(完整word版)数列通项公式经典例题解析
数列求通项公式 所有方法类型全归纳 含解析答案 精品文档可编辑
一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2),17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21--二、公式法三.累加法求形如1n a +=n a ＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。
（其中f(n)能求前n 项和即可）利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.例1.已知数列{}n a 中，1129,21,(2,*)n n a a a n n n N -==+-≥∈,求这个数列的通项公式。
练习：已知数列{}n a 中，113,2,(*)n n n a a a n N ==+∈＋，求n a例3. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。
累乘法：求形如1n a +=g(n)n a 的递推数列通项公式的基本方法。
（其中g(n)可求前n 项 积即可）。
利用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).例1.若满足111,(*),1n n a na n N a n +==∈+求这个数列的通项公式。
变式练习：设{}n a 是首项为1的正数组成的数列，且2211(1)0(12)n n n n n a na a a n +++-+==，，…，则它的通项公式为n a = ．（倒数法）例题6:已知数列{}n a 中满足11a =，131nn n a a a +=+，求数列的通项n a .变式练习：知数列{}n a 中满足11a =，1231nn n a a a +=+，求数列的通项.待定系数法：例10：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n例11. 已知数列{}n c 中，b b c +=11，bbc b c n n ++⋅=-11，其中b 是与n 无关的常数，且1±≠b 。
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。
扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式。
心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2｛q r ｝的通项公式。
例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛b K ｝的通项公式；解：•/ a fj = -2(n + I)/. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分I练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) •当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、二2, • • @7二5/7 —3,三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。
数列通项公式求法及答案
若数列的递推公式为a 13, a * 12(* ¥），则求这个数列的通项公式a *例2.①已知数列a *的前*项和S *满足S * 2a *3,门 1 •求数列a *的通项公式.a *S * 1数列通项公式、求和的常见题型等差数列定义：公差da * i a *3 , a * 2 (n 1) ( 3) = n+5门1等比数列定义：公差q ・ 3, a * 23a“练习(a*、公式法已知数列的前*项和S *与a *的关系，求数列a *的通项a *可用公式12求解.(注意 S 1 a 1 , a * 3 2* 1)、定义法例题1:⑴在数列｛ a n ｝中，若a i 2 ， an 1 an 3,贝Ua* _____________________⑵在数列｛ a n ｝中，若a i2 , a * i 3a * , 贝U a n = ______________3(1)数列a n 的前n 项和S n 满足S n 1),(n N )求数列a n 的通项②已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n2门2 n1，求数列a n 的通项公式.应用 a n S n S n !得 B n 4n-2③ 已知等比数列a n 的首项印1，公比0 q 1，设数列b n 的通项为 b n a n 1 a n 2，求数列 g 的通项公式。
③解析：由题意，b n 1 a n 2 a n 3，又a *是等比数列，公比为qbn 1b na n 2a n 3q，故数列b n 是等比数列，D a 2 a 3 ag ag q(q 1)，an 1 an 2二 b nq (q n 10 qq n (q 1)练习公式• ( a n 3n )、归纳法:1 1 1 1 J JJ135 7(3)9，99，999, 9999, (4) 8，88,888,8888,(1) a n1 2n 1n 11⑵a n ( 1)(3) a n10n 1 (4) a n 8(10n 1)9四、分组求和法:把整个式子拆分成等差数列和等比数列例4、求和3)(a n n ) (2n 3 5 n )(6 3 5 3)1n — 2n解：五、升次，错位相减法：含x 的项是等比数列，系数是等差数列练习求和 1 弓 2 22 57 23242n 1cc 1( Sn32n 3 2n )六、累加法累加法形如a n 1 a n f (n )型， a n 1 ，a n 相邻两项系数相等， f (n )是一个常数,则直接用等差数列通项公式求出(例 1之(1)), f ( n )是一个关于n 的变量，根据递推公 式，写出a i 到a n 的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。
最全数列的通项公式求法含答案
（7）待定系数法： an+2 = pan+1 + qan （其中 p, q 均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为 an+2 − san+1 = t(an+1 − san )
s + t =p 其中 s, t 满足 st = −q ，再按第（4）种情况求解.
(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而 找到恰当的解决方法．
例题分析
1.设数列{an} 中， a1 = 2, an+1 = an + n +1，则通项 an = .
【解析】法一：由题意可知： a1 = 2, an+1 = an + n +1 所以有 an= an−1 + (n −1) +1，
an−2 − an−3 = (n − 3) +1， ， a3 − a2 =2 +1 ， a2 − a1 =1+1 ， a1 = 2= 1+1.
将以上各式相加得： an = (n −1) + (n − 2) + (n − 3) + + 2 +1 + n +1
=
(n −1) (n −1) +1 += n +1
(n −1) n += n +1
n (n +1) +1
n(n +1)
故应填
+1.
2
2
2
(完整word版)数列通项公式经典例题解析
求数列通项公式-、公式法类型 1 a n 1 a n f (n)解法：把原递推公式转化为a n 1 a n f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1已知数列何｝满足a n i 2a n 3 2n，印2，求数列的通项公式。
解: am 2a n 3 2n两边除以2n 1，得苹' 空-，则孝冷3，故数列占｝是2 2 2 2 2 2 2以戈21为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得a1 (n 1)3，212 2 2n 23 1所以数列｛a*｝的通项公式为a n(―n —)2“。
2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式a n 1 2an 3 2n转化为储肆 -，说明数列2 2 2｛銅是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出寺1 (n 1)-3，进而求出数列｛a n｝的通项公式。
练习题：1•已知数列｛a n｝满足a n 13a n 2 3 1, a13，求数列｛a n｝的通项公式。
2.已知数列a n满足a11-，a n 12a n12 n，求a nn例2已知数列｛a n｝满足a n 1 a n2n 1, a11，求数列｛a n｝的通项公式。
解：由a n 1a n 2n 1 得a n 1a n 2n 1 则a n (a n a n 1 ) (a n 1 a n 2)L (a3 a2)(a2 a1 ) a1[2( n1) 1] [2(n 2)1] L (2 21) (2 1 1) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n2 (n 1) 12(n 1)(n 1) 12n所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n二、累乘法项公式。
3已知数列｛a n ｝满足a n 12(n 1)5n an , a1 3，求数列｛a n ｝的通项公式。
因为a n 1 2(n 1)5na n,a3, 所以a n0，则也 2(na n1)5n ，故a na n1L a 3 a 2 aa n 1a n2a 2 a 1[2(n 1 1)511 ][2(n 2 1)5" 2]L [2(21) 52][2(1 1) 51] 32n1[ n(n 1)L 3 2]5(n 1) (n 2) L2133 2n 1 n(n 1)5 2n!解:例 n(n 1)a n a n1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2)L (a ? a ?) (a 2 aja i ，即得数列｛a n ｝的通项公式。
数列求通项公式典型例题及答案
数列求通项公式1、累加法 ：适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。
例1.1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：2n a n =】例1.2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：3 1.nn a n =+-】练1.1 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.【答案：12+-=n n a n 】练1.2 已知数列}{n a 满足)2()1(1,311≥-+==-n n n a a a n n ，求此数列的通项公式. 【答案：n a n 12-=】2、累乘法适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。
例2.1 已知数列{n a }中，n n a a a n n 2,111+==+，求数列的通项公式。
【答案：)(2)1(*∈+=N n n n a n 】 例2.2 已知数列{n a }中，n n a n na a )1(2,111+==+，求数列的通项公式。
【答案：12-=n n na 】 练2.1【理科】 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯】练2.2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.【答案：na n 1=】3、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+ 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
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六、求数列通项公式专题1．公式法等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，()n m a a n m d =+-． 等比数列通项公式：11n n a a q -=，n m n m a a q -=．2．已知n S 与n a 的关系求通项已知n S 求n a 公式：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．3．累加法适用形式：1()n n a a f n +=+．变为1()n n a a f n +-=，下标依次递减1写出等式，直至写到21(1)a a f -=，最后把1n -个等式相加即可得到结果．4．累乘法适用形式：1()n n a a f n +=．变为1()n n a f n a +=，下标依次递减1写出等式，直至写到21(1)af a =，最后把1n -个等式相乘即可得到结果．5．构造法（1）形如1n n a qa p +=+，用待定系数法构造等比数列．即令1()n n a x q a x ++=+，则1(1)n n a qa q x +=+-，与1n n a qa p +=+对比可知1p x q =-，故数列{}1n pa q +-是公比为q 的等比数列．形如1()n n a qa f n +=+，用待定系数法构造等比数列，令1(1)()n n a A n B q a An B ++++=++，利用系数相等求出A 和B ．（2）形如11n n n a pa qp ++=+，采用两边同除法构造等差数列．两边同除以1n p +得到11n n n n a a q p p ++=+，故数列{}nna p 是公差为q 的等差数列．两边取倒数得11n n nqa p a pa ++=，即1n n a a p +=+，故{}n a 是公差为qp的等差数列．（4）含有n a ，1n a +的二次三项式，通过因式分解转化为常见数列求解．（5）形如21n n n a pa qa ++=+，用待定系数法转化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++，化简对比求出λ，则1{}n n a a λ++是公比为p λ+的等比数列，再根据情况求出n a ．（6）形如1rn n a pa +=，采用两边取对数法，变形为1lg lg lg n n a r a p +=+，再用待定系数法（7）换元法：适用于含有根式的递推关系式，把根式整体代换为一个简单数列来表示．6．数学归纳法根据数列前几项的值猜想数列的通项公式，首先带入第一项验证成立，然后假设第k项成项也成立，便可证明猜想的公式就是数列的通项公式．立，最后证明第练习题：答案解析：则当1n k =+时1228(1)(21)(23)k k k a a k k ++=+++2222(21)18(1)(21)(21)(23)k k k k k +-+=++++ 22222(21)(23)(23)8(1)(21)(23)k k k k k k ++-+++=++ 22(23)1(23)k k +-=+ 22[2(1)1]1[2(1)1]k k ++-=++ 由此可知，当1n k =+等式也成立故22(21)1(21)n n a n +-=+．数学浪子整理制作，侵权必究。
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求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。
解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。
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数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列通项公式经典题型(含详细答案)
1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)4,2,(2,)2n n n n a S na n n -==+-≥∈N *则数列{}n a 的通项公式；4,(1)1.(2,)n n a n n n =⎧=⎨+≥∈⎩N *2.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n nb S =-则数列{}n b 的通项公式n n b 312⋅=3.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=则}{n b 的通项公式；.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即4.已知等比数列}{n a 的前n 项和为S n =K ·2n+m ，k ≠0,且a 1=3. ,nn a nb =数列}{n b 的通项公式)223221(31,23121--++++=⋅==n n n n n n T n a n b 5.已知各项均为正数的数列{}n a 满足22*1120()n n n n a a a a n N ++--=∈且32a +是2a 、4a 的等差中项，则数列{}n a 的通项公式n a 2nn a =6.在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥．则数列{}n a 的通项132n a n =-7.已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=则数列{}n a的通项公式11()2n n a =-，8已知数列{}n a 的前n 项积123n a a a a T =２ｎ＋ｎ２ｎ．．．则{}n a 通项公式a ｎｎ＝３ 9.数列{}n a 满足01=a ，nn a n a n n 32)33(1+++=+.则{}n a 通项公式n a 131-⋅=-n n n a ；10.已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时，有12(4)4(48)n n n na n a n a n a ---=+-+-数列{}n b 的通项公式．11(1),2(1)2222n n n nb b n n b =--=-得 11.在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.12log n n n b a a +=+则数列}{n b 的通项公式12log 21n n n n b a a n +=+=+-12.已知数列}{n a 中120(2)nn n n a a ---=≥１＝２，ａ，n a =()1n n n a =+13. 已知数列}{n a 中，1112,22n n n a a a ++==+则{}n a 通项公式2nnn a =⋅ 14.已知数列{}n a 的前n 项和Sn,a 1=2，当n 大于等于2时,2S 2n =(2S n -1)a n,则{}n a 的通项公式为15. 数列{}n a 的前n 项积为Sn ，且Sn=2-2 a n ，则a n=。
(完整word版)求数列的通项公式方法总结,推荐文档
题型四：求数列的通项公式一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥；【例1】已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式。
解：（1）由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++……1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n=- 2、叠乘法：一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥； 【例2】在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n n a a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 11433221=-⋅⋅Λ 所以n a n 1= 3、构造法：当数列前一项和后一项即n a 和a n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
方法技巧专题02 数列求通项问题(解析版)
128
项，
16 15 10 9
9
9
故选 C.
2. 巩固提升综合练习
【练0习07 1】由数列的前几项，写出通项公式：
(界1的)1，－7，13，－19，25，…
习
学 ： 号
(2)1，3，1，7 ，9 ，… 4 7 2 13 16
众 公
(3)1，－8，15，－24，…
57 9
【解析】 (1)数列每一项的绝对值构成一个以 1 为首项，6 为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为
(1)3,5,3,5,3,5，…
(2)1，2，3，4，5，… 23456
(3)2，5，13，33，81，… 2 4 8 16
(4)1，1，1 ，1 ，1 ，… 2 6 12 20 30
【解析】 (1)这个数列前 6 项构成一个摆动数列，奇数项为 3，偶数项为 5.所以它的一个通项公式为 an＝
4＋(－1)n.
(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比 分子大 1，所以它的一个通项公式为 an＝ n . n＋1
(3)数列可化为
1＋1,2＋1，3＋1，4＋1，5＋ 1 ，…，所以它的一个通项公式为 2 4 8 16
an＝n＋2n1－1.
(4)数列可化为 1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，…，所以它的一个通项公式为 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6
an1 bn1 an bn 2
an bn 是首项为1,公差为 2 的等差数列. 2 由 1 知, an bn 3n , an bn 2n 1
2an 3n 2n 1, 2bn 3n 2n 1
an
3n
2n 2
1 ,bn
3n
2n 2
1
【三】累加法求通项
专题17 数列的通项公式(解析版)
3 1 319
1 3
393
20
2 38320
∴S= 19 320 1
故选 A
(
1
)(
1
) (
1
)
1
6．（数列的最大项）已知数列{}满足 1 ― 1 1 ― 2 ⋅⋅⋅ 1 ― = ， ∈ ∗ ，记 =
n 1 2an
k 1 ak
*
10．（周期数列）各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 1 ， an an 2 3an 1 ( n N ) ，
则 a5 a2019
__________．
【答案】27
【解析】由 a n a n 2 3a n 1 知 n 2 , a n 1 a n 1 3a n ,两式相除得 a n 1 a n 2 9，
即 P（4）＝24﹣1＝15，
故选：D．
8．（已知
，求
{}的通项公式为（
A． = 4 ⋅ 3 ― 1
1
）已知等比数列{}满足：1 = 4， = + 1 + ( > 0)，则 ― 取最小值时，数列
）
B． = 3 ⋅ 4 ― 1
C． = 2 + 1
【答案】A
2
f x 3 f x 2 .记函数 f x 的极大值点从小到大依次记为 a1 , a2 , , an , , 并记相应的极大值为
b1 , b2 , , bn , , 则 a1b1 a2b2 a20b20 的值为（ ）
A． 19 320 1
(完整版)数列通项公式与求和讲解与习题(含答案),推荐文档
数列通项与求和一．求数列通项公式1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
）例．等差数列是递增数列，前n 项和为，且成等比数列，．求数列的通{}n a n S 931,,a a a 255a S ={}n a 项公式．答案：35n a n =2．公式法：已知（即）求，用作差法：n S 12()n a a a f n +++= n a 11,(1),(2)n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例．设正整数数列前n 项和为，满足，求{}n a n S 21(1)4n n S a =+n a 答案：21n a n =-3．作商法：已知求，用作商法：。
12()n a a a f n = n a (1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩如数列中，对所有的都有，则；}{n a ,11=a 2≥n 2321n a a a a n = =+53a a 答案：61164．累加法：若求：1a +(2)n ≥。
1()n n a a f n +-=n a 11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 例．已知数列，且a 1=2，a n +1=a n +n ，求a n ．答案：242n n n a -+=5．累乘法：已知求，用累乘法：1()n n a f n a +=n a 121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥例．已知数列满足，，求。
{}n a 321=a n n a n na 11+=+n a 答案：23n a n=6．已知递推关系求，用构造法（构造等差．等比数列）。
n a（1）形如只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式()n f pa a n n +=+1{}n b ()n f ()n f ①为常数，即递推公式为（其中p ，q 均为常数，）。
专题07 求数列的通项公式(解析版)
专题07 求数列的通项公式【考点1】已知前你n 项和，求通项公式的步骤(1) 、当n ＝1时，a 1＝S 1；(2) 、当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 【考点2】已知数列的前几项，求通项公式如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或 (－1)n＋1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决. 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决. 【考点3】已知数列的递推关系，求通项公式当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列； 当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列； 当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．三、解法解密 二、考点再现一、核心先导若数列{}n a 满足1n n a a an b ++=+，则数列{}{}221,n n a a -都是公差为a 的等差数列，若数列{}n a 满足()10,0,1n t n n a a a b a b b ++⋅=⋅≠≠≠，则数列{}{}221,n n a a -都是公比为b 的等比数列.题型一:公式法例1、（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．2【变式训练1-1】、（2022·广西·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，若253,6a a ==，则11a =___________. 例2、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列{}n a 中，3a ，4a ，7a 成等比数列. (1)求n a ；(2)设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)25n a n =-【变式训练2-1】、（2022·上海松江·二模）在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．题型二:累加法与累乘法(一) 、用累加法求数列的通项公式例3、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列{}n a 满足111,2(,1)n n a a a n n n +==+∈≥N ，则其通项公式n a =________．【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】利用累加法即可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，所以212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，把以上1n -个式子相加，得()()()()()213243124621n n a a a a a a a a n -++++++++---=--……， 即()()122212n n a n a +---=，所以2211nn n a an n =-+=-+.故答案为：2n n 1-+.【变式训练3-1】、在数列{}n a 中,112a =,12141n n a a n +-=-,则该数列的通项公式n a = ． 【分析】题目已知条件是1()(2n n a a f n n --=≥,且n *∈N ）形式,用叠加原理求解.【解析】因为121111()4122121n n a a n n n +-==---+,所以运用累加法即可得到：1122111111111()()()[(1)()()](1)23352321221n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=-+-++-=----,所以11143(1)22142n n a a n n -=+-=--,故应填4342n n --． 【点评】当1()(2n n a a f n n --=≥,且n *∈N ）满足一定条件时,可用1()n n n a a a -=-+12()n n a a ---+…211()a a a -+来求通项n a ,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为21d n n =-或21d n n =+是常数,实际上21d n n =-或21d n n=+是个变量,n 变化d 随之改变.【变式训练3-2】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列{}n a 中，16a =，前5项的和为590S =，数列{}n b 满足11b =，()*12N n n n b b n +-=∈．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)()6N*n a n n =∈，()*21N n n b n =-∈；(2)()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列求和公式可得6d =，进而可得()6N*n a n n =∈，再利用累加法可求n b ，即得； （2）由题可得()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩，然后利用分组求和法即得.(1)设公差为d ，由题设可得5456902d ⨯⨯+=， 解得6d =，所以()6N*n a n n =∈； 当2n ≥时，2123221111222222n n n n n b b b b b b b b ----=⎫⎪-=⎪⇒-=++⋅⋅⋅+⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎭，∴122112nn n b -==--，当1n =时，11b =（满足上述的n b ），所以()*21N n n b n =-∈．(2)∵()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩．当4n ≤时，()()21271361222nn n T c c c n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦ ()()212761212nn n -++=-- 213422n n n +=+-+．当5n ≥时，()()561234222313761nn n T c c c n ⎡⎤=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⎣⎦()()()54212463234122n n n ---+=+--1223466n n n +=--+．综上所述：()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩． (二) 、用累乘法求数列的通项公式例4、（2022·安徽黄山·一模）已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20211232020a a a a a =+++⋅⋅⋅+___________.【答案】10111010【解析】 【分析】利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，利用错位相减法可求得122020+++a a a ，即可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则()1221n n n a a n ++=+，所以，当2n ≥时，()()132112121232421223n n n n n a a a a a n a a a n--+⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+⋅， 12a =也满足()112n n a n -=+⋅，所以，对任意的N n *∈，()112n n a n -=+⋅.令122020S a a a =+++，则012201922324220212S =⨯+⨯+⨯++⨯，可得1220192020222322020220212S =⨯+⨯++⨯+⨯，上述两个等式作差得()20191220192020202020202122222202122202122020212S --=++++-⨯=+-⨯=-⨯-，所以，202012202020202a a a S +++==⨯，因此，2020202120201232020202221011=202021010a a a a a ⨯=+++⋅⋅⋅+⨯. 故答案为：10111010. 例5、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列{}n a 中，112a =，且满足1(1)n n na n a +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设112n n n b a λ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)2n na = (2)1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用累乘法求得n a . （2）由10n nb b 分离常数λ，结合函数的性质求得λ的取值范围.(1)依题意0n a ≠，故11n n a n a n ++=，从而11n n a n a n -=-，2n ≥， 故3212112n n n a a a a na a a a -⋅==，2n n a =， 当1n =时，上式也符合，所以2n n a =. (2)由（1）知，112221n n n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，则1422021n n n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的*N n ∈恒成立， 即4221maxn n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭， 又()()4222221123n n n n n n n-==++++++， 因为函数()20y x x x=+>在区间()0,2上单调递减， 在()2,+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当1n =或2n =时，23n n++取得最小值6， 即4221n n -++取得最大值13，故实数λ的取值范围为1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【变式训练5-1】、数列{}n a 中，前n 项和为n S ， 2nn na S = (1)求数列{}n a 的通项公式；学=科网 (2)令2112n n n n n S S b S S ++++=+，证明： 12223n n b b b n <+++<+.【解析】(1) 2nn na S =， ()()11122n n n a S n ---=≥，两式相减得： ()1122n n n n a na a --=-， 整理得： ()()121n n n a n a --=-， （叠乘法）因为()1132n n a n n a n --=≥-，所以3221a a =， 4332a a =，…， 112n n a n a n --=-， 相乘得21na n a =-，且当n =1、2时，满足此式， 所以()21n a n a =-.(2) ()()()()()()22222112212122n n n a n na b n na n n a +++=++++ 22n nn n +=++， 因为n b 2>，所以122n b b b n +++>；222211211222n n nb n n n n n n +=++=++-+⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ 12111112213242nb b b n n n +++⎛⎫=+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ 11122123212n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭.【变式训练5-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且32n n a S n =+. (1)求数列{}n a 的通项公式： (2)证明：12123nn S S S ++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)()12n n n a +=(2)证明见解析 【分析】（1）利用n a 与n S 关系可推导得到111n n a n a n -+=-，利用累乘法即可求得n a ；题型三:已知前n 项和，求通项公式例6、（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）已知数列{}n a 中，前n 项的和为n S ，且34n n S a =- (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)如果123123n n a a a a ++++<92-823n⎛⎫⨯⎪⎝⎭恒成立，求n 最小值. nna ++，解不等式即可， nna ++12()23n n -++⨯32)312n -++⨯212()32()]3n -+++n⎫⎪⎭，【变式训练6-1】、（2022·四川资阳·一模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3232S a =+，且12n n a S a =+．(1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足11231232n nna b b b b +++++=-，求{}n b 的前n 项和n T ． 2q为公比的等比数列，2得13a a +122n -=⋅=n nna b ++=3131n n b b --+++=，2n ≥12，符合b 1212222n nn b ++=+++121231222n n n 012111112222n n n T T --==++++-题型四:构造法例7、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式及前n 项的和n S . 【答案】(1)证明见解析； (2)121n n a +=-，224n n S n +=--. 【解析】 【分析】 （1）证明出1121n n a a ++=+，即可证得结论成立； （2）由（1）的结论并确定数列{}1n a +的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法可求得n S . (1)证明：因为数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈，则()1121n n a a ++=+，且114a +=，则218a +=，3116a +=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a +>，所以，1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +为等比数列. (2)解：由（1）可知，数列{}1n a +是首项为4，公比为2的等比数列，则111422n n n a -++=⨯=，所以，121n n a +=-，因此，()()()()()23412341212121212222n n n S n ++=-+-+-++-=++++-()222122412n n n n +-=-=---.【变式训练7-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+ 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案； （2）根据错位相减法求和即可. (1)解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∴21nn a =-(2) 解：(1)2n n n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+A 组 基础巩固1．（2022·广西北海·一模（理））在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a =（ ） A ．19 B ．18C ．17D ．20【答案】C【分析】利用已知条件列方程组求出1,a d ，从而可求出12a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1128612a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=⎩， 所以1211161117a a d =+=+=， 故选：C.2．（2022·全国·模拟预测（文））在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈，则2022a =（ ）A ．40432022B ．20212022C ．40402021D ．20202021()21111111111212a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．（2022·广西·模拟预测（文））在等比数列{}n a 中，124a a +=，若1a 、22a +、3a 成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B4．（2010·山西临汾·模拟预测（文））已知等差数列{}n a 的公差是2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．6- B ．4- C ．8- D ．10-【答案】A【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可. 【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，3a ，4a 成等比数列， 所以2314a a a =，即()()()2222224a a a +=-+， 解得26a =- ， 故选：A5．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足652317a S a a ==，，则12a =（ ）A ．28B ．30C ．32D ．35【答案】D【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项的值,进而代入即可求解.【详解】设公差为d 且0d >，由652317a S a a ==，，得()()111115172510230a d a a d a d a d d d +=⎧=⎧⎪+=++⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩， 故1211123335a a d =+=+=， 故选：D6．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ）A ．123n -⨯B ．12n -C ．12n +D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+-，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+-，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．故选：D ．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））设数列{}n a 满足11,1n n n a a a ++=-且112a =，则2022a =（ ）A ．2-B ．13-C ．12D ．38．（2020·云南·昆明一中模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*3n n S a n =+∈N ，则实数a 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．1【答案】C【分析】先求出1a 23,a a ，由2213a a a 解得即可；【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为()*3n n S a n =+∈N ，当1n =时，可得1113a a S +==，可得13a a =+，当2n ≥时，113n n S a --=+，则()1113323n n n n n n a S S a a ---==-=⋅-++所以213123236,2318a a --=⋅==⋅=因为{}n a 为等比数列， 所以2213a a a ，即()66183a ⨯=+解得1a =-，经检验符合题意. 故选：C ．9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，4516a a +=，则6a =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【分析】根据条件求出1,a d 即可.【详解】因为1231339a a a a d ++=+=，4512716+=+=a a a d ， 所以可解得1a 1,d 2，所以61511011a a d =+=+=， 故选：C10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列{}n a 满足：①先单调递减后单调递增：②当3n =时取得最小值．写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式n a =_________．【答案】()()2*3N n n a n =-∈【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设()()2*3N n a n n =-∈，则()212n a n +=-，()()2122325n n a a n n n +-=---=-，当120152,n n n n a a +-=-≤<≤，数列单调递减，当1503,2n n n a a n +-=->≥，数列单调递增，即1234a a a a >><<⋅⋅⋅， 可得当3n =时数列取得最小值，故答案为：()()2*3N n n a n =-∈11．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若33a =，39S =，则{}n a 的公比为______．12．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知等差数列{}n a 的公差1d =，且3a ，5a ，6a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S ．13．（2022·河南·模拟预测（理））若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++<． ()2112(1)2(2)21a a a n n ++-+=-+-+++222(1)2n n -+⋅-=12=<； 111=-， 2311111111111112231n n a a a a n n ⎛⎫++=++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭12n=-<12na ++<； 21n n -+.B 组 能力提升14．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列且公比2q .数列{}n a 和数列{}n b 的前n 和分别为n S 和n T ，且满足222n n T S +=，则等差数列{}n a 的通项公式为_____________. 【答案】42n a n =-【分析】分别令1,2,3n =，得到224468222T S T S T S+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，设{}n a 的公差为d ，化简得到114275634740a d a d -=⎧⎨-=⎩，解方程组可得答案.【详解】由已知得，令1,2,3n =得，222244446868222222T S T S T S T S T S T S ⎧+==-⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩，根据等比数列求和公式，得到2141613,15,63T b T b T b ===，故12141832152632b S b S b S =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩428225(2)221(2)S S S S -=-⎧⇒⎨-=-⎩，设{}n a 的公差为d ，则1111462105108282422142a d a d a d a d +-=+-⎧⎨+-=+-⎩，化简得111427562347404a d a a d d ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，42n a n =-故答案为：42n a n =-15．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列{}n a 满足31352,4a a a a +=+=，则79a a +=___________. 16．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列{}n a 为等比数列，1272a a +=，2336a a +=，则4a =______. 【答案】6【分析】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得到11(1)72(1)36a q a q q +=⎧⎨+=⎩，能求出1a 和q ，即可求出答案【详解】解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得1211223117236a a a a q a a a q a q +=+=⎧⎨+=+=⎩即11(1)72(1)36a q a q q +=⎧⎨+=⎩， 易得10q +≠，所以两式相除，解得12q =， 将12q =代入1(1)72a q +=可得148a =，所以3416a a q ==， 故答案为：617．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列{}n a 满足12a =，()*121N n n n a a a n ++++=∈，则其前2020项和为___________. 【答案】675【分析】利用分组求和法求得正确答案. 【详解】12a =，121n n n a a a ++++=()()()2020123456720182019202016731675S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++⋯⋯+++=+⨯=故答案为：67518．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））雪花曲线是由瑞典人科赫（Koch ）于1904年提出的一种分形曲线，其形态似雪花，故称雪花曲线，又称科赫雪花．雪花曲线是由等边三角形开始，把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边．接着对所得新图形的每条边继续上述过程，即在每条边三分后的中段，向外画新的“尖形”．不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．下图分别是0、1、2、3级的雪花曲线，若第0级的等边三角形边长等于1，则第4级的雪花曲线周长等于______．19．（2020·全国·模拟预测（文））记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n 为正整数），则数列{}n a 的通项公式为________．故答案为：21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 20．（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n 层放n a 个物体堆成的堆垛，则1210111a a a +++=__________． 【答案】2011【分析】由累加法即可求得n a ，再利用裂项相消法即可求解. 【详解】由题可知：1231,3,6a a a ===，即有()12n n a a n n --=≥， 所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++(1)12342n n n +=+++++=，当n=1成立 所以1222(1)1n a n n n n ==-++，所以121011122222222223341011a a a +++=-+-+-++- 22021111=-=. 故答案为：201121．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. (2)若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，22n b n n =-(23)n ++-符合上式，∴n b =2,36,n n -=⎧=⎨-⎩C 组 真题实战练22．（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{an }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．23．（2021·全国·高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.24．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【答案】A【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 5＝5，S 5＝15，∴1145{545152a d a d +=⨯+=⇒111a d =⎧⎨=⎩⇒a n ＝n. ∴11n n a a +⋅＝()11+n n ＝111n n -+，S 100＝112⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1123⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋11100101⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1－1101＝100101. 25．（2014·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出． 解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4． 故选C ．考点：等比数列的前n 项和．26．（2014·天津·高考真题（文））设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2 B ．-2C ．12D ．12-【答案】D 【分析】把已知2214S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S ，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题． 27．（2010·湖北·高考真题（文））已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A ．12+ B ．12- C ．322+ D ．322-【答案】C【详解】试题分析：由已知3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，因为数列{}n a 的各项均为正，所以21q =+，222910787878322a a a q a q q a a a a ++===+++．故选C ．考点：等差数列与等比数列的性质．28．（2015·浙江·高考真题（理））已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <>【答案】B【详解】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念29．（2019·全国·高考真题（理））记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．30．（2019·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.31．（2008·四川·高考真题（文））设数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n ，则通项n a = ___________． 21⎤++++⎦)1+ 故应填【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；抓住1n n a a +=32．（2014·广东·高考真题（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____.【答案】5.【详解】试题分析：由题意知21534a a a ==，且数列{}n a 的各项均为正数，所以32a =，()()()223512345152433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==，()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===．考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．33．（2015·安徽·高考真题（理））已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 . 2q ，项和1n a S =等比数列的性质；2.等比数列的前34．（2014·江苏·高考真题）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是_______. 【答案】4【详解】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为100q a >>，．∵8642a a a =+，∴7511123=+a q a q a q ，化为4220q q --=，解得22q =．∴261254124a a q a q ===⨯=．故答案为4．考点：等比数列的通项公式.35．（2015·全国·高考真题（理））n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 1n （Ⅱ））根据数列的递推关系，利用作差法即可求11n a +，利用裂项法即可求数列121n +++本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．36．（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．37．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 113n n --+++121111333-⎫+++⎪⎭n ，230121*********323333n n n -⎫⎛⎫++++-++++=⎪ ⎪⎭⎝⎭0101233--+++113---n n 2111111212233-----+++n n ， ⑧ 311212233---+++nn ． ⑨211133-⎫++-⎪⎭n 123--⨯n n ． 03<⨯nn．113n n --+++3213n n -+++2111133333n n n n =++++-1)323n nn-⋅，3(134n n --1n b c ++=：导函数法 23+++=nx x x )()(1'1n x x ⎡⎤⎤-⎣⎦1-++=n nx1-n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 38．（2014·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：121113 (2)n a a a +++<. 【答案】（1）证明见解析，113322n n a -+=；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n-. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1na =31(1)23n -32<，+1n a 32<. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力。
高二数学人教A必修5练习：2.1.2 数列的通项公式与递推公式 Word版含解析
课时训练6数列的通项公式与递推公式一、数列的单调性1.已知数列a n<0,且2a n+1=a n,则数列{a n}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法判断答案:A解析:∵a n<0,∴a n+1-a n=a n-a n=-a n>0.∴数列{a n}是递增数列.2.在数列{a n}中,若a n=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为.答案:29解析:a n=-(n-6)2+29,所以当n=6时,a n最大,解得a6=29.二、由递推公式求数列中的项3.若a1=1,a n+1=,则给出的数列{a n}的第7项是()A. B. C. D.答案:C,所以a7=.解析:由数列的首项和递推公式可以求出a2=,a3=,…,观察得到通项公式a n=-,则a2 012=()4.在数列{a n}中,a1=-2,a n+1=-A.-2B.-C.-D.3答案:D,解析:∵a1=-2,a n+1=-∴a2=-,a3=,a4=3,a5=-2.∴该数列是周期数列,周期T=4.又2 012=503×4,∴a2 012=a4=3.5.已知数列{a n},a1=1,a2=2,a n=a n-1+a n-2(n≥3),则a5=.答案:8解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,∴a5=a4+a3=8.6.已知数列{a n}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=a n,n∈N*,则a2 013=;a2 014=.答案:10解析:a2 013=a504×4-3=1,a2 014=2a1 007=2a4×252-1=0.7.数列{a n}满足a n+1=-,a8=2,则a1=.答案:解析:a8=-=2,∴a7=.又a7=-,∴a6=-1.又a6=-,∴a5=2.以此下去,可推出a1=.三、由递推关系求通项公式8.已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+1(n≥2),则通项公式为()A.a n=1B.a n=2n-1C.a n=nD.a n=n+1答案:C解析:由a n=a n-1+1知a n-a n-1=1,∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为a n=n.9.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+1,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n-1B.a n=2n-1C.a n=-D.a n=1+答案:A解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…, 由此归纳得a n=2n-1.方法二:∵a n+1+1=2(a n+1),∴=2,用累乘法可得a n+1=2n.∴a n=2n-1.10.(2015温州高二检测)已知数列{a n},a1=1,以后各项由a n=a n-1+-(n≥2)给出.(1)写出数列{a n}的前5项;(2)求数列{a n}的通项公式.解:(1)a1=1;a2=a1+;a3=a2+;a4=a3+;a5=a4+.(2)由已知得a n-a n-1=--,∴a2-a1=1-,a3-a2=,a4-a3=,……,a n-a n-1=-.左右分别累加得a n-a1=1-,所以a n=a1+1-=2-.(建议用时:30分钟)1.已知数列{a n},a1=1,a n-a n-1=n-1(n≥2).则a6等于()A.7B.11C.16D.17答案:C解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.2.已知数列{a n}中,a1=2,a n=--(n≥2),则a2 015等于()A.-B.C.2D.-2答案:C解析:∵a n+2=-=a n,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a2 015=a1=2.3.数列{a n}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…a n=n2,则a3+a5等于()A. B. C. D.答案:C解析:由已知得⇒a3=⇒a5=,∴a3+a5=.4.已知数列{a n}的通项公式为a n=--,则数列{a n}()A.有最大项,没有最小项B.有最小项,没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项答案:C解析:数列{a n}的通项公式为a n=--,令t=-(0<t≤1),则a n=t2-t=-(0<t≤1).故数列{a n}有最大项和最小项,选C.5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键()A.6n个B.(4n+2)个C.(5n-1)个D.(5n+1)个答案:D解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图的化学键个数应为a n=5n+1.6.数列{a n}满足a n+1=-若a1=,则a9等于.答案:解析:a1=,∴a2=2a1-1=,∴a3=2a2-1=,∴a4=2a3=,同理a5=,a6=,a7=,a8=,a9=.7.数列{a n}中a1=1,a2=3,-a n-1·a n+1=(-1)n-1(n≥2),那么a4=.答案:33解析:令n=2得-a1·a3=-1,∴a3=10.令n=3代入,得-a2a4=(-1)2,∴a4=33.8.设函数f(x)定义如下表,数列{x n}满足x0=5,且对任意的自然数均有x n+1=f(x n),则x2014=.答案:1解析:x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5=x0,从而数列{x n}是周期为4的数列,于是x2 014=x4×503+2=x2=1.9.已知递增数列{a n}的通项公式是a n=n2+λn,求实数λ的取值范围.解:∵数列{a n}是递增数列,∴a n+1>a n对n∈N*恒成立.∵a n+1-a n=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ,∴2n+1+λ>0对n∈N*恒成立,即λ>-2n-1对n∈N*恒成立,又当n∈N*时-2n-1≤-3,∴λ>-3.10.设数列{a n},a1=0,a n+1=-,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式.解:a1=0,a2=-,a3=--,a4=--.直接观察可以发现a3=可写成a3=,这样可知a n=-(n∈N*,n≥2).当n=1时,-=0=a1,所以a n=-.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
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求数列通项公式一、公式法类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n na a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
练习题：1.已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
2. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
二、累乘法类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯L L L L 所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅L ，即得数列{}n a 的通项公式。
例4 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L ②用②式－①式得1.n n n a a na +-=则1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=L L由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=L 。
所以，{}n a 的通项公式为!.2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
练习题：1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 2.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a三、待定系数法类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例5 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯将1235n n n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n nn n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去2n a ，得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-⑤由1156510a -=-=≠及⑤式得50nn a -≠，则11525n n nn a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
练习题1 已知数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
练习题 2 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
过关练习：1 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a2 在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________四、数学归纳法例6已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =，得2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯ 由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当1n =时，212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+，所以等式成立。
（2）假设当n k =时等式成立，即22(21)1(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，1228(1)(21)(23)k k k a a k k ++=+++222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=++++-+++=++++-+=+++-=+++-=++2由此可知，当1n k =+时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何*n N ∈都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
其他类型类型 4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q，得：q q a q p qa n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中nn n q a b =），得：q b q p b nn 11+=+再待定系数法解决。
课后练习题 已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去na 进行求解。
课后练习题 已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .类型6 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。