19.9(4)勾股定理(勾股定理的逆定理及其应用)

19.9（4）勾股定理（勾股定理的逆定理及其应用）要点归纳

应用勾股定理时要注意：在直角三角形的三边中，首先弄清那条边是斜边。

应用勾股定理逆定理时要注意：最大边的平方等于较小两边的平方和。

疑难分析

例1 将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6.求重叠部分四边形的面积。

例2 如图，P是四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、DA

的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，HD=4，DG=1，CG=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1，求四边形ABCD的周长。

A B

基础训练

1. 在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为36、64，则以斜边为边长

的正方形的面积为＿＿＿＿；

2. 在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=＿＿＿＿；

3. 一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有

＿＿＿＿米；

4. 如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是＿＿＿＿米；

5. 若直角三角形的两边长为12和5，求以第三边为边长的等边三角形的面积是＿＿＿＿；

6. 在△ABC中，AB=15，AC=13，边BC上的高AD=12，则△ABC的周长为＿＿＿＿；

7. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（）.

A.24

B.36

C.48

D.60

8. 等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（）.

A.56

B.48

C.40

D.32

9. 若直角三角形一直角边长为9，另两边为连续自然数，则此三角形的周长为（）.

A.121

B.120

C.90

D.不能确定

10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家。若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）.

A.600米

B.800米

C.1000米

D.不能确定

11. 观察下列几组数据：①m2+n2、2mn、m2-n2（m﹥n﹥0）②三边之比为1：2：3；③△ABC 的三边长为a、b、c，满足a2-b2=c2。其中能作为直角三角形三边长的有（）.

A.1组

B.2组

C.3组

D.0组

12. 如图，公路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E。

（1）若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处？

（2）若使得C、D两村到E站的距离和最短，E站建在离A站多

13. 如图，将一个边长分别为4、8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则EF的

长是多少？

D'

A

E

14. 如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB 的度数。

15. 如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使点C 和点B 重合。 （1）画出折痕DE ；

（2）求出折痕DE 的长。

16. 如图，已知在△ABC 中，∠B=90°，AB=BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F 。求AE ：BE 的值。

A B

B

C A A B C D

E

拓展训练

17. 如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向形外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明1S =2S +3S 。

问题1：如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向形外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）

问题2：如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向形外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你确定1S 、2S 、

3S 之间的关系并加以证明；

问题3：若分别以直角三角形ABC 三边为边向形外作三个正n 边形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你猜想1S 、2S 、3S 之间的关系？