高等代数(北大版)第5章习题参考答案
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第五章 二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-；
2）2
3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212
2216223x x x x x x x x -+--；
4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；
6）4342324131212
422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212
4232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+=33
212211y
x y y x y y x （1）
则
()312
221321444,,y y y y x x x f ++-=
2
223233121444y y y y y y ++-+-=
()2
2
233
3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
==+=3
3223112121z
y z y z z y （2）
则原二次型的标准形为
()2
322213214,,z z z x x x f ++-=，
最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=+-=++=333212321
121212
121z x z z z x z z z x （3）
于是相应的替换矩阵为
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002112
1
210
2110001021021100011011T ， 且有
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。
2）已知()=321,,x x x f 2
3322221214422x x x x x x x ++++，
由配方法可得
()()()
2
33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=
()()2
322
212x x x x +++=，
于是可令
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=33
3222112x
y x x y x x y ，
则原二次型的标准形为
()2
221321,,y y x x x f +=，
且非退化线性替换为
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+-=33
322321122y
x y y x y y y x ，
相应的替换矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=100210211T ，
且有
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。
（3）已知()3231212
2213216223,,x x x x x x x x x x x f -+--=，
由配方法可得
()()()
2
3322223223231212132144222,,x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-++-+-=
()()2
322
3212x x x x x +---=，
于是可令
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+-=33
32232112x
y x x y x x x y ，
则原二次型的标准形为
()2
221321,,y y x x x f -=，
且非退化线性替换为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=-=-+=333223211
21212
321y x y y x y y y x ，
相应的替换矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=10021
21
23211
T ， 且有
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--='00001000110
021
210
232
110313*********
302121
001AT T 。 （4）已知()4232432143218228,,,x x x x x x x x x x x x f +++=， 先作非退化线性替换
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=4
4332
2411y x y x y x y y x ，
则
()4232432
441432182288,,,y y y y y y y y y x x x x f ++++=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=2
321321424812121812121
28y y y y y y y y
322
321281212
1
8y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-
322
3212
432124128121218y y y y y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=，
再作非退化线性替换
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+==4
43233
221
1z y z z y z z y z y ，
则