(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)

第四章 线性方程组
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
（1）
若记
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
则上述方程组（1）可写成向量方程
Ax 0.
其中A是系数矩阵，x是未知的列向量。
所谓 Ax 0 的解，指的是满足 A 0 的n维列向量
即：
1
x
2
M
n
称为方程组(1) 的解向量。
(1) Ax 0的基础解系中解向量的个数为n-r;
(2) Ax 0的任意n-r个线性无关的解向量都是它
的基础解系。
推论（1）设A是m n 矩阵，则
① Ax 0只有零解 r(A)=n; Ax 0没有基础解系； ② Ax 0 有非零解 r(A) n；Ax 0 有无穷个基础解系.
当m＜n时，Ax 0必有非零解，因此有无穷多个基础解系.
（2）当A是n阶方阵时，
Ax 0.只有零解 A 0 Ax 0.有非零解 A 0
注：（1）dimV=n-r=自由未知量的个数。
（2）判定基础解系要验证三个必须： ①向量的个数必须是n-r ②必须是AX=0的解 ③必须是线性无关的
例2 设1,2,3 是某个齐次线性方程组Ax=0 的基础 解系，证明：
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
源自文库
b2
（2）若 x 为 Ax 0 的解，k 为实数，则 x k 也是 Ax 0 的解．
证明 Ak kA k0 0.
证毕.
我们通常把上面的两个性质合并为：对于任何
实数 k1和k2，当A1 0, A2 0 时，必有
A(k11 k22 ) k1A1 k2 A2 0
考虑由 Ax 0 的解的全体组成的向量集合
2x3 3x4
x x 2
2
3
4
0, 0,
x1 x2 x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩 阵，有
2 1 2 3 1 0 3 4
A
3 1
2 1
1 1
21
0 0
1 0
4 0
5 0
,
根据行简化阶梯形矩阵，就可以得到同解方程组
x1 3x3 x2 4x
x3 1
x3
x3
1
k1
x3 1
k 是任意实数.
由例1可知 （1）有非零解必有无穷多个解； （2）所有非零解即一般解都是由特殊解线性标出的； （3）特殊解的个数和自由未知量的个数相等，n-r(A).
下面对这些特殊解向量引入如下概念：
定义4.1.1．基础解系的定义
1,2,L ,s称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
M
bm
其中A是系数矩阵，x是n维未知列向量，b为 m维常列向量。分块矩阵（A，b）称为方程的 增广矩阵，有时就直接用（A，b）代表非齐次 线性方程组Ax=b。
满足A =b，则称 为AX=b的解向量，可简称为
方程的解。
三个问题：
有没有解？ 有多少个解？ 怎么求解？
定理：AX=b有解当且仅当 r(A,b) r(A)
若x满足( AT A)x 0,则 xT ( AT A)x 0,即 ( Ax)T ( Ax) 0,从而推知Ax 0.
综上可知方程组Ax 0与( AT A)x 0同解, 因此 R( AT A) R( A).
最后我们给出矩阵秩的的一个估计式： 设A是 m n 的矩阵，B是 n k 的矩阵，则有
解系,如果以下两个条件：
(1)1,2,L ,s是Ax 0的一组线性无关的解;
(2)Ax 0的任一解都可由1,2,L ,s线性表
出.
由定义可知，Ax=0的基础解系，实际上就是 Ax=0的解空间的一个基。反之，AX=0的解空间 的任意一组基，一定是AX=0的一个基础解系。
定理4.1.1 设A是 m n 矩阵，r(A)=r,则
很显然，n维的零向量显然是 Ax 0 的解，我们
称其为零解。不是零向量的解我们称之为非零解。即
其中至少有一个分量不等于零。
对于齐次方程组，我们提出三个问题： ①满足什么条件的时候它有非零解？
齐次线性方程组有非零解当且仅当它的系数矩阵 的秩小于未知量的个数。 ②当齐次线性方程组有非零解的时候，有多少个解？
非零解存在必有无穷多个. ③当有无穷多个解的时候，能否能用一个简单的式子 表示出来？
２．齐次线性方程组解的性质
（1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
证明 A1 0, A2 0
A1 2 A1 A2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
即 k1(2 3 ) k2 (1 3 ) k3 (1 2 ) 0 从而 (k2 k3 )1 (k1 k3 )2 (k1 k2 )3 0
由于1,2 ,3 线性无关，所以必有 k2 k3 0, k1 k3 0, k1 k2 0
解之得： k1 k2 k3 0 1, 2 , 3 是线性无关的。
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
0
0
1
0 1,
0 0 0 1 0
根据行简化阶梯形矩阵，就可以得到通解方程组
x1 x3
x2 x5
0 0
x4 0
即
x1 x2 x3 x5
x4 0
xx 令
2 5
1 0
及
0 1
,
x1 1 0
对应有
x3
0
及
1
,
x4 0 0
1
0
定理4.2.3 设A是m n矩阵，且r(A,b) r(A) r,则有以下结论：
当r n时，Ax b有惟一解.
当r n时，Ax b有无穷多个解.
因此，当r(A,b) r(A)时，Ax b的解是惟一的 r(A) n
注意：
当r(A) n时，Ax 0或者无解或者有惟一解. 当r(A)＜n时，Ax b或者无解，或者有无穷多个解.
例4 求齐次线性方程组
x x x x 1 x x
2
2
3
4
x5
0,
3
3
4 x5 0,
x x 2
3
4 2x5 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵施行初等行变换
1 1 1 2 1 1 1 0 5 0
A
0
0
1
3
1
0
0
1
3 1,
0 0 2 1 2 0 0 0 5 0
1 1 0 0 0
r(A) r(B) n r(AB) min{r(A), r(B)} 特别地，当AB=0时，r(A) r(B) n
这个不等式的结果我们可以直接应用。
4.2 非齐次线性方程组
➢非齐次方程组有解的条件 ➢非齐次线性方程组解的结构 ➢非齐次线性方程组的求通解方法
设有非齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
4
x
,
4
x 5 .
3
4
令
x3 x4
1 及 0
0 , 1
对应有
x1 x2
3
4
及
4 5
,
3
4
即得基础解系
4
,
5
,
1 1 2 0
0
1
并由此得到通解
x1 x2 x3 x4
k
1
3 4 1 0
k2
4 5 0 1
,
(k
,
1
k
2
R).
导出组的解的个数决定了非齐次线性方程组的解的个数
定理4.2.2 设A是m n的矩阵，且 r(A,b) r(A) r
则AX=b的一般解为：
=* +k11 +k22 +L +knrnr
其中 * 为AX=b的一个特解，k11+k22 +L +knrnr
为AX=0的任意一个基础解系。
称上式为AX=b的通解。
(1
,
2
,
3
)
1
0
1
1 1 0
把它记作B=AP，因为表出矩阵的行列式
011 P 1 0 1 20
110
P是可逆矩阵，所以r(B)=r(A)=3,这说明 1, 2 , 3
必是线性无关，是基础解系。
证明本题中的1, 2 , 3 线性无关，也可以应用下面的
方式：
设 k11 k22 k33 0
1 2 3, 2 1 3, 3 1 2
一定是 Ax=0 的基础解系。
证： 根据基础解系满足的三个条件进行判定 首先，它们的个数相同都是3，即n-r
其次， A1 A(2 3) 0 A2 A(1 3) 0
A3 A(1 2) 0
最后，根据题设条件可以写出矩阵等式
0 1 1
(1,
2
,
3
)
V A 0
因为n维零列向量一定是 AX=0的解，这说明 AX=0 的解的全体所组成的向量集合不是空集 因此V是n维列向量空间 Rn 中的一个子空间。我 们称V是 AX=0 的解空间。
我们讨论一个实例
例1
讨论齐次线性方程组2xx1123xx2235xx33
0 0
的解。
解：用矩阵的初等行变换化简齐次线性方程组的
3．齐次线性方程组通解的求法 设{1,2 ,K ,nr}是 Ax 0 的任意一个基础解系，则
据基础解系的定义知道， Ax 0 的一般解为：
k11 k22 L knrnr,这里的k1, k2,L , knr为任意实数
我们称之为 Ax 0 的通解。
例3 求齐次线性方程组
23xx112xx2
证明 A A A 0 b b,
所以x 是方程 Ax b的解.
证毕．
这就是说对于非齐次线性方程组的两个解 的差都是其导出组的解，非齐次线性方程组的 解与其导出组的解之和仍是非齐次线性方程组 的解。
说明AX=b的任意一个解都能写成AX=b的 一个特解和AX=0的某个解之和，而AX=0的这 个解又能由AX=0的任意一个基础解系的线性组 合表出，于是可以得到AX=b的解的结构定理。
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
x1 3x2 (t 1)x3 0
二. 非齐次线性方程组解的结构
对于任意一个非齐次的线性方程组AX=b来说都 对应着一个齐次线性方程组AX=0，我们称AX=0是 AX=b的导出组（又称为相伴方程组）。这样的话 AX=b与AX=0之间就架设了一座桥梁，他们有相同的 系数矩阵，我们希望借助于AX=0来求解AX=b的解。
1
0
即得基础解系 0 , 1,
1
0
2 0
0
1
所以方程组的通解为
k11 k22 , k1, k2为任意实数。
同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相同的秩
例5 证明R( AT A) R( A). 证 设A为m n矩阵, x为n维列向量.
若x满足Ax 0,则有 AT ( Ax) 0,即 ( AT A)x 0;
定理4.2.4设A是n阶方阵，则有以下结论： 当 A 0时，Ax b必有惟一解x A1b. 当 A 0时，如果r(A,b) r(A),则Ax b有无穷多个解.
如果 r(A,b) r(A)+1,则Ax b无解.
系数矩阵：
A
1
2
2 3
3 5
1 0
2 1
3 1
1
0
0 1
1 1
得到同解方程组
x1 x2
x3 x3
0 0
即：xx12
x3 x3
据此可以得到它的一般解：
x1 x3
x2
x3
x3 x3
如果取自由未知量 x3 1 就得到一个特殊解
1
1
1
1
那么它的一般解可以写成：