第三节 B-样条曲线与曲面

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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
续前页：
当t [ti2 ,ti3)时：
N i,3 (t )
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
ti3Байду номын сангаас t ti3 ti1
( t ti1 ti2 ti1
Ni1,1(t)
ti3 t ti3 ti2
控制顶点作用的局部化
０次(1阶)曲线
基函数？ １次？２次？…，k+1次？
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t
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续
1次曲线（2阶）
基函数？ 2次？3次？…，k+1次？
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t
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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
2阶B-样条基函数
K=2时的基函数
Ni,2 (t)
t ti ti1 ti
Ni,1(t)
ti2 t ti2 ti1
N i 1,1 (t )
t [ti ,ti2 )
t ti ti1 ti
t [ti ,ti1)
Ni,2 (t)
ti2 t ti2 ti1
t [ti1, ti2 )
N i 2,1 (t ))
ti3 t ti3 t ti3 ti1 ti3 ti2
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t ti t ti
ti2 ti ti1 ti
Ni,3 (t)
t ti ti2 ti
ti2 t ti2 ti1
ti3 t ti3 ti1
t ti1 ti2 ti1
ti3 t
ti3
ti 0
1
ti3 t ti3 ti2
t [ti ,ti1) t [ti1, ti2 ) t [ti2 , ti3 )
0
其它
N
i,
的图形
2
Ni,k (t)在区间 ti , tik 上有定义，称后者为前 者的支撑区间。
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Ni,2 (t)
K=２时定义的曲线示例
n
P(t) Pi Ni,2 (t) Pi i0
N
的图形
B-样条基函数的定义
de Boor-Cox定义： (约定：0/0=0)
t 给定参数t轴上的节点分割Tn,k
i
n k ，则如下的
i0
Ni,k称为Tn,k上的k阶（k 1次）B样条基函数
1
Ni,1(t) Ni,k (t)
0 t
tik 1
t [ti ,ti1) 其它
ti ti
N i ,k 1 (t )
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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
续前页：
当t [ti ,ti1)时：
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t ti ti2 ti
( t ti ti1 ti
Ni,1(t)
ti2 t ti2 ti1
N i 1,1 (t ))
第三节 B-样条曲线与曲面
▪ B-样条曲线定义及性质 ▪ B-样条曲线的离散生成 ▪ B-样条曲面
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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
分段参数多项式曲线分析
Hermit曲线
分段插值曲线 全局控制曲线 多项式次数与顶点数相关
Bezier曲线
Ni,1(t)在区间ti , ti1上有定义，称后者为前 者的支撑区间。
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K=1时定义的曲线示例
n
P(t) Pi Ni1(t) Pi i0
P0
P1
Pn
t1
ti
tn1
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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
t ti t ti ti2 ti ti1 ti
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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
续前页：
当t
[ti
1,
ti
）时：
2
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
t ti ti2 ti
( t ti ti1 ti
Ni,1(t)
ti2 t ti2 ti1
N i 1,1 (t ))
ti3 t ti3 ti1
( t ti1 ti2 ti1
Ni1,1(t)
ti3 t ti3 ti2
N i 2,1 (t ))
t ti ti2 t ti3 t t ti1 ti2 ti ti2 ti1 ti3 ti1 ti2 ti1
全局控制曲线 多项式次数与顶点数相关 拼接要求不易满足
局限性：全局控制
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B-样条曲线概念
控制顶点
Pi
控制多边形
n
P(t) Pi Nik (t) i0
B-样条基函数
B-样条曲线
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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
i,2
P0
P1
t0 t1 t2
ti
Pn tn1 tn2
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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
3阶B-样条基函数
K=3时的基函数
Ni,3(t)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
tik t tik ti1
N i 1,k 1 (t )，i
0,1,...,
n
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交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
1阶B-样条基函数
K=1时的基函数
1 Ni,1(t) 0
t [ti ,ti1) 其它
N i ,1 (t )
N i ,1 (t )的图形
t [ti ,ti3)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t [ti ,ti1)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
t [ti1, ti2 )
ti3 t
ti3 ti1 0
Ni1,2 (t)
t [ti2 , ti3 ) 其它