二元函数极限的存在性及求法
二元函数求极限
二元函数求极限
如果能说明二元极限不存在，那么极限也就不用求了，说明极限不存在的方法有：
①令 y=kx 或其他的形式，将其代入，说明极限与 k 有关，代入后除了 k 以外不含有其他字母；
②找两个特殊路径代入，说明两极限不同即可说明极限不存在；
③极坐标换元代入，要根据变量趋势合理换元，说明极限跟极角\theta 有关即可。
2.二元极限存在，计算其极限
若根据题意，极限一定存在，那么可采用以下方法计算：
①等价无穷小替换；
②常用结论：如无穷小量乘以有界量依然为无穷小；
③不严谨的方法：极坐标换元，这种做法本质上还是一类路径而不是任意路径，有时会出错；
④夹逼准则，根据结构合理放缩。
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。
在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。
一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。
如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。
二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2， 故 要 使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只 要 取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
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高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院 唐新华
［摘 要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 ［关键词］二元函数 极限 二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x
二元函数求极限的定义与基本性质
二元函数求极限的定义与基本性质在数学中，二元函数是指依赖于两个变量的函数。
求解二元函数的极限是研究其变化趋势和性质的重要手段之一。
本文将介绍二元函数求极限的定义，并探讨一些基本的性质。
一、二元函数求极限的定义对于给定的二元函数 f(x, y)，当自变量 (x, y) 的取值趋近于某个点(a, b) 时，如果函数值 f(x, y) 的极限存在且唯一，那么我们称该函数在点 (a, b) 处有极限，记作：lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中 L 为极限值。
二、二元函数极限的性质1. 唯一性：二元函数的极限值在同一点处只能有唯一的取值。
2. 有界性：如果函数在某点 (a, b) 处有极限，那么它在该点周围的某个邻域内是有界的。
3. 保号性：如果函数在某点 (a, b) 处的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的某个领域内，函数的取值也大于零（或小于零）。
4. 极限的四则运算性质：设二元函数 f(x, y) 和 g(x, y) 在点 (a, b) 处有极限，则它们的和、差、乘积以及商（当g(x, y) ≠ 0）仍在该点处有极限，并且有以下运算公式：lim_(x,y)→(a,b) (f+g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) + lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f-g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) - lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f*g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f/g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) / lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)5. 极限的复合性质：设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处有极限 L，函数 g(u) 在点 L 处有极限 M，则复合函数 g(f(x, y)) 在点 (a, b) 处也有极限 M。
二元函数求极限的定义与性质
二元函数求极限的定义与性质在数学中，二元函数是指依赖于两个自变量的函数。
求二元函数的极限是数学分析中的一个重要概念，用于计算函数在某一点的趋近性。
本文将探讨二元函数求极限的定义及其性质，并进一步讨论其在实际问题中的应用。
定义设函数f(x,y)定义在点P(x0,y0)的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当点(x,y)满足0 < √((x-x0)² + (y-y0)²) < δ时，总有|f(x,y) - A| < ε成立，那么称A是函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的极限，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y) = A。
性质1.函数极限存在的唯一性：如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极限，那么该极限必定唯一。
2.函数极限的局部结构：函数极限的存在与否与函数在点(x0,y0)处的局部结构有关，例如，如果函数在点(x0,y0)的某个去心邻域内有界，那么函数在该点处必定存在极限。
3.函数极限与路径无关：对于二元函数而言，极限的求取与路径无关，只依赖于点P(x0,y0)附近的情况。
也就是说，如果沿着不同路径趋向于点P(x0,y0)，得到的极限值相同，那么函数在该点处的极限存在。
应用1.二元函数的极限在微积分中有广泛的应用。
例如，在求取二元函数的导数时，常常需要首先求取其极限。
2.二元函数的极限能够帮助我们研究函数在特定点的性质，例如函数的连续性、可导性等。
3.在实际问题中，二元函数的极限也有重要的应用，比如物理学中的质点运动轨迹的研究，经济学中的边际效应分析等。
总结二元函数求极限是数学分析中的重要概念，通过函数在点附近的趋近性，我们可以推导出函数局部的性质和行为。
函数极限的存在与否是判断函数在特定点连续性、可导性等的关键要素。
同时，函数极限的性质也可以帮助我们解决实际问题中的一些复杂情况。
因此，对于二元函数求极限的定义与性质的理解具有重要的意义，为进一步研究和应用数学分析提供了基础。
二元函数求极限的代数性质与解析
二元函数求极限的代数性质与解析在学习高等数学的过程中，我们经常会遇到求二元函数的极限问题。
二元函数的极限是指当自变量趋近于某个点时，函数的取值趋近于一个确定的值。
在求解这类问题时，我们需要掌握一些代数性质和解析方法。
一、二元函数的极限定义设函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 (x, y) 满足不等式0 < √((x-x0)²+(y-y0)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - A| < ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点(x0, y0) 处的极限为A，记作：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A二、二元函数极限的代数性质1. 唯一性性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在，则极限值 A 唯一确定。
2. 有界性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在且有限，则 f(x,y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有界。
3. 保号性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在且不为零，则在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内，f(x,y) 与 A 的正负号相同。
三、二元函数极限的解析方法在具体的计算中，我们可以通过一些解析方法来求解二元函数的极限。
1. 分别取极限法：当二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在，且其极限可以表示为 A = h(x) + k(y)，其中 h(x) 和 k(y) 分别是关于 x 和y 的函数的极限。
则有：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = lim_(x→x0) h(x) + lim_(y→y0) k(y)2. 代数运算法则：对于二元函数与它的极限，可以利用代数运算法则进行运算，如加减乘除、辽有近似计算的阶乘表.png乘幂、复合函数等。
求二元函数极限的几种方法-二元函数极限定理
. .word..1.二元函数极限概念分析定义1设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<,那么称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题假设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，那么0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即. .word..()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利用恒等变形法将二元函数进展恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解：00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4()()22220,0,321)31)(21(limyx y x y x +-++→．解： 原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+1122=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→，有sin(,)(,)u x y u x y；2(,)1cos(,)2u x yu x y-；[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y；arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn；(,)1(,)u x ye ux y-；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求xy→→解：当x→，0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=. .word... .word..这个例子也可以用恒等变形法计算，如：00001.2x y x y x y →→→→→→===2.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解：先把极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.. .word..解： 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利用极限四那么运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求0011)sin cos x y y x y →→解:因为00)0x y y →→= 是无穷小量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦是有界量，又. .word..32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim 0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- .虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
第二节二元函数的极限
lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、 因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在 、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、 函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例 求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注 定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理 与一元函数得海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多 元
高等数学第16章第2节二元函数的极限
§2 二元函数的极限一 二元函数的极限定义1 设f 为定义在⊂D R 2二元函数，0P 为的D 一个聚点，A 是一个确定的实数。
若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当()D P U P o δ;0∈时，都 有(),ε<-A P f则称f 在．D ．上．当0P P →时，以A 为极限，记作 ().lim 0A P f D P P P =∈→ ()1 在对于D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作().lim A P f PP =→ ()'1 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()'1也常写作().,lim )(),(0,0A y x f y x y x =→ ()"1 例1 依定义验证.7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x证 因为722-++y xy x)1(2)4(22-+-+-=y xy x )1)(1()1(2)2()2)(2(-++-+-+-+=y y y y x x x.3122+-+++-≤y y y x x先限制在点(2,1)的1=δ方邻域(){}11,12,<-<-y x y x内讨论，于是有,541413<+-≤+-=+y y y5)1()2(2+-+-=++y x y x.7512<+-+-≤y x所以1527722-+-≤-++y x y xy x ).12(7-+-<y x设ε为任给的正数，取)14,1min(εδ=，则当)1,2(),(,1,2≠<-<-y x y x δδ时， 就有 .27722εδ<∙<-++y xy x □例2 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明 ．000=→)y ,x (f lim ),()y ,x ( 证 对函数的自变量作极坐标变换.sin ,cos ϕϕrl y r x ==。
二元函数求极限的连续函数判定方法
二元函数求极限的连续函数判定方法在数学中，二元函数是指含有两个自变量的函数。
在许多问题中，我们需要求二元函数的极限。
而判断一个二元函数在某一点处是否连续也是十分重要的。
本文将介绍二元函数求极限的连续函数判定方法。
一、二元函数的极限定义设二元函数为f(x, y)，当(x, y)不断靠近点(x0, y0)时，如果f(x, y)的极限存在，并且与(x0, y0)无关，则称f(x, y)在点(x0, y0)处有极限，记作：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = L其中L是一个实数。
二、连续函数的定义在二元函数中，如果对于任意给定的(x0, y0)，有：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = f(x0, y0)则称f(x, y)在点(x0, y0)处连续。
三、判定方法为了判定一个二元函数在某一点处是否连续，可以使用以下判定方法：1. 逐点判定法对于每一个点(x0, y0)，逐个检查极限的存在与相等性。
首先判定极限存在，即检查：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y)如果该极限存在，则再检查：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = f(x0, y0)如果以上两个条件都满足，即可判定f(x, y)在点(x0, y0)处连续。
2. 极限函数法通过求二元函数极限得到一个函数表达式g(x, y)，然后检查g(x, y)在点(x0, y0)处是否连续。
如果g(x, y)在点(x0, y0)处连续，那么原函数f(x, y)在该点也连续。
3. 分析法对于某些特殊的二元函数，可以通过直接观察函数的性质来判断连续性。
例如，对于多项式函数、指数函数、对数函数等常见函数，它们在定义域内都是连续的。
需要注意的是，以上方法都是针对特定点处的连续性判定，对于整个定义域内的连续性则需要逐点检查。
四、举例说明以二元函数f(x, y) = x^2 + y^2为例，来说明上述判定方法的应用。
二元函数求极限的通用方法与技巧
二元函数求极限的通用方法与技巧在数学中，我们经常会遇到二元函数求极限的问题。
二元函数是指含有两个自变量的函数，而求极限则是要求在某个点上函数的值趋于无穷或趋于某个确定的值。
本文将介绍二元函数求极限的通用方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、基本性质首先，我们需要了解二元函数求极限的基本性质。
对于二元函数f(x, y)，如果在点P(a, b)的某个邻域内，f(x, y)的值趋于L，则称L为f(x, y)在点P(a, b)处的极限，记作lim[f(x, y)] = L, (x, y)→(a, b)。
二、分别求限法对于一些特殊的二元函数，我们可以通过将其中一个自变量固定，然后求另一个自变量趋于某个确定的常数，从而得到二元函数的极限。
1. 水平线法对于形如f(x, y) = F(x)的二元函数，我们可以先将其中一个变量固定，对另一个变量求极限。
例如，对于f(x, y) = x^2 + y，我们可以将y固定为某个常数c，然后对x进行求极限，即求lim[x^2 + c]。
通过求解这个一元函数的极限，我们可以得到f(x, y)的极限。
2. 垂直线法类似的，当二元函数f(x, y)中含有一个x和一个y的系数，且此系数仅与其中一个变量相关时，我们可以先固定一个自变量，再对另一个自变量进行求极限。
例如，对于f(x, y) = (x^2 + 2xy)/(3x)，我们可以将x固定为某个常数c，然后对y进行求极限，即求lim[(c^2 +2cy)/(3c)]。
三、使用一元函数的性质除了分别求限法外，我们还可以使用一元函数的性质来求解二元函数的极限。
1. 夹逼定理对于形如g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y)的二元函数，如果lim[g(x, y)] =lim[h(x, y)] = L，那么我们可以推断lim[f(x, y)] = L。
2. 代数运算法则对于一组二元函数f(x, y)和g(x, y)，如果lim[f(x, y)] = L1，lim[g(x, y)] = L2，则我们可以利用代数运算法则求解f(x, y)和g(x, y)的和、差、乘积和商的极限。
二元函数求极限的方法总结
二元函数求极限的方法总结二元函数求极限是微积分中的重要内容之一，它涉及到对两个变量同时进行极限运算。
在实际应用中，二元函数求极限的方法有多种。
下面将对常用的方法进行总结和拓展。
一、直接代入法：当二元函数在某一点的极限存在且可以直接代入，即函数在该点连续时，可以直接将函数值代入，得到极限值。
二、分别求极限法：当二元函数在某一点的极限不存在或者无法直接代入时，可以分别对两个变量进行极限运算。
即先对其中一个变量进行极限运算，然后再对另一个变量进行极限运算。
通过这种方法，可以得到二元函数在某一点的极限值。
三、路径法：路径法是一种常用的求二元函数极限的方法。
其基本思想是通过选择不同的路径，对二元函数在该路径上的极限进行求解。
如果在所有路径上的极限都存在且相等，则该极限即为二元函数在该点的极限。
常用的路径包括x轴，y轴，直线y=kx，抛物线y=x^2等。
通过选择不同的路径进行计算，可以帮助我们判断二元函数在某一点的极限是否存在。
四、夹逼定理：夹逼定理也适用于二元函数的极限求解。
当我们希望求二元函数在某一点的极限时，可以找到两个函数，一个函数上界大于该二元函数，一个函数下界小于该二元函数，并且两个函数在该点的极限相等。
利用夹逼定理可以得到二元函数在该点的极限值。
五、极限存在的条件：当我们希望判断二元函数在某一点的极限是否存在时，可以利用一些条件来进行判断。
常见的条件包括函数连续性、函数的有界性、函数的单调性等。
通过分析这些条件，可以得到二元函数在某一点的极限是否存在的结论。
总之，二元函数求极限的方法有多种，我们可以根据具体情况选择适当的方法。
通过深入理解这些方法，我们可以更好地进行二元函数的极限运算，并应用于实际问题中。
二元函数判断极限是否存在的方法
二元函数判断极限是否存在的方法引言在数学中，极限是一个重要的概念，用来描述函数在某一点（自变量趋于某一值）处的特性。
对于一元函数，我们已经熟悉了判断极限存在性的方法，但对于二元函数，我们需要使用不同的技巧和方法。
本文将介绍一些常用的方法来判断二元函数的极限是否存在，以帮助读者更好地理解该概念。
1.两个变量趋于同一点首先，我们来考虑当两个自变量同时趋于同一点时，二元函数的极限是否存在。
设函数为$f(x,y)$，当$(x,y)$趋于点$(x_0,y_0)$时，如果对于任意给定的数字$\v ar ep si lo n>0$，存在一个正数$\d e lt a>0$，使得当$0<\s qr t{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\d el ta$时，有$|f(x,y)-L|<\va re ps il on$成立，那么我们说函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的极限存在，且极限值为$L$。
这个定义与一元函数的极限定义类似，只是我们需要考虑自变量在平面上的趋近情况。
2.自变量趋于不同的点当两个自变量分别趋于不同的点$(x_0,y_0)$和$(a,b)$时，我们需要考虑函数在这两个趋近点个别情况下的极限情况。
2.1独立变量的极限我们首先来考虑当变量$y$趋于点$b$，而$x$保持不变时的极限情况。
设函数为$f(x,y)$，当$y$趋于$b$，$x$保持不变时，如果对于任意给定的数字$\va re ps il o n>0$，存在一个正数$\de lt a>0$，使得当$0<|y-b|<\de lt a$时，有$|f(x,y)-L_1|<\v ar ep si lo n$成立，那么我们说函数$f(x,y)$在$x=x_0$时关于$y$的极限存在，且极限值为$L_1$。
2.2同时趋近极限接下来，我们考虑在两个自变量分别趋于不同点的情况下，函数的极限是否存在。
二元函数极限的求法
二元函数极限的求法极限是数学上一个最重要的概念，它使数学分析得以完善，在研究函数的运动规律、研究定积分的收敛性及研究偏导数的存在性等等方面具有重要的作用。
本文将重点介绍极限在二元函数的求法。
首先，要界定极限的概念。
极限的概念表述为：当函数在某点取值时，其值接近于某值，而当其取值变得更加接近这点时，值不断接近此值，此时，该值称之为函数在此点的极限值。
其次，要熟悉极限求解中重要的求解方法，这些方法可任意组合使用，都可以得到极限值。
（1）直接求解直接求解是极限求解中最基本的方法，这一方法主要是通过函数的定义域，即函数的取值范围，直接判断函数的极限值。
在此过程中，根据函数的定义域，可以将函数的取值范围分为某些子集，然后根据这些子集的特点，立即判断函数的极限值。
（2）定义商的极限定义商的极限是极限求解中最常用的一种方法，它由极限的定义和定义积分引出，定义商极限表述为：设函数f(x)及g(x)在x=x0周围及x→x0方向可导，其中f(x)非零，则若存在某个极限，则使得 $$lim_{x→x_{0}}frac{f(x)}{g(x)}=L$$则称L为定义商的极限。
（3）极限的性质极限的性质是极限求解中一种重要的方法，可以通过函数的性质来求解极限。
这些性质可以大致分为下面几类：（a）绝对值函数的极限若函数f(x)中存在绝对值函数，$$|f(x)|$$，则$$|f(x)|$$任意一点具有一定的极限值，且满足：$$lim_{x→x_{0}}|f(x)|=|L|$$其中L即为绝对值函数f(x)的极限值。
（b）复合函数的极限若函数f(x)为复合函数，则f(x)具有一定的极限值，且满足： $$lim_{x→x_{0}}f(x)=L=f(L)$$其中L即为复合函数f(x)的极限值。
（c）连续函数的极限若函数f(x)在某一点x0处及x→x0方向上可连续，则f(x)具有一定的极限值，且满足：$$lim_{x→x_{0}}f(x)=L=f(x_{0})$$其中L即为连续函数f(x)的极限值。
求二元函数极限的几种方法
1.二元函数极限观点剖析定义 1 设函数f在D R2上有定义，P0是 D 的聚点， A 是一个确立的实数.假如关于随意给定的正数，总存在某正数,使得 P U0(P0; )I D 时，都有f (P) A,则称 f 在D受骗 P P0时，以A为极限，记lim f (P) A .P P0P D上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则limf ( x, y) f ( x0 , y0 ) .( x, y) (x0 , y0 )例 1求 f ( x, y) x22xy 在点(1,2)的极限 .解：因为 f ( x, y)x22xy 在点(1,2)处连续，所以lim f ( x, y)x 1y 2lim( x22xy)x 1y 2122125.例 2求极限 lim1．2y 2x , y1,1 2x解：因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即lim1= 1．x, y1, 1 2x2y 232.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，比如分母或分子有理化等.例 32xy 4求 limxyx 0y 02 xy 4解： limxyx 0y 0lim (2xy 4)(2xy4)xy(2xy4)x 0ylimxyxy(2xy 4)x 0ylim1x 0 2xy4y1 .4例 4lim(1 2x 2 )(13y 2 ) 1．2x2 3 y2x, y0 ,0解：原式lim1 2 x 2 1 3 y 211 2x2 1 3y 2 1x, y 0,0 2x23 y21 2 x21 3y21lim16x 2 y 2x, y0,01 2x 21 3 y 21 2x 23y 21 2x 21 3y 211 0 1 ．222.3 利用等价无量小代换一元函数中的等价无量小观点能够推行到二元函数. 在二元函数中常有的等价无量小 (u( x, y)0) ，有 sin u(x, y) : u( x, y) ；1 cosu( x, y) :u 2( x, y)；2ln 1 u( x, y) : u( x, y) ； tan u(x, y) : u( x, y) ； arcsin u( x, y) : u(x, y) ；arctan u( x, y) : u( x, y) ； n 1 u(x, y) 1 :u( x, y) ； e u( x, y ) 1 : u(x, y) ；同一元函n数相同，等价无量小代换只好在乘法和除法中应用 .例 51 x y 1求 limx yxy解： 当 x0 ， y0 时，有 xy 0 .1 x y 1 : 1( x y) ，所以2 lim 1 x y 1xyx 01(x y) lim2x yx 0y1 .2lim 1 x y 1x yx 0y 0lim1 x y 1( 1 x y 1)( 1 x y 1)这个例子也能够用恒等变形法计算，如：x 0 y 0lim11 x y 1x 0y 01 .22.4 利用两个重要极限sin u( x, y) 1lim1， lim 1 u( x, y) u( x, y ) e 它们分别是一元函数中两个重u( x, y)u (x , y) 0u ( x, y) 0要极限的推行 .x 2例 6求极限 lim(11) x y .xxyy a解： 先把已知极限化为x 2x 22xy( x y )lim(1 1 ) xlim(1 1，而 limxlimy) xyy)yaxyy axyx xy( xxxxa(1 y ay 当 x, ya 时 xy,1，所以 lim(1 1 )xy e. xyy axyxx 2lim (11)xy xy( x y)故原式 = x yaxy1e a .例 7 求 lim sin( xy) 极限 .x 0 xy a解：因为 sin( xy)y. sin( xy) ，当 x0, ya 时， xyxxysin( xy)1 ，再利用极限四则运算可得：xysin( xy)lim y.sin(xy)lim y. limsin( xy)a.·1= a .limxxyxyx 0x 0 y axy 0y ay a这个例子也能够用等价无量小代换计算，如：当 x 0 ， y a 时， xy 0 ， sin( xy) : xy .11 ,y ) y a x0 ，所以所以， lim sin( xy) lim xy lim y a.x x x 0 x 0 y ay a y a2.5 利用无量小量与有界量的乘积仍为无量小量的结论例 8 求 lim( 3x y)sin 1cos 1y 0 xyx 0解:因为 lim( 3x y) 0 是无量小量，x 0 y 0故可知 ， lim( 3 x y)sin 1cos 10.x 0 x yy 0例 9 求 lim( x 3)2 ( y 2)2 2x 3(x 3) ( y 2)y 2解原式 = lim (x 3)( y 2)2 (x 3)(x 3) 2( y 2)x 3y 2因为(x 3)( y2)(x3)2 ( y2)2(x 3)2( y 2)22 ( x 3)2( y 2)2lim( x 3) 0 是无量小量，x 3 y 2所以 ， lim ( x 3)2( y 2)0 .(x3)2 ( y 2) 2x 3 y21 1 是有界量 ，sin cos1 xy1 是有界量，又2固然这个方法计算实质问题上不那么多用，但计算对无量小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替代法经过变量替代能够将某些二元函数的极限转变为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单. 但利用时必定要知足下边的定理。
二元函数极限证明
二元函数极限证明二元函数极限是非常重要的数学概念，它在微积分、数学分析、数学物理等领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨二元函数极限的定义、性质和证明方法等内容。
一、二元函数极限的定义二元函数极限是指当二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处充分接近某一数L时，称f(x,y)以(x0,y0)为极限的极限为L。
其数学表达式为：lim f(x,y) = L (x,y) → (x0,y0)其中，x和y是自变量，f(x,y)是因变量，(x0,y0)是指自变量趋向的目标点，L是指当自变量趋向(x0,y0)时，因变量接近的目标数。
二、二元函数极限的性质1. 二元函数极限不存在的情况二元函数极限可能不存在，如果在(x0,y0)处存在不同的极限，或者不存在以(x0,y0)为中心的去心邻域，那么二元函数极限就不存在。
2. 二元函数极限存在的情况若二元函数在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义，并且存在常数L，使得对于任意给定的正实数ε，总存在正实数δ，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，就有|f(x,y)-L|<ε，那么就称L是二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限。
3. 二元函数极限等价于一元函数极限对于二元函数f(x,y)，可以将一个自变量看成定值，将另一个自变量看成另一个自变量的函数，则可以将二元函数极限转化为一元函数极限。
4. 二元函数极限具有唯一性如果二元函数在点(x0,y0)处存在极限，那么它的极限是唯一的。
三、二元函数极限的证明方法1. 利用定义证明根据极限的定义，可以利用ε-δ语言对二元函数的极限进行证明。
具体地，可以先假设在(x0,y0)处存在一个数L，然后对于任意给定的ε>0，都可找到一个正实数δ>0，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，有|f(x,y)-L|<ε。
最后证明这个数列L确实满足该条件，即证得二元函数在点(x0,y0)处的极限存在。
二元函数的极限
lim f ( P ) = A1 与 lim f ( P ) = A2
P → P0 P∈E2
都存在， 不存在． 都存在，但 A1 ≠ A2 , 则 lim f ( P ) 不存在．
P → P0 P∈D
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推论3 极限 lim f ( P ) 存在的充要条件是：D 中任 推论 存在的充要条件是：前页 后页 返回 二、累次极限在上面讨论的
( x , y )→( x0 , y0 )
lim
f ( x , y ) 中, 自变量 ( x , y )
是以任何方式趋于 ( x0 , y0 ) 的, 这种极限也称为重 这种极限也称为重 极限. 依一定的先后顺序, 极限 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序 相继趋 于 x0 与 y0 时 f 的极限 这种极限称为累次极限 的极限, 这种极限称为累次极限 累次极限.
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m 时，由于 f ( x , y ) = f ( x , mx ) = 2 , 因此有 1+ m m lim f ( x , y ) = lim f ( x , mx ) = . 2 ( x , y ) → (0, 0) x→0 1+ m
y = mx
的直线趋于原点时, 这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时 对应 的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在． 的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．
( x , y ) → ( x0 , y0 )
lim
f ( x , y ) = +∞ ,
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或
P → P0
lim f ( P ) = +∞ .
仿此可类似地定义： 仿此可类似地定义：