排列&组合计算公式及经典例题汇总
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则是指通过计算排列或组合的计算公式和规则来求解问题。
其中，排列是指从一组元素中，选取出若干个元素按照一定的顺序排列，而组合是指从一组元素中，选取出若干个元素不考虑顺序。
以下是常见的排列组合运算法则：
1. 排列：
- 有放回排列：如果元素可重复使用，且每个元素在每个位
置上都有可能出现，那么排列数为元素个数的指数幂，即An
= n^r。
- 无放回排列：如果元素不可重复使用，那么排列数为元素
个数的阶乘除以剩余位置数的阶乘，即An = n!/(n-r)!。
2. 组合：
- 有放回组合：如果元素可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的组合数，即C(n+r-1, r)。
- 无放回组合：如果元素不可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的阶乘除以选取的元素的阶乘乘以剩余位置的阶乘，即C(n, r) = n!/r!(n-r)!。
通过排列组合的运算法则，可以求解各种问题，如排列组合问题、概率问题、形成小组等问题。
排列(优秀课件)
课堂练习
新知探究
4．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的 4 个节目的基础 上再添加 2 个小品节目，且 2 个小品节目不相邻，则不同的 添加方法共有________种．
解析：从原来 4 个节目形成的 5 个空中选 2 个空排列，共有
2 A5 ＝20 种添加方法．
答案：20
课堂小结
小结：
√
（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
√
典例解析
[例 2] 写出下列问题的所有排列： (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共 有多少个不同的两位数？ (2)由 1,2,3,4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四 位数？试全部列出．
3 5
2 4
8! 7! m! (m 1)! (2) (3) m2 7 5! Am 2
4 3 x x1 (1) A2 140 A (2)3 A 4 A x 1 x 8 9
（1）x=3
(2) x=6
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
解析： 列举如下： A—B—C， A—C—B， B—A—C， B—C—A， C—A—B，C—B—A.
答案：C
A7 n 3．满足不等式 5 >12 的 n 的最小值为________． An
n！n－5！ 解析：由排列数公式得 >12，即(n－5)(n－ n－7！n！ 6)>12，解得 n>9 或 n<2.又 n≥7，所以 n>9， 又 n∈N*，所以 n 的最小值为 10.
典例解析
[解] (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数． (2)画出树形图，如图所示．
排列的算法公式
排列的算法公式好的，以下是为您生成的关于“排列的算法公式”的文章：咱先来说说啥是排列。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，这就叫排列。
那怎么算出有多少种排法呢？这就得靠排列的算法公式啦。
排列的算法公式是：A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
这个公式看着有点复杂，但其实理解起来也不难。
我给您举个例子啊，就说咱们班要选 3 个同学去参加比赛，班里一共有10 个同学，那有多少种选法呢？这时候就可以用排列公式来算啦。
A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 ，所以一共有 720 种选法。
前几天我去菜市场买菜，看到水果摊摆着苹果、香蕉、橙子、草莓和西瓜。
我就想，如果我要挑 2 种水果带回家，那有多少种挑法呢？这其实就是一个简单的排列问题。
用排列公式算一下，A(5, 2) = 5! / (5 - 2)! = 5 × 4 = 20 ，居然有 20 种不同的挑选组合呢！再比如说，学校组织运动会，要从 8 个跑步健将里选 4 个参加4×100 米接力赛，那排兵布阵的方法可多了去了。
用排列公式一算，A(8, 4) = 8! / (8 - 4)! = 8 × 7 × 6 × 5 = 1680 ，哇，有 1680 种不同的安排方式呢！在实际生活中，排列的算法公式用处可大了。
像抽奖活动，从一堆号码里抽出几个中奖号码，这也是排列；还有安排座位，一排有 10 个座位，选 5 个人坐，也能用排列公式算出多少种坐法。
排列的算法公式虽然看起来有点头疼，但只要多琢磨琢磨，多结合实际例子想想，就能发现它其实挺好玩的，也挺有用的。
咱别被那一堆数字和符号吓到，把它当成解决实际问题的小工具，就会发现数学的世界也挺有意思的。
排列组合计算方法
排列组合计算方法
排列组合是一种数学计算方法，用于确定一组对象的不同排列或组合的数量。
在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是无关紧要的。
以下是计算排列和组合的方法：
1. 排列计算方法：
排列是从一组对象中选取特定数量的对象进行排列的方法。
用
n表示总对象数，r表示选择的对象数，则排列数可以通过以
下公式计算：
nPr = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 3 * 2 * 1。
2. 组合计算方法：
组合是从一组对象中选取特定数量的对象进行组合的方法。
用
n表示总对象数，r表示选择的对象数，则组合数可以通过以
下公式计算：
nCr = n! / (r! * (n-r)!)
其中，n!和r!表示n和r的阶乘，(n-r)!表示(n-r)的阶乘。
通过以上的排列和组合计算方法，我们可以得到不同排列和组合的数量。
在实际应用中，这些计算方法可以用于解决各种问题，如概率计算、组合问题、排序问题等。
排列公式计算方法
排列公式计算方法嘿，咱今儿就来聊聊排列公式计算方法这档子事儿哈！你说啥是排列呢？就好比你有一堆不同的水果，苹果、香蕉、橘子啥的，你要把它们排成一排，那不同的排法可就多了去了。
这就是排列呀！那排列公式呢，就是帮咱算出到底有多少种不同排法的好工具。
咱就拿个简单例子来说吧。
比如说有三个数字 1、2、3，要排成不同的三位数，那咱咋算呢？这时候排列公式就派上用场啦！它就像个神奇的魔法棒一样。
先看第一位，能选 1、2 或者 3 吧，有 3 种选法。
那第二位呢，因为第一位已经选了一个数了，所以就只剩下 2 个数可选啦，这就是 2种选法。
到第三位，就只剩下 1 个数能选咯，就是 1 种选法。
那把这些选法乘起来，3×2×1，这不就得到结果 6 嘛！也就是说有 6 种不同的三位数。
你想想，要是数字更多呢？那排列公式可就更重要啦！它能让咱快速准确地算出结果，不用一个一个去傻乎乎地排。
再比如说，你要从 5 个不同的人中选 3 个人站成一排拍照，这得有多少种不同的站法呀？用排列公式就能轻松搞定！排列公式就像是咱数学世界里的一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！你可别小瞧它呀！它能让咱在面对那些看似复杂得让人头疼的问题时，变得胸有成竹。
咱平时生活中其实也有很多类似排列的事儿呢。
比如说你出门穿衣服，有好几件上衣和裤子可以选，那不同的搭配不就是一种排列嘛！学了排列公式计算方法，你就像是掌握了一门绝技，能在各种场合大显身手。
而且呀，这可不仅仅是为了考试哦，说不定哪天你就能在实际生活中用到呢！总之呢，排列公式计算方法真的超有用的！好好学，你会发现数学的世界原来这么有趣，这么神奇！可别觉得它难就退缩哦，加油吧！你一定能掌握它的！怎么样，是不是觉得排列公式也没那么可怕啦？哈哈！。
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
那么排列组合有哪些数学公式呢?接下来店铺为你整理了排列组合的数学公式，一起来看看吧。
排列组合的数学公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m排列组合的数学解题技巧1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
排列与组合的区别技巧
排列与组合的区别技巧排列和组合是数学中常见的概念，用于计算一定范围内的排列或组合的个数。
尽管这两个概念听起来很相似，但实际上它们有着本质的区别。
在本文中，我们将探讨排列和组合的区别以及如何应用它们。
1. 排列和组合的定义排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其排列数用P(n,m)表示，公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
P(5,3)就表示从5个元素中取3个元素的排列数，它的计算式为5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。
C(5,3)表示从5个元素中选出3个元素组成的集合数，它的计算式为5!/(3! × 2!) = 10。
AB AC BA BC CA CB这是因为“AB”和“BA”被视为两种不同的排列方式，因为它们的元素顺序不同。
排列相对于元素的顺序是敏感的。
应用排列与组合的场景非常广泛，例如在密码学、计算机科学、统计学、经济学等多个领域都有着重要的应用。
在密码学中，排列和组合被用于计算密码中可能的排列组合，以及在密码破解时破译密码。
在计算机科学中，排列和组合被用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，以及进行搜索和排序算法等操作。
在经济学中，排列和组合被用于计算市场需求和供应的排列组合，以及进行产业分析和商业决策等操作。
4. 总结与结论排列和组合是数学中常用的概念。
其最大的区别在于元素的顺序是否重要。
排列相对于元素的顺序是敏感的，而组合相对于元素的顺序是不敏感的。
我们可以应用排列和组合计算密码、算法复杂度、统计概率以及进行商业决策等多个领域。
在应用排列和组合时，我们需要根据不同情况选择适当的计算方式。
在实际应用中，我们需要了解排列和组合的特性，并选择适当的计算方式。
下面我们将深入探讨排列和组合的特性及其应用。
1. 排列的特性（1）重复元素：在排列的情况中，如果有重复的元素，其排列数可以用重复因子的方法进行计算。
《排列》教案
（Байду номын сангаас）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《排列》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要排序的情况？”比如，排队、编号等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索排列的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
举例：通过实际操作，让学生从5个不同元素中取出3个元素，观察有多少种不同的取法，引导学生发现重复的现象，从而理解除以(n-m)!的原理。
（2）排列的计数方法：掌握排列的计数方法，能解决较复杂的排列问题。
举例：从6本不同的书中选择4本，要求这4本书的编号必须是连续的，如何计算排列数？引导学生先从6本书中选择连续的4本，再计算这4本书的排列数。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了排列的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对排列的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
《排列》教案核心素养目标：
1.培养学生逻辑推理能力：通过探究排列的定义和排列数公式，使学生能够运用逻辑推理分析问题，培养其逻辑思维。
2.提高学生数据分析能力：引导学生运用排列知识解决实际问题，学会收集、整理和分析数据，提高数据处理能力。
3.增强学生数学应用意识：让学生在实际情境中发现排列的应用，培养数学应用意识，提高解决实际问题的能力。
五、教学反思
在上完《排列》这节课后，我进行了深入的反思。首先，我觉得在导入新课环节，通过提问同学们日常生活中的排序问题，成功引起了他们的兴趣和好奇心。这种方法使得学生能够更快地进入课堂氛围，为后续的教学奠定了基础。
排列组合公式及排列组合算法
排列组合公式及排列组合算法排列组合这玩意儿，在数学里可有着不小的分量。
咱先来说说排列组合公式。
比如说，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，就可以用 A(n, m) 来表示，它的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
那啥是“!”呢？这叫阶乘，比如说 5! ，就是 5×4×3×2×1 。
再说说组合数，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用 C(n, m) 表示，公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
我记得有一次，学校组织活动，要从班级里选几个同学去参加比赛。
我们班一共有 30 个同学，老师说要选 5 个人去。
这时候，我就在心里默默算了起来。
按照排列数的算法，从 30 个同学里选 5 个同学进行排列，那就是 A(30, 5) = 30×29×28×27×26 ，这数字可大得吓人。
但老师只是选 5 个人去，不管他们的顺序，这就是组合数 C(30, 5) 啦。
咱们来具体讲讲排列组合算法。
在实际计算的时候，可不能光靠死记硬背公式，还得灵活运用。
比如说，计算 C(10, 3) ，咱就可以一步一步来，10! =10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 ，3! = 3×2×1 ，7! = 7×6×5×4×3×2×1 ，然后代入公式 C(10, 3) = 10×9×8÷(3×2×1) ，就能算出结果啦。
还有一种常见的算法是利用递推关系。
比如说，要算 C(n, m) ，如果已经知道了 C(n - 1, m - 1) 和 C(n - 1, m) ，那就可以通过 C(n, m) =C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m) 这个递推公式来算。
排列ppt课件
B 告不能 3 个连续播放，则不同的播放方式有( )
A.144 种
B.72 种
C.36 种
D.24 种
解析：先考虑第一个和最后一个位置必为公益广告，有
A
2 3
6
种，
另一公益广告插入 3 个商业广告之间，有 A12 2 种，
再考虑 3 个商业广告的顺序，有 A33 6 种，故共有626 72 种.
根据排列的定义，一个排列包含两个方面的意义：一是"取出元素"，二是 "按 照一定顺序排成一列". 因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列 顺序完全相同.例如，问题 1 中“AB”与“AC”，“AB”与“BA”均是两个不同的 排列.
从 n 个不同元素中取出 m m n 个不同的元素，所有不同排列的个数叫作从 n
A
A 3 3
34
6 4 3 2
144
种.
7.甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第 1 名到第 4 名的名次，已
知甲不是第 1 名，乙不是第 4 名，则这 4 个人名次排列的可能情况共有___1__4_____
种.
解析：当乙是第 1 名时，甲、丙、丁共 3 名同学有 A33 6 种排法；
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
m n
表示.
对于问题
1，是求从
5
个不同元素中取出
2
个元素的排列数，记为
A
2 5
，由分步乘法
计数原理可以算得 A52 5 4 20 .
对于问题 2，是求从
4
个不同元素中取认
3
个元素的排列数，记为
A
3 4
数学排列组合公式
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中取r个不重复的元素按次序排列称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用Pnr表示。
排列的个数用Pnr表示。
当rn时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为PnrPnr。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集而不考虑其元素的顺序称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用Cnr表示组合的个数用Cnr 表示对应于可重组合有记号CnrCnr。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一原因在于1从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型需要较强的抽象思维能力2限制条件有时比较隐晦需要我们对问题中的关键性词特别是逻辑关联词和量词准确理解3计算手段简单与旧知识联系少但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大4计算方案是否正确往往不可用直观方法来检验要求我们搞清概念、原理并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用1加法原理和分类计数法1加法原理2加法原理的集合形式3分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务两类不同办法中的具体方法互不相同即分类不重完成此任务的任何一种方法都属于某一类即分类不漏2乘法原理和分步计数法1乘法原理2合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务必须且只须连续完成这n步才能完成此任务各步计数相互独立只要有一步中所采取的方法不同则对应的完成此事的方法也不同例1用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合SA9 集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数等于剩余的3个数的全排列即3 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系则SASB3 SB9/3 这就是我们用以前的方法求出的P96 例2从编号为1-9的队员中选6人组成一个队问有多少种选法设不同选法构成的集合为C集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列组合常用公式
在排列组合中，有几个常用的公式和概念：
1. 排列公式：从n 个元素中取出k 个元素进行排列，共有P(n, k) 种排列方式，公式为：
P(n, k) = n! / (n - k)!
2. 组合公式：从n 个元素中取出k 个元素进行组合，共有C(n, k) 种组合方式，公式为：
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)! )
3. 乘法原理：如果某个事件需要经过若干个步骤才能实现，且每个步骤的选择次数分别为n1, n2, n3, ..., nk 次，那么最终实现该事件的总次数为n1 * n2 * n3 * ... * nk。
4. 加法原理：如果某个事件可以通过m 种不重叠的方式实现，其中第一种方式有n1 种情况，第二种方式有n2 种情况，以此类推，最终该事件的总情况数为n1 + n2 + n3 + ... + nm。
这些是排列组合中常用的公式和原理。
根据具体问题的要求，可以通过使用这些公式和原理来计算排列和组合的次数。
排列组合的各种方法
排列组合的各种方法
排列组合是一种数学问题，描述的是从给定的元素集合中选择一部分元素来形成一组对象的方法。
下面是一些常见的排列组合方法：
1. 排列
排列是从给定的元素集合中选择一定数量的元素，按照一定的顺序来排列形成一组序列。
常见的排列方法有：
- 全排列：将集合中的所有元素按照不同的顺序排列成一组序列。
- 循环排列：将集合中的元素排列成一组序列，并且其中的某些元素可以循环使用。
2. 组合
组合是从给定的元素集合中选择一定数量的元素，无需考虑元素的顺序。
常见的组合方法有：
- 无重复组合：从集合中选择不同的元素来组成一组对象，元素之间没有重复。
- 有重复组合：从集合中选择元素来组成一组对象，元素之间可以重复。
3. 全排列组合
全排列组合是将排列和组合结合起来，从给定的元素集合中选择一定数量的元素，按照一定的顺序来排列形成一组序列。
其中可以包括全排列和有重复排列两种形式。
这些方法可以通过数学公式或递归算法来实现。
具体的实现方法可以参考相关的数学教材或计算机算法书籍。
排列与排列数公式
排列与排列数公式1．排列(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”，“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列．2．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数表示法A m n全排列n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m＝n，即有A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1阶乘正整数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n！表示排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式A m n＝n！（n－m）！性质A n n＝n！，0！＝1备注n，m∈N*，m≤n排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数”，即排列共有多少种形式，它是一个数．因此，A m n只代表排列数，而不表示具体的排列．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：AA24＝________，A33＝________．答案：12 6若A m10＝10×9×…×5，则m＝________．答案：6探究点1 排列的概念判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上．【解】 (1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列．(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．2．判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．探究点2 排列的列举问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种．画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．[变条件]若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．2．[变条件]若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a 1a 2b 1，a 1a 2b 2，a 1a 2b 3，a 1a 2b 4，a 3a 4b 1，a 3a 4b 2，a 3a 4b 3，a 3a 5b 1，a 3a 5b 2，a 3a 5b 3，a 4a 5b 1，a 4a 5b 2，a 4a 5b 3，a 4a 5b 4，共14种．探究点3 排列数的计算或证明(1)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 【解】 (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1. (2)法一：因为A mn ＋1－A mn ＝（n ＋1）！（n ＋1－m ）！－n ！（n －m ）！＝n ！（n －m ）！·(n ＋1n ＋1－m －1) ＝n ！（n －m ）！·m n ＋1－m ＝m ·n ！（n ＋1－m ）！＝m A m －1n ，所以A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .法二：A mn ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A mn 个． 含有a 1的可这样进行排列：先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n 种排法． 故A mn ＋1＝m A m －1n ＋A mn ， 所以m A m －1n ＝A mn ＋1－A mn .排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．1.A m12＝9×10×11×12，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.等式A m 12＝9×10×11×12的右边是4个连续自然数的乘积，且最大数为12，故m ＝4.2．下列各式中与排列数A mn 相等的是( )A.n ！（m －n ）！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n n －m ＋1A n －1nD ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D.因为A mn ＝n ！（n －m ）！，A 1n ·A m －1n －1＝n ·（n －1）！[n －1－（m －1）]！＝n ·（n －1）！（n －m ）！＝n ！（n －m ）！，所以A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个D ．18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个． 3.A 345！＝________．解析：A 345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.答案：154．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解：大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.知识结构深化拓展1.判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题． 2．排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)适用m 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n 起连续写出m 个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A mn ＝n ！（n －m ）！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n 、m ∈N *，m ≤n ”的运用．[易错提醒] 公式中的n ，m 应该满足n ，m ∈N *，m ≤n ，当m >n 时不成立.1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D.A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.3．若α∈N *，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 827－α B ．A 27－α34－α C ．A 734－αD ．A 834－α解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A 834－α.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8D ．10解析：选B.列树形图如下：丙甲—乙乙—甲乙甲—丙丙—甲，共4种． 5．不等式A 2n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}解析：选C.由不等式A 2n －1－n ＜7， 得(n －1)(n －2)－n ＜7， 整理得n 2－4n －5＜0， 解得－1＜n ＜5.又因为n －1≥2且n ∈N *， 即n ≥3且n ∈N *， 所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6.2A 412＋A 512A 513－A 512＝________． 解析：原式＝2×12×11×10×9＋12×11×10×9×813×12×11×10×9－12×11×10×9×8＝2＋813－8＝2. 答案：27．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 8．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素． 解析：因为x ＝A m4， 所以有m ∈N *且m ≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24， 即集合P 中有3个元素． 答案：39．判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2，3，5，7，9中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？ (3)从集合M ＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1?解：(1)是．选出的2人担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题． (2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．(3)不是．焦点在x 轴上的椭圆，方程中的a 、b 必有a ＞b ，即取出的两个数谁是a ，谁是b 是确定的．10．甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙．若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，共5种．同样甲第一次发球给丙，也有5种情况．由分类加法计数原理，共有5＋5＝10种不同传球方法．[B 能力提升]11．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0解析：选C.因为当n ≥5时，A nn 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33，故选C. 12．A 2n ＋1与A 3n 的大小关系是( ) A ．A 2n ＋1＞A 3n B ．A 2n ＋1＜A 3n C ．A 2n ＋1＝A 3nD ．大小关系不定解析：选D.由题意知n ≥3，A 2n ＋1－A 3n ＝(n ＋1)n －n (n －1)(n －2)＝－n (n 2－4n ＋1)，当n ＝3时，A 2n ＋1－A 3n ＝6＞0，得A 2n ＋1＞A 3n ，当n ≥4时，A 2n ＋1－A 3n ＜0，得A 2n ＋1＜A 3n ，即A 2n ＋1与A 3n 的大小关系不定．故选D. 13．解下列方程或不等式． (1)3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ； (2)A x9＞6A x －29.解：(1)由排列数公式，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x （x －1）（x －2）＝2（x ＋1）x ＋6x （x －1），①x ≥3，x ∈N *.② 由①，得3x 2－17x ＋10＝0， 解得x ＝5或x ＝23，结合②可知x ＝5是所求方程的根． (2)原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧9！（9－x ）！＞6×9！（9－x ＋2）！，①2＜x ≤9，x ∈N *.②①式等价于(11－x )(10－x )＞6，即x 2－21x ＋104＞0，即(x －8)(x －13)＞0，11 所以x ＜8或x ＞13.结合②得2＜x ＜8，x ∈N *，所以所求不等式的解集为{3，4，5，6，7}．14．(选做题)一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62， 即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。
排列的定义
这是计算一个n元排列的反序数的一般方法，特别 在证明题中有用。
对换的定义：在一个n元排列 j1 j2 jn 中，如果交换 某两个数码的位置而别的数码不动， 则称对这个排列施行了一个对换。 如果交换的两个数码是 i 和 j ，就把这个对换记为 i, j 1,5 例如 341625 345621 问题1：任意两个n元排列是否可经一系列对换而互变？ 引理1：任意一个n元排列 j1 j2 jn可经一系列对换变为 自然排列12…n。 证明（用归纳法）： 1、当n=2时，结论显然成立。 2、假设结论对n-1元排列成立， （1） 则对任一个n元排列 j1 j2 jn ，
123 0。 321 3， 例如， 定理2.2.2：每一个对换均改变排列的奇偶性。 证明：（先特殊后一般） 1、先考虑特殊情况，即对换的两个数在n元 排列中是相邻的。 经对换(j,k) 设排列（1）： jk 化为排列（2）： kj ，在排列（1）中， 若 j , k 与其他数构成反序，则在排列（2）中仍 然构成反序； 若 j , k 与其他数不构成反序的，则在排列（2） 中也不构成反序。不同的是 j , k 的顺序发生变化， 若在（1）中 j , k 构成一个反序，则在（2）中
k n
定理2.2.1：任意两个n元排列可经一系列对换互化。
问题2：排列的反序数可以是 0,1, 究竟有何作用？
n n-1 ，反序数 2
二、排列的奇偶性。 排列的奇偶性：如果一个n元排列的反序数是 一个奇数，则称该排列为奇排 列，反序数是偶数的排列称为 偶排列。 例如： 321 , 45321 是奇排列，而 3241是偶排列。 问题3：对n元排列施行一次对换，对排列的奇偶性 有没有影响？
§2.2
排列
一、排列与对换 排列的定义：由n个数码1，2，…，n组成的一 个无重复的有序数组称为这n个数 码的一个排列，简称为n元排列。 例如， 312是一个3元排列，2341是一个4元排列， 45321是一个5元排列，等等。 3元排列共有多少种不同的排列？
排列的意思和造句
排列的意思和造句排列的意思和造句排列的意思：【拼音】páiliè【解释】原义是指按次序排队、安放或编排，或者排着队站立、成排耸立。
在现代数学中也有排列组合等专用词组。
【出处】语出宋卢炳《念奴娇·白莲》词：“西国夫人空里坠，圆盖亭亭排列。
”排列造句：1、稻子的头颅排列得很美丽，尤其是它们聚成山或堆成海的样子。
2、一个个黄澄澄、金灿灿的菠萝，似金珠般井然有序地排列着，美极了!3、那天空中的排列整齐的大雁又在声声呢喃，它们也都回到了故乡，可在外的游子们，还有当年的那一群小毛孩子们现在都还在哪里呢?是不是都还想着这寂静得可怜的村庄呵。
4、他的语言节奏十分紧密像一堵排列整齐的篱笆，使对方不能轻易插进嘴去。
5、我们认为我们个人排列各种价值的顺序不仅是个人的排列顺序，而是在有理性的人们的自由讨论中，我们会使别人相信我们的顺序是正确的。
哈耶克6、斑驳的墙面，留下一年又一年的印记，一排排房屋整齐排列，檐角向上轻轻翘起，似乎是一个绝美的笑容。
褪色后的红砖青瓦也倍显沧桑。
7、商品排列得井然有序，不见得生意就好，反倒是杂乱无章的小店，常有顾客登门。
8、人生是日积月累的过程组成，并不是连贯的目地的排列，生命的.真帝就蕴含在每一天的每一时每一刻中，追求成功，就应去珍惜每一刻，因为真正的成功从生活的每一细微处都能获得。
9、尽管风狂雨暴，排列在人民大会堂前的三军仪仗队员仍是持枪挺立，纹丝不动。
10、它们密密麻麻地排列着，像是一座星的山，放射着万丈光芒的星的山。
11、三军排列的那么整齐、威武雄壮，叔叔阿姨们一个个英姿飒爽、斗志昂扬。
12、这些迥然不同的人物被作者排列于一张清单，就已经是寓意深长的艺术创作了。
13、因此，它们必需照现在所呈上的档案内的排列次第彼此紧靠著。
14、芦荟的叶子呈宝剑形，笔直笔直的，它尽力向四面八方伸展着，吸收着阳光雨露。
如果你仔细看的话，叶子的两边还有排列得整整齐齐的“小牙齿”呢。
数学中排列和组合的区别
排列与组合的区别是：
一、侧重点不同
1、排列：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取知r个的无重复排列。
2、组合：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
二、符号表示不同
1、排列符号A(n,r)。
2、组合符号C(n,r)。
比如在3个数中选择2个数,组合方法有C（3,2）=3种,是12、13、23。
而排列方法有12、21、13、31、23、32共A（3,2）=6种，组合对数据顺序无关,排列对数据顺序有关联。
排列组合的发展：
虽然数学始于结绳计数的远古时代，由于那时社会的生产水平的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧。
随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧。
排列组合的算法
排列组合的计算公式是A(n，m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n/（n-m）。
排列组合是组合学最基本的概念，所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序，组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
除法运算
1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。
2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任意一个不等于零的数，都得零。
注意：
零不能做除数和分母。
有理数的除法与乘法是互逆运算。
排列组合的发展
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切，虽然数学始于结绳计数的远古时代，由于那时社会的生产水平的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧。
随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样
性，产生了各种数数的技巧，同时，人们对数有了深入的了解和研究，在形成与形密切相关的各种数学分支的过程中，如几何学、拓扑学以至范畴论的形成与发展。
排列的基本定义
排列的基本定义
排列是指从n个不同元素中任选r个元素，按一定顺序排成一列的不同方式总数。
其中，n称为总体，r称为抽样，n、r均为非负整数且n≥r。
例如，从ABC三个字母中选出两个字母，可以有以下6种排列方式：AB、AC、BA、BC、CA、CB。
排列与组合的区别在于，排列是按照特定的顺序将选出的元素排列，而组合是不考虑
元素的顺序。
排列的计算公式为：
$$A_{n}^{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$$
其中，!表示阶乘运算，n！表示将n个不同元素按从大到小的顺序排列的不同方式总数，即：
$$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1$$
例如，5！=5×4×3×2×1=120。
以ABC三个字母中选出两个字母为例，A可以选出3种，B可以选出2种，因此总共有
3×2=6种排列方式，与上述示例计算结果相同。
排列的应用十分广泛。
例如在密码学中，密码的强度往往与密码的排列方式有关，排
列数越多则破解难度越大。
在统计学中，排列可以用于计算样本空间大小，求解概率问题，以及模拟随机实验。
在计算机科学中，排列可以用于确定数据的存储顺序，以及进行各种
排序算法的分析。
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排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Anm(n为下标，m为上标)）Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个 D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有A12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有A13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有A33，得A13A33A12＝36(个)由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3A13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种 D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6 在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8 若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种 C.18种 D.24种解分医生的方法有A22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。