第三节 B-样条曲线与曲面
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
B样条曲线与曲面
四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21u 2 P i ＋1＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1端点位置矢量：)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。
b样条曲线曲面
B样条曲线的性质具体分析
• 1. 局部支柱性 B样条曲线与Bezier曲线的主要差别在于它 们的基函数。Bezier曲线的基函数在整个参 数变化区间内，只有一个点或者两个点处 函数值为零。而B样条的基函数是一个分段 函数，在参数变化范围内，每个基函数在tk 到tk+m的子区间内函数值不为0，在其余区 间为0，这一重要的特征称为局部支柱性。
• B样条的局部支柱性对曲线和曲面的设计有 两个方面的影响：一是第k段曲线段（p（t） 在两个相邻节点值[tk，tk+1）（m－1≤k≤n） 上的曲线段）仅仅由m个控制顶点Pk－m＋ 1，Pk－m＋2，…Pk控制。若要修改该段 曲线，仅修改这m个控制顶点即可。二是修 改控制顶点Pk对B样条曲线的影响是局部的。 对于均匀m次B样条曲线，调整一个顶点Pk 的位置只影响B样条曲线p（t）在区间[tk， tk+m）的部分，即最多只影响与该顶点有 关的m段曲线。局部支柱性是B样条最具魅 力的性质。
由于Bk,m(t)的各项分母可能为0，所以这里规定 0/0=0。m是曲线的阶参数，（m－1）是B样条曲 线的次数，曲线在连接点处具有（m－2）阶连续 性。tk是节点值，T＝（t0，t1，…tn＋m）构成了 m－1次B样条函数的节点矢量，其中的节点是非减 序列，所生成的B样条曲线定义在从节点值tm－1 到节点值tn+1的区间上，而每个基函数定义在t的 取值范围内的tk到tk＋m的子区间上。从公式可以 看出，仅仅给定控制点和参数m不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定节点矢量来获得基函数。
B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法二
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论 2次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 3次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
பைடு நூலகம்
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
Bezier实现高速列车外形
作业2：
第一部分 自由曲面设计理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
华中科技大学大学CAD技术及应用 第三部分 曲线曲面基础
Q2 Q1 Q2 Q0
Q3
Q0
Q3
Q1
4) 凸包性
即Bezier曲线不会越出特征多边形的顶点所围成的凸包
三次Bezier曲线示例
三次Bezier曲线的计算及绘制
在参数空间t∈[0,1]进行均匀插值，计算对应的坐标点，然 后连接成线，这条线就是折线逼近的Bezier曲线
Inventor
Pro/E
UG NX
CATIA
曲线、曲面基础理论
1、 认识曲线与曲面 2、 曲面造型的发展历程 3、 曲线曲面的参数表达 4、 Bezier曲线与曲面 5、 B样条曲线与曲面 6、 NURBS曲线与曲面 7、 曲面的其它表达 8 、曲面求交算法 9、 CAD系统中的曲面造型方法
解析曲面（代数曲面）
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段 参数方程可表示为： P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t t∈[0, 1];
参数表示优点
• • • 易于规定曲线、曲面的范围。
曲线曲面表示的几何不变性 是指它们不依赖于坐标系的 选择或者说在旋转和平移变 换下不变的性质
易于满足几何不变性的要求，可以对参数方程直接进行几 何变换，节省计算量。
• 1971 年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了 一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。
Note: C2 continuous, More flexible shape control with several control points.
• 1 9 7 4 年 ， 美 国 通 用 汽 车 公 司 的 戈 登 （ Gorden） 和 里 森 费 尔 德 （Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。
B样条曲线
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
Q21 Q22
Q31 Q32
Q03 Q13 Q23 Q33
u
Q30 Q20
Q10 Q00
Q01
w
Q31
Q11Q21
Q32 Q22 Q33
Q02 Q12Q13Q23
Q03
由曲线拓展为Bézier曲面
给定空间16个位置点bij，可以确定 一张三次Bezier曲面片。
rij
u
首先生成四条v向的三次Bezier曲线：
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
Pn
0
Pn1
P0m J0,m (v)
P1m
J1,m
(v)
Pnm
J
m,m
(v)
B样条曲线曲面
第二章三维形态基本建模方法第一节形体的空间定位及表示方法一、空间、物体和结构我们每天的生活发生在三维环境中，而且充满着三维物体，我们总是看到、感到三维。
当设计实体模型时，我们通常认为许多事情理所当然。
但在用计算机对三维场景模型化时，那么我们不得不熟悉大量的计算机软件工具，这些工具可用于模型化物体和环境。
在描述三维场景的三维模型化软件中使用的许多基本约定是基于各种行业中使用的传统约定。
例如，建筑师为了用一个简明的方法表达他们设计的空间，使用各种涉及测量、构图和定序的约定。
即使简单的矩形房间设计也要测量多次，以便于房间的所有构件放在被设计放置的地方。
此外，为了准确地按照设计师的图纸来建造，泥瓦工需要进行测量。
多年来泥瓦工和建筑师已形成约定，如何测量空间、建造物体、在结构中安装，它们的约定是精确、简洁的。
我们用类似的约定来描述用一个计算机程序模拟的三维空间中物体的尺寸、位置和次序。
让我们从定义空间或场景的边界开始三维空间的定义，最简单的方法是想象我们是在一个大立方体内工作。
可以将这个立方体当作我们的空间或环境。
在这个立方体中的物体是可见的，在其外部的物体是不可见的。
在这个空间中的主参考点称为主空间原点。
这个原点通常位于这个空间的中心。
根据模型需要和方案，该点也可放在或重新放在其他点上。
所有三维空间都有3个基本的维：宽度、高度和深度。
表达三维空间中这些维的普遍方法是使用箭头或轴。
通常用字母X表示标记三维空间宽度的轴；用Y表示标记三维空间高度的轴；用Z表示标记三维空间深度的轴。
这三个轴交叉的空间点就是主坐标原点。
直角坐标系可以用来定义三维空间中特定的位置，精确定位三维空间中物体的点。
René Descartes是一位18世纪法国的哲学家和数学家，他正式使用标记为X、Y、Z的3个轴表示三维空间中维的思想。
他推导出的坐标系称为笛卡尔坐标系，在该系统中每个轴被分成许多测量单位。
原理上，这些单位是抽象的值，它可表示不同的测量单位和维刻度。
(整理)Catia--曲面设计.
第一章曲面设计概要1、曲面造型的数学概念：（1）、贝塞尔（Bezier）曲线与曲面：法国雷诺的Bezier在1962年提出的，是三次曲线的形成原理。
这是由四个位置矢量Q0、Q1、Q2、Q3定义的曲线。
通常将Q0，Q1，…，Qn组成的多边形折线称为Bezier控制多边形，多边形的第一条折线与最后一条折线代表曲线起点和终点的切线方向，其他折线用于定义曲线的阶次与形状。
（2）、B样条曲线与曲面：与Bezier曲线不同的是权函数不采用伯恩斯坦基函数，而采用B样条基函数。
（3）、非均匀有利B样条（NURBS）曲线与曲面：NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写。
Non-Uniform（非统一）指一个控制顶点的影响力的范围能够改变。
当创建一个不规则曲面的时候，这一点非常有用。
同样，统一的曲线和曲面在透视投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说，这是一个严重的缺陷。
Rational（有理）指每个NURBS物体都可以用数学表达式来定义。
B-Spline（B样条）指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内差值替换。
（4）NURBS曲面的特性及曲面连续性定义：NURBS曲面的特性：NURBS用数学方法来描述形体，采用解析几何图形，曲线或曲面上任何一点都有其对应的坐标（x,y,z），据有高度的精确性。
曲面G1与G2连续性定义：Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。
●G0：两个对象相连或两个对象的位置是连续的。
●G1：两个对象光滑连接，一阶微分连续，或者是相切连续的。
●G2：两个对象光滑连接，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。
●G3：两个对象光滑连接，三阶微分连续。
●Gn的连续性是独立于表示（参数化）的。
2、检查曲面光滑的方法：①、对构造的曲面进行渲染处理，可通过透视、透明度和多重光源等处理手段产生高清晰度的、逼真的彩色图像，再根据处理后的图像光亮度的分布规律来判断出曲面的光滑度。
08_B样条曲线曲面
1 2 F ( t ) ( 1 t ) 0, 2 2 将 代入 P ( t ) 1 2 F1, 2 ( t ) ( 2t 2t 1) 2 F (t ) 1 t 2 2, 2 2
重要
PF
为了使P(t)能过P(i)点，只要使
Pi ,Pi 1 ,Pi 2 重合
尖点也可通过三重节点的方法得到 Pi ,Pi 1 ,Pi 2 为了使曲线和某一直线L相切，只要取
位于L上及
ti 3
的重数不大于2。
三次B样条曲线的一些特例
节点矢量：分为三种类型：均匀的，准均匀/开放均匀的和 非均匀的；
P ( t ) Pi Fi ,n ( t )
n
t [0,1]
i 0,1,, n
叫做n次B样条曲线段。
i 0
P ( t ) Pi Fi ,n ( t )
i 0
n
t [0,1]
i 0,1,, n
1 n i j j n 其中： Fi ,n ( t ) ( 1 ) C ( t n i j ) n1 n! j 0
B样条（Spline）曲线
在实际应用中，以Bernstein基函数构造的Bezier曲线有 许多优越性，但同时也存在一些缺点，主要有两点不足 之处： （1）其一是Bezier曲线不能作局部修改，即改变某一个 控制点，对整个曲线都有影响； （2）其二是当n较大，控制点较多时，Bezier曲线使用 起来不方便，即对曲线的控制减弱。若使用分段三次 Bezier曲线代替n阶Bezier曲线，则对控制点必须附加某 些条件，拼接比较复杂，也不便于使用。其原因是调和 函数在（0，1）的整个区间内均不为零。
第11-12讲 非均匀有理B样条曲线与曲面
上课内容
区间非零
次数p=2
顶点数n+1=4+1 M=n+p+1=4+2+1节点数m+1=8次数p=3
顶点数n+1=6+1
M=n+p+1=6+3+1
节点数m+1=11
9/17
11/17
例题:
三、NURBS 曲线形状的修改
（1）NURBS 曲线形状是由那些因素决定的？实际应用中，若要对NURBS 曲线作局部修改，一般可采取什么办法？
（2）如题图所示，由顶点V 0、V 1、V 2、V 3、V 4、V 5构造NURBS 曲线，改变顶点V 3所对应的权因子ω3得到的三条不同形状的曲线，B ，N ，B i 分别是ωi =0，ωi =1，ωi ≠{0,1}的对应曲线上的点。
1) 请写出ω3与点B ，N ，B i 及V 3四点之间的关系。
2) 定性分析ωi 对曲线形状的影响。
12/17圆锥曲线、圆弧及圆的NURBS 表示
CSF=ω2/ωω,
优弧、半圆可以利用重节点将两段、三段劣弧拼接组成。
内部重节点的一种给法：采用二重节点（端点仍为三重）
18/17。
B样条
1 Bi ,1 ( t ) = 0
ti Bi,2(t) ti+1 Bi,3(t) ti+1 ti+2 Bi+1,2(t) ti+2 Bi+1,3(t) ti+3 ti+4 ti+3 ti+4
t i <= t < t i +1 其他
1
B i（ = ， 2 t）
t − ti t −t Bi ,1 (t ) + i + 2 Bi +1,1 (t ) t i +1 − t i t i + 2 − t i +1
(ti , ti + k ) 上不为零，
所以曲线 P (t ) 在区间 (ti , ti +1 ) (k − 1 ≤ i ≤ n)
，
Pi 有关。 上的部分只与控制顶点 Pi −k +1 Pi −k + 2 反过来，如果只变动某一个控制顶点 Pi ( 0 ≤ i ≤ n) 曲线上只有局部形状发生变化，其他部分均 不发生变化。
，…，
P1 P4 P7
P2
P6
P′4 P0 P3
P5 P″4
图8-16 B样条曲线的局部支柱性
(2) 仿射不变性 B样条曲线和Bézier曲线一样，也具有仿射不 变性，即曲线 P (t ) 的形状和位置与坐标系的选择 无关。 (3) 分段参数多项式 P (t )在每一区间 [ti , ti +1 ](k-1≤i≤n)上都是次数不高 于k-1次的参数t的多项式曲线，所以 P (t ) 在 [tk −1 , tn +1 ] 上是关于参数t的分段多项式曲线。 (4)连续性 P (t ) 在L重节点 ti(k≤i≤n)处的连续阶不低于 k-1-L。整条曲线 P (t ) 的连续阶不低于 k − 1 − lmax ,其 中 lmax 表示位于区间 [tk −1 , tn+1 ]内节点的最大重数。
B-样条曲线
Ni1,2 (t)
t [ti1, ti2 )
ti3 t
ti3 ti1 0
Ni1,2 (t)
t [ti2 , ti3 ) 其它
整理课件
16
续前页：
当t [ti ,ti1)时：
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t ti ti2 ti
( t ti ti1 ti
B-样条曲线示例
整理课件
11
1阶B-样条基函数
K=1时的基函数
1 Ni,1(t) 0
t [ti ,ti1) 其它
N i,1 (t )
Ni,1(t)的图形
Ni,1(t)在区 ti,ti1 间 上有定义者 ，的 称支 后撑 者
整理课件
12
K=1时定义的曲线示例
n
P(t) PiNi1(t)
Pi
• K=3时的基函数
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
t [ti ,ti3)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t [ti ,ti1)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
其它
Ni,k(t)在区 ti,tik 间 上有定义， 者称 的后 支者 撑
整理课件
20
3阶B-样条基函数图形
N i,3 (t)
Ni,3(t)的图形
整理课件
21
3阶B样条曲线示例
t2
tn1
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
整理课件
讲 B样条曲线曲面 NURBS曲线曲面PPT课件
三次Hermite曲线---弗格森 了解内容
a 0 0 0 11 Pk
C
b
1
c 0
d
3
1 0 2
1 1 1
1
Pk
1
0 0
Rk Rk 1
Mh是Hermite矩阵。
。 Gh是Hermite几何矢量
2 2 1 1 Pk
3
0
1
3 0 0
2 1 0
1
0
0
Pk
1
Rk Rk 1
局部性质。 局变差减小性质。 凸包性。 在仿射与透射变换下的不变性。 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。
13
第13页/共33页
NURBS曲线---性质
如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。
若
，则当
时，非有理与有理Bezier曲线和非
有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况
i
P67-68
8
第8页/共33页
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
7
第7页/共33页
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
第7讲-B样条曲线曲面-NURBS曲线曲面
P(u, v)
i0 j0 mn
Pij Ri, p; j,q (u, v)
ij Ni, p (u)N j,q (v) i0 j0
i0 j0
u, v [0,1]
Ri, p; j,q (u, v)
m
ij Ni, p (u)N j,q (v)
n
rs Nr, p (u)Ns,q (v)
r0 s0
19
8
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
n
i Pi Ni,k (t) nP(t) Fra biblioteki0 n
Pi Ri,k (t)
i Ni,k (t) i0
i0
Ri,k (t)
i Ni,k (t)
n
j N j,k (t)
j0
12
NURBS曲线---性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：
局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti, ti+k]
P67-68
9
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
B-Spline(B-样条线)精品PPT课件
第4章 自由曲线曲面
4.1 概述 4.2 参数曲线基础 4.3 曲线曲面拟合方法 4.4 参数多项式曲线 4.5 三次Hermite曲线 4.6 Bezier曲线 4.7 B样条曲线
9
4.2参数曲线基础
曲线的表示形式
非参数表示
显式表示
y f (x)
z
g(x)
隐式表示 f (x, y, z) 0
称为调和函数
曲线可将简化为：
P(t)
G•
M
•T
H0 P0
H1P1
H
2
P' 0
H
3
P' 1
t [0,1]
33
4.5三次Hermite曲线
其矩阵表示形式为：
2 2 1 1 P0
P(t) t3 t2 t 1 3
3
2
1
P1
0 0 1 0 P0'
1
0
0
0
P1'
t [0,1]
34
4.5三次Hermite曲线
对形状数学描述的要求？ 从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性 （2）几何不变性
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟 合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
5
4.1概 述
（3）易于定界 （4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库 标量函数：平面曲线 y = f(x)
空间曲线 y = f(x) z = g(x)
生成方法
插值
点点通过型值点 插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插 值
逼近
提供的是存在误差的实验数据
最小二乘法、回归分析
拟合
提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点
三次B样条曲线
所以，根据式：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,n
(t )
二次 Bezier 曲线的表达形式为：
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （０≤t ≤ 1)
根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2阶B-样条基函数
K=2时的基函数
Ni,2 (t)
t ti ti1 ti
Ni,1(t)
ti2 t ti2 ti1
N i 1,1 (t )
t [ti ,ti2 )
t ti ti1 ti
t [ti ,ti1)
Ni,2 (t)
ti2 t ti2 ti1
t [ti1, ti2 )
Ni,1(t)在区间ti , ti1上有定义，称后者为前 者的支撑区间。
2020/7/1
7
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
K=1时定义的曲线示例
n
P(t) Pi Ni1(t) Pi i0
P0
P1
Pn
t1
ti
tn1
2020/7/1
8
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
0
其它
N
i,
的图形
2
Ni,k (t)在区间 ti , tik 上有定义，称后者为前 者的支撑区间。
2020/7/1
9
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
Ni,2 (t)
K=２时定义的曲线示例
n
P(t) Pi Ni,2 (t) Pi i0
N
的图形
第三节 B-样条曲线与曲面
▪ B-样条曲线定义及性质 ▪ B-样条曲线的离散生成 ▪ B-样条曲面
2020/7/1
1
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
分段参数多项式曲线分析
Hermit曲线
分段插值曲线 全局控制曲线 多项式次数与顶点数相关
Bezier曲线
B-样条基函数的定义
de Boor-Cox定义： (约定：0/0=0)
t 给定参数t轴上的节点分割Tn,k
i
n k ，则如下的
i0
Ni,k称为Tn,k上的k阶（k 1次）B样条基函数
1
Ni,1(t) Ni,k (t)
0 t
tik 1
t [ti ,ti1) 其它
ti ti
N i ,k 1 (t )
2020/7/1
11
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
续前页：
当t [ti ,ti1)时：
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t ti ti2 ti
( t ti ti1 ti
Ni,1(t)
ti2 t ti2 ti1
N i 1,1 (t ))
2020/7/1
13
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
续前页：
当t [ti2 ,ti3)时：
N i,3 (t )
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
( t ti1 ti2 ti1
Ni1,1(t)
ti3 t ti3 ti2
ti3 t ti3 ti1
t ti1 ti2 ti1
ti3 t
ti3
ti 0
1
ti3 t ti3 ti2
t [ti ,ti1) t [ti1, ti2 ) t [ti2 , ti3 )
t [ti ,ti3)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t [ti ,ti1)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
t [ti1, ti2 )
ti3 t
ti3 ti1 0
Ni1,2 (t)
t [ti2 , ti3 ) 其它
t ti t ti ti2 ti ti1 ti
2020/7/1
12
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
续前页：
当t
[ti
1,
ti
）时：
2
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
tik t tik ti1
N i 1,k 1 (t )，i
0,1,...,
n
2020/7/1
6
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
1阶B-样条基函数
K=1时的基函数
1 Ni,1(t) 0
t [ti ,ti1) 其它
N i ,1 (t )
N i ,1 (t )的图形
N i 2,1 (t ))
ti3 t ti3 t ti3 ti1 ti3 ti2
2020/7/1
14
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
t ti t ti
ti2 ti ti1 ti
Ni,3 (t)
t ti ti2 ti
ti2 t ti2 ti1
全局控制曲线 多项式次数与顶点数相关 拼接要求不易满足
局限性：全局控制
2020/7/1
2
B-样条曲线概念
控制顶点
Pi
控制多边形
n
P(t) Pi Nik (t) i0
B-样条基函数
B-样条曲线
2020/7/1
3
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
i,2
P0
P1
t0 t1 t2
ti
Pn tn1 tn2
2020/7/1
10
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
3阶B-样条基函数
K=3时的基函数
Ni,3(t)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
t ti ti2 ti
( t ti ti1 ti
Ni,1(t)
ti2 t ti2 ti1
N i 1,1 (t ))
ti3 t ti3 ti1
( t ti1 ti2 ti1
Ni1,1(t)
ti3 t ti3 ti2
N i 2,1 (t ))
t ti ti2 t ti3 t t ti1 ti2 ti ti2 ti1 ti3 ti1 ti2 ti1
控制顶点作用的局部化
０次(1阶)曲线
基函数？ １次？２次？…，k+1次？
2020/7/1
t
4
交互式计算机图形学-Interactive Computer Graphics
续
1次曲线（2阶）
基函数？ 2次？3次？…，k+1次？
202图形学-Interactive Computer Graphics