21控制系统的微分方程

2-17
[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数 学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图， 信号流图，状态空间表达式等。
建立微分方程应根据组成系统各元件在工作过程中所遵循 的物理定律来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定律，力学 中的牛顿定律，热力学中的热力学定律等。
一 控制系统的微分方程
第二章 控制系统的数学模型
教学目的
• 掌握不同物理系统微分方程的建立 • 掌握拉氏变换及其性质 • 熟悉基本环节的传递函数 • 能用拉氏变换、框图化简及梅森增益公示求系
统的传递函数
学习重点和难点
• 建立系统的微分方程 • 拉氏变换的应用及框图化简
本次课程作业
2-13(c) 把求传递函数改为求微分方程 2-16(a) 把求传递函数改为求微分方程
例2-4 有源电路网络
i2(t) C
ui R
-
uo
i1(t)
+
解：
i1(t)i2(t)
ui(t)0Cd(0uo(t))
R
dt
ui(t) Cduo(t)
R
dt
RCduo(t) dt
ui(t)
在列写微分方程时：一般把系统的输出量及其各阶 导数放在微分方程的左边，把输入量及其各阶导数 放在方程右边！
例2-4 电枢控制式直流电动机 电枢回路方程为:
RCduo(t) dt
ui(t)
R a J d 2 d o 2 (t) t (R af K T K e)d d o (t)t K T e i(t)
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。
[作用] 利用相似系统的概念可以用一个易于实现的 系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
线性定常系统的微分方程的一般形式可表示为：
J ωo(t)
N
S
回转电机轴：
由以上四式整理得：
T(t)fddo(tt)Jd2d o2(tt)
L a J d 3 d o 3 ( t ) t( L a f R a J ) d 2 d o 2 ( t ) t( R a f K T K e ) d d o ( t ) t K T e i( t )
Fi K1(xi xf ) Ff f (x f xo)
Fo K2xo
A
Ff
B
Fo
K 1 (x i x f) f(x f x o ) K 2 x o
f(x f x o)K2xo
(1)
K1(xi xf)K2xo
(2)
对 ( 2 )求导得 x f
待入 (1) 整理得
K2 K1
xo xi
f
xf
x of(K K1 1K 2K2)xoK1K 1K2x i
补充题2 电气系统
R2i2(t) u m i5(t) R3
C1 C2 i4(t)
u i R1
i1(t) R0
i3(t) R4
-
+
列写方程组
7个方程可 以消除6个 中间变量
uo
i1i2i3i4i5 (1) ( 2 )
i1
ui R1
(3)
i2R2
Ra La ei (ut)a iai(t) em e(ta)
if
Mc
T (t)
M
JJ
ωo (t )
f R aia(t)L add a(it)tem (t)ei(t)
电磁转矩：
T(t)KTia(t)
反电势：
em(t)Ke do(t) f RaLaif
d t euia(t)ia(t)eme(ta)
M
Mc
1 C1
i3dt
(4)
0umi2R2 (5)
um0C 12 i4d ti4R4(6 )
umuo i5R3
(7)
补充题3 p42 2-21
Ke
do(t) dt
ei
(t)
3 液压系统的线性化方程（了解）
4 相似系统
不同系统的微分方程形式一样，称为数学模型相同
m x fx kx F
JfkT m y fy k ym x
R 1 C dd o (u t)t R 1 R 2 R 2u o (t) R 1 C dd i(tu )t u i(t)
and dn nc t(t)an1d dn n 1 t1c(t) a0c(t) b m d dm m tr(t)b m 1d dm m 1 t1r(t) b 0r(t)
式中： r(t)— 输入，c（t）— 输出
ai,bj(i0~n ,j0~m )为常系要数
补充题1 弹簧—阻尼器系统
Fi
Ff
f
T
k
J
T
f k
J
J
根据牛顿定理，可列出转动物 体的转矩平衡方程如下：
JfkT
这也是一个二阶定常线性微分方程
例2-1 机械式加速度计
解：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
质量m在水平方向的受力如下
k
f
m
y
ky m fy
mx
x
其中： x' y x
根据牛顿定理，可列出转动物体的转矩平衡方程如下：
m x fy k y0
把 xyx带入整理得： m y fy k ym x
1 机械系统的微分方程
求弹簧-质量-阻尼的机械位 移系统的微分方程。输入量 为外力F，输出量为位移x。
根据牛顿定理，可列出质量块 的力平衡方程如下：
m x fx kx F
Fk
m
fx
F kx
m
fx mx
这是一个二阶定常线性微分方 程
求弹簧-惯量-阻尼机械回转系统的微分方程。输入 量为外加转矩T，输出量为角位移θ。
这也是一个二阶定常线性微分方程
2 电气系统的微分方程
例2-3 无源电路网络
C i1(t)
R1
ui(t)
i2(t) i(t) R2 uo(t)
解：
i1(t)i2(t)i(t) u i(t)u o(t)R 1i2(t) 1
c i1(t)dtR1i2(t)
uo(t)R2i(t)
由以上四式整理得：
R 1 C dd o (u t)t R 1 R 2 R 2u o (t) R 1 C dd i(tu )t u i(t)
若忽略电枢电感La得： R a J d 2 d o 2 (t) t (R af K T K e)d d o (t)t K T e i(t)
假定系统的输出量不是 o (t)而是 o (t ) R a J d d o (t)t (R af K T K e) o (t) K T e i(t)
若忽略电枢电感La及电枢电阻Ra得：