样本及统计量.
概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
统计量的基本概念及其应用
统计量的基本概念及其应用统计学是指以收集、整理、分析、解释和抽样等方法，研究群体总体特征和个体间关系的一门学科。
而统计量就是指统计学研究中所使用的各种数字指标和计算结果，是对数据的描述和度量。
本文将从统计量的基本概念和应用方面进行讨论。
一、统计量的基本概念1.1 样本与总体在统计学研究中，数据的来源通常是从总体中随机选择一些样本来进行研究。
总体是指具有一定特征的全部个体，如全国所有人口；而样本是指从总体中随机抽取的一部分，如全国人口中的一部分。
1.2 中心趋势指标中心趋势指标用于描述数据分布的中心，通常包括平均数、中位数、众数等指标。
平均数是指数据的算术平均值，是最常见的中心趋势指标；中位数是指数据排序后中间的数值；众数是指数据中出现最频繁的数值。
1.3 离散程度指标离散程度指标用于描述数据的分布程度，通常包括方差、标准差、极差等指标。
方差是指数据离平均数的距离的平方和与数据个数的比值；标准差是方差的正平方根，用于描述数据的离散程度，越大说明数据分布越分散；极差是指数据的最大值与最小值之差。
1.4 偏态和峰态偏态用于描述数据分布的不对称程度，通常包括正偏态和负偏态。
正偏态是指数据分布呈现右偏的形态，即数据的平均数大于中位数；负偏态则是呈现左偏的形态，即数据的平均数小于中位数。
峰态用于描述数据分布的峰度，通常包括正峰态和负峰态。
正峰态是指数据分布的波峰较高，呈现比较尖锐的形态；负峰态则是波峰较平缓的形态。
二、统计量的应用2.1 假设检验假设检验是统计学中常用的应用之一，用于验证某个假设是否成立，如判断一个新的药品是否有效。
在进行假设检验时，需要确定一个零假设和一个替代假设，通过计算统计量的值来决定是否拒绝零假设。
2.2 方差分析方差分析也是统计学中的一种应用，主要用于分析多个样本间的差异，如比较不同地区、不同年龄段和不同性别的人口数据。
在进行方差分析时，通常需要计算F值和P值，以判断不同样本间的方差是否有显著性差异。
样本与统计量
§5 样本与统计量
第五章 样本与统计量
第一节 样本与统计量 第二节 数据旳简朴处理 第三节 统计量旳分布
§5 样本与统计量
在数理统计中, 研究对象旳全体称为总体或母 体, 而构成总体旳每个单元称为个体.
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中心问题是降低误差, 降低犯错旳可能性. 统计推断是 “数理统计”(属理科)旳主要内容.
/descriptive statistics /inferential statistics
§5 样本与统计量
描述统计与推断统计旳关系
概率论
反应客 观现象 旳数据
样本数据
描述统计
(数据旳搜集, 整
卫生统计学名词解释
卫生统计学名词解释一、基础概念1.总体（Population）：在一定时空范围内同质的所有观察单位或个体的集合。
2.样本（Sample）：从总体中随机抽取的一部分观察单位的集合。
3.变量（Variable）：观察单位的基本特征或特性，可以分为定量变量和定性变量。
4.总体参数（Population Parameter）：描述总体特征的概括性数值，如总体均数、总体率等。
5.样本统计量（Sample Statistic）：描述样本特征的数值，如样本均数、样本率等。
二、资料类型与搜集方法1.计数资料（Count Data）：通过计数或分类得到的资料，一般用相对数（率）表示。
2.计量资料（Measure Data）：通过测量得到的数值资料，一般用均数、中位数等表示。
3.等级资料（Ordinal Data）：具有一定顺序或等级的资料，一般用等级或有序分类表示。
4.调查法（Survey Method）：通过问卷、访谈等方式收集资料的方法，常用于大样本调查。
5.实验法（Experimental Method）：通过实验设计、随机分组等方式收集资料的方法，常用于实验研究。
6.观察法（Observational Method）：通过观察记录收集资料的方法，常用于临床观察、生态学研究等。
7.纵向研究（Longitudinal Study）：对同一组观察单位在不同时间点进行重复观察的方法，可获取纵向数据。
8.横向研究（Cross-sectional Study）：在某一时间点对不同组观察单位进行同时观察的方法，可获取横截面数据。
9.随机抽样（Random Sampling）：按照随机原则从总体中抽取样本的方法，保证每个观察单位被抽中的概率相等。
10.系统抽样（Systematic Sampling）：按照某种规则或顺序从总体中抽取样本的方法，如每隔一定数量的观察单位抽取一个样本。
三、卫生统计学方法1.描述性统计（Descriptive Statistics）：通过对数据进行整理、归类、简化和表示，描述数据的基本特征和分布情况。
医学统计学名词解释
统计学（Statistics）：运用概率论、数理统计的原理与方法，研究数据的搜集；分析；解释；表达的科学。
总体（population）：大同小异的研究对象全体。
更确切的说，总体是指根据研究目的确定的、同质的全部研究单位的观测值。
样本（sample）：来自总体的部分个体，更确切的说，应该是部分个体的观察值。
样本应该具有代表性，能反映总体的特征。
利用样本信息可以对总体特征进行推断。
抽样误差（sampling error）在抽样过程中由于抽样的偶然性而出现的误差。
表现为总体参数与样本统计量的差异，以及多个样本统计量之间的差异。
可用标准误描述其大小。
标准误(Standard Error) 样本统计量的标准差，反映样本统计量的离散程度，也间接反映了抽样误差的大小。
样本均数的标准差称为均数的标准误。
均数标准误大小与标准差呈正比，与样本例数的平方根呈反比，故欲降低抽样误差，可增加样本例数区间估计（interval estimation）：将样本统计量与标准误结合起来，确定一个具有较大置信度的包含总体参数的范围，该范围称为置信区间（confidence interval，CI），又称可信区间。
参考值范围描述绝大多数正常人的某项指标所在范围；正态分布法（标准差）、百分位数法，参考值范围用于判断某项指标是否正常置信区间揭示的是按一定置信度估计总体参数所在的范围。
t分布法、正态分布法（标准误）、二项分布法。
置信区间估计总体参数所在范围参数统计（parametric statistics）非参数统计（nonparametric statistics）是指在统计检验中不需要假定总体分布形式和计算参数估计量,直接对比较数据(x)的分布进行统计检验的方法。
变异（variation）：对于同质的各观察单位，其某变量值之间的差异同质（homogeneity）：研究对象具有的相同的状况或属性等共性。
回归系数有单位，而相关系数无单位β为回归直线的斜率(slope)参数，又称回归系数(regression coefficient)。
总体、样本、统计量
图5-2所示。
图5-2
3． χ统2 计量
定义7 设 X ∼N ( ， 2 ) ，( X1 ，X 2 ， ，X n ) 是X的一个样本，则
称
(n 1)s2
2
为
χ2
统计量，且
χ2
(n 1)s2
2
∼ χ2 (n
1)
。
类似于标准正态分布，对给定的 (0 1)，称满足条件
P{[ χ 2 χ12 (n 1)]
称 X 为 t 统计量，且 t X ∼t(n 1) 。
s/ n
s/ n
类似于标准正态分布，对给定的 (0 1)，称满足条件
P{| t | t (n 1)}
2
的点 t (n 1) 为t分布的双侧 a 分位点或 2
双侧临界值，自由度为 n 1。
同样可以查t分布临界值表（附表
Ⅲ），得临界值 t (n 1) ，其几何意义如
例如，若 X ∼N ( n 是总体X
的一个样本，则
1 n
n i 1
n
Xi ，
i 1
n
X
2 i
，
i 1
(Xi
4)2， 1 n 1
n i 1
(Xi
X )2 ，等
均为统计量；而
n
(Xi
i 1
n
)，
i 1
Xi
2
均不是统计量。这是因为
若样本 X1 ，X 2 ， ，X n相互独立，且与总体X同分布，则称 此样本为简单随机样本，简称样本。
1.2 统计量
定义4 设 ( X1 ，X 2 ， ，X n ) 是总体X的一个样本，f ( X1 ，X 2 ， ，X n )是一个 连续函数，如果 f ( X1 ，X 2 ， ，X n )中不包含任何未知参数，则称 f ( X1 ，X 2 ， ，X n )为一个统计量。当 ( X1 ，X 2 ， ，X n ) 取完一组观测值 (x1 ，x2 ， ，xn ) 时，f ( X1 ，X 2 ， ，X n ) 就是统计量的一个观测值。
统计学名词解释
1.总体:根据研究的目的确定的同质观察单位的全体，更确切的说，它是同质的所有观察单位某种观察值的集合2.参数:描述总体数量特征的统计指标3.样本:从总体中随帆抽取部分观察单位，其测量结果的集合称为样本。
样本应具有代表性。
所谓有代表性的样本，是指用随机抽样方法获得的样本，该样本中所包含的观察单位数称该样样本的样本含量。
4.误差:泛指实测值与真值之差。
按其产生的原因的性质可粗分为随机误处和非随机误差，后者又可分为系统误差和非系统误差。
5.标准误:将样本统计量的标准差称为标准误，样本均数的标准差也称为均数的标准误(反应样本均数间的离散程度，也反应样本均数与相应总体均数间的差异，从而说明均数抽样误差的大小)6.医学参考值:指包括绝大多数的正常人的人体形态、功能和代谢产物等各种生理级生化指标常数，也叫正常值。
由于存在个体差异，生物医学数据并非常数，而是在一定的范围内波动，故又采用医学参考值范围作为判定正常或者异常的标准。
7.医学参考值范围：7：I类错误:指拒绝了实际上成立的HO，这类“弃真”的错误称为I型错误，其架率大小用a表示。
8.II类错误:指接受了实际上不成立的HO,这类“存伪”的误称为II 型错误，其频率大小用β。
9.系统误差:在实验过程中产生的误差，它的值或恒定不变，或遵循一定的变化规律，其产生的原因往往是克制的或可以掌握地。
10.医学参考值:指包括绝大多数正常人的人体形态、功能和代谢产物等各种的生理及生化指标常数，也成正常值。
11.随机误差:是一类不恒定、陆机变化的误差，由多种尚无法控制的因素引起。
在抽样过程中由于抽样的偶然性而出现的抽样误差。
脸机误差是不可避免的，在大量的重复测量中，或在抽样过程中，它可出现或大或小或正或负，呈一定规律的变化。
12.抽样误差:这种由个体变异产生，随机抽样造成的样本统计量与总体参数的差异。
13.P 值:概率又叫几率，是度量某一随机事件A发生可能性的大小的一个数值，(Λ)，P(A)越大，说明此时入事件发生的概率越大。
统计3：样本和统计量
统计3：样本和统计量统计推断是指，在数理统计中，我们研究的随机变量，其分布是未知的，或者是不完全知道的，⼈们是通过对所研究的随机变量进⾏重复独⽴的观察，得到许多观察值，对这些数据进⾏分析，从⽽对所研究的随机变量的分布做出种种推断。
⼀，随机样本总体和个体在数理统计中，研究对象是某⼀项数量指标（例如，学⽣的⾝⾼，体重等），对这⼀项数量指标进⾏观察。
把试验的全部可能的观察值称为总体，每⼀个可能的观察值称为个体。
总体中的每⼀个个体是随机试验的⼀个观察值，因此，它是某⼀随机变量X的值。
⼀个总体就对应⼀个随机变量X，对总体的研究就是对⼀个随机变量X的研究。
样本在实际中，总体的分布⼀般是未知的，或只知道它具有某种形式⽽其中包含了未知参数。
在数理统计中，⼈们都是通过从总体中抽取⼀部分个体，根据获得的数据对总体分布做出推断，被抽出的部分个体叫做总体的⼀个样本。
所谓从总体抽取⼀个个体，就是对总体X进⾏⼀次观察并记录观察结果。
在相同的条件下对总体X进⾏n次重复的，独⽴的观察，把n次观察的结果按照试验的次序记为：X1,X2,...,Xn，由于X1,X2,...,Xn是对随机变量X观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独⽴进⾏的，所以有理由认为X1,X2,...,Xn是相互独⽴的，且都与X具有相同分布的随机变量，把X1,X2,...,Xn 称为来⾃总体X的⼀个简单随机样本。
当n次观察⼀经完成，得到⼀组实数x1,x2,...,xn，它们依次是随机变量X1,X2,...,Xn的观察值，称为样本值。
样本定义，设X是具有分布函数F的随机变量，若 X1,X2,...,Xn 是具有同⼀分布函数F的，相互独⽴的随机变量，则称 X1,X2,...,Xn 为从分布函数F（或总体F，总体X）得到的简单随机样本，简称样本。
它们的观察值 x1,x2,...,xn称为样本值，⼜称为X的n个独⽴的观察值。
若 X1,X2,...,Xn 为总体X的⼀个样本，则X1,X2,...,Xn相互独⽴，且它们的分布函数都是F(x)，所以(X1,X2,...,Xn)的分布函数是：⽩话：随机变量X1,X2,...,Xn同时发⽣的概率是单独发⽣的概率之积。
5.2样本函数与统计量
( n 1) S 2
2
(D)
n( X ) S
统计量中不含任何未知参数.
由以上定义得下述结论:
若总体 X 的k 阶矩 E ( X k ) 记成 k 存在, P V k , k 1, 2,. 则当n 时, k
证明 因为 X 1 , X 2 ,, X n 独立且与X 同分布,
k k 所以 X 1k , X 2 , , X n 独立且与X k 同分布, k E( X ) E( X ) E ( X n ) k .
该段时间内通过的 汽车数所在区间
区间中点值x( i )
225 235 245 255 265 275 285
频数 mi
1 3 6 14 4 1 1 30
（220，230] （230，240] （240，250] （250，260] （260，270] （270，280] （280，290] 总 计
数据只需分7次输入计算器即可算得，
1 7 x mi x(i ) 253 , 30 i 1
7 1 s 2 mi ( x(i ) x ) 2 147.59 , 29 i 1
7 1 2 ~2 m ( x x ) 142.67 . i (i ) 30 i 1
小结
1.有关概念： 样本函数与统计量（注意两者的区别）
n 1 2 S2 ( X X ) , i n 1 i 1 n 1 2 s2 ( x x ) . i n 1 i 1
其观测值记作
1 n 2 s ( x x ) . i n 1 i 1
4.样本 k 阶原点矩
1 n k Vk X i n i 1
38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.6
总体,样本及统计量的定义
总体,样本及统计量的定义以下是总体、样本及统计量的定义：总体：是包含所研究的全部个体（数据）的集合，通常由所研究的一些个体组成。
这些个体可以是人、物或其他研究对象。
总体是统计研究的基础，因为它包含了研究对象的全部信息。
样本：是从总体中抽取的一部分元素的集合。
在实际研究中，由于时间、人力和物力等限制，通常无法对总体中的每一个元素进行研究，因此需要从总体中抽取一部分元素作为样本进行研究。
样本应该具有代表性，即能够反映总体的特征。
统计量：是统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量。
它是根据样本数据计算出来的一些量，通常是样本的函数。
常见的统计量包括样本均值、样本方差、样本标准差、样本比例等。
这些统计量可以帮助我们对样本数据进行描述和分析，从而推断总体的特征。
以上三个概念在统计学中非常重要，是进行统计分析和推断的基础。
总体、样本和统计量在各个领域都有广泛的应用。
以下是它们的一些应用实例：总体和样本的应用：在医学研究中，总体可能是所有患有某种疾病的患者，而样本则是从这些患者中随机选取的一部分，用于测试和评估新的治疗方法或药物。
在市场调查中，总体可能是所有潜在的消费者，而样本则是从这些消费者中随机选取的一部分，用于了解他们的购买习惯、偏好和需求。
统计量的应用：在质量控制中，统计量如均值和标准差可用于监控生产过程的稳定性和一致性，以及确定产品是否符合规格要求。
在金融分析中，统计量如方差和协方差可用于评估投资组合的风险和回报，以及确定资产之间的相关性。
在社会科学研究中，统计量如相关系数和回归系数可用于分析变量之间的关系，以及预测一个变量对另一个变量的影响。
通过对总体、样本和统计量的应用，可以帮助我们更好地了解数据的特征和规律，从而做出更准确的决策和预测。
但需要注意的是，在应用这些概念时，要确保数据的准确性和可靠性，以及避免潜在的偏见和误差。
总体、样本和统计量在统计学中各自扮演了重要的角色，它们之间存在区别与联系。
生物统计学(海大课件)_第二章_样本统计量与次数分布
确定组限（class limit）和组中值（class midvalue） 上限 组限 是指每个组变量值的起止界限。 下限 组中值 是两个组限的中间值。
下限＋上限 组中值＝ 2 ＝ 下限＋ 组距 2 ＝ 上限－ 组距 2
表2-4 150尾鲢鱼体长(cm)
56 49 62 78 41 47 65 45 58 55 59 65 69 62 73 52 52 60 51 62 78 66 45 58 58 60 57 52 51 48 56 46 58 70 72 76 77 56 66 58 58 55 53 50 65 63 57 65 85 59 58 54 62 48 63 46 61 62 57 38 58 52 54 55 66 52 48 56 75 72 57 37 46 76 56 63 75 65 48 52 55 54 62 71 48 62 58 46 57 38 54 53 65 42 83 66 48 53 58 46 46 56 61 76 55 60 54 58 49 52 56 82 63 65 54 75 65 86 46 77 70 69 40 56 58 61 54 53 52 43 52 64 58 58 54 78 52 56 61 59 54 59 64 68 51 59 68 63 52 63
三、试验资料的性质
计数资料／非连续变量资料 试 验 资 料 类 型 数量性状资料 计量资料／连续变量资料
质量性状资料／属性性状资料
一、数量性状资料
数量性状(quantitative character)是指能够以计 数和测量或度量的方式表示其特征的性状。观察测 定数量性状而获得的数据就是数量性状资料 (data of quantitative characteristics)。数量性状资料的获得 有计数和测量两种方式，因而数量性状资料又分为 计数资料和计量资料两种。
样本统计量和总体参数的概念。
样本统计量和总体参数的概念。
标题：深度解析样本统计量和总体参数的概念在统计学中，样本统计量和总体参数是非常重要的概念，它们在统计分析和推断中扮演着至关重要的角色。
在本文中，我们将深入探讨样本统计量和总体参数的概念，分析它们的重要性以及它们在统计学中的应用。
一、样本统计量的概念样本统计量是指由样本数据计算得出的用来估计总体参数的统计量。
常见的样本统计量包括样本均值、样本标准差、样本方差等。
样本统计量可以通过对样本数据进行统计计算得出，用来描述和总结样本的特征。
在统计学中，样本统计量扮演着至关重要的角色，它们为我们提供了对总体参数的估计，并且在假设检验、置信区间估计等统计推断中发挥着重要作用。
二、总体参数的概念总体参数是指描述总体特征的参数，它是对总体的某一特征进行度量的数值，如总体均值、总体标准差等。
总体参数是对总体的特征进行概括和描述的重要指标，它们对于我们了解总体的特征和性质至关重要。
在实际应用中，由于总体往往是无法获取所有数据的，因此需要通过样本统计量来对总体参数进行估计和推断。
三、样本统计量与总体参数的关系样本统计量和总体参数之间存在着密切的关系。
样本统计量是对总体参数的估计，通过对样本数据进行统计计算，我们可以得到样本统计量，并通过样本统计量对总体参数进行估计。
样本统计量的好坏将直接影响对总体参数的估计准确性，因此在统计分析中，我们需要关注样本统计量的选择和计算方法，以确保对总体参数进行准确的估计和推断。
四、个人观点和理解在我的理解中，样本统计量和总体参数是统计学中非常基础且重要的概念。
样本统计量是对总体参数的估计，它们为我们提供了从样本中对总体特征进行推断的方法。
而总体参数则是对总体特征的度量，它们对于我们了解总体的特征和性质至关重要。
在实际统计分析中，样本统计量和总体参数共同构成了统计推断的核心，通过对它们的合理应用，我们可以对总体的特征进行准确的估计和推断。
总结回顾通过本文的深度探讨，我们对样本统计量和总体参数的概念有了更加全面和深入的了解。
总体样本和统计量
二.数理统计学的基本内容
1. 试验的设计与研究——以获得局部的有代表性的数据 2. 统计推断——利用有限的信息, 以一定的可靠程度对整体进 行推断
ch6 抽样分布
§6.1 总体、样本和统计量
一.总体和样本
1. 总体
考察下面这些问题中的研究对象： (l)、某地区高中学生的身高发育情况； (2)、袁隆平新水稻品种的亩产量； (3)、某班学生的数学学习成绩； (4)、中国人口状况； (5)、姚明的技术水平(投篮，三分球，命中率，篮板等)； (6)、学习成绩与性别的关系： (7)、红楼梦前80回与后40回的用字、用词、用句差异； (8)、某个厂所生产的电子元件的寿命； …………
抽样．样本:从总体中抽取部分个体所组成的集合。样本容量:样
本中包含的个体总数目。抽取样本的目的是希望通过较少的数 据来推断总体的性质。
但是，我们总是测量每个个体相应的数量指标和特征并作为一条记录．所以 今后把测得的数据全体叫做样本 。
样本要有代表性，它应该是总体的一个“雏型”。我们不能用特 定的部分个体做样本，那叫报喜不报忧，或者叫弄虚作假。统计 最忌讳弄虚作假。所以，容量为n的样本会取到什么值，应该是 随机的，即应该是一个随机变量或随机向量．因此我们用 (X1,X2,…Xn)表示, n是样本容量。当一次抽样结束后，我们就得 到了n个具体观测值，相应地记为(x1,x2,…xn) ，叫做样本观测 值．
不确定的知识+不确定性的度量=有用的知识
数理统计正是研究这样一种新的逻辑思维方法的一种科学．也 就是说，数理统计不仅给出结论，还给出结论的不确定性的准 确度量．
今后，我们把观测到的有关事实叫做数据．用传统的语言说，数理 统计学就是关于数量信息的收集、整理和分析的学科． 严格地说，数理统计学就是应用概率论的理论, 从实际观察资料出发, 对随机现象所蕴含的内部规律进行分析及推断的一门学科
统计学 相关概念
统计学相关概念
统计学是研究数据收集、处理、分析和解释的学科，用于从大量数据中提取有用的信息和洞察。
以下是一些统计学中常见的相关概念：
1.总体和样本：总体是研究对象的全体，样本是从总体中选取的一部分个体。
通过对样本的研究，可以推断和估计总体的特征。
2.参数和统计量：参数是总体的数值特征，统计量是样本的数值特征。
通过样本统计量可以对总体参数进行估计。
3.描述统计学：描述统计学用于总结和描述数据的特征，包括中心趋势（如均值、中位数、众数）、离散程度（如标准差、方差、极差）和分布形态（如偏态、峰度）等。
4.概率：概率是事件发生的可能性或频率。
统计学中用概率来描述随机事件的性质和规律。
5.统计推断：统计推断是通过样本数据对总体进行推断和判断。
包括参数估计和假设检验两个主要方面。
6.参数估计：参数估计是利用样本数据对总体参数进行估计。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
7.假设检验：假设检验用于对总体参数的某个假设进行检验。
通过对样本数据的分析，判断总体参数是否符合某个假设。
8.回归分析：回归分析用于研究自变量与因变量之间的
关系。
通过建立回归模型，可以预测和解释因变量的变化。
9.方差分析：方差分析用于比较多个样本的均值是否存在显著差异。
适用于不同组别之间的比较。
10.相关分析：相关分析用于研究两个变量之间的相关程度。
可以通过计算相关系数来衡量变量之间的线性相关性。
统计学基本概念
不同类型变量间关系
例：一组2040岁成年人的血压 <8 8 12 17 低血压 正常血压 轻度高血压 重度高血压
定量变量
定序变量
15 中度高血压
以12kPa为界分为正常与异常两组
定类变量
俱乐部： 休斯顿火箭 健康状况： 良好
分类 顺序 数值 数值
精 确
程
出生年份: 1980
度
体重： 134公斤
定序数据
定距数据
定比数据
定性数gorical
定量数据 定量变量 Numerical
（二）统计数据的类型
统计数据的类型
按测量尺度
定 类 数 据 定 序 数 据 数 值 型 数 据
按收集方法
观 测 数 据 实 验 数 据
按时间状况
截 面 数 据 序 时 数 据
二、变量（variable）
1、什么是变量？ A VARIABLE is a characteristic of interest for the elements 说明研究对象某种特征的概 念； 我们给所要研究的事物起的名 字。
2、特点：
从一次观察到下一次 观察，该特征会呈现 出差别或变化； 从一个个体到另一个 个体，该特征会呈现 出差别或变化； 不能用一个常数来表 示。
（二）统计数据的类型
按测量尺度，数据可以分为定类/分类/名义数据 （nominal、 categorical data）、定序/顺序数据 （Ordinal、rank data）、数值型数据（metric data） ； 按数据的收集方法，可以将其分为观测数据 （observational data）和实验数据 （experimental data）。 按时间状况，统计数据可分为截面数据（crosssectional data）和时间序列数据（time series data）。
统计量与样本矩
)
E
(
X
k n
)
k
.
再根据第五章辛钦定理知
辛钦定理
1
n
n i 1
X
k i
P k
,
k 1, 2, ;
由第五章关于依概率收敛的序列的性质知
g( A1, A2 ,, Ak ) P g(1, 2 ,, k ),
其中 g 是连续函数.
以上结论是下一章所要介绍的矩估计法 的理论根据.
三、小结
两个最重要的统计量:
,
,X n
是样本X1, X 2, , X n的函数：它的观测值xk(k 1, 2, , n)为样本
观测值xk (k 1, 2, , n)中按由小到大的顺序排列
x1 x2 xn
则称X1
,
X
2
,
, X 为顺序统计量. n
称X1＝minX1, X 2 , , X n为样本的最小值，
X n＝maxX1, X 2 , , X n为样本的最大值.
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本方差
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
X )2
n
1
1
n i 1
X
2 i
nX
2
.
其观察值
s2
1 n1
n
( xi
i 1
x )2
n
1
1
n i 1
xi2
nx 2
.
(3)样本标准差
S
S2
1 n1
n i 1
Xi
X
2
;
其观察值
s
统计量的概念
统计量的概念统计量是指对样本数据进行数值度量的指标，它是从样本中提取的代表性数字，用于描述总体参数的近似值。
统计量是从原始数据中提炼出来的量，它不仅有助于更好地了解样本数据的性质和规律，还可以对总体特征进行推断和估计。
常见的统计量包括：样本均值、样本方差、样本标准差、样本协方差、相关系数、样本分位数等。
这些统计量既可以用于描述样本数据的中心趋势和散度程度，也可以用于推断总体参数的取值范围和变异程度。
统计量的选择一般需要根据具体问题的需求进行，比如在研究一个小区居民的收入水平时，我们可以选择样本均值作为统计量，以描述该小区居民收入的中心趋势；而在研究一个新药物的有效性时，我们则需要计算样本方差和标准差来描述数据的变异程度。
除了常见统计量之外，还有一些其他的统计量也非常重要，比如偏度和峰度。
偏度是指样本数据分布的不对称程度，通常用样本偏度来表示，它可以帮助我们判断某一数据分布是否为正态分布。
峰度则是指样本分布的陡缓程度，通常用样本峰度来表示，它可以帮助我们了解数据分布的形状特征。
统计量的计算方法取决于所选的统计量类型，例如，样本均值的计算方法为：对样本数据求和后除以样本容量。
同样，样本方差和标准差的计算方法分别为：对每个样本数据减去样本均值后求平方和，然后分别除以样本容量和样本容量减一。
在实际应用中，统计量常常伴随着统计检验和假设检验一起使用，来对总体参数的取值进行推断和判断。
通过对样本数据进行统计计算，得到各种统计量值，然后利用假设检验方法，以一定的显著性水平来检验和推断总体参数的值。
总体参数和样本统计量之间的关系非常紧密。
在样本容量足够大且样本抽样随机性好的条件下，可以通过样本统计量来近似地推断总体参数的取值，从而具有一定的推广应用价值。
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3 样本的联合分布 若总体X是离散型的随机变量，分布函数为F(x)，
分布律为P{ X xi } p( xi ), 则样本X 1 , X 2 ,, X n的联合分布函数为：
F * ( x1 , x 2 , , x n ) F ( xi ),
n
联合分布率为：
i 1
P{ X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n } p( xi ).
p i 1 (1 p )
xi
n
n
xi
i 1
n
i 1
.
4. 样本观测值的分布函数
在样本容量较大时，可 用样本观测值的 * 的分布函数Fn ( x )来估计总体X的分布函数 F ( x ). 从总体中抽取容量为 n的样本，得到 n个 样本观测值，列表
样本观测值
频数
频率
x(1) x( 2 ) x( k )
1 总体、个体于总体容量
把被研究的对象的全体叫做总体。
总体中各个研究对象称为个体，总体中所包含的个体数
称为总体容量。
容量有限的总体称为有限总体，容量无限的总体称为无穷总体。
代表总体的指标（如灯泡的寿命）是一个随机变量 X，
所以总体就是指某个随机变量可能取的值的全体。
2 样本、样本容量与简单随机样本 从总体中抽取一个个体，就是对代表总体的随机 变量X进行一次试验(观测)，得到X的一个观测值 从总体中抽取一部分个体，就是对随机变量X进行
解 大小重新排列 45<46<48<51=51<57<62<64
1 当45 x 46时，F ( x ) , (仅有45) 8 2 * 当46 x 48时，Fn ( x ) , (有45,46) 8 3 * 当48 x 51时，Fn ( x ) , (有45,46,48) 8
i 1
例 设总体X ~ B(1, p ), 求样本X 1 , , X n的 联合分布律。 解 X ~ B(1, p), 分布律
P{ X xi } p( xi ) 0,1),
联合分布律： n P{ X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n } p( xi ).
这种抽样方法叫做简单随机抽样，得到的样本 叫做简单随机样本。
因为每次试验结果都是随机的，所以应当把n次 试验的结果看作是n个随机变量：
X 1 , X 2 , , X n , 而把样本x1 , x 2 , , x n 分别看作是它们的 观测值. 因为试验是独立的，所 以随机变量 X 1 , X 2 , , X n是独立的, 且于总体X服从 相同的分布。
* n
5. 样本观测值的频率分布直方图
§5.2 样本的数字特征
1. 样本总和及均值、离均差平方和
若总体X的一个样本为 X 1 , X 2 , , X n , 它的观测值为 x1 , x2 ,, xn , 则
(1) 样本总和 n
X
i 1
i
X1 X 2 X n ,
n
它的观测值 xi x1 x 2 x n ;
若干次试验(观测)，得到X的一组观测值，叫样本。
样本中所包含的个体数称为样本容量。
当样本容量为 n时，总体X中将要取出的指标 值记作X 1 , X 2 ,, X n ,已经取出的指标值记作 x1 , x2 ,, xn .
由总体中取出样本的过程称为抽样。
为使样本具有充分的代表性， ①抽样必须是随机的， ②抽样必须是独立的。
内容
§5.1 总体与样本 §5.2 样本的数字特征 §5.3 χ2分布、t分布、F分布 §5.4 常用的统计量及其分布
学习目标 1.总体、个体、容量、样本、样本的联合分 布及观测值的分布函数
2.样本的数字特征 3. χ2分布、t分布、F分布及分位数 4. 统计量，常用正态统计量的形式及分布
§ 5.1 总体(population)于样本(sample)
i 1
1 n (2)样本均值 X X i , n i 1 1 n 它的观测值x xi ; n i 1 (3)样本离均差平方和 SS ( X i X ) 2 ,
i 1 n
它的观测值ss ( xi x ) .
2 i 1
n
可以证明
(1) X i nX ;
P{ X * x
(i )
}
0, 当x x(1) ; * Fn ( x ) f i ,当x( i ) x x( i 1) ; x( i ) x 1, 当x x k .
例 从总体X中随机抽取8个观测值为45，46，48，
51，51，64，57，62，写出样本观测值的分布函数。
n1 n2 nk
f1 f2 fk
其中x （1） x( 2 ) x( k ) ( k n ) k ni k f i , ni n, f i 1. n i 1 i 1
定义观测值的分布函数
F ( x ) P{ X * x}
* n
x( i ) x
i 1
n
若总体X是连续型的随机变量，分布函数为F(x)，
分布密度为 p( x), 则样本X 1 , X 2 ,, X n的联合分布函数为：
F ( x1 , x 2 , , x n ) F ( xi ),
* i 1 n * n
联合分布密度为：
p ( x1 , x 2 , , x n ) p( xi ).
i 1 n
n
( 2) ( X i X ) 0;
* n
当x 45时，F ( x ) 0,
* n
5 当51 x 57时，F ( x ) , (有45,46,48,51,51) 8 6 * 当57 x 62时，Fn ( x ) , ( 45,46,48,51,51,57) 8 7 * 当62 x 64时，Fn ( x ) , 8 ( 45,46,48,51,51,57,62) 8 * 当64 x时，Fn ( x ) 1. 8