得||=x||，||=y||，即x=4，y=2．故答案：（4，2）．14．（3分）设是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：①方程不可能有两个不同的实数解；②方程有实数解的充要条件是；③方程有唯一的实数解；④方程没有实数解．其中真命题有①④．（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于①：对方程变形可得=﹣x2﹣x，由平面向量基本定理分析可得最多有一解，故①正确；对于②：方程是关于向量的方程，不能按实数方程有解的条件来判断，故②正确；对于③、④，方程中，△=42﹣4，又由、不平行，必有△＜0，则方程没有实数解，故③不正确而④正确故答案为：①④．二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）15．（3分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC【解答】解：由题意，AB=D3×3，ABC是DC=E3×3，故选：C．16．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若•=0，则=或=B．若∥，则•=（•）2C．若=•，则=D．若∥，则存在实数k，使=k【解答】解：若•=0，则=或=或，故A错误；若∥，则•=，（•）2===，∴则•=（•）2，故B正确；若，但，有=•，故C错误；当，时，∥，此时不存在实数k，使=k，故D错误．故选：B．17．（3分）若直线l1：mx+y﹣1=0，l2：4x+my+m﹣4=0，则“m=2”是“直线l1⊥l2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若m=0，则l1：y﹣1=0，l2：4x﹣4=0，垂直，若m=0，则l1的斜率是﹣m，l2的斜率是﹣，而﹣m•（﹣）=4≠﹣1，不垂直，故若l1⊥l2，只需m=0，故“m=2”是“直线l1⊥l2”的既不充分也不必要条件，故选：D．18．（3分）已知O是△ABC所在平面上的一点，若=（++）（其中P为平面上任意一点），则O点是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：由得，=；∴；即，取AB中点D，连接OD，如图所示，则：；∴D，O，C三点共线，且|OC|=2|OD|；∴O点为△ABC的重心．故选：C．三、解答题（本大题满分46分）19．（8分）若根据如图的框图，产生数列{a n}．（1）当x0=时，写出所产生数列的所有项；（2）若要产生一个无穷常数列，求x0的值．【解答】解：（1）根据程序中各变量、各语句的作用知：当x0=时，计算并输出a1==，a2==，a3==﹣1，结束程序；（3分）（2）根据程序中的计算公式，得a n+1=，=a n=x0，令a n+1则=x0，解得x0=1或x0=2，此时执行程序将产生一个无穷常数列．（8分）20．（8分）已知矩阵P=，Q=，M=，N=，若PQ=M+N．（1）写出PQ=M+N所表示的关于x、y的二元一次方程组；（2）用行列式解上述二元一次方程组．【解答】解：（1）由PQ=M+N，得，方程组为；（3分）（2），，（5分）1°当m≠0，且m≠﹣3时，D≠0，方程组有唯一解；2°当m=0时，D=0，但D x≠0，方程组无解；3°当m=﹣3时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多解（t∈R）．（8分）21．（10分）直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（4，3），点C坐标为（1，﹣3），且=t（t∈R）．（1）若CM⊥AB，求t的值；（2）当0≤t≤1时，求直线CM的斜率k和倾斜角θ的取值范围．【解答】解：（1）根据平面向量的坐标表示得，=（6，3），=t=（6t，3t），=（3，﹣3），=﹣=（6t﹣3，3t+3），∵⊥，∴•=45t﹣9=0，∴t=；（4分）（2）【解法一】点M在线段AB上，AC的斜率k1=﹣1，AB的斜率k2=2，∴直线CM的斜率满足k≤﹣1，或k≥2，（8分）∴倾斜角θ∈[arctan2，]；（10分）【解法二】当t=时，CM的斜率不存在；当t≠时，CM的斜率k==+在区间和单调递减，（7分）∴k∈（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]，倾斜角θ∈[arctan2，]．（10分）22．（10分）（1）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；（2）过点P（1，2）作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点，求使•取得最大值时，直线l的方程．【解答】解：（1）由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1，对任意的实数k，则，解得：x=3，y=1．∴定点坐标为（3，1）；（2）直线l的斜率存在，设l：y﹣2=k（x﹣1），则，B（2﹣k，0），由，得k＜0，，，，当且仅当，即k=﹣1时，，此时，直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．23．（10分）已知向量=（x，y）与向量=（x﹣y，x+y）的对应关系用=f（）表示．（1）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有f（m+n）=mf（）+nf（）；（2）证明：对于任意向量，|f（）|=||；（3）证明：对于任意向量、，若⊥，则f（）⊥f（）．【解答】证明：（1）设，，则，∵=（mx1﹣my1+nx2﹣ny2，mx1+my1+nx2+ny2），∴；（2）∵∴；（3）由，得，由（1），（2）结论可得：， ∴，．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
上海市位育中学2015-2016学年高一下学期3月监控数学试题
绝密★启用前 上海市位育中学2015-2016学年高一下学期3月监控数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{}45,,M k k z θθ==⋅∈o {}9045,,N k k z αα==⋅±∈o o 那么集合M 和N 的关系是（ ） A ．M N Ü B ．M N = C ．M N Ý D ．不能确定 2．一钟表的分钟长10,cm 经过35分钟，分钟的端点所转过的长为（ ） A ．70cm B ．706cm C ．35(3cm π- D ．35.3cm π 3．对任意锐角,,αβ下列不等关系中正确的是 A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+ D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 4．下列四个命题中的假命题是（ ） A ．存在a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+ B ．不存在无穷多个a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+ C ．对任意的a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=- D ．不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知1690α︒=，若β与α的终边相同，且β(4,2),ππ∈--则β=________. 6．与496-o终边相同的角中，最小正角是__________．7．“cos0θ<”，是“θ为第二象限角”的________条件.8．α为正角，β为负角，α，β终边关于原点对称，则αβ-=________. 9．已知cos227,m=o则cos43=o________.101sincosαα+=，则α的取值范围是_________.11．已知4sin(540),5α+=-o若α为第二象限角，则2sin(180)cos(360)tan(180)ααα⎡⎤-+-⎣⎦=+o oo_____________.12．已知集合{}2sin10,Aαα=-≥{}10,Bαα=+≥A B=I____________.13．若3cos,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=__________．14．已知tan34πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2sin22cosθθ-的值为______15．若π1sin63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2πcos23α⎛⎫+=⎪⎝⎭______．16．已知8cos()cos4πα+()1,4πα-=则44sin cosαα+=_____________. 17．已知11tan(),tan,27αββ-==-且,(0,),αβπ∈则2βα-=_________.18．,(0,),2παβ∈且sin sin cos(),,2πβααβαβ=⋅++≠当tanβ取最大值时，三、解答题 19．已知角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠求2log sec tan αα-的值. 20．已知()()()sin cos 0παπααπ--+=<<，求下列各式的值： （1）sin cos αα-； （2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、,，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45， （1）求sin β； （2）求()cos αβ+； （3）求cos α. 22．（1）已知5tan cot ,2αα+=α∈(,),42ππ求cos2α和sin(2)4πα+的值. （2）已知sin(2)sin 4πα+⋅1(2),44πα-=α∈(,),42ππ求22sin tan cot 1ααα+--的值. 23．（1）已知(0,),(,),362πππαβ∈∈且α、β满足5cos 8,αα+=2.ββ+=求cos()αβ+的值； （2）已知221sin(2)4cos tan(),tan(),310cos sin 2πααπααβαα-++=-+=-求tan(),tan αββ+的值.参考答案1．C【解析】【分析】由904524545(21)45α=⋅±=±=±o o o o o k k k ，因为21k ±是奇数，k z ∈得到结论.【详解】因为904524545(21)45α=⋅±=±=±o o o o o k k k ，而21k ±是奇数，k z ∈，所以M N Ý.故选：C.【点睛】本题主要考查了角的表示及集合的关系，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.2．D【解析】【分析】先求出经过35分钟，分针的端点转过的弧度数，再代入弧长公式求解.【详解】因为分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是260π ， 所以经过35分钟，分针的端点转过的弧度数为2735606ππ⨯=， 所以弧长为7351063cm ππ⨯=， 故选：D.【点睛】 本题主要考查弧度数及弧度制公式，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.3．D【解析】()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+，()sin ,sin ,cos ,cos 0,1αβαβ∈，可知,A B 不正确；当015αβ==时，()cos sin sin αβαβ+>+ 可知C 不正确，()cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβ+=-<+ ，所以D 正确，故选D.【点睛】对于这类问题可以代特殊数值排除选项，但还是需要熟练掌握两角和与差的三角函数，利用三角函数的有界性，对公式进行放缩，得到不等关系，或是做差判断.4．B【解析】【分析】依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】A. 存在a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+根据和差公式有：()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，要使()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+，即sin sin =0a β，sin =0a 或sin =0β时成立. 比如取,02a πβ==满足条件.真命题B. 不存在无穷多个a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+根据和差公式有：()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，要使()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+，即sin sin =0a β，sin =0a 或sin =0β时成立. 当k βπ=或a k π=时满足条件，有无穷多个，假命题C. 对任意的a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-根据和差公式()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，真命题D. 不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-根据和差公式对所有a β、，均有()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-故不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-，真命题故答案选B【点睛】本题考查了和差公式，命题的真假判断，意在考查学生的综合应用能力.5．4718π-； 【解析】【分析】根据终边相同的角的表示方法，若β与α的终边相同，则2k βπα=+求解.【详解】 因为169016918πα︒==， 因为β与α的终边相同， 所以162918k βππ=+ ， 又因为β(4,2),ππ∈--所以β=4718π-， 故答案为：4718π-. 【点睛】本题主要考查了终边相同的角的表示方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 6．224o【解析】【分析】根据终边相同角的公式0360,k k z αβ=+∈即可求解．【详解】 Q 与496-o 终边相同的角为：00224360,k k z +⋅∈ ，∴当0k =时，得到最小的正角为0224，故答案为0224【点睛】本题考查终边相同角公式，属于基础题．7．必要非充分；【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断.【详解】当cos 0θ<时，3(2,2)22k k ππθππ∈++ ，所以不充分. 当θ为第二象限角时，即(2,2)2k k πθπππ∈++，cos 0θ<，所以必要.故答案为：必要非充分.【点睛】 本题主要考查了充分条件、必要条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．()2,k k N ππ+∈；【解析】【分析】根据角α 与角β 的终边关于原点对称，则角α 与角βπ+ 的终边重合，再由终边相同的角的表示方法求解.【详解】若角α 与角β 的终边关于原点对称，则2k αππβ=++ ，所以2k αβππ-=+.故答案为：()2,k k N ππ+∈.【点睛】本题主要考查了角的终边的对称及终边相同的角的表示方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9【解析】【分析】先用诱导公式转化()()cos 227cos 18047cos 47cos 9043sin 43,=+=-=--=-=o o o o o o o m得到sin 43,=-o m ，再用平关系求解.【详解】因为()()cos 227cos 18047cos 47cos 9043sin 43,=+=-=--=-=o o o o o o o m 所以sin 43,=-o m所以cos 43==o【点睛】 本题主要考查了诱导公式和同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.10．22,22k k k Z πππαπ-<<+∈；【解析】【分析】1sin |cos |αα+==，再利用象限角的符号求解.【详解】1sin |cos |αα+==，1sin cos αα+=， 所以1sin 1sin cos |cos |αααα++=， 所以cos 0α> ，所以22,22k k k Z πππαπ-<<+∈. 故答案为：22,22k k k Z πππαπ-<<+∈.【点睛】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式和象限角的符号，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题题.11．3100-； 【解析】【分析】 先通过诱导公式由4sin(540),5α+=-o 得到4sin 5α= ，再用同角三角函数基本关系式得到cos ,tan αα，然后代入[]22sin(180)cos(360)sin cos tan(180)tan αααααα⎡⎤-+--+⎣⎦=+o o o 求解. 【详解】 因为4sin(540)sin(360180)sin(180)sin ,5αααα+=++=+=-=-o o o o ， 所以4sin 5α= ， 又因为α为第二象限角，所以34cos ,tan 53αα==-=- ， 所以[]22sin(180)cos(360)sin cos tan(180)tan αααααα⎡⎤-+-+⎣⎦=+o o o =3100-. 故答案为：3100-. 【点睛】 本题主要考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题题.12．32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【解析】 【分析】分别化简集合A ，B ，然后再求交集. 【详解】因为2sin 10α-≥， 所以1sin 2a ³， 所以52266k k πππαπ+≤≤+ ，10α+≥，所以cos 2α≥-， 所以332244k k πππαπ-+≤≤+， 所以A B =I 32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了三角不等式的解法及集合的运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 13．12【解析】分析：先通过已知求出tan α的值，再利用二倍角公式求tan 2α的值.详解:∵3cos ,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∴4tan 3α=，∴22tan4231tan 2αα=-， ∴tan 22α=-（舍去）或1tan 22α=.故填12.点睛：在sina 、cosa 和tana 中，存在“知一求二”的解题规律，解题时，我们要会利用这些规律帮助我们分析问题，提高问题的预见性. 14．45-【解析】 【分析】利用两角和差正切公式可求得1tan 2θ=，利用二倍角公式将所求式子构造为关于正余弦的齐次式，则配凑分母22sin cos θθ+，分子分母同时除以2cos θ可构造出关于tan θ的式子，代入1tan 2θ=求得结果. 【详解】tantan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4πθπθθπθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-Q ，解得：1tan 2θ=2222222sin cos 2cos sin 22tan 22sin cos 2cos sin cos tan 12cos θθθθθθθθθθθθ--=-==∴++-122421514⨯-==-+本题正确结果：45-【点睛】本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型. 15．79-【解析】【分析】 利用角632πππαα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的关系，建立函数值的关系求解． 【详解】 已知π1sin 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，且πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππ1cos sin 363αα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22ππ7cos 22cos 1339αα⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值． 16．1732； 【解析】 【分析】先用诱导公式，结合倍角公式将8cos()cos 4πα+()1,4πα-=转化为1cos 24α=，然后用平方关系将44sin cos αα+转化，再代入求解. 【详解】 因为8cos()cos 4πα+()4πα-，8cos ()cos 24ππα⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦()4πα-，8sin()cos 4πα=-()4πα-， 4sin(2)2πα=-=1， 所以1cos 24α=， 所以()2442222sin cos in cos 2sin cos αααααα+=+-s ，()2211171sin 211s 22232αα=-=--=co .故答案为：1732. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．34π； 【解析】 【分析】先根据11tan(),tan ,27αββ-==-求得tan α，再通过角的变换求得[]tan()tan tan(2)tan ()11tan()tan βααβαβααβαα---=--==-+-，最后确定2βα-的范围求解. 【详解】因为11tan(),tan ,27αββ-==- 所以[]tan()tan 1tan tan ()1tan()tan 3αββααββαββ-+=-+==--，[]tan()tan tan(2)tan ()11tan()tan βααβαβααβαα---=--==-+-，因为1tan 3α⎛=∈ ⎝⎭且(0,),απ∈ 所以(0,),6πα∈因为1tan 7β⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭且(0,),βπ∈ 所以5(,),6πβπ∈ 所以2βα-∈(,),2ππ∈所以2βα-=34π. 故答案为：34π. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题. 18. 【解析】 【分析】由2sin sin cos()sin cos cos sin sin βααβααβαβ=⋅+=⋅-，转化为2222sin cos sin cos tan tan 1sin cos 2sin 12tan αααααβαααα⋅⋅===+++，再利用基本不等式法，得到即tan α和tan β的值，再用两角和的正切求tan()αβ+.【详解】因为2sin sin cos()sin cos cos sin sin βααβααβαβ=⋅+=⋅-，所以2222sin cos sin cos tan 1tan 11sin cos 2sin 12tan 42tan tan αααααβαααααα⋅⋅====≤++++，当且仅当12tan tan αα=即tan 2α=取等号，此时tan 4β=，所以tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==-⋅. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数及基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．0m >时，2log sec n 1ta αα-=-；0m <时，2log sec tan 1αα-= 【解析】【分析】根据角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠分两种情况，一是当0m >时，10r m == ，二是当0m <时，10r m ==- ，分别用三角函数的定义求得sec ,tan αα，再代入求解. 【详解】因为角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠当0m >时，10r m == ，所以1053sec ,tan 844r m y x m x αα===== ， 所以2253log sec tan log 414αα=-=--.当0m <时，10r m ==- ，所以1053sec ,tan 844r m y x m x αα-===-== ， 所以2253log sec tan log 414αα=---=. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，还考查了数形结合、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题. 20．（1）43（2）2227- 【解析】 【分析】（1）先用诱导公式将()()()sin cos 03παπααπ--+=<<转化为sin cos 3αα+=，两边平方得72sin cos 9αα⋅=-，再根据,2παπ<<确定sin 0,cos 0αα>< ，最后再用平关系求解sin cos αα-.（2）先用诱导公式将33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为33cos sin αα-，再用立方差公式展开()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，代入求解. 【详解】（1）因为()()()sin cos ,03παπααπ--+=<<，所以sin cos 3αα+=.， 两边平方得72sin cos 9αα⋅=-， 又因为,2παπ<<所以sin 0,cos 0αα>< ，所以4sin cos 3αα-==. （2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33cos sin αα=-， 而33cos sin αα-=()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，所以33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()332222=cos sin cos sin cos cos sin sin 27αααααααα-=-++=-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题.21．（1）3（2）35-（3）315+ 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义，得1cos 3β=-，再用平方关系求解.（2）利用三角函数的定义，得()4sin 5αβ+=，根据(0)αβπ∈、,且1cos 03β=-<()4sin 05αβ+=>，确定()2+,παβπ∈，再用平方关系求解.（3）根据（1）（2）的结论，利用角的变换求解. 【详解】（1）根据题意，1cos 3β=-，又因为(0,)βπ∈，所以sin β==（2）根据题意，()4sin 05αβ+=>，(0)αβπ∈、,且1cos 03β=-<，所以()2+,παβπ∈，()3cos 5αβ+==-.（3）由（1）（2）得()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+⋅++⋅=⎣⎦315+. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考查了转化化归和和运算求解的能力，属于中档题.22．（1）3cos25α=-；sin 2+410πα⎛⎫= ⎪⎝⎭（2【解析】 【分析】（1）由25tan cot ,sin 22ααα+==求得4sin 2,5α= 再用平方关系求解cos2α，然后用两角和的正弦求sin 2+4πα⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由sin(2)sin 4πα+⋅1(2),44πα-=可转化为sin(2)sin 4πα+⋅(2)24ππα⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，得到sin 2cos 244ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而由倍角公式求得1cos 42α= ，从而求得角α ，再求22sin tan cot 1ααα+--的值 .【详解】（1）因为25tan cot ,sin 22ααα+==所以4sin 2,5α= 又因为α∈(,),42ππ所以2(,),2παπ∈所以3cos25α=-.所以sin 2+sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. （2）sin(2)sin 4πα+⋅(2)4πα-，sin(2)sin 4πα=+⋅(2)24ππα⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，sin 2cos 244ππαα⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111sin 4cos 42224παα⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ ， 1cos 42α∴=. α∈Q (,),42ππ()554,24,312ππαππαα∴∈∴=∴=，()222sin cos 2sin tan cot 1cos 2cos 22cot 2sin cos αααααααααα-∴+--=-+=-+=. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，还考查了转化化归和和运算求解的能力，属于中档题.23．（1）10-（2）5tan()16a β+=；31tan 43β=【解析】 【分析】（1）通过辅助角法，由5cos 8,αα+=得4sin 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由2.ββ+=得sin 32πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，再通过角的变换转化cos()sin sin sin cos 26363πππππββαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦a a cos sin 63ππβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 求解.（2）由1tan()3a π+=-，得1tan 3a =-，再利用诱导公式及商数关系得 tan()β+a tan 25tan αα+=-的值，而tan()tan tan tan[()]1tan()tan ββββα+-=+-=++a a a a a 再代入tan()β+a 和tan a 的值求解.【详解】（1）因为5cos 8,αα+= 所以10sin 86a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即4sin 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
上海市位育中学高二地理3月监控考试试题
上海市位育中学2015-2016学年高二地理3月监控考试试题本试卷共7页，满分100分，考试时间60分钟。
一、选择题（共40分，每小题2分。
每小题只有一个正确答案）1．太阳活动活跃时，用一般收音机收听短波广播，声音常常忽大忽小，甚至中断，主要是因为（）A．太阳大气抛出的带电离子流扰乱了地球磁场B．太阳大气发射的电磁波扰乱了地球上空的电离层C．短波在大气中传播时，被空气分子吸收D．短波到达电离层后，被全部反射回到地面2．右图中，大圆代表某纬线圈，箭头表示地球自转方向，阴影部分为11月5日，空白部分比阴影部分早一天。
图中C处的地方时是（）A．11月6日6时 B．11月6日14时C．11月4日14时 D．11月4日6时科考人员在我国西北的河西走廊发现了一种类似于蜂巢的地貌，裸露在外的花岗岩千疮百孔，距今已有上亿年，周围有4～5亿年之前形成的沉积岩，下图为“该地地质剖面示意图”。
读图回答3~4题。
3．形成“蜂巢”的主要地质作用是（）A．风力侵蚀B．流水侵蚀C．风力堆积D．流水堆积4．下列关于花岗岩的形成叙述正确的有（）①快速冷凝②在地表冷凝③晶体颗粒细④在高温高压下变成大理岩A．0个B．1个C．2个D．3个5．欧洲酸雨的污染源主要在西欧，但影响最严重的地区却在北欧，造成这种差异的主要原因是（）A．盛行风向B．地势高低C．日照时数D．昼夜温差6．浙江某山坡地因过度开垦导致水土流失严重，如果该山坡地全部退耕还林，则该区域河流最可能出现的变化是（）A．夏季时河流流速加快B．强降雨时洪水水位将变高C．冬季时河流水量增多D．暴雨时洪峰到达时间提前右图为北印度洋某季节洋流分布示意图，读图回答7~8题。
7．图中②海区洋流自西向东流的主要动力是（）A．东北季风B．东南信风 C．东北信风D．西南季风8．图示出现的季节，下列叙述正确的是（）A．亚洲大陆上形成低压，切断副极地低气压带B．南极大陆出现极昼，是科学考察的最好季节C．我国东南沿海地区常有台风登陆D．地中海沿岸地区的河流以雨水补给为主泰国香米主要产于泰国东北部（15°～18°N、100°～105°E），当地在香稻扬花期间具有凉爽的气候、明媚的日光，以及灌浆期间渐渐降低的土壤湿度，对香味的产生及积累，起到了非常重要的作用。
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位育中学2015学年第二学期监控考试试卷 高 二 数 学 2016.3.18一、填空题(每题3分，共42分)1． 复数i m m m m z )65()43(22--+--=为纯虚数，则实数m =_______4 2．i 43+的平方根为_______i +2或i --23．如果b a ,是异面直线，c b ,也是异面直线，则直线c a ,的位置关系是_______相交平行异面4．计算：2013321111i i i i ++++所得的结果为_______i - 5．在复数范围内分解因式：x x x +-232=_______)471)(471(2ix i x x --+- 6．已知z 为虚数，且zz 4+为实数，则||z =_______2 7．若i z z 51||+=-，则z = _______i 512+8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个 209．关于x 的方程04)3(2=++++k x i k x (R k ∈)有实根的充要条件是_______4-=k 10．设1z 、2z 是非零复数，且满足0222121=++z z z z ，则22122211)()(z z z z z z +++=_______1-11．在空间四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，若6=AC ，10=BD ，且BD AC ⊥，则线段EF 的长为_______3412．在复平面内，三点C B A ,,分别对应复数C B A z z z ,,，若i z z z z A C A B 341+=--，则A B C ∆的三边长之比为_______5:4:313．在长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，设AB 的中点为F ，则F A 1与1DC 所成的角为_______33arccos14． 对于非零实数b a ,，下列四个命题都成立：(1)01≠+aa ；(2) 若||||b a =，则b a ±=；(3) 2222)(b ab a b a ++=+；(4)若ab a =2，则b a =，那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的所有序号是_______(3)(4)二、选择题（每题3分，共12分）15．设1z 、2z 是两个复数，则“021>-z z ”是“21z z >”的 ( )B (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2) 三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3) 两两相交的三条直线一定共面；(4) 过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面图形，其中正确命题的个数是 （ ）A(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 317．若b a ,是所成角为60的两条异面直线，点O 为空间一点，则过点O 与b a ,均成60角的直线有 （ ）C(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条18．设非零复数0Z 为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程为||||101Z Z Z =-，Z 为复平面上另一个动点满足11-=Z Z ，则Z 在复平面上的轨迹形状是( )B(A)一条直线 (B)以01Z -为圆心，|1|0Z -为半径的圆 (C)焦距为|1|20Z 的双曲线 (D)以上都不对 三、解答题(共46分)19．(8分)已知复数1z 、2z 满足2||1=z ，3||2=z ，62321=+i z z ，求1z 、2z解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i z i z 232333121或⎪⎩⎪⎨⎧--=+=i z i z 23233312120．(8分) 已知21,x x 是实系数方程02=++p x x 的两个根，若3||21=-x x ，求实数p 的值解：由题意得：22213||=-x x ， 9|)(|221=-x x9|4)(|21221=-+x x x x ， 韦达定理代入得9|41|=-p 解得：2-=p 或25=p 21．(9分) 如图，四面体ABCD 中，BD BC AB ,,两两互相垂直，且2==BC AB ，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos，求线段BD 的长 解：取CD 的中点F ，连EF 、BF易得：AD EF //故FEB ∠为异面直线AD 与BE 所成角设x BD =，则42+==x CD AD242+==x EF BF ，而2=BE ，由余弦定理，解得4=x 即线段BD 的长为422．(9分) 如图，平面α与平面β相交于直线a ，直线b 在平面α上，直线c 在平面β上，且P a b = ，a c //，求证：直线c b ,是异面直线 证明：假设直线c b ,不是异面直线，即c b ,共面(1)若c b //，因为a c //，所以a b // 这与已知“P a b = ”矛盾 假设不成立(2)若直线b 与c 相交，设Q c b = ，DEBCAbaPc α β因为b Q ∈，所以α∈Q ； 因为c Q ∈，所以β∈Q 所以a Q ∈，故Q a c = ，这与已知“a c //”矛盾 假设不成立综合(1)(2)得：直线c b ,是异面直线23．(12分) 已知复数mi z -=10(0>m )，其中i 为虚数单位，对于任意复数z ，有z z z ⋅=01，||5||1z z =，(1)求m 的值；(2)若复数z 满足|1|||i z z -+=，求||1z 的取值范围；(3)我们把上述关系式看作复平面上表示复数z 的点P 和表示复数1z 的点Q 之间的一个变换，问是否存在一条直线l ，若点P 在直线l 上，则点Q 仍然在直线l 上？如果存在，求出直线l 的方程；否则，说明理由解：(1) z z z ⋅=01，故||5||||01z z z z =⋅=，故5||0=z ，512=+m ，解得：2=m(2)由|1|||i z z -+=，得复数z 的轨迹是点)1,1(),0,0(-的中垂线故 ),22[||+∞∈z ，所以),210[||5||1+∞∈=z z 即||1z 的取值范围为),210[+∞ (3)设yi x z +=，i y x z 111+=(R y x y x ∈11,,,)由z z z ⋅=01，得⎩⎨⎧-=+=y x y yx x 2211 (1)若存在直线l ，则直线l 一定过原点，故设直线l 的方程为kx y = (2) 把(1)式代入(2)式得：)2(2y x k y x +=- (3)把(2)式代入(3)式得：012=-+k k ，所以251±-=k 故存在直线l ，其方程为x y 251±-=位育中学2015学年第二学期监控考试试卷 高 二 数 学 2016.3.18一、填空题(每题3分，共42分)1． 复数i m m m m z )65()43(22--+--=为纯虚数，则实数m =_______ 2．i 43+的平方根为_______3．如果b a ,是异面直线，c b ,也是异面直线，则直线c a ,的位置关系是_______ 4．计算：2013321111ii i i ++++所得的结果为_______ 5．在复数范围内分解因式：x x x +-232=_______ 6．已知z 为虚数，且zz 4+为实数，则||z =_______ 7．若i z z 51||+=-，则z = _______8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个9．关于x 的方程04)3(2=++++k x i k x (R k ∈)有实根的充要条件是_______10．设1z 、2z 是非零复数，且满足0222121=++z z z z ，则22122211)()(z z z z z z +++= _______11．在空间四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，若6=AC ，10=BD ，且BD AC ⊥，则线段EF 的长为_______12．在复平面内，三点C B A ,,分别对应复数C B A z z z ,,，若i z z z z A C A B 341+=--，则A B C ∆的三边长之比为_______13．在长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，设AB 的中点为F ，则F A 1与1DC 所成的角为_______14．对于非零实数b a ,，下列四个命题都成立：(1)01≠+aa ；(2) 若||||b a =，则b a ±=；(3) 2222)(b ab a b a ++=+；(4)若ab a =2，则b a =，那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的所有序号是_______二、选择题（每题3分，共12分）15．设1z 、2z 是两个复数，则“021>-z z ”是“21z z >”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2) 三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3) 两两相交的三条直线一定共面；(4) 过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面图形，其中正确命题的个数是 （ ）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 317．若b a ,是所成角为60的两条异面直线，点O 为空间一点，则过点O 与b a ,均成60角的直线有 （ ）(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条18．设非零复数0Z 为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程为||||101Z Z Z =-，Z 为复平面上另一个动点满足11-=Z Z ，则Z 在复平面上的轨迹形状是( )(A)一条直线 (B)以01Z -为圆心，|1|0Z -为半径的圆 (C)焦距为|1|20Z 的双曲线 (D)以上都不对 三、解答题(共46分)19．(8分)已知复数1z 、2z 满足2||1=z ，3||2=z ，62321=+i z z ，求1z 、2z 20．(8分) 已知21,x x 是实系数方程02=++p x x 的两 个根，若3||21=-x x ，求实数p 的值21．(9分) 如图，四面体ABCD 中，BD BC AB ,,两两互相垂直，且2==BC AB ，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求线段BD 的长DEBCAbaPc α β22．(9分) 如图，平面α与平面β相交于直线a ，直线b 在平面α上，直线c 在平面β上，且P a b = ，a c //，求证：直线c b ,是异面直线23．(12分) 已知复数mi z -=10(0>m )，其中i 为虚数单位，对于任意复数z ，有z z z ⋅=01，||5||1z z =，(1)求m 的值；(2)若复数z 满足|1|||i z z -+=，求||1z 的取值范围；(3)我们把上述关系式看作复平面上表示复数z 的点P 和表示复数1z 的点Q 之间的一个变换，问是否存在一条直线l ，若点P 在直线l 上，则点Q 仍然在直线l 上？如果存在，求出直线l 的方程；否则，说明理由。