常微分方程及其应用 (周义仓 著) 科学出版社_khdaw

dx
dx 2
dx 3
1） r = − 2 ;，2） r = ±1 ，3） r = 2 或 r = −3 ，4） r = 0 或 r = 1 或 r = 2
12. 同上我们很容易得到： dy =rxr-1, d 2 y =r(r-1)xr-2，代入微分方程
dx
dx 2
m 1）(r(r-1)+4r+2) xr =0, 则 r=-1 或 r=-2;
−
y y'
2
)
+(y
−
xy' )2
=
l2
(3) xy' + y = 0
(4) ( y − xy' )(x − y ) = 2a2 (5) y − xy' = x2
y'
提示：过点 (x,
y) 的切线的横截距和纵截距分别为
x
−
y y'
和
y
−
xy' 。
m 2.设 0 时刻的质点的在平衡处，坐标轴为一平衡位置为原点，竖直向下为轴的方
. 8．提示：作逐步逼近函数序列，φ0 (x) = f (x)
w b
∫ φn+1 (x) = f (x) + λ K (x,ξ )φn (ξ )dξ , n = 0,1,2,.... a
da 9．提示：首先判断出满足唯一性条件的
h,L 和
M，由 φn (x) − φ (x)
≤
MLn (n + 1)！h
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令 h(x) = ψ (x) − φ (x) ，则 h(x0 ) = 0 ， h(x) 连续可导，由于 f (x0 , y0 ) < F (x0 , y0 )
h' (x0 ) > 0 ，故在 x0 的一个邻域内必有 h(x) > 0 ，若有一点 x1 ，x1 > x0 ，使得 h(x1 ) = 0 ，
o 2）(r(r-1)-4r+4)xr=0,
则 r=1 或 r=4;
13. 1）y=0 或者 y=a/b 为其两个常数解；
2）函数单调增，即：y(a-by) ≥ 0 解得：0 ≤ y ≤ a/b;
c 函数单调减，即：y(a-by) ≤ 0 解得：y ≥ a / b 或 y ≤ 0 ;
. 3）微分方程通解是：
7），2 阶非线性；8） 1 阶非线性；
9．带入验证（略）
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10. 1) 通解：y=x2+c,c 为任意常数；2）特解为：y= x2+3； 3）y= x2 +4，4）y=x2+5/3;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
11. 很容易得到： dy = rerx ， d 2 y =r2erx, d 3 y =r3erx，代入微分方程
− (x + 2) + x2 + 4x + 4 y = − (x + 2) + (x + 2(c + 1))2 = c = y′
2
2
因此 对任意常数 c y = c 2 + cx + 2c + 1是方程的解，在 C ≤ − 1 时满足 2
把 y = − x(x + 4) 带入方程中易得： y = − x(x + 4) 也是方程的解。
和
x
≠
2kπ
+
5π 6
时存在。对于
y(π )
=
y0
，当 ly0l
> 1时，区间任意，当
. y0 是其它的情况是，只要满足分母不为零即可。
w11.当 y0 ≠ 1 且 y0 ≠ 0 时，极限存在且为－1；y＝0 时，极限时 0；y=1 时，极限是 1。
w12. φn(x) −φ(x)
≤
MLn (n + 1)!
向，
o 设弹簧的弹性系数为 k,根据能量守恒定律
我们得到微分方程：:m( dx )2+kx2=2mgx,x(0)=0, dt
c 3.如上建立坐标系，设任意时刻物体的位置为 x(t),由牛顿运动定律，
我们得到微分方程：md2x/dt2=mg-k dx ,其中 g 为重力加速度;
. dt
4.设任意时刻物体的温度为 T(t),由牛顿冷却定律，
2）该方程的等倾线方程为：2x-y=c 其中 c 为常数
wwi) c=1.
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.com ii)c=2
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w.khdaw 3) f(x,y)=2x-y=0 所以极值曲线为：y=2x; w4)显然 y=2x-2 是原微分方程的一个解，则为其一条积分曲线，
y( x)
=
b
+
a ce −ax
所以拐点的y坐标为a/b;
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aw 4) （略）
返回目录 答案 1.2
1．（1） y ≠ x R2 （2） y ≠ 0 （3） R2 （4） y ≠ x
d ∫ 2．（1）
y0 (x)
= 1，
y1 (x)
=
x 0
(s2
+ 1)ds
=
1 3
x3
+
x
kh ∫ y2(x)
n+1
<
0.05 判
断出要进行的迭代次数 n，应用 Picard 迭代即可，答案是
h φ(x) = 1 x3 + 1 x7 + 2 x11 + 1 x15 3 63 2079 59535 答案 1.3
返回目录
k 1 我们还是在以原点为中心的矩形 R={(x,y)| x ≤ 1, y ≤ 1 }内画方程的向量场和积分曲线：
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. 二个解是当 y>0 时才成立的。
6.证明：把 y = φ (x) 代入方程有， dφ (x) = f (φ (x)) ，令 x → x + 1代入，则得证。区间是 dx
w a − c < x < b − c
7.解：设 t 时刻书体的速度是 v(t),则物体的运动方程是 dv = −g ，到达最高点的时间是 2 秒，
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2009-10-15
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1.(1) (x, y) y' = y + xtgα x − ytgα
答案 1.1
(2) (x
4
4
3.
m 1) y= x2 ，2)y= e5x ，3)y=x2/2，4)y=2，5)y=ex，6) y = x
o 7) y=sin x ，8)y=ex,
4.代入验证即可，y=cx+ c 2 ,
c 5.将 y=0， y = x4 /16 带入方程，易证是方程的解，此结果与存在唯一性不矛盾，因为第
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. 程序如下：DEtools[phaseportrait] ([diff(y(x),x)=x/y],y(x),x= -1..1, [[y(-1)=1],[y(-1)=0],[y(-1)= -1]], wdirgrid=[33,33], Arrows=LINE, wAxes=NORMAL);#其余三个只需把初值和函数还一下即可
=
x
[s 2
0
+
(1 3
x3
+
x)]ds
=
2 3
x3
+
2 15
x5
+
1 63
x7
x
.∫ （2） y0 (x) = 0 ， y1(x) = esds = ex −1， 0
w∫ y2(x)
=
x 0
(e 2 s
− es
+ 1)ds
=
1 2
e2x
− ex
+
x
+
1 2
w3．（1）证：取 a
=
1
，在矩形区域 R
t
t
∫ ∫ 对 f ' (t) = f (t)g(t) 积分，则得 M = C exp( g(s)ds) ，因此 f (t) ≤ C exp( g(s)ds)
0
0
m 6．提示：和 3 题的证明类似。应用定理及 f (x, y) 偏导存在
o 7．证明：假设在 x ≥ x0 一侧有两个解 y1(x)和y2 (x) ，且 y1 > y2 ，则由 f (x, y) 是 y 的非
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（2），（3），（4）的证明和（1）相同（略）
4．提示：代φ (x),ψ (x) 到微分方程验证即可。
5．证明：对条件中的不等式进行求导有： f ' (t) ≤ f (t)g(t) ，∵ f (t), g(t) 在区间上是非负
连续的，∴ f (x) 是单调减少的，即在区间上有最大值 M。现在再求最大值
2 dy 2
dy
w5) x[y dy + (dy )2 ] − y dy = 0 ，6) ρ sinθ = (1− cosθ ) dρ ，7) dy = −tgt dx
w dx dx
dx
dθ
dt
dt
8. 1），2 阶线性 ；2）2 阶非线性；3）2 阶非线性；4）m 阶线性；
5），1 阶若 f(x,y)关于 y 是线性的，则线性；否则，非线性；6），3 阶同左；
w又因为原微分方程的解为：
y(
x
)
=
2
x
−
2
+
( −x )
e
_C1
也即原微分方程的积分曲线，当 x → ∞ 时，y(x) → 2x − 2
所以y=2x-2 是其它积分曲线的渐近线。
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答案 1
1.1）是，2）是，3）是，4）是
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2. 把 y = c 2 + cx + 2c + 1带入得到
=
⎨⎧( x,
y) |
x
≤
1 ,
y
≤
b⎬⎫ 上，
f
(x, y)
=
y2
+ cos x 2
w2
⎩
2
⎭
连续，且关于 y
有连续的偏导数，计算 M
=
max
f
(x, y)
=1+ b2 ，h
=
min
⎧ ⎨ ⎩
1 2
,
1
b +b
2
⎫ ⎬
，
⎭
由此可见，h 是有界的，由解的存在唯一性定理，知初始值问题的解是存在唯一的。
w 我们得到微分方程：
dT (t dt
)
=-k(T(t)-A),T(0)=T0,其中
k
为比例系数，
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解该方程得到：T(t)=A+(T0-A) e−kt ;
a 5.以静止时刻物体的位置为轴的零点，沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时 刻物体的速度为 v(t),根据牛顿运动定律，我们得到微分方程：
adt
高度是 30 米。
d 8.（1）水面随时间变低（3）设 t 时刻液面高度是 h(t)，由体积相等有 − a2v = R2 dh dt
9. 没有变化
h 10.解分别是： y =
1
和y=
1
，第一个解在任意区间均存在，第二个
(2 − sin x)3
(1 − sin x)3
2
k 解在
x
≠
2kπ
+
π 6
(
x
−
x0
)
n+1
，其中
M=max
f (x, y) ,L 是 Liapunov 常数
w13 反证法（略）
x
∫ 14.Picard 迭代函数是φn (x) = [(s + 1 + φn−1 (s)]ds ，φ0 = 0 ，极限是 y = 2e x − 2 − x
0
15.证明：反证法，我们只证明 x > x0 的情况，小于的情况类似。
d dv = 3g ,v(0)=0;
dt 2
hdy(x)
k 6．微分方程是 y(x) =
2 dx
op − x ( dy(x))2 − 1
dx
. 7. 1) x dy = 2y ，2) dy = y ，3) d 2 y = dy
dx
dx
dx dx
w4) c = 3x2 d 2x + 3x(dx)2 ，代入略
程答案（全）【k
题答案(微观.宏观
(茆诗松 著) 高
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浩强 著) 清华大
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w1）
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w32））ww.khdaw.com
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com 4） w.khdaw. 2 1) f(x,y)=2x-y 显然在 xy 平面上连续, f(x,y1)-f(x,y2) = y1- y2 满足局部 Lipschitz 条件
c 增函数，因此 f (x, y1) − f (x, y2 ) ≤ 0 ，即 ( y1 − y2 )' ≤ 0 ，可以得出 y1 − y2 是非增的，而
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在 x0 点有 y1 (x0 ) − y2 (x0 ) = 0 ，这与 y1 (x) > y2 (x) 矛盾，假设不成立，只有一解