样本及统计量.

i 1
1 n (2)样本均值 X X i , n i 1 1 n 它的观测值x xi ; n i 1 (3)样本离均差平方和 SS ( X i X ) 2 ,
i 1 n
它的观测值ss ( xi x ) .
2 i 1
n
可以证明
(1) X i nX ;
P{ X * x
(i )
}
0, 当x x(1) ; * Fn ( x ) f i ,当x( i ) x x( i 1) ; x( i ) x 1, 当x x k .
例 从总体X中随机抽取8个观测值为45，46，48，
51，51，64，57，62，写出样本观测值的分布函数。
n1 n2 nk
f1 f2 fk
其中x （1） x( 2 ) x( k ) ( k n ) k ni k f i , ni n, f i 1. n i 1 i 1
定义观测值的分布函数
F ( x ) P{ X * x}
* n
x( i ) x
i 1
例 设总体X ~ B(1, p ), 求样本X 1 , , X n的 联合分布律。 解 X ~ B(1, p), 分布律
P{ X xi } p( xi ) p (1 p)
xi
1 xi
Байду номын сангаас
,( xi 0,1),
联合分布律： n P{ X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n } p( xi ).
若干次试验(观测)，得到X的一组观测值，叫样本。
样本中所包含的个体数称为样本容量。
当样本容量为 n时，总体X中将要取出的指标 值记作X 1 , X 2 ,, X n ,已经取出的指标值记作 x1 , x2 ,, xn .
由总体中取出样本的过程称为抽样。
为使样本具有充分的代表性， ①抽样必须是随机的， ②抽样必须是独立的。
* n
5. 样本观测值的频率分布直方图
§5.2 样本的数字特征
1. 样本总和及均值、离均差平方和
若总体X的一个样本为 X 1 , X 2 , , X n , 它的观测值为 x1 , x2 ,, xn , 则
(1) 样本总和 n
X
i 1
i
X1 X 2 X n ,
n
它的观测值 xi x1 x 2 x n ;
内容
§5.1 总体与样本 §5.2 样本的数字特征 §5.3 χ2分布、t分布、F分布 §5.4 常用的统计量及其分布
学习目标 1.总体、个体、容量、样本、样本的联合分 布及观测值的分布函数
2.样本的数字特征 3. χ2分布、t分布、F分布及分位数 4. 统计量，常用正态统计量的形式及分布
§ 5.1 总体(population)于样本(sample)
i 1 n
n
( 2) ( X i X ) 0;
p i 1 (1 p )
xi
n
n
xi
i 1
n
i 1
.
4. 样本观测值的分布函数
在样本容量较大时，可 用样本观测值的 * 的分布函数Fn ( x )来估计总体X的分布函数 F ( x ). 从总体中抽取容量为 n的样本，得到 n个 样本观测值，列表
样本观测值
频数
频率
x(1) x( 2 ) x( k )
* n
当x 45时，F ( x ) 0,
* n
5 当51 x 57时，F ( x ) , (有45,46,48,51,51) 8 6 * 当57 x 62时，Fn ( x ) , ( 45,46,48,51,51,57) 8 7 * 当62 x 64时，Fn ( x ) , 8 ( 45,46,48,51,51,57,62) 8 * 当64 x时，Fn ( x ) 1. 8
i 1
n
若总体X是连续型的随机变量，分布函数为F(x)，
分布密度为 p( x), 则样本X 1 , X 2 ,, X n的联合分布函数为：
F ( x1 , x 2 , , x n ) F ( xi ),
* i 1 n * n
联合分布密度为：
p ( x1 , x 2 , , x n ) p( xi ).
3 样本的联合分布 若总体X是离散型的随机变量，分布函数为F(x)，
分布律为P{ X xi } p( xi ), 则样本X 1 , X 2 ,, X n的联合分布函数为：
F * ( x1 , x 2 , , x n ) F ( xi ),
n
联合分布率为：
i 1
P{ X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n } p( xi ).
这种抽样方法叫做简单随机抽样，得到的样本 叫做简单随机样本。
因为每次试验结果都是随机的，所以应当把n次 试验的结果看作是n个随机变量：
X 1 , X 2 , , X n , 而把样本x1 , x 2 , , x n 分别看作是它们的 观测值. 因为试验是独立的，所 以随机变量 X 1 , X 2 , , X n是独立的, 且于总体X服从 相同的分布。
解 大小重新排列 45<46<48<51=51<57<62<64
1 当45 x 46时，F ( x ) , (仅有45) 8 2 * 当46 x 48时，Fn ( x ) , (有45,46) 8 3 * 当48 x 51时，Fn ( x ) , (有45,46,48) 8
1 总体、个体于总体容量
把被研究的对象的全体叫做总体。
总体中各个研究对象称为个体，总体中所包含的个体数
称为总体容量。
容量有限的总体称为有限总体，容量无限的总体称为无穷总体。
代表总体的指标（如灯泡的寿命）是一个随机变量 X，
所以总体就是指某个随机变量可能取的值的全体。
2 样本、样本容量与简单随机样本 从总体中抽取一个个体，就是对代表总体的随机 变量X进行一次试验(观测)，得到X的一个观测值 从总体中抽取一部分个体，就是对随机变量X进行